Mechanika kwantowa IV

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Mechanika kwantowa IV"

Piotr Góra
6 lat temu
Przeglądów:

1 Mcik kwtow IV Opcowi: Bb Pc Piot Ptl

2 Atom wodou W ukłdi śodk ms ówi Scödig dl tomu wodou i joów wodoopodobc m postć: V [W..] µ E gdi: Z Vˆ [W..] - opto Lplc dfiiow wom [W..7] Sfci smtc potcjł w ówiu [W..] umożliwi odili w im mic; fukcję moż pisć w postci ilocu: lm ϑ R Y ϑ [W..] l lm Fukcjmi Y wstępującmi w wo [W..] są fukcj kulist dfiiow womi [W..7-77]. Z pc wcjowc stępujm wstępując w ic licb kwtow J i M licbmi kwtowmi l i m Y J M Y l m. Fukcj R- tw. fukcj dil jst dfiiow stępująco: Z Z l F l ; l ; Z R l N l gdi: - głów licb kwtow l- poboc obitl licb kwtow l.- Nl l! [W..] Z / l! l! F b; to wodił fukcj ipgomtc dfiiow wom: F b; b! b b! b b b! [W..7]... [W..9] W itsującm s ppdku tj. F l ; l ; Z fukcj t jst wilomim stopi -l- mij Egi włs tomu wodou i joów wodoopodobc jst kwtow tlko p licbę kwtową : µz E [W..9] Wó t w jdostkc tomowc pjmuj postć: Z E [W..9b] Fukcj lm są ówocśi fukcjmi włsmi miltoiu kwdtu momtu pędu i skłdowj towj momtu pędu: H lm E lm [W..9] Mˆ lm l l lm [W..9] M m [W..9] lm lm Pwdopodobiństwo potki lktou w lmci d moż pisć jko: dp ϑ R Y ϑ siϑddϑd [W..9] l lm Scłkowi powżsgo wżi po współędc ϑ i dj: dp R d [W..9] l W tkim i dil cli lż tlko od mij gęstość pwdopodobiństw to: dp ρ Rl [W..9] d Z.

3 Pkłd. Zjdź jw postci obitli p i p - dl tomu wodou.. Utwó powżsc fukcji odpowidi obitl cwist.. Któ wmiioc wilkości ficc: gi kwdt momtu pędu skłdow tow momtu pędu i są osto d w stc opisc obitlmi p p - i obitlmi wpowdomi w pukci.. Oblic wtość śdią b jbdij pwdopodobą odlgłości lktou jdującgo się obitlu p od jąd. Ad. Obitl p i p - cli i możm wó [W..] pisć w postci: ϑ R Y ϑ [..] ϑ R Y ϑ [..b] Fukcj R pjmi wó [W..7] postć: R ; F N ;! gdi: N / /!! [..] [..b] F W tkim i: R ; [..c] / / [..d] Y ϑ o ϑ Postci fukcji Y ostł wpowdo w pkłdi wo [..] i [..b]: Y Y i ϑ siϑ [..] π i ϑ siϑ [..b] π Osttci tm: / i i / ϑ si siϑ π π / i i ϑ / si ϑ p [..] p si [..b] π π Ad. Obitlmi cwistmi będą kombicj liiow podc obitli spoloc p i p - o postci: N 'p p i N" p p gdi N i N są stłmi omującmi odpowidią kombicję. Tk postć obitli cwistc wik woów Eul: im im cos m [..] im im i si m Stosując j w sm ppdku mm: N p p N' ϑ si N' siϑ cos ' π / i i π / [..b] [..] Stł omliując kombicji N jst ów poówj: Pkłd pukt. Uomową cwistą fukcję o podj iżj postci ocm jko obitl p w wiąiu do współędc sfcc w któc mm siϑ cos Alogici:. p p p siϑ cos [..] π / N p p N" ϑ si N' i siϑ si " π / i i π / [..7]

4 Ab utwoo obitl bł uomowm obitlm cwistm: N " i Uomową cwistą fukcję o podj iżj postci ocm jko obitl p w współędc sfcc siϑ si. p i p p siϑ si π / [..] Ad. Ab móc okślić wtość gii kwdtu momtu pędu i skłdowj towj momtu pędu dl lktou jdującgo się dm obitlu musim ć wtości licb kwtowc- odpowidio l i m [wo W..9-9]. Zstw licb kwtowc cktującc obitl p p - p i p podo w poiżsj tbli obitl l m p p - - p * p * Dl kżdgo itsującc s obitli możm okślić wtości licb i l co tm idi wtości gii i kwdtu momtu pędu jdującc się ic lktoów. Wtość mgtcj licb kwtowj m jst jdoci okślo tlko dl obitli p i p - tm dl jdującc się ic lktoów możm okślić wtość skłdowj towj momtu pędu. Ad. Wtość śdi poówj wó [W..] odlgłości lktou jdującgo się obitlu p od jąd opis jst wom: p [..9] p W tkim i: π π π / siϑ cos / siϑ cos siϑddϑd π π π π π si cos dd d d si d cos d ϑ ϑ π ϑ ϑ π π si ϑ π [..] ϑd [..] cos d π [..b] d 77 [..c] Powżs oblici moż upościć bioąc pod uwgę ż fukcję moż obić cęść dilą lżą od itsującj s mij i kątową lżą od mic ϑ i. Kżd tc fukcji osob musi bć uomow. Mm tm: π π p p siϑddϑd π π π π # # R Y ϑ siϑddϑd R d Y ϑ siϑdϑd Poiwż wuku uomowi dug cłk musi bć ów jdości to: [..] R d [..]

