I POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA

Transkrypt

1 I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr I POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA Przpomnijm definicję ilorzu róŝnicowego : Definicj (ilorzu róŝnicowego) : Ilorzem róŝnicowm funkcji f : (,b) R odpowidjącm przrostowi rgumentu 0 o liczbę 0 tką, Ŝe 0 + (,b) nzwm liczbę : f (0 + ) f (0) Interpretcj geometrczn : Ilorz róŝnicow / jest to tngens kąt nchleni siecznej AB do osi O. f ( ) f ( ) tg( ) 0 + β 0 f() B A β α d D C d + tg ( β) BC AC JeŜeli ozncz czs, f() długość drogi, jką ciło przebło od początku ruchu do chwili, to f( 0 + )-f( 0 ) jest długością drogi przebtej w czsie od chwili 0 do 0 +. Ilorz róŝnicow / nosi nzwę prędkości średniej ruchu w czsie od chwili 0 do

2 I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr Spdek siecznej AB przecinjącej wkres funkcji f() w punktch A i B m wrtość : f ( + ) f ( 0 0 Równnie tej siecznej m postć : f ( ) f ( ) f ( ) ( 0). ) Gd 0, punkt B zbliŝ się po krzwej do punktu A, sieczn zś obrc się wokół punktu A. Jej spdek dąŝ do f( 0 ), ztem sieczn zbliŝ się do prostej przechodzącej przez punkt A, prostej nzwnej stczną do krzwej +f() w punkcie A, prostej o równniu : f (0) f (0) ( 0) f (0 ) tgα Krótko : Gd 0, punkt B zbliŝ się do A, sieczn z A zbliŝ się do stcznej w A. Definicj geometrczn (pochodnej funkcji) : Pochodn funkcji f() w dnm punkcie równ się spdkowi stcznej do wkresu tej funkcji w rozwŝnm punkcie. II FIZYCZNA INTERPRETACJA POCHODNEJ JeŜeli punkt porusz się po linii prostej ruchem jednostjnm, to prędkość tego ruchu mierzm stosunkiem drogi do czsu, czli stosunkiem przrostu drogi do przrostu czsu. s f (t + ) f (t) gdzie t ozncz czs s f(t) długość drogi jką przebł punkt od początku ruchu do chwili t f(t+) f(t) długość drogi przebtej w czsie t od chwili t do chwili t+. Dl ruchu jednostjnego po linii prostej ten stosunek przrostu drogi do przrostu czsu zmieni się ustwicznie. Ab mówić o prędkości w tkim ruchu, nleŝ wziąć grnicę tego stosunku, gd przrost czsu dąŝ do zer. Definicj (prędkości) : Prędkość chwilow jest pochodną drogi względem czsu, co zpisujem : s v lim 0 Niech funkcj v (t) ozncz prędkość, po nlogicznch rozwŝnich mm : Definicj (przspieszenie) : Przspieszenie jest pochodną prędkości względem czsu, co zpisujem : v lim 0 - -

3 I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr Przkłd. Funkcj połoŝeni punktu P n osi liczbowej dn jest wzorem: s(t) t 3 t + 36t 0, gdzie t mierzone jest w sekundch s(t) w centmetrch. Opisć ruch punktu P w przedzile czsu <-, 9>. Rozwiąznie. RóŜniczkując otrzmujem v(t) s (t) 3t 4t (t )( t 6), (t) v (t) 6t - 4 6(t 4). W konsekwencji zerow prędkość osiągn jest dl t i t 6. Musim więc sprwdzić zchownie s w przedziłch (-, ), (, 6) i (6, 9). Tblic zwier wrtości połoŝeni, prędkości i przspieszeni w wŝnch punktch czsowch, minowicie n końcch rozwŝnego przedziłu czsu i w punktch, w którch prędkość lub przspieszenie są równe zeru. t s(t) v(t) (t) Schemtcznie moŝn ruch punktu P przedstwić jk n rsunku. Krzw pokzn nd osią liczbową nie jest torem punktu, pokzuje tlko sposób jego poruszni się. Dl t - punkt znjduje się 69 cm n lewo od początku osi i porusz się w prwo z prędkością 63 cm/sek. Ujemne przspieszenie -30 cm/sek wskzuje, Ŝe prędkość zmniejsz się w kŝdej sekundzie o 30 cm/sek. Punkt porusz się w prwo corz wolniej, Ŝ dl t osiąg zerową prędkość, cm n prwo od początku osi. Przspieszenie, w tm momencie ciągle ujemne, () -, powoduje zminę kierunku ruchu punktu P i wzrost jego szbkości do cm/sek. dl t 4 (prędkość punktu w tm momencie wnosi -cm/sek.). Dl t 4 przspieszenie równe jest zeru nstępnie przjmuje wrtości dodtnie, powodując zwiększenie prędkości. Dl t 6, w połoŝeniu s(6) -0, prędkość przjmuje wrtość v(6) 0. Wówczs punkt P po rz drugi zmieni kierunek ruchu, osiągjąc dl t 9 połoŝenie s(9) 70 i prędkość v(9) 63. Fizczn interpretcj pochodnej w nuce o cieple: Niech Q(t) ozncz ilość ciepł potrzebną n to, b jednostkę pewnego cił podgrzć od tempertur 0 o do t stopni, wówczs ilość ciepł potrzebn n podgrznie od tempertur t do t+ wnosi Q(t+ t)-q(t) - 3 -

