Prawo Coulomba i pole elektryczne

Transkrypt

1 Prwo Coulomb i pole elektryczne Mciej J. Mrowiński 4 pździernik 2010 Zdnie PE1 2R R Dwie młe kulki o msie m, posidjące ten sm łdunek, umieszczono w drewninym nczyniu, którego przekrój wygląd tk jk n rysunku powyżej (prostopdłościn z wyciętym kulistym frgmentem o promieniu R). Kulki pozostją w równowdze, kiedy dzieli je odległość R. Wyzncz łdunek zgromdzony w kulkc. Odpowiedź: q = R m g k 3 Zdnie PE2 l 2θ Dwie kulki o msie m kżd zczepione są n końcc przyczepionyc w tym smym miejscu do sufitu sznurków o długości l. Obie kulki nłdowne są tym smym, nieznnym łdunkiem. Jki łdunek zgromdzony jest w kulkc, jeżeli ukłd znjduje się w równowdze gdy kąt pomiędzy sznurkmi wynosi 2θ? Odpowiedź: q = 2l sinθ m g tgθ k Zdnie PE3 Dwie kulki zwieszono n końcc przyczepionyc w tym smym miejscu do sufitu sznurków o długości l. Obie kulki nłdowne były tym smym łdunkiem. Kulki powoli odcylno ż do osiągnięci równowgi. W pewnym momencie, po osiągnięciu stnu równowgi, kulki zczęły trcić swój łdunek. Wyzncz szybkość, z jką kulki trcą łdunek ( q), jeżeli dzieląc je odległość x zmieni się w nstępujący spo- Skompilowne z wielu źródeł. Tylko do użytku n zjęcic. 1

2 sób: ẋ = α/ x, gdzie α to pewn ujemn stł. Złóż, że proces ten zcodzi n tyle wolno, że stn równowgi jest zwsze utrzymny i że x l. Odpowiedź: d q d t = 3 2 α m g 2l k Zdnie PE4 3q q x d Dw łdunki, 3q i q, znjdują się w odległość d od siebie. W jkiej odległości od łdunku 3q (licząc wzdłuż linii łączącej ob łdunki) nleży ustwić trzeci łdunek, jeżeli ccemy, żeby znjdowł się on w równowdze? Odpowiedź: x = 1 2 (3 3)d Zdnie PE5 b Dwie identyczne, cienkie cił o długości umieszczono tk, że ic osie pokrywły się odległość pomiędzy środkmi wynosił b. Wyzncz wrtość siły, z jką jedno z tyc cił dził n drugie, jeżeli w kżdym z nic zgromdzony jest łdunek Q. Złóż, że rozkłd łdunku jest równomierny. Odpowiedź: F = kq2 2 ln b 2 b 2 2 Zdnie PE6 Cząstk o łdunku q i msie m wltuje z prędkością v x (równoległą do osi X ) pomiędzy dwie nłdowne łdunkmi o przeciwnyc znkc powierzcnie o długości l. O ile zostnie odcylon trjektori cząstki w kierunku pionowym (wzdłuż osi Y ), jeżeli ntężenie pol elektrycznego pomiędzy powierzcnimi wynosi E i jest z dobrym przybliżeniem stłe? Odpowiedź: y = qe l 2 2mv 2 x Zdnie PE7 W centrlnym punkcie cienkiego przewodnik w ksztłcie okręgu o promieniu umieszczono łdunek punktowy Q. O ile zwiększył się n skutek tego sił nciągu w przewodniku, jeżeli cłkowity łdunek w nim zgromdzony wynosi q? Odpowiedź: T = qq 8π 2 ɛ 0 2 2

3 Zdnie PE8 P q -q 2 Dw łdunki punktowe (q i q) umieszczono w odległość 2 do siebie. Wyzncz wrtość ntężeni pol elektrycznego w punkcie P (ptrz rysunek). Znne są, i wrtość łdunku q. Odpowiedź: E() = 2kq ( ) 3 /2 Zdnie PE9 Płski, pomijlnie cienki pierścień w ksztłcie okręgu o promieniu nłdowno jednorodnie łdunkiem Q. Wyzncz wrtość pol elektrycznego dl punktu leżącego n osi pierścieni w odległość od jego środk. Odpowiedź: E() = kq ( ) 3 /2 Zdnie PE10 Płski dysk o promieniu nłdowno jednorodnie łdunkiem Q. Wyzncz wrtość pol elektrycznego dl punktu leżącego n osi dysku w odległość od jego środk. Odpowiedź: E() = 2kQ

4 Zdnie PE11 2 Wyzncz wrtość ntężeni pol elektrycznego w odległości od cienkiego przewodnik o długości 2. Odległość liczon jest wzdłuż przecodzącej przez środek przewodnik osi prostopdłej do niego. Łdunek zgromdzony w przewodniku wynosi Q. Czemu odpowid uzyskny wynik przy? Odpowiedź: E() = kq Zdnie PE12 x 2 Wyzncz wrtość ntężeni pol elektrycznego w odległości x od cienkiego przewodnik o długości 2. Odległość x liczon jest wzdłuż osi przecodzącej przez cłą długość przewodnik. Łdunek zgromdzony w przewodniku wynosi Q. Odpowiedź: E(x) = kq x(2+x) Zdnie PE13 Przewodnik w ksztłcie połowy okręgu o promieniu nłdowny jest równomiernie łdunkiem Q. Wyzncz wrtość ntężeni pol elektrycznego w środkowym punkcie okręgu, którego część stnowi przewodnik. Odpowiedź: E = 2kQ π 2 Zdnie PE14 Wyzncz strumień stłego pol elektrycznego E = [E x, E y, E z ] przecodzący przez frgment płszczyzny zdnej jko z x b y = 0. Złóż, że powierzcni frgmentu wynosi S. Odpowiedź: Φ = ± E x +b E y E z b 2 S 4

