ALGEBRA WEKTORÓW. PRZESTRZENIE WEKTOROWE PRZESTRZEŃ WEKTOROWA

Transkrypt

1 Mtmt I WYKŁAD 9. ALGEBRA WEKTORÓW. PRZESTRZENIE WEKTOROWE PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Prstrń Eulidsow E - biór putów Współręd putów w E trój licb rcwistch Krtjńsi ułd współrędch w E Pocąt ułdu p. put p. Tr wjmi prostopdł prost poprowdo pr put p - osi ułdu. Jdosti długości orślo żdj osi. Współręd ( b c) putu p rut putu p oljo osi. P() ( ) Ułd współrędch: rwoliiow clidrc wlcow sfrc. Uwg Diłi biorch i putch prstri ułdch licb rcwistch i ich biorch E są rówowż diłiom Uogólii prstrń wmirową Prstrń Eulidsow wmirow E Współręd putów w E - ułd licb (... ) Prłd E - biór putów postci () prost licbow E - biór putów postci (b) płsc E 4 - csoprstrń Ali obitów gomtrcch w trmich prdstwioj rprtcji gomtri litc. /5

2 Mtmt I Dfiicj Wtorm wm uporądową prę putów (A B) cli odci sirow o pocątu w puci A i o ońcu w puci B. B A Dfiicj Wtorm o długości wim ułd licb rcwistch postci [... ]; gdi oc różicę odpowidich współrędch putów A i B. licb... są współrędmi wtor. i Oci wtor: AB Prstrń wtorow wmirow - Diłi wtorch Dfiicj Długością lub modułm wtor odci AB. Wilości orśljąc wtor: R AB ocm pr AB lub AB wm długość Kiru wtor Jżli oic B wtor AB i porw się jgo pocątim A to mówim o iruu wtor utożsmijąc t iru iruim prostj wcoj pr put A i B. Prpomim: iru prostj jst to t jj włsość tórą mją wssti prost do ij rówolgł i tlo t prost. Zwrot wtor Prostą AB moż wtd sirowć djąc jj wrot w wiu prjęci umow dotcącj stępstw putów ugo dodti. W t sposób djm wtorowi AB wrot god wrotm sirowj prostj AB tórj A poprd B. /5

3 Mtmt I Długość wtor Dw put P ( ) i P ( ) wcją odci P P tórgo długość P P oblicm woru: P P Zstosowi wtorów fi: tężi pol ltrcgo prędość prśpisi tężi pol mgtcgo lii sił pol mgtcgo grfi omputrow: wtcj wtorow mtod omprsji dch worstując lię supiń bioru dch wilowmirowch li dch Dfiicj Kątmi iruowmi wtor w rtjńsim ułdi współrędch wm ąt ; ji t wtor twor oljmi osimi ułdu współrędch. Współręd wtor wco pr osius iruow = [ ] = cos = cos = cos Dfiicj Wrsorm (lub wtorm jdostowm) wm żd wtor o długości jd. Wi ż współręd wrsor są rów jgo oljm osiusom iruowm ˆ cos cos cos /5

4 Mtmt I Dfiicj Wrsorm irowgo wtor =[ ] ocm pr â wm wrsor godi rówolgł tm wtorm pr cm ˆ / / gd / Mówim tż ż wtor â jst wtorm uormowm; oprcję prowdącą od wtor irowgo do jgo wrsor wm ormowim wtor. Dfiicj Wrsorm osi licbowj s ocm pr ŝ wm wrsor godi rówolgł tą osią. Jżli więc ątmi iruowmi osi s są odpowidio ąt co pisujm s( ) to s ˆ cos cos cos Wrsor osi ułdu rtjńsigo OXYZ w tż wrsormi ułdu rtjńsigo ocm odpowidio pr i j or pr cm i = [;;] j = [;;] = [;;] j i ( ) Dfiicj Kątm irowch wtorów i b ocm pr ( b) lub róto ( b) wm ąt ji twor jd tch wtorów osią godi rówolgłą do drugigo wtorów. Z dfiicji tj wi ż ąt ( b) = ąt (b ) 4/5

5 Mtmt I Uwg Gd dw irow wtor są godi rówolgł co ocm pr b to ich ąt jst rów ru; Gd dw irow wtor są prciwi rówolgł co ocm pr b to ich ąt wosi ; W prpdu irówolgłości wtorów ich ąt spłi irówości: < ąt ( b)< b b b Sum wtorów Dfiicj Sumą wtorów i b ocoą pr + b wm wtor o pocątu w pocątu wtor i ońcu w ońcu b gd pocąt wtor b porw się ońcm wtor. b +b b 5/5

6 Mtmt I Z dfiicji sum wi tchmist ż + b jst prątą rówolgłobou budowgo wtorch i b. Twirdi Dodwi wtorów jst prmi + b = b + Dodwi wtorów jst łąc (+b)+c=+(b+c) Elmtm utrlm dodwi wtorów jst wtor + = + = Dl żdgo wtor istij jd wtor prciw do igo oco pr. Włsości wtor :.. wrot wtor jst prciw iż wrot wtor. iru wtor jst ti sm j iru wtor - Odjmowi wtorów Korstjąc ocwistj włsości dodwi: ( = b) ( + c = b + c) Dfiicj Różic wtorów i b (odjmowi wtor b od wtor ) dodwi do wtor wtor prciwgo do b Iloc wtor i licb Dfiicj + (-b) = - b Ilocm różj od r licb i irowgo wtor wm wtor o długości godi rówolgł wtorm gd prciwi rówolgł gd ; w prpdu gd = lub iloc =. 6/5

