Mechanika teoretyczna

Transkrypt

1 ktestki geometcze Mecik teoetcz Wkłd 9, i ktestki geometcze figu płskic. Główe cetle osie ezwłdości. Pole powiezci Momet sttcz współzęde śodk ciężkości. Momet ezwłdości Momet odśodkow główe cetle osie ezwłdości. Pole powiezci Pole powiezci jko cłk z pól elemetc: d d Pole powiezci figu złożoej Pole powiezci figu złożoej z figu postc ówe jest sumie pól powiezci figu skłdowc. d d K d K i i Ms pole powiezci Śodek ciężkości G d dg Momet sił wpdkowej względem osi ów jest sumie mometów sił skłdowc: γd d γd γ γ G γd γ d γ 5 γ d γ γ d d γ 6 Momet sttcz pol względem osi () Sum iloczów elemetc pól powiezci d pzez ic współzędą względem osi (odległość ze zkiem), oejmując cłe pole. S d S d d Momet sttcz pol względem osi () Momet sttcz jest mometem zędu piewszego współzęd wstępuje w piewszej potędze. Jedostką mometów sttczc jest jedostk długości w tzeciej potędze [m,cm,mm ]. Zk mometu sttczego pol może ć dodti lu ujem. 7 8

2 Momet sttcz figu złożoc Współzęde śodk ciężkości Momet sttcz figu złożoej z figu postc ów jest sumie mometów sttczc figu postc. i S S S S K S i K i i i i S S S S K S i K i i i 9 d d S S S K K S K K Osie śodkowe () Osie śodkowe () Momet sttcz pol względem osi pzecodzącej pzez śodek ciężkości ów jest. Jeżeli figu m oś smetii to śodek ciężkości położo jest iej. S S Jeżeli figu m dwie osie smetii to śodek ciężkości położo jest ic pzecięciu. Jeżeli figu m śodek smetii to jest o śodkiem ciężkości. Momet ezwłdości pol Momet ezwłdości pol względem osi Momet ezwłdości pol są odpowiedikiem msowc mometów ezwłdości stosowc w dmice ł. Momet ezwłdości zędu dugiego kwdt współzędej. Jedostką mometu ezwłdości jest jedostk długości w czwtej potędze [m,cm,mm ]. Momet ezwłdości jest zwsze >. Momet ezwłdości pol względem osi jest sumą iloczów elemetc pól d pzez kwdt ic odległości od osi (współzęde osi postopdłej). d d d ieguow momet ezwłdości pol () ieguow momet ezwłdości pol () Momet ezwłdości pol względem puktu ów jest sumie iloczów pól elemetc d pzez kwdt ic odległości od iegu. ρ d d Sum mometów ezwłdości względem dwóc osi postokątego ukłdu współzędc o początku w ieguie jest stł i ów ieguowemu mometowi ezwłdości (iezleżie od ootu osi). ρ 5 6

3 ieguow momet ezwłdości pol () Odśodkow momet ezwłdości () d ρ ρ ( ) d d d d d d d ρ 7 Momet dewicji, zoczei. Sum iloczów elemetc pól d pzez ilocz współzędc oejmując cłe pole. d d 8 Odśodkow momet ezwłdości () Momet zędu dugiego ilocz współzędc. Jedostką odśodkowego mometu ezwłdości jest jedostk długości w czwtej potędze [m,cm,mm ]. Zk mometu odśodkowego może ć dodti lu ujem. Momet ezwłdości pól figu złożoc 9 Odśodkow momet ezwłdości () Momet odśodkow ów jest jeżeli jed z osi jest osią smetii. Lustze odicie figu lu oót o 9 o względem początku ukłdu współzędc powoduje zmię zku mometu odśodkowego pzeciw Rówoległe pzesuięcie osi ukłdu współzędc () Momet ezwłdości figu złożoej z figu postc ów jest sumie mometów ezwłdości figu postc: momet ezwłdości: i K i K i odśodkow momet ezwłdości: K i d Rówoległe pzesuięcie osi ukłdu współzędc () Twiedzeie Steie () Momet ezwłdości: ( ) d d d d d S Jeżeli osie, z któc dokoujem tsfomcji są osimi włsmi, czli: Momet ezwłdości względem osi ówoległc do osi włsc: ( ) d d d d d S

