CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

Transkrypt

1 CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o polu obszru, który jest określony nlitycznie] jkim sposobem zgdnąć jk duży jest obszr położony pod wykresem tej funkcji, który jest ogrniczony prostymi x =, x = b orz y =. Aby ustlić w przybliżeniu pole owego obszru pomyślmy ukłd liczb = x < x 1 < x <... < x n < x n = b, nstępnie utwórzymy sumy n f(c k )(x k x k ), k=1 gdzie zwsze x k c k x k. Skoro f jest funkcją ciągłą, to skłdnik f(c k )(x k x k ) tym lepiej przybliż pole leżące pod wykresem funkcji f ogrniczone prostymi x k =, x k = orz y =, im krótszy jest przedził (x k, x k ). Jeśli dowolny ciąg {S [x,x 1,x,...,x n,x n]} jest zbieżny, gdy lim δ n orz zwsze zchodzi x k x k < δ n, o ile 1 k n, n to mówimy, że funkcj f jest cłkowln. Tk określons grnicę oznczmy orz nzywmy cłką oznczoną funkcji x f(x) n przedzile [, b]: definicj t zkłd, że wybór liczb c i jest dowolny, więc sprwdzjąc zbieżność ciągów postci {S [x,x 1,x,...,x n,x n]} musimy uwzględnić wszekie możliwe ukłdy liczb x k orz c k! Przypomnijmy twierdzenie Lgrnge dl funkcji x F (x) różniczkowlnej w przedzile [x k+1, x k ]: F (x k ) F (x k ) = F (x k + Θ(x k x k1 ))(x k x k ), gdzie x k Θ x k ; nstępnie policzmy F (b) F () = F (x 1 ) F (x ) + F (x ) F (x 1 ) F (x n ) F (x n ) = f(c 1 )(x 1 x ) + f(c )(x 1 x ) f(c n )(x n x n ) = x1 x + x x xn x n = Gdy uwierzymy w to, że równość pomiędzy linią drugą n trzecią jest prwdziw 1

2 to dostniemy wzór n cłkę oznczoną z funkcji x f(x), dl której funkcj x F (x) jest funkcją pierwotną: = F (b) F (). Dl potrzeb zstosowń mtemtyki wzór ten może definiowć cłkę oznczoną w sposób zdwljący. Dyskusję tego kiedy (lub czy?) jest on porwny możemy pozostwić tym, których to psjonuje: od czsów Archimedes oblicznie pól ogrniczonych krzywymi metodą wyczerpywni rozwżni o tym, czym mogłby być cłk oznczon, to jeden z njpopulrniejszych temtów uprwinych przez entuzjstów mtemtyki. Dopiero w XVII wieku I. Newton powiązł problemy związne z cłką oznczoną z lgorytmmi różniczkwni, innymi słowy : zmtemtyzowł zgdnieni związne z ruchem. Policzmy: sin x dx = [ cos x] π = () = 1; sin n+1 x dx =... = [ ] π n + 1 sinn x cos x 4... n (n + 1) sin x dx = + n n + 1 sin n x dx = 4... n (n + 1) ; sin n x dx =... = [ ] π n sinn x cos x (n 1) 4... n sin x dx = + n 1 n sin n x dx = (n 1) π 4... n ; Zchodzą wzory - o ile cłki oznczone w nich określone istnieją: c Af(x) + Bg(x) dx = A + B g(x) dx; + g(f(x))f (x) dx = c = f(b) f() g(t) dt; = b.

3 Twierdzenie. Jeśli f jest funkcją ciągłą w przedzile [, b], to jeśli h >, to ( x ) f(t) dx = f(x), o ile x b; +h jeśli dodtkowo f(x) dl x b, to = h f(x + Θh), gdzie < Θ < 1;. Cłk oznczon to pole obszru złożonego z punktów (x, y) płszczyzny, gdzie x b orz y f(x): wtedy pole jest liczone ze znkiem +; zś gdy f(x) y, to pole jest liczone ze znkiem. Metod wyczerpywni znn już przed nszą erą Archimedesowi to oblicznie tkowego pol przy pomocy szeregów! Gdy chcemy obliczyć pole obszru P ogrniczonego krzywą y = sin x, prostymi x = π, x = π orz osią OX, to korzystmy z tego, iż jest to obszr dzielący się n trzy jednokłdne rozłączne kwłki, więc liczymy P = 3 π sin x dx = 3 [ cos x] π π = 3( cos π + cos π ) = 3. Gdy obliczmy pole Q zwrte pomiędzy wykresmi krzywych y = x orz x = y, to liczymy 1 1 Q = x dx x dx = x x3 = = 1 3. Gdy obliczmy pole obszru R ogrniczonego krzywymi y = e x, x =, x = 1 orz styczną do krzywej f(x) = e x w punkcie x =, to z wzoru y f(x o ) = f (x )(x x ) wyliczmy, że styczn m równnie y = x + 1: gdyż x =, f() = 1 orz f () = 1. Pole R liczymy tk, by w cłce x + 1 dx zmienić znk, bo ozncz on pole leżą poniżej osi OX: 1 [ ] 1 x R = e x dx + x + 1 dx x + 1 dx = [e x ] 1 [ ] x x + x 3

4 = e 1 e = e 1 e 5. Gdy chcemy obliczyć pole koł o promieniu r, to obliczmy cłkę r r r x dx. Podstwimy z = x orz dz = 1 dx i liczymy r r [ 1 = r rcsin z z ] 1 1 z r 1 r x dx = r 1 z dz = r = r ( 1 rcsin 1 1 Gdy zechcemy policzyć pole elipsy x + y b = 1 czyli y = b 1 x, to liczymy b 1 x dx = b x dx = bπ. rcsin ()) = πr. Złóżmy, że rozwżmy krzywą wyznczomą przez wykres funkcji ciągłej x f(x). Wtedy objętośc V (, b) bryły powstłej z obrotu tej krzywej dookoł osi OX w przedzile [, b] wyrż się wzorem V (, b) = π f(x) dx. Gdy dodtkowo funkcj x f(x) jest różniczkowln w przedzile [, b], to długość łuku L(, b) tej krzywej od punktu (, f()) do punktu (b, f(b)) wyrż się wzorem L(, b) = 1 + (f (x)) dx zś pole powierzchni P (, b) powstłej z obrotu tej krzywej dookoł osi OX w przedzile [, b] wyrż się wzorem Cłk niewłściw. Zmist może być liczb! 1 P (, b) = π f(x) 1 + (f (x)) dx. = n lim. dx 1 x = lim h 1 ( rcsin 1 rcsin h) = π. 4

5 e o 1 x cłk nie jest sumowln. dx = lim h +[ ln x]e h = ln e lim ln h = 1 ( ) = + : h + Kryterium cłkowe. Jeśli funkcj x f(x) jest dodtni i nierosnąc dl x > 1, to cłk orz f(n) są jednocześnie sumowlne lub jednocześnie rozbieżne do nieskończoności. n=1 5