Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
|
|
- Laura Bednarek
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Zadanie. Napisz definicje Heinego następujących granic: a) lim 0 f) = 0 b) lim f) = c) lim f) = d) lim e + f) = e) lim f) = Zadanie. Napisz definicje Cauchy ego następujących granic: a) lim 0 f) = 0 b) lim f) = e c) lim f) = d) lim + f) = e) lim f) = 5 Zadanie 3. Naszkicuj przykładowe wykresy funkcji f : R R, które spełniają jednocześnie wszystkie podane warunki: a) lim f) =, lim f) = 3, lim f) = 0 b) lim f) =, lim 0 f) = 0, lim 0 + f) =, lim f) = c) lim f) = 0, lim 3 f) =, lim f) = d) lim 0 f) nie istnieje, lim 4 f) = 4, lim 4 + f) =, lim f) = Zadanie 4. Stosując definicję Heinego granicy funkcji, wykaż że nie istnieją granice: a) lim sin b) lim 0 +e f) lim sin +) +sin c) lim 0 3 d) lim 3 e) lim e sin g) lim h) lim 0 cos i) lim tg Zadanie 5. Obliczając granice jednostronne sprawdź, czy istnieją następujące granice: a) lim + b) lim 0 e c) lim 0 d) lim 0 e) lim sgn ) sgn 3 ) Zadanie 6. Niech lim 0 f) = oraz lim 0 g) = 5. Oblicz lim f) 3g) + f)g) )g) ] oraz lim g) f) 0 g) g)) )].
2 Zadanie 7. Podaj przykłady funkcji f i g takich, że nie istnieją granice właściwe ani niewłaściwe) lim 0 f), lim 0 g), ale istnieją granice właściwe: a) lim 0 f) + g)] b) lim 0 f) g)] c) lim 0 f) g) Zadanie 8. a) Uzasadnij, że lim 0 f 3 ) = g lim 0 f) = g. d) lim 0 f)] g) b) Podaj przykład funkcji f takiej, że istnieje lim 0 f 4 ), ale nie istnieje lim 0 f). Zadanie 9. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic oblicz: a) lim a n n +a n n +...+a +a 0 ) b) lim +4 + c) lim 4 d) lim 4 + e) lim f) lim g) lim h) lim i) lim j) lim k) lim n) lim l) lim m) lim o) lim 7 3 p) lim 0 q) lim r) lim ) s) lim 0 ++) ) 0 t) lim u) lim v) lim +m + 0 w) lim ) lim y) lim + + ) z) lim ) ab) lim bc) lim 0 +4 cd) lim 4 + de) lim 4 4 ) ef) lim ) fg) lim gh) lim kl) lim ) hi) lim 0 op) lim 0 sinh sinh pq) lim st) lim ij) lim lm) lim mn) lim 0 6 qr) lim 4 sin cos cos sin jk) lim no) lim 0 3 arctg rs) lim sin cos tg ) 3 0 sin +sin sin 3 sin + tu) lim sin ln + )) sin ln )] Wskazówka: wzór na różnicę sinusów) uv) lim arccos + ) Zadanie 0. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach oblicz: a) lim 0 sin b) lim +sin cos 3 ln c) lim d) lim + e) lim +) ln 3 +) f) lim e cos g) lim 0 h) lim Zadanie. Korzystając z twierdzenia o dwóch funkcjach oblicz: a) lim sin ) b) lim 0 c) lim 3 3 d) lim ctg Zadanie. a*) Wykorzystując definicję Cauchy ego granicy funkcji uzasadnij następujący fakt:
3 Jeśli funkcje f i g są określone w sąsiedztwie punktu 0 oraz lim 0 f) = 0, zaś funkcja g jest ograniczona, to wówczas lim 0 f)g) = 0. Powyższe stwierdzenie pozostaje prawdziwe, jeśli zastąpimy 0 przez ±. b) Wykorzystując powyższy fakt oblicz granice: lim sin, lim 0 cos, lim + sin, lim sin + sin ), lim arctg. Zadanie 3. Posługując się faktem lim 0 sin arcsin lim 0 =, lim 0 arctg = oraz lim 0 tg =, lim 0 sinα) α = uzasadnij, że =, dla α 0. Zadanie 4. Posługując sie faktem lim 0 + ) = e, oblicz: a) lim 0 log a +) a b) lim 0, gdzie a > 0 c) lim 0 +)α, gdzie α R Jakie granice otrzymujemy jeśli a = e? WSKAZÓWKA do b): Podstaw u = a i skorzystaj z podpunktu a). WSKAZÓWKA do c): Użyj