Równanie Schrödingera dla elektronu w atomie wodoru Równanie niezależne od czasu w trzech wymiarach współrzędne prostokątne

Transkrypt

1 Równanie Schrödingera dla elektronu w atomie wodoru Równanie nieależne od casu w trech wymiarach współrędne prostokątne ψ ψ ψ h V m + + x y + ( x, y, ) ψ = E ψ funkcja falowa ψ( x, y, ) Energia potencjalna pryciągania elektrostatycnego ależy od odległości r od jądra atomu ma symetrię sferycną e ke V ( x, y, ) = V ( r) = = 4πε r r 1 9 k = = 8,988 1 Nm C, e = 1,6 1 4πε Współrędne sferycne r, θ, φ r = x + y + y θ = arccos, φ = arctg r x Równanie Schrödingera we współrędnych sferycnych funkcja falowa ( ) ψ r,θ,φ h mr ψ r + r r 1 sin θ ψ 1 ψ sinθ + V θ θ sin θ φ + () r ψ = E ψ 19 C Równanie Schrödingera dla elektronu w atomie wodoru Rodielenie miennych funkcja falowa jako ilocyn funkcji ψ( r, θ, φ) = R( r) P( θ ) F( φ) h d dr RF d dp RP d F PF sin () RPF RPF r + θ + + V r = E mr d r d r sinθ dθ dθ sin θ d φ mr Mnożymy równanie stronami pre i porądkujemy h RPF 1 d dr mr 1 d dp 1 d F r + [ E V () r ] = sinθ R d r d r h Psinθ dθ dθ Fsin θ d φ Lewa strona ależy tylko od odległości radialnej r a prawa od kątów θ i φ Obie strony musą być równe tej samej stałej, którą onacamy l(l+1). 1 d dr mr r + [ E V () r ] = l( l + 1) R d r d r h 1 d dp 1 d F l( l + 1) = sinθ Psinθ dθ dθ Fsin θ d φ równanie radialne równanie kątowe Równanie kątowe rodielamy na strony ależne od θ i φ 1 d F sinθ d dp = l( l + 1) sin θ sinθ F d φ P dθ dθ obie strony pryrównujemy do stałej -m Równanie dla F(φ) 1 d F = m F d φ ma rowiąanie F ( φ) = exp( imφ ) które jest jednonacne F φ + π = F φ gdy m jest licbą całkowitą. ( ) ( ) 1

2 Równanie Schrödingera dla elektronu w atomie wodoru m 1 d dp l( l + ) P = P sinθ Równanie funkcji kąta biegunowego P(θ) 1 sin θ sinθ dθ ma rowiąania w postaci stowarysonych funkcji Legendre a P ( θ ) = ( sinθ ) l l! m d d ( cosθ ) l+ m Zależność kątową rowiąań równania Schrödingera opisują funkcje kuliste Y θ, φ = P θ exp imφ ( ) ( ) ( ) Unormowane funkcje kuliste dla l=, 1, są podane w tabeli. Funkcje kuliste są funkcjami własnymi operatora kwadratu momentu pędu ( θ, φ) = l( l + 1) h Y ( θ, φ) ˆ L Y i operatora składowej momentu pędu Lˆ Y ( θ, φ) = mh Y ( θ, φ) Licby l i m są licbami kwantowymi, które określają kwadrat i składową wektora momentu pędu elektronu. l ( cos θ 1), l =,1,, 3,... m l dθ Wykresy kwadratu modułu funkcji kulistych Y l,m (θ,φ) w ależności od miennej u=cosθ

3 Zespolone funkcje kuliste Y l,m (θ,φ) kąta biegunowego θ θ π i kąta aymutalnego φ φ π. Prykładowe wykresy dla l=3, m=, 1,, 3. Wykresy biegunowe kwadratu modułu funkcji kulistych. Odległość od pocątku układu współrędnych do punktu na powierchni, mierona wdłuż prostej biegnącej w kierunku określonym pre kąty θ i φ, jest równa Y l,m (θ,φ). 3

4 Równanie Schrödingera dla elektronu w atomie wodoru h dr h l( l + 1) k e d Równanie radialne dla funkcji R(r) R R r + E = mr d r d r mr r r ma rowiąania wyrażone pre wielomiany Laguerre a () = l r R nl r Anl exp r Lnl na a h 1 a = =,59 1 m jest promieniem Bohra najmniejsej orbity atomu wodoru. k e m Licba kwantowa n=1,,3,... musi być więksa od licby kwantowej l. Energia elektronu jest określona pre licbę kwantową n E n k e m = ,6eV = h n n Funkcja falowa opisująca ruch orbitalny elektronu w atomie wodoru ψ n ( r, θ, φ) = R ( r) Y ( θ, φ) nl jest określona pre try licby kwantowe n, l, m. Stan podstawowy atomu wodoru n=1, l=, m= 1 r () ψ r = exp 3 πa a Objętość powłoki sferycnej dv = 4πr dr P 4 3 a r a () r dr = 4 π r ψ () r dr = r exp dr 4

5 Radialne funkcje własne R n,l (ρ) elektronu w atomie wodoru w ależności od odległości od jądra podielonej pre promień Bohra ρ=r/a. n=5 n=4 n=3 n= n=1 Radialne funkcje falowe, ich kwadraty i rokłady radialnej gęstości prawdopodobieństwa dla stanów elektronu w atomie wodoru o erowym momencie pędu l=. Poiome linie prerywane onacają wartości własne energii, cerwona linia potencjał kulombowski. 5