4 I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr Definicj (średnie ciepło włściwe) : Średnim ciepłem włściwm nzwm ilorz róŝnicow : Q Q(t + ) Q(t) Definicj (ciepło włściwe) : Ciepło włściwe prz temperturze t jest pochodną : Q Q (t) lim 0 Fizczn interpretcj pochodnej w elektrotechnice: NtęŜeniem prądu nzwm ilość elektrczności przepłwjącej w jednostce czsu. Jest to więc stosunek przrostu Θ ilości elektrczności przepłwjącej do przrostu czsu t, to zncz Θ Θ(t + ) Θ(t) i Tk jest dl prądu stłego. Jeśli prąd jest zmienn, wówczs trzeb brć pod uwgę grnicę powŝszego ilorzu, gd t 0 Definicj (ntęŝenie prądu) : NtęŜenie prądu i jest pochodną funkcji ilości elektrczności względem czsu t. Θ i Θ (t) lim 0 III FUNKCJA ODWROTNA I JEJ POCHODNA JeŜeli funkcj f() w jkimś przedzile jest rosnąc lub mlejąc to moŝn tkŝe uwŝć z funkcję zmiennej, tzn. g(). Funkcj g jest funkcją odwrotną do funkcji f. Np. Dl f()- mm g()+, dl f() mm g()log. dl f() dl 0<<, mm g()+ / dl 0. N podstwie definicji pochodnej mm lim lim 0 0 lim 0 gdŝ funkcj f() jest ciągł, tzn. gd 0, to i 0. Definicj : Pochodn funkcji odwrotnej równ jest odwrotności pochodnej funkcji dnej

5 I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr Uwg : Wzór n pochodną ( n ) n n- jest prwdziw dl wkłdnik n będącego liczbą wmierną. Mm ztem ( ( m n ) ( ) n m ) n () m n m IV POCHODNA FUNKCJI ZŁOśONEJ Niech funkcj będzie funkcją złoŝoną, czli f()g h. Tką funkcją jest np. funkcj f()(3 +) g h, gdzie g, h3 + Definicj : Pochodn funkcji złoŝonej f()g h jest ilocznem pochodnej funkcji zewnętrznej g i pochodnej funkcji wewnętrznej h, tzn. f () (go h) g h Przkłd : Pochodn funkcji (3 +) to (3 +) (3 +0)(3 +) V POCHODNE FUNKCJI WYKŁADNICZEJ I LOGARYTMICZNEJ Zpiszm ilorz róŝnicow dl funkcji wkłdniczej : + f ( + ) f () Problem jest z wliczeniem grnic. Postępujem nstępująco : lim 0, niech δ log ( + δ) lim 0 δ lim lim δ 0 log ( + δ) δ 0 log ( + δ) δ log e ln - 5 -

6 I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr Stąd lim lim lim ln Ztem orz ( ) ln (e ) e Funkcj logrtmiczn jest funkcją odwrotną do funkcji wkłdniczej, ztem jej pochodn jest odwrotnością pochodnej funkcji wkłdniczej. log d d log ln ln ln Stąd : (log ) (ln ) ln ln e VI POCHODNE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH I CYKLOMETRYCZNYCH Pochodne funkcji trgonometrcznch : f ( + ) f () ( + ) () α β α + β α β cos lim lim 0 0 cos ( ) cos lim cos( + ) cos 0-6 -

7 I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr cos( + ) cos() cos α β α + β cosα cosβ + lim 0 (cos ) tg cos lim lim ( + ) tg cos cos cos cos ctg ( + ctg ) Pochodne funkcji cklometrcznch : Funkcj cklometrczn jest funkcją odwrotną do funkcji trgonometrcznej, ztem jej pochodn jest odwrotnością pochodnej funkcji trgonometrcznej. d rc cos d (rc ) cos (rc ) Stąd : (rc ) Anlogicznie moŝn wprowdzić wzor : (rc cos) (rc tg ) + (rc ctg )

8 I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr VII. POCHODNE FUNKCJI PODSTAWOWYCH k 8 tg 9 ctg Funkcj Pochodn Uwgi 0 log ln rc 3 rccos 4 rctg 5 rcctg 6 g c c R 0 ' cos cos ln e ' e k ( ) '( ) k k k {,,... } π + kπ cos kπ > 0, ln 0 < < + > 0 < < + π π < < + < < + 0 < < π π < < < < π k g k {,,... } k Przkłd 3. ) ( 7 +) 3 ; 3 u, 7 + u, ( 7 ) 30 ' 3 u , b) 0 ; u, u 0, - 8 -

9 I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr cos u 0 0cos0, c) rc( ) ; rc u, u,, u d) e ;, u e, u e u cos e cos e) rccos ; rccosu, u,, u f) e cos ; e cos e, g) cos e ; ( ) cos e, h) u e ; u( ) cos, u u cos ( e )' u' e ( ) e ( ), i) ln + ; ( ) ( + ) ' ( ) + + ( + ) - 9 -