podpunktu a). Zadanie 5. Korzystając ze znanych granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych takich jak sin tg arcsin arctg a lim 0 =, lim 0 =, lim 0 =, lim 0 =, lim 0 = ln a dla log a > 0, lim a +) 0 = log a e, lim 0 + ) = e, lim ± + ) +) = e, lim α 0 = α) oblicz: a) lim 0 sin 6 4 ] + tg 4 6 b) lim 0 c) lim sin 5 7 sin 0 + ] tg sin 3 tg d) lim sin ] + cos e) lim cos tg f) lim sin sin ) 0 g) lim 3 0 h) lim 0 sin 5 sin 3 sin i) lim 8 8 sin 8 8 ) j) lim +cos sin k) lim arcsin ) 4 l) lim 0 sin tg4 sin m) lim 4 sin 0 n) lim 3 ) sin 7 ) 0 sin 4 ) sin 6 ) o) lim 4 cos cos 4 sin sin 4 Wskazówka: wzory na sumy i różnice wartości funkcji tryg.) p) lim 0 cos cos 5 r) lim 0 sin 5 s) lim 0 sin +tg tg t) lim 0 )tg u) lim 0 ctg v) lim sin ctg w) lim 0 sin 3 ctg5 ) lim 0 arctg tg y) lim sin + ) z) lim sin ab) lim e 0 + ] 3 sin ] de) lim 0 sin ) 3 3tg) 3 +4 hi) lim sin ) 4 ef) lim 7 sin 7) 49 4 bc) lim 8 0 cd) lim e ] tg) tg tg5) fg) lim ) + ) ) ij) lim 0 sin 4 sin cos 5 5) cos 7 7) cos 9 9) cos 3 3) jk) lim )tg gh) lim 0 tg sin 3 3
4 kl) lim )tg tg lm) lim 7+0) cos 5 mn) lim sin 4 5) 0 cos ) sin sin ) no) lim sin 5 ) op) lim tg 3 4) sin +3 ) 7 49 ) ctg 47 )] tg7 7) 3 ] ln +) ln + pq) lim 0 qr) lim 3 ) ln+4 e 0 rs) lim ) ln cos ) st) lim 3 0 tu) lim e ln e uv) lim 0 ln cos ) sin vw) lim 0 + ) ctg Oblicz najpierw granicę ln + ) ctg ) w) lim 0 sin +arctg5+7 ln +3+sin )+e y) lim 0 + 3) 7 yz) lim + α) lim ) β) lim 5 + ) ) ) γ) lim + 3 δ) lim 3 4+) 6+ ε) lim +5+) + ζ) lim 3 ) η) lim 0 + sin θ) lim +3tg) ctg ι) lim 0 κ) lim ) + 3 µ) lim 3 4 ) 4 o) lim sin + sin ln ν) lim +) ξ) lim + ln 3 +) 0 + arcsin 3 3 arctg ) λ) lim +cos ) ) ) lim 4 sin )tg ρ) lim ln + ) ln σ) lim +tg +sin 0 τ) lim 3 0 +e ) v) lim + ) ϕ) lim ) log χ) lim a ) + +b + +c + 0, dla a, b, c > 0 a+b+c ) sin ψ) lim 0 + sin ω) lim + ) ln + ) + ) ln + ) + ln ] αβ) lim 3 5arctg 3) 6 ] sin 3 + 5) tg 3 6) 5arctg 3) βγ) lim 6 ] 3 3) arcsin 3 γδ) lim ) sin 3 + 5) tg 3 9) δε) lim 7 3 sin 8 )] tg + 3) sin ) ] Zadanie 6. Posługując się faktem lim log a = 0, dla a >, oblicz: a) lim 0 ln b) lim 0 sin c) lim ln ) Zadanie 7. Obliczając granice lewo- i prawostronne, zbadaj czy istnieją granice, bądź też oblicz podane granice jednostronne: a) lim b) lim ) c) lim +3 4 d) lim 3 9 e) lim 3 9 f) lim e 3 g) lim 0 )e h) lim 0 +e i) lim 5 e 5 j) lim 5 e +5 k) lim arctg l) lim 0 cos m) lim 0 8 n) lim ctg arcctg o) lim + ln p) lim 0 cos sin q) lim ++ r) lim 3 s) lim tg ) t) lim 0 e e + u) lim + sgn ) sgn 3 ) v) lim 0 Zadanie 8. Obliczając granice jednostronne sprawdź, czy istnieją granice: 4
5 { sin dla > 0 a) lim 0 f), gdzie f) = sin dla < 0 { dla 0, ] b) lim f), gdzie f) = dla, ] c) lim 0 sgn d) lim 0 f), gdzie f) = e) lim 0 f), gdzie f) = Zadanie 9. Dana jest funkcja f) = { arctg dla > 0 0 dla 0 sin 3 dla > 0 dla = 0 +6 dla < 0 + dla 0, ) dla, ) dla, 3] a) Naszkicuj jej wykres. b) Badając granice jednostronne sprawdź, czy istnieją granice lim f), lim f).. Zadanie 0. Zbadaj, czy istnieją granice lim 0 cos Zadanie. Dany jest wykres funkcji f: oraz lim 0 cos. Oblicz, jeśli istnieją: a) f 4), lim 4 f) b) f), lim f) c) f6), lim 6 f) Odpowiedzi do rozdziału Zadanie 5. a) b) d) nie c) e) tak Zadanie oraz 04 Zadanie 7. a) f) = cos, g) = cos b) f) = sin, g) = sin c) f) = g) = 5 + cos d) f) = ), g) = Zadanie 8. b) f) = sgn 5
