Mechanika kwantowa III

Transkrypt

1 Mecaika kwatowa III Opracowaie: Barbara Pac, Piotr Petele

2 Powtóreie Moet pędu jest wielkością pojęciowo bardo istotą, gdż dla wsstkic pól o setrii sfercej operator jego kwadratu ( ˆM koutuje ailtoiae ( Ĥ. (Pole o setrii sfercej to takie pole, którego potecjał, wrażo we współrędc sfercc, ależ tlko od proieia, a ie ależ od kątów. ˆ [ M, Hˆ ] 0 [W..6] Zgodie regułai Jordaa ([W..4] i [W..5], operator składowc oetu pędu są defiiowae jako: i ( [W..6a] i ( [W..6b] i ( [W..6c] Spełiają oe wiąki koutacje: ora [, ] i [, ] i [, ] i [ ˆ, M i ] 0 i,, M ˆ M ˆ [W..6a] [W..6b] [W..6c] [W..64] [W..65] W dalsc roważaiac prdata będie postać operatora kwadratu składowej oetu pędu i składowej etowej oetu pędu we współrędc sfercc: M ˆ siϑ si [W..66] ϑ ϑ ϑ si ϑ i [W..67] Rotator stw Rotator stw to układ dwóc wiąac e sobą cąstek o asac i. W trakcie ic rucu odległość R ięd cąstkai ie ulega iaie. Rówaie Scrödigera dla rotatora stwego w układie środka as a postać: ( V Y EY µ [W..68] gdie oaca operator Laplace a: [W..69] a µ asę redukowaą układu: [W..70] µ We współrędc sfercc operator a postać: r r r r si ϑ ϑ ϑ r si ϑ r siϑ [W..7] W prpadku rotatora stwego r R cost więc postać operatora Laplace a redukuje się do postaci: siϑ R siϑ ϑ ϑ R si ϑ [W..7] Rówaie [W..68] a ate postać: gdie Y EY I siϑ si [W..7] ϑ ϑ ϑ si ϑ I µr [W..74]

3 Fukcje Y ( (tw. fukcje kuliste będące rowiąaiai rówaia [W..68] oża predstawić w postaci ilocu dwóc fukcji Θ i gdie: YJ pr c: Φ, którc każda ależ od jedej ieej: Θ ( ϑ Φ ( [W..75], M ( J, M M im Φ M ( e M 0, ±, ±,..., ±J [W..76ab] π M Θ ( ϑ N P (cos J 0,,,. [W..77] J, M J, M J ϑ ( J ( J M! N J, M ( J M! [W..78] a (oacając we wore [W..77] P ( P d (! d ( ( d d P ( cos ϑ pre dla a: [W..79] [W..80] Wstępujące w powżsc worac licb kwatowe J i M to (odpowiedio rotacja i agetca rotacja licba kwatowa. Eergia własa rotatora stwego ależ włącie od licb J: E J J ( J [W..8] I Fukcje kuliste Y ( są rówoceśie ([W..6] fukcjai własi ailtoiau, operatora kwadratu składowej oetu pędu i składowej etowej oetu pędu. Odpowiadające i ic wartości włase są astępujące: M J ( J M M [W..8] [W..8]

4 Prkład 5. Podaj postać jawą wsstkic fukcji kulistc w staac o J.. Jaki wik i jaki prawdopodobieństwe oża otrać w poiare: a eergii b kwadratu oetu pędu c składowej etowej oetu pędu w staac, któr odpowiadają fukcje wprowadoe w pukcie?. Podaj uorowaą postać jawą fukcji ψ będącej liiową kobiacją fukcji kulistc wprowadoc w pukcie. Załóż, że udiał wsstkic fukcji w tej kobiacji jest taki sa. 4. Jaki wik poiaru i jaki prawdopodobieństwe oża otrać w wiku poiaru: a eergii b kwadratu oetu pędu c składowej etowej oetu pędu w staie opisa wprowadoą w pukcie fukcją ψ? 5. Oblicć wartość spodiewaą: ψ ψ. Ad. Z iforacji [W..76ab] wika, że dla pr adaej wartości J agetca kwatowa licba rotacji M oże prjować tr wartości:,0,-. W taki raie (iejawe postaci fukcji kulistc ([W..75] apise jako: Y ( Θ( ϑ Φ( [.5.a] Y 0( Θ0( ϑ Φ 0( [.5.b] Y Θ ( ϑ Φ ( [.5.c], ( gdie (wór [W..77]: 0 Θ ( ϑ N P (cos [.5.a] 0 0 ϑ ( ϑ NP (cosϑ Θ [.5.b] Wieloia P ( i P ( są defiiowae worai [W..79] i [W..80]. Dla a: P ( d (! d a dla 0 i otruje odpowiedio: 0 0 ( P ( P ( d P ( ( P ( ( d [.5.] [.5.4a] [.5.4b] Stałe orujące fukcji Θ ( i Θ ( (określoe wore [W..78] prjują wartości: W taki raie: 0 ϑ ϑ N 0 i N [.5.5ab] Θ ( ϑ cosϑ [.5.6a] 0 Θ ϑ ( cos ϑ siϑ [.5.6b] ( W skład fukcji kulistc wcodą rówież fukcje Φ (, Φ 0( i Φ (, którc postaci są określoe wore [W..76ab]: i Φ ( e [.5.7a] π Φ ( [.5.7b] 0 π e i π Φ ( [.5.7c] Ostateca postać fukcji kulistc w staac o J jest więc astępująca: Y Y ( i i siϑe siϑe [.5.8a] π π i i (, siϑe siϑe [.5.8b] π π Y ( cosϑ cosϑ [.5.8c] 0 π π 4