4 Twiedzeie Steie () Momet ezwłdości względem osi śodkowc (włsc) jest jmiejsz z wszstkic mometów względem osi ówoległc do osi włsc. Pzesuięcie iegu ρ d d c c c 5 6 Tsfomcj mometów odśodkowc Twiedzeie Steie dl mometów odśodkowc d d d d d d S S d 7 Jeżeli osie, z któc dokoujem tsfomcji są osimi włsmi, czli: Momet odśodkow względem osi ówoległc do osi włsc: >, > <, > 8 Pzkłd () Pzkłd () d d d 9 Momet ezwłdości względem osi pzecodzącc pzez oki postokąt: d d d d d d d d d d d d d d d d d d Pzkłd () Pzkłd () Momet ezwłdości względem osi włsc owe gice cłkowi: d d d d d d d d d d d dd d d d d d Momet ezwłdości względem osi włsc z tw. Steie: d d d ( )

5 Pzkłd () Pzkłd () d d d d d d d d d d Pzkłd () Pzkłd () d d d dd d dd dd d d d 5 d d d dd d dd d d d d 6 Pzkłd (5) Pzkłd () d ρdϕdρ d d d d dd d dd d d d d 8 7 ρsiϕ dρ dϕ ρ ρcosϕ ρdϕ ϕ π π ( cos ) ρ ϕ ρdρdϕ cos ϕ ρ dρdϕ π π ρ π cos ϕ dϕ cos ϕdϕ siϕcosϕ 8 Oót ukłdu współzędc () Oót ukłdu współzędc () cos si si cos d d d d cos si si cos 9 ( si cos) d d si d sicosd cos d si cos si cos ( cos si) d d d d d cos si cos si cos si si cos

6 Oót ukłdu współzędc () ( si cos)( cos si) d d cos d sicosd sicosd si d ( ) sicos ( cos si ) Oót ukłdu współzędc () si cos si cos cos si si cos ( ) sicos ( cos si ) cos si cos cos sicos si Oót ukłdu współzędc () si cos si cos Oót ukłdu współzędc () cos si si cos cos si cos cos sicos si cos si cos cos sicos si cos cos si ( ) ( ) cos si cos cos si ( ) ( ) cos si Oót ukłdu współzędc () ( ) sicos ( cos si ) cos si cos cos ( ) si si cos sicos si cos si cos cos Oót ukłdu współzędc (D) ( ) ( ) cos ( ) ( ) cos ( ) si cos si si 5 6 Wuek Wuek wstępowi ekstemum Zeowie się mometu odśodkowego: ( ) si cos Kąt ootu osi: tg 7 ( ) ( ) cos si d ( )si cos d ( ) ( ) cos si d ( )si cos d d d d d, ekstemle 8

7 Ekstemle wtości mometów ezwłdości cos cos tg tg tg Ekstemle wtości mometów ezwłdości si si tg tg tg tg tg ( ) 9 5 Ekstemle wtości mometów ezwłdości Ekstemle wtości mometów ezwłdości cos si ( ) ( ) ( ) cos si ( ) ( ) ( ) ( ) 5 cos si ( ) ( ) ( ) cos si ( ) ( ) ( ) ( ) 5 Ekstemle wtości mometów ezwłdości Główe cetle osie ezwłdości m mi ± Osie wzjemie postopdłe względem któc momet odśodkow ów jest to osie główe ezwłdości. Jeżeli są oe osimi śodkowmi, to są to główe cetle osie ezwłdości., m mi 5 5 Oót z osi główc dowole Koło Mo () cos si si cos cos si cos momet odśodkowe mi O momet ezwłdości si si cos sicos si cos cos si sicos cos si ( )/( )/ m 55 56