5 Zdnie PE15 E H Oblicz strumień pol elektrycznego przecodzący przez połowę stożk o wysokości H i promieniu podstwy. Złóż, że pole jest stłe, równoległe do podstwy, jego wrtość wynosi E. Odpowiedź: Φ = E H 2 Zdnie PE16 Nd płskim dyskiem n wysokości umieszczono łdunek q. Jki jest promień dysku, jeżeli strumień przecodzącego przez niego pol elektrycznego jest równy 1 4 cłkowitego strumieni (to znczy strumieni przez powierzcnię zmkniętą, zwierjącą w sobie łdunek q)? Odpowiedź: = 3 Zdnie PE17 q 2 Oblicz strumień pol elektrycznego przecodzący przez powierzcnię połowy sfery o promieniu, jeżeli łdunek q znjduje się w odległości od jej środk. Odpowiedź: Φ = 2πkq

6 Zdnie PE18 Kulę o promieniu nłdowno jednorodnie łdunkiem Q. Wyzncz wrtość pol elektrycznego w funkcji odległości od środk kuli. Odpowiedź: E(r ) = k Q r dl r [0,], E(r ) = k Q dl r ], [ 3 r 2 Zdnie PE19 -Q +2Q c b W środku wydrążonej kuli, której zewnętrzny promień wynosi wewnętrzny b, umieszczono kulę o promieniu c. Kul wydrążon nłdown jest łdunkiem Q, kul wewnętrzn łdunkiem 2Q. Kule są przewodnikmi łdunek rozłożony jest w nic równomiernie. Wyzncz wrtość ntężeni pol elektrycznego w funkcji odległości od środk wydrążonej kuli. Odpowiedź: E(r ) = 0 dl r [0, c], E(r ) = 2kQ r 2 [b,], E(r ) = kq dl r ], [ r 2 dl r ]c, b[, E(r ) = 0 dl r Zdnie PE20 Jeden z wcześniejszyc modeli tomu (tk zwny model cist z rodzynkmi, stworzony przez odkrywcę elektronu, J.J. Tomson) zkłdł, że tom wodoru skłd się z jednorodnie nłdownej kuli o promieniu R i cłkowitym łdunku +e, w której wnętrzu znjduje się elektron o łdunku e. Wykż, że n wycylony z punktu równowgi w tkim tomie elektron dził sił rmoniczn. Jk będzie częstotliwość drgń elektronu, jeżeli jego ms to m e? Odpowiedź: f = 1 2π ke 2 R 3 m e Zdnie PE21 Gęstość objętościow łdunku zgromdzonego w kuli o promieniu R wynosi p(r ) = p 0 (1 r /R), gdzie r to odległość od środk kuli. Wyzncz wrtość ntężeni pol elektrycznego w funkcji odległości od środk kuli. Dl jkiej odległości od środk kuli wrtość ntężeni pol elektrycznego będzie njwiększ? Odpowiedź: E(r ) = 4 3 πk p 0 r 1 3r kπ p 4R dl r [0, R], E(r ) = 0 R 3 dl r ]R, [. 3r 2 Pole njwiększe dl r = 2 3 R 6

7 Zdnie PE22 Wyzncz wrtość ntężeni pol elektrycznego w odległości r od nieskończenie długiego, cienkiego przewodnik. Gęstość liniow łdunku wynosi λ. Odpowiedź: E(r ) = k 2λ r Zdnie PE23 Nieskończoną płszczyznę nłdowno jednorodnie tk, że gęstość powierzcniow łdunku wynosi σ. Wyzncz wrtość pol elektrycznego dl punktu znjdującego się n wysokości nd płszczyzną. Odpowiedź: E() = σ 2ɛ 0 Zdnie PE24 W nieskończonej płszczyźnie nłdownej jednorodnie wycięto otwór w ksztłcie koł o promieniu. Gęstość powierzcniow łdunku wynosi σ. Wyzncz wrtość pol elektrycznego dl punktu, który znjduje się n osi wyciętego otworu i odległy jest o od jego środk. Odpowiedź: E() = σ 2ɛ Zdnie PE25 E=? 2 4 Z izoltor w ksztłcie kuli o promieniu 2 usunięto kulisty frgment o promieniu (ptrz rysunek). Jkie będzie ntężenie pol elektrycznego w powstłej pustej przestrzeni? Złóż, że izoltor nłdowny był jednorodnie łdunkiem o gęstości objętościowej p. Odpowiedź: E = p 3ɛ 0 ẑ 7

8 Zdnie PE26 W nieskończenie długim, cylindrycznym izoltorze wycięto cylindryczną wnękę (również nieskończenie długą). Jkie jest ntężenie pol elektrycznego wewnątrz wnęki, jeżeli jej oś przesunięt jest o wektor od osi izoltor? Gęstość objętościow łdunku w izoltorze jest stł i wynosi p. Odpowiedź: E = p 2ɛ 0 8