5 Ad.a Eergia rotatora stwego ależ od wartości licb kwatowej J i ie ależ od wartości licb kwatowej M [W..8]. We wsstkic staac kwatowc, któr odpowiada J (cli staac opiswac fukcjai Y, Y (, Y ( eergia rotatora jest więc taka saa i rówa: ( 0 E [.5.9] I Poiar eergii daje powżsą wartość prawdopodobieństwe 00%. Ad.b Kwadrat oetu pędu, podobie jak eergia, jest kwatowa pre licbę J (wór [W..8]. We wsstkic staac o J a: M [.5.0] Poiar kwadratu oetu pędu daje wartość prawdopodobieństwe 00%. Ad.c Wartość składowej etowej oetu pędu jest kwatowaa pre licbę kwatową M i ie ależ od licb J. Magetca kwatowa licba rotacji M oże prjować w iteresującc as staac wartości:,0,-. Składowa etowa oetu pędu (wór [W..8] będie, odpowiedio, prjować wartości:, 0,. W każd e staów opisac fukcjai Y (, Y0(, Y ( oże w wiku poiaru uskać tlko jedą wartość składowej etowej oetu pędu i będie oa uskaa prawdopodobieństwe 00%. Ad. Aalogic proble bł już rowiąwa w prkładie I. Uorowaą postać asej fukcji apise jako: ψ Y ( Y ( Y ( [.5.] ( 0 Ad.4 Fukcja ψ jest liiową kobiacją trec fukcji kulistc, któr odpowiada taka saa (rówa wartość licb kwatowej J. Poiar kwatowac włącie pre licbę J wielkości, cli eergii i oetu pędu, da ate (e 00%-ow prawdopodobieństwe oblicoe już popredio wartości (odpowiedio [.5.9] i [.5.0]. Fukcja ψ jest liiową kobiacją trec fukcji kulistc, któr odpowiadają róże wartości licb kwatowej M (rówe:,0, -. Poiar kwatowaej pre licbę M składowej etowej oetu pędu ie da ate jedej lec tr wartości:, 0,. Poieważ udiał wsstkic trec fukcji Y, Y (, Y ( w kobiacji jest taki sa, to prawdopodobieństwo uskaia każdej wartości,%. Ad.5 Wstępując w całce prostsej postaci: M ˆ, ( 0 0, jest takie sao i rówe ψ ψ operator oża dość łatwo doprowadić do [, ] [, ] [, ] [, ] [, ] [, ] [.5.] Wartość koutatora [, ] wosi: [, ] χ [, i ] χ i χ χ i χ χ χ i [.5.] ( ( χ Wstawiając powżsą wartość do ależości [.5.] a: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [, ˆ M M M M M ] M im [.5.] W taki raie postać asej całki oża apisać jako: gdie: ψ ψ i ψ M ψ [.5.4] ˆ ˆ ( ( Y ( ( Y0( Y ( 0 ψ M [.5.5] W taki raie: ψ ψ i ψ ψ i [.5.6] 5

6 Zadaia do saodielego rowiąaia: Zadaie 6 W pew staie stacjoar rotatora stwego o oecie bewładości I wartość własa kwadratu oetu pędu wosi 6.. Podaj postać jawą wsstkic fukcji kulistc, które ogą odpowiadać opisaeu staowi stacjoareu.. Jaki wik i jaki prawdopodobieństwe oża otrać w poiare: eergii składowej etowej oetu pędu w staac, któr odpowiadają fukcje wprowadoe w pukcie?. Załóż, że utwor uorowaą kobiację liiową fukcji wprowadoc w pukcie. Niec a oaca aksalą a b iialą, ożliwą do uskaia w t staie wartość składowej etowej oetu pędu. Jakie wartości usiałb ieć współciki w tej kobiacji, ab prawdopodobieństwo uskaia w wiku poiaru składowej etowej oetu pędu wartości a wosiło 0%, wartości b-,% a każdej poostałc wartości bło takie sao? Zadaie 7 Dae są operator i ˆ ora i, gdie M jest operatore oetu pędu. M. Zapisać postać jawą powżsc operatorów, wrażając je popre odpowiedie operator różickowe.. Wiedąc, że operator składowc oetu pędu są eritowskie sprawdić, c operator i są: a liiowe, b eritowskie. Oblicć koutator: a [ M ˆ, ˆ M ] b [ M ˆ, ] c [[, ˆ ], ˆ M M ] d [[, ˆ ], ˆ M M ] e [[, ˆ ], ˆ M M ] Wskaówka: Wkorstaj reguł koutacje [W..6a,b,c] dla składowc oetu pędu. 6