8 Koło Mo () Etp gficzego wzczi mometów ezwłdości względem śodkowc osi główc: zzczeie ukłdzie współzędc puktów : (J, -J ) i (J, J ); zzczeie śodk okęgu O jko puktu pzecięci osi zędc i liii łączącej pukt ; wsowie okęgu o pomieiu O. Koło Mo () Pukt pzecięci okęgu i osi zędc wzczją wtości ekstemlc mometów ezwłdości względem śodkowc osi główc. Kąt pomiędz osią zędc; liią jest ów o. Ukłd współzędc ocm o kąt o pzeciwie do wskzówek zeg Wzo () Wzo () Figu, pole powiezci Współzęde śodk ciężkości w ukłdzie Momet ezwłdości Momet odśodkowe Figu, pole powiezci Współzęde śodk ciężkości w ukłdzie Momet ezwłdości Momet odśodkowe Postokąt Tójkąt postokąt Wzo () Wzo () Figu, pole powiezci Współzęde śodk ciężkości w ukłdzie Momet ezwłdości Momet odśodkowe Figu, pole powiezci Współzęde śodk ciężkości w ukłdzie Momet ezwłdości Momet odśodkowe Koło d d d π 6 Półkole d d π π 8, π π 8 8 9π, Wzo (5) Pzkłd Figu, pole powiezci Współzęde śodk ciężkości w ukłdzie Momet ezwłdości Momet odśodkowe Ćwitk koł d d π π 6, π, π π 8 8 9π,59 π 8 8 9π, π,65 6 6

9 Podził figu poste Pole powiezci : 6 cm : cm : 6 cm : 9 cm : cm : 6 cm π.87 m 8.7cm 7. m 7cm.7 m 7cm 9. m 9cm 6.7cm.6 m Momet sttcze () Momet sttcze () S S 7cm S 7. 5 m π S S 6cm S.6 m S S 6cm S.6 m S S S S S S 576cm S 5.76 m S S 7cm S 7. 5 m S S 7cm S 7. 5 m π S S cm S. m S S 6cm S.6 m S S 9cm S 9. 5 m S S S S S S 6cm S 6. m Współzęde śodk ciężkości Wit tsfomcji mometów ezwłdości S.7cm.m S.9cm.9 m Wit Tsfomcj z osi włsc kżdej z figu skłdowc do osi dowolc, stępie z tc osi dowolc do osi włsc cłej figu złożoej. Wit Tsfomcj z osi włsc kżdej z figu skłdowc do osi włsc cłej figu złożoej, któe dl kżdej z figu postc są dowolmi (ie pzecodzą pzez ic śodki ciężkości) Wit Momet ezwłdości () π 5.69cm.55 6 m 6 86cm m 6 78cm.78 5 m 6 59cm m 9.69cm.9 5 m Wit Momet ezwłdości () π 5.69cm.55 6 m 6 56cm.56 5 m 6 9.5cm.9 5 m 6 9.5cm m cm m 7 7

10 Wit Momet odśodkowe () 6cm.6 6 m 8 96cm.96 5 m 7 6.5cm.6 5 m cm m 86cm.86 5 m Momet ezwłdości względem osi włsc 59.85cm.6 5 m 96.cm.96 5 m 599.8cm m Wit Momet ezwłdości () π cm.55 6 m 8 9π π.57cm. 6 m 6 8.7cm.8 6 m 6 6.6cm.6 6 m 7 Wit Momet ezwłdości () π π 7.7cm.7 5 m π 7.96cm.8 5 m cm.8 6 m cm m cm.6 5 m 96.cm.96 5 m Wit Momet odśodkowe 8 9π π π cm m.9cm. 6 m 7 9.9cm.9 6 m cm.86 6 m 75 Główe cetle osie ezwłdości () ψ ψ t ψ.56d ψ.deg ψ.8d 6. deg cm m Główe cetle osie ezwłdości () Ekstemle wielkości mometów ezwłdości m m.9cm m. 5 m mi mi cm mi m 79 8