6 Zadanie 9. a) gdy a n > 0, gdy a n < 0 b) c) 4 d) e) f) 7 g) h) 0 i) 5 j) k) 5 l) 6 m) n) 3 o) 7 p) 3 q) 0 r) s) t) 0 u) 0 v) m w) ) y) z) ab) bc) 4 cd) de) 6 4 ef) fg) gh) hi) ij) jk) granica nie sitnieje kl) lm) mn) no) 0 op) pq) qr) rs) st) 3 tu) 0 uv) 3 Zadanie 0. a) 0 b) c) d) 3 e) log 3 f) 0 g) h) 3 Zadanie. a) b) c) d) Zadanie. b) 0 we wszystkich przykładach Zadanie 5. a) 7 b) 6 c) d) e) f) g) h) i) 8 j) k) l) m) 6 n) o) p) r) s) t) u) v) w) 3 ) 0 5 y) ln 4 ln 8 z) ab) + ln 3 ln bc) cd) 46 de) ef) 0 fg) ln 7 ln gh) hi) ij) jk) kl) lm) mn) 0 no) op) pq) qr) rs) 0 st) tu) uv) vw) w) 3 y) e yz) α) e 0 β) e 3 γ) e e e δ) e ε) e ζ) e η) e θ) e 3 ι) e κ) e 5 λ) e µ) 5 ν) ξ) o) 3 ) e ρ) σ) τ) e v) ϕ) ln χ) a a b b c c ) a+b+c ψ) e ω)0 αβ) βγ) 0 γδ) 3 δε) 3 7 Zadanie 6. a) 0 b) c) Zadanie 7. a) lewostronna, prawostronna b) granica istnieje c) lewostronna, prawostronna d) lewostronna, prawostronna e) lewostronna, prawostronna f) lewostronna, prawostronna 0 g) lewostronna 0, prawostronna h) 0 granica istnieje i) lewostronna 0, prawostronna j) lewostronna 0, prawostronna k) lewostronna, prawostronna l) m) 0 granica istnieje n) granica istnieje o) p) q) 0 r) s) 0 t) u) v) 0 granica istnieje Zadanie 8. a) lewostronna 0, prawostronna nie istnieje b) granica istnieje c) lewostronna, prawostrona d) 0 granica istnieje e) 3 granica istnieje Zadanie 9. b) Pierwsza z granic istnieje i wynosi, druga nie istnieje. Zadanie 0. Granice nie istnieją. Zadanie. a) nie istnieje, b) 4, nie istnieje c) oraz 5 6
7 Ciągłość funkcji jednej zmiennej Zadanie. Zbadaj ciągłość funkcji w ich dziedzinach). W punktach nieciągłości zbadaj ciągłość jednostronną. Określ rodzaj punktów nieciągłości. { 5 dla 5 a) f) = +5 0 dla = 5 { c) f) = sin dla 0 0 dla = 0 dla, ) e) f) = dla = g) f) = 0 dla > dla 0 0 dla 0 < < log dla b) f) = d) f) = { sin dla 0 dla = 0 { dla + dla > dla f) f) = dla < < 0 dla 0 { cos dla h) f) = dla < i) f) = lim n n n n +n j) f :, ) R, f) = lim n + n k*) f) = sin ) WSKAZÓWKA do k): Dla obliczenia lim k f), k Z zastosuj tw. o trzech funkcjach. l) f) = lim e n + n, R m) f) = lim e n + n n 4 n + n +, 0 n Zadanie 3. Oblicz jeśli istnieje) lim 0 f). Czy funkcja f jest ciągła w zerze? a) f) = c) f) = e 0 ; > 0 5 ; = 0 sin 3 : < 0 e ; > 0 arctg ; = 0 5 +) sin 3 sin ; < 0 b) f) = e 3 ; > 0 5 ; = 0 tg 3 ; < 0 Zadanie 4. Naszkicuj przykładowy wykres funkcji f, która posiada wszystkie podane własności: jest parzysta, w = 6 ma punkt nieciągłości pierwszego rodzaju, w = 3 ma punkt nieciągłości drugiego rodzaju. Zadanie 5. Dla jakich m funkcja f) = ciągła w zerze? { cos ; 0 m ; = 0 jest lewotronnie / prawostronnie Zadanie 6. Dla jakich wartości parametrów a, b, c R funkcja f jest ciągła? { 3 + dla a) f) = b) f) = a + 5 dla < dla 4 3 c) f) = + dla 3 a + b dla 3 < d) f) = dla > 3 + dla a + b dla < < 4 + e dla < 0 lim 0 + e ) dla = 0 sin a dla > 0 7