5 Wstwijąc postć fukcji R mm: / 77 d d d R [..] Rdilą gęstość pwdopodobiństw wó [W..9] moż w sm ppdku pisć jko: R ρ [..] Po wstwiiu jwj postci fukcji R otmujm / C ρ [..] gdi C Nsm clm jst lii mksimum okłdu gęstości dgo wom [..]: ' C C ρ C [..] Mijsc ow fukcji ' ρ to: ' ρ lub lub 7 lub 7 [..7] jj mksim globl ppdją dl 7 i 7 [..]

6 Zdi do smodilgo owiąi: Zdi Fukcj flow lktou obitlu s tomu wodou m postć: Ψ ϑ N p gdi ϑ ocją odpowidi współę sfc p cm pomiń lico jst w jdostkc bwmiowc.. Zlźć wtość stłj omującj N.. Oblicć gęstość pwdopodobiństw lii lktou w pukci ; ϑ ;.. Oblicć pwdopodobiństwo lii lktou wąt sf o pomiiu.. Nskicowć wks lżości dilj gęstości pwdopodobiństw ρ od.. Oblicć śdią wtość odlgłości lktou od jąd. Zdi 9 Obitl d i d - moż pisć w postci ilocu ic cęści dilj i kątowj.. Wgowć dilą cęść fukcji d i d Wgowć fukcj włs kwdtu momtu pędu i jgo skłdowj towj potb do pisi jwj postci fukcji d i d - Zpisć jw postci obitli d i d -. Zpisć jw postci obitli cwistc d i d któ moż utwoć obitli d i d -. Okślić jki wtości gii kwdtu momtu pędu skłdowj towj momtu pędu moż uskć w wiku pojdcgo pomiu tc wilkości dl lktou jdującgo się obitlu: δ d d

7 Pkłd 7 Cąstck wodou jst mkięt w sścim pudl o omic mkoskopowc. Zlźć jj st włs tktując cąstckę. Jko pukt mtil pousjąc się swobodi w gicc pudł. Jko otto stw o swobodj osi obotu pousjąc się swobodi w gicc pudł. Jko otto o swobodj osi obotu pousjąc się swobodi w gicc pudł p cm uc tomów wdłuż osi wiąi lż potktowć jko dgi moic o młj mplitudi. Ad. Zgodi wukmi di cąstckę wodou lż potktowć jko pukt mtil pousjąc się wwąt sścigo pudł potcjłu. Hmiltoi sj cąstcki wodou w ukłdi śodk ms pism tm poówj wó [W..] jko: H d d d c M d d d M c [.7.] gdi Mm m oc msę tomu wodou. Tki ukłd bł już owż w pkłdi ; fukcj włs i gi włs cąstcki wodou jdującj się w sścim pudl potcjłu o kwędi l d są wpowdomi wcśij womi [..] i [..]: π l l E Ml π l π l si si si [..] [..] Ad. Ruc cąstcki wodou w opisc wukc będi łożim jj ucu tslcjgo modl: cąstk w pudl potcjłu i ucu obotowgo modl: otto stw Hmiltoi tkigo ukłdu możm tm pisć w postci sum dwóc komutującc cłoów kżd ic dił i mi: H H c H ot gdi H c będi cęścią miltoiu wiąą ucm tslcjm H ot cęścią miltoiu wiąą ucm otcjm cąstcki wodou jdującj się w opisc wukc. Piws cęść lż od współędc śodk ms cąstcki m postć opisą wom [.7.] dug cęść lż od kątów ϑ i jst idtc jk w wo [W..7] H ot siϑ si [.7.] I ϑ ϑ ϑ si ϑ W tkim i d d d H siϑ I siϑ ϑ ϑ [.7.] M d d d si ϑ J ϑ Y ϑ [.7.] J M M gdi - fukcj włs cąstcki wodou tktowj jko cąstk w sścim pudl potcjłu d wom [..] J YM ϑ -fukcj włs cąstcki wodou tktowj jko otto stw d womi [W..7-79]. Egi sgo ukłdu będi sumą gii cąstcki wodou wikjącj obu odjów ucu: E E c E ot [.7.] cli wo [..] i [W..] E J J [.7.] Ml I Ad. Ruc cąstcki wodou w opisc wukc będi w pbliżiu łożim jj ucu tslcjgo modl: cąstk w pudl potcjłu ucu obotowgo modl: otto stw i ucu oslcjgo modl: osclto moic. Zkłdjąc bk spężi pomięd ucm osclcjm i otcjm dgi młj mplitudi mm: H H H H c ot osc 7

8 gdi H c i H ot d są womi [..] i [.7.] H osc możm pisć poówj wó [W..] jko: ζ ζ µ k H d d osc Q Y Q J M M J ϑ ϑ gdi Q to fukcj włs osclto moicgo Q H N Q Q ζ mk Q N i H są dfiiow womi [W..7] i [W..].

Podobne dokumenty

Mechanika kwantowa. Mechanika kwantowa. dx dy dz. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Równanie Schrödingera. zasada zachowania energii

Mechanika kwantowa. Mechanika kwantowa. dx dy dz. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Równanie Schrödingera. zasada zachowania energii Mecnik kwntow Jk opisć tom wodou? Jk opisć inne cąstecki? Mecnik kwntow Równnie Scödinge Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ opeto óżnickow Hmilton enegi funkcj flow d d d + + m d d d opeto enegii kinetcn enegi kinetcn elektonu