11 Koło Mo Pzkłd 8 8 Podził figu poste Pole powiezci. m cm π.97 m 9.7cm c d 6. m 6cm 7.7cm 7.7 m 8 8 Momet sttcze () Momet sttcze () S S 8cm S 8. 5 m S S.cm S. m π S d S 6cm S 6. 6 m S S S S S.cm S. m S S cm S. m S S 96.5cm S.96 m S c S 5cm S 5. 5 m S S S S S.5cm S. m Współzęde śodk ciężkości Wit Momet ezwłdości () S.9cm.9 m S.7cm.7 m.cm. 6 m π 8 5.cm.5 5 m 8 9π π c d 6 d 9cm 9. 8 m 7.755cm.75 5 m 87 88

12 Wit Momet ezwłdości ().cm. 5 m π 7.85cm.7 5 m 8 c d 6 c 56cm.56 6 m.58cm.5 5 m Wit Momet odśodkowe () cm. 6 m.65cm. 5 m π c d d 7 c 5cm 5. 7 m 58.65cm.58 5 m Momet ezwłdości względem osi włsc cm m 86.65cm.86 6 m 7.6cm 7. 7 m 89 Wit Momet ezwłdości () 6.cm.6 6 m π 8 8 9π π.9cm. 6 m c d 6 d 67.99cm m cm m 9 9 Wit Momet ezwłdości () 6.9cm.69 6 m π 8.977cm.9 6 m 8 c d 6 c 99.75cm m 86.65cm.86 6 m Wit Momet odśodkowe 7.58cm.75 7 m ( ).589cm.59 7 m π c d 7 d c 76.5cm m 7.6cm 7. 7 m Główe cetle osie ezwłdości () 9 Główe cetle osie ezwłdości () 9 ψ ψ t ψ.999d ψ 57.deg ψ.5d 8.6deg 95 96

13 Ekstemle wielkości mometów ezwłdości Koło Mo m m 5.58cm m m mi mi 57.cm mi.57 6 m Pzkłd ktestki geometcze c Wzczć położeie główc cetlc osi ezwłdości i główe momet ezwłdości pzekoju złożoego z ksztłtowików wlcowc: c c k k ceowik c.cm c 9cm c 8cm e c.cm c mm c m c kątowik 8 k 9.cm k 76cm k 98.cm Ι k 56.8cm k 7.cm e k.9cm tgα.5 mk k k tgα k mk k k m k 95.5cm k ceowik kątowik 8 99 e k.95cm k mm Momet sttcze () Momet sttcze () Pol powiezci: f k c f 5.cm f 5. m Współzęde śodków ciężkości: k c k e k k.9m k.9cm c c k k Współzęde śodków ciężkości: k e k k.95cm k.m c e c c.m c.cm c c k k c c c cm c.m Momet sttcze: S c c c S c cm S c. m S k k k S k 7.67cm S k.77 m S f S c S k S f 59.67cm S f 5.97 m Momet sttcze: S c c c S c 6.7cm S c m S k k k S k 7.5cm S k.75 5 m S f S c S k S f 7.77cm S f.78 5 m Współzęde śodk ciężkości pzekoju Momet ezwłdości i momet odśodkow k k k c c c S f f.56cm 5.56 m c k.95cm. 5 m k k k c c c.cm. 6 m c k k k S f f.75cm.7m c k k k k... c c ( c ) ( c ).cm. 8 m c

14 Główe cetle osie ezwłdości () ψ ψ t ψ.5d ψ.68deg ψ.d.deg c c k k 5 Ekstemle wielkości mometów ezwłdości m m.5cm m. 5 m mi mi.9cm mi. 6 m c c k k 6 Koło Mo 7