6 Stany atomu wodoru o głównej licbie kwantowej n= Stany o dużej głównej licbie kwantowej n Gdy orbitalna licba kwantowa ma najwięksą dowoloną wartość l=n-1 moment pędu jest ( l + 1) = h ( n ) n nh L = h l 1 orbital jest podobny do kołowej orbity w modelu Bohra atomu wodoru 6

7 Atom wodoru - licby kwantowe - główna licba kwantowa (n = 1,,3...) określa energię elektronu (numer powłoki elektronowej) - pobocna licba kwantowa (l =,1,...,n 1) określa wartość bewględną orbitalnego momentu pędu L (numer podpowłoki) - magnetycna licba kwantowa (m l = l,..., 1,,1,...,l) określa rut orbitalnego momentu pędu na wybraną oś - magnetycna spinowa licba kwantowa (m s =1/ lub m s = 1/) wskauje wrot spinu wględem wybranej osi J=L+S Wektory momentu pędu orbitalny i spinowy sumują się. Notacja spektroskopowa Powłoki Podpowłoki Orbitale l=3 3f m l =-3,-,-1,,+1,+,+3 N l= 3d m l =-,-1,,+1,+ n=4 l=1 3p m l =-1,,+1 l= 3s m l = M l= 3d m l =-,-1,,+1,+ n=3 l=1 3p m l =-1,,+1 l= 3s m l = L l=1 p m l =-1,,+1 n= l= s m l = K l= s m l = n=1 Poiomy energii atomu wodoru i prejścia spełniające regułę wyboru l=±1 7

8 Funkcje falowe elektronu w atomie wodoru - orbitale l= l=1 l= n=1 n= n=3 Gęstość prawdopodobieństwa naleienia elektronu - prekrój w płascyźnie x- (y=) ψ n,l,m (x,y=,) dla n=1,,3; l=,1,; m=. Kolor biały najwięksa gęstość. Obracając prekrój wokół osi można otrymać gęstość w prestreni trójwymiarowej. Kwadraty modułu trójwymiarowych funkcji falowych elektronu w atomie wodoru są ależne tylko od odległości od jądra r i kąta biegunowego θ. 8

9 Kstałty orbitali powłoki M n=3 9

10 Znacenie licb kwantowych Główna licba kwantowa n określa energię elektronu Pobocna (orbitalna) licba kwantowa l określa moment pędu elektronu E( n) = m Z ( 4πε ) h n e L = l( l +1)h e 4 1 Doświadcenie Einsteina de Haasa Z orbitalnym momentem pędu elektronu wiąany jest moment magnetycny µ e µ = L = µ B l( + 1) m e eh µ B = = 9,7 1 me µ B magneton Bohra 4 J/T Znacenie licb kwantowych Magnetycna licba kwantowa m l określa składową momentu pędu L = m l h i składową orbitalnego momentu magnetycnego elektronu e µ = L = ml µ B me W polu magnetycnym o indukcji B=[,,B ] skierowanej wdłuż osi moment magnetycny ma energię l= m l = m l =1 m l = m l =-1 m l =- Kwantowanie prestrenne momentu pędu potencjalną U=-µ B=-µ B Poiom energii o orbitalnej licbie kwantowej l> ulega roscepieniu na l+1 poiomów o energii ależnej od magnetycnej licby kwantowej m l E = µ B = m µ B Jest to obserwowane jako roscepienie linii widmowych w polu magnetycnym jawisko Zeemana. l B Z Roscepienie poiomów energii o l= i l=1. 9 anaconych prejść spełnia regułę wyboru m l =, ±1 i daje 3 różne wartości miany energii: E -µ B B, E, E +µ B B try linie widmowe. 1

11 Spin elektronu moment pędu i moment magnetycny Elektron ma wewnętrny moment pędu spin opisany licbą kwantową s=1/ S = S = h s( s + 1) = h 3, którego składowa może pryjmować dwie wartości: s = h i s = + h dla magnetycnej spinowej licby kwantowej m s =+1/, -1/. Składowa spinowego momentu magnetycnego elektronu może pryjmować dwie wartości µ =-m s gµ B, gdie g=,319 jest cynnikiem żyromagnetycnym. Doświadcenie Sterna-Gerlacha 19 r. W niejednorodnym polu magnetycnym na moment magnetycny diała siła: U B F = = µ W polu magnetycnym B energia spinu pryjmuje wartości: U + =+µ Β B dla m s =+1/ U - =-µ B B dla m s =-1/ W doświadceniu badano odchylenie wiąki atomów srebra i aobserwowano dwie linie na detektore, co odpowiada dwu wartościom magnetycnej spinowej licby kwantowej. Moment magnetycny atomu srebra jest równy spinowemu momentowi magnetycnemu pojedyncego elektronu. Spin i struktura subtelna Struktura subtelna: ruch elektronu wokół jądra wytwara pole magnetycne, które oddiałuje e spinowym momentem magnetycnym elektronu, co powoduje roscepienie linii widmowych tw. oddiaływanie spin-orbita Struktura subtelna wodoru Dublet sodowy 11