7 Mtmt I Z powżsj dfiicji wi ż jżli â jst wrsorm irowgo wtor o długości to = â or ż ˆ / ; / ; / ( ) ( ) - dowol licb Iloc wtor i licb jst rodil wględm dodwi licb or wględm dodwi wtorów ( ) = + ( + b) = + b Twirdi Rut osi ilocu wtor pr licbę jst rów rutowi tgo wtor tę oś pomożomu pr tę licbę Twirdi rut s ruts rut ( ) Współręd ilocu licb i wtor osi jst rów ilocowi tj licb i współrędj tgo wtor tj osi wsp s ( ) = wsp s t. = [... ] to: c [... ]=[c...c ] LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ WEKTORÓW Dfiicj Kombicją liiową wtorów i i =... wm wtor postci v i i i gdi i i =... są licbmi rcwistmi. 7/5

8 Mtmt I Prłd Kombicj liiow wtorów + b +b Prłd [4 5-8] = [ ] + [ -4] 4[ ] + 5[- 4 ] 4[ ] =[-5 8 8] Prłd Rołd wtor współręd rtjńsi Jżli wtor = ] to rutmi wtor [ osi ułdu rtjńsigo są wtor [ ] [ ] [ ] Wtor możm pisć w postci = Kżd wtor możm prdstwić w postci ilocu długości tgo wtor i jgo wrsor i j gdi i j są wsormi osi odpowidio OX OY OZ 8/5

9 Mtmt I A tm = i + j + Wios Kżd wtor możm prdstwić w postci ombicji liiowj wrsorów ułdu rtjńsigo. Prłd [5 ] = 5[ ] + [ ] + [ ] Dfiicj Wtor są liiowo ilż wtd i tlo wtd gd dl żdgo ułdu c c c licb rcwistch jżli c c c to c c c Jżli wtor lż. Prłd Jżli wtor i są liiowo ilż to mówim ż są o liiowo ti ż c c Jśli p. c to wtd Dfiicj są liiowo lż to istiją licb c c c c ; gdi c lub c Dw wtor są rówolgł jżli jd ich jst pwą ombicją liiową drugigo. Jżli wtor są liiowo lż to istiją c c c ti ż c lub c lub c or c c c Jżli p. c to poostłch. c c tm wtor c c jst liiową ombicją 9/5

10 Mtmt I Twirdi Ułd wtorów jst liiowo lż wtd i tlo wtd gd pwi spośród wtorów jst liiową ombicją poostłch. Prłd Wtor [ ] [- 4 ] [ ] [-5 8 8] są liiowo lż 4[ ] + 5[- 4 ] 4[ ] = [-5 8 8] Krtrium liiowj ilżości wtorów Ułd wtorów gd ułd rówń: gdi A jst mcirą o olumch t. A = [ o długości jst liiowo ilż wtd i tlo wtd ] i c = A c = c c c m dołdi jdo rowiąi postci: c c c twirdi Krocr Cplligo wi ż wtd rąd A = Twirdi Dl ułdu wtorów Ułd wtorów Twirdi rowżm mcir A o olumch jst liiowo ilż jżli rąd A =. Żd ułd wtorów długości i jst liiowo ilż.. /5

11 Mtmt I Dowód Mcir [ ] m wmir (+) tm i moż mić rędu rówgo +. Twirdi Ułd wtorów gd o długości jst liiowo ilż wtd i tlo wtd dt A( ) Prłd Sprwdić c wtor [ ] [ 4] [ 4 5] są liiowo ilż A = Dt A = wtor są liiowo lż. BAZA W PRZESTRZENI WEKTOROWEJ PRZYPOMNIENIE Dfiicj Wtor są liiowo ilż wtd i tlo wtd gd dl żdgo ułdu rcwistch jżli to c c c c licb c c c c c /5

12 Mtmt I Jżli wtor lż. i są liiowo ilż to mówim ż są o liiowo Prłd Jżli wtor ti ż c c Jśli p. c to wtd są liiowo lż to istiją licb c c c c ; gdi c lub c Dfiicj Kżd ułd wtorów R o włsości dt A( ) wim bą w prstri wtorowj R. Twirdi Nich wtor będą bą w prstri R. Kżd wtor b tj prstri jst ombicją liiową wtorów t. b = c c c współcii c c c są wco jdoci i wją się współrędmi wtor b w tj bi. Z twirdi Crmr wi ż ułd rówń b = m dołdi jdo rowiąi. c c c /5

13 Mtmt I Prłd [-5 8 8] = 4[ ] + 5 [- 4 ] - 4[ ] Wtor [-5 8 8] m współręd [4 5-4] w bi łożoj wtorów [ ] [- 4 ] [ ] B w prstri B oic w prstri R - ułd wtorów R gdi ( ) ( )... ( ) Kżd wtor = [ ] jst rprtow w bi oicj jo =. Prłd Zlźć współręd wtor w bi łożoj wtorów d = [- - ] =[ ] b = [ ] c = [ ] w R Ocm su współręd pr ; musą o spłić rówi: /5

14 Mtmt I [ ] + [ ] + [ ] = [- - ] tm stąd: = - = = + = - + = - + = Prłd Wtor m współręd [ -] w bi łożoj wtorów [ ] [4 ] [ ]. Oblicć współręd wtor w bi [4 ] [ ] [ ]. Ocm su współręd pr [ ] + [4 ] - [ ] = = [4 ] + [ ] + [ ] Ułd trch rówń trm iwidommi: Postć mcirow ułdu: 4 + = 5 + = 5 + = Jst to ułd Crmr gdż wci mcir główj ułdu jst róż od r tm twirdi Crmr rowiąi jst postci = = = Podsumowi Jżli współręd wtor w oljch bch wosą odpowidio: [ ] w bi 4/5

15 Mtmt I [ ] w bi [ ] w bi wtd b b b c c c itd. b b b = = = c c c 5/5