8 e) f) = sin a dla < 0 3 dla 0 < + +b ) b dla > c dla = Zadanie 7. Podaj przykład funkcji ograniczonej na 0, ], która nie osiąga na 0, ] ani swojego kresu górnego, ani kresu dolnego. Zadanie 8. Korzystając z własności Darbou uzasadnij, że podane równania mają rozwiązania we wskazanych przedziałach. a) = 4 w 0, ) b) e = w, ) c) ln = 3 w, 3) Zadanie 9. Uzasadnij, że równanie e = + + ma pierwiastek dodatni. Odpowiedzi do rozdziału Zadanie. a) ciągła na R b) ciągła na R c) ciągła na R d) ciągła na R \ {},w = prawostronnie ciągła, = punkt nieciągłości I rodzaju e) ciągła na, )\{}, = punkt nieciągłości I rodzaju, funkcja nie jest również jednostronnie ciągła w tym punkcie f) ciągła na R g) ciągła na R \ {0}, w = 0 prawostronnie ciągła, = 0 punkt nieciągłości I rodzaju h) ciągła na R \ { }, w = prawostronnie ciągła, = punkt nieciąfłości I rodzaju i) ciągła na R \ {0}, = 0 punkt nieciągłości I rodzaju, funkcja nie jest również jednostronnie ciągła w tym punkcie j) ciągła na, ) oraz na, ), = punkt nieciągłości I rodzaju, funkcja nie jest również jednostronnie ciągła w tym punkcie k) ciągła na R l) ciągła na R m) ciągła na R \ {0}, = 0 punkt nieciągłości II rodzaju Zadanie 3. a), nieciągła b), nieciągła c), ciągła 3 Zadanie 5. Dla m = f jest lewostronnie ciągła w zerze, dla m = f jest prawostronnie ciągła w zerze. Zadanie 6. a) a = 8 b) a =, b = 3 c) a =, b = d) a = e) a =, b = 5 5 0, c = { ; 0, ) Zadanie 7. f) = 0 ; = 0 lub = 8
Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Analiza Matematyczna F dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3 08/9z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert Z. Skoczylas Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania GiS 008) 3 Granica funkcji
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoGranice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowoWykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoWykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoGAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoWykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoLista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :
Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn. 29.0.208r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoRoksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych
Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoTożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 09 Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych Autor: Anna
Bardziej szczegółowoFunkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory. Autorzy: Konrad Nosek
Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autorzy: Konrad Nosek 09 Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autor: Konrad Nosek DEFINICJA Definicja : Funkcja pierwotna Rozważmy
Bardziej szczegółowoCiągi. Granica ciągu i granica funkcji.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje
Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
EAIiIB-Inormatyka -Wykład 4- dr Adam Ćmiel cmiel@agedupl RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Niec : R D R Niec D będzie punktem skupienia zboru D Oznaczenia: Ot,δ) K,δ) -δ, +δ) D ; S,δ) Ot,δ)-{
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Granica funkcji
Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Granica funkcji Otoczenie punktu 0 to przedział ( 0 ɛ, 0 + ɛ) dla każdego ɛ > 0 Sąsiedztwo punktu 0 to jego otoczenie bez punktu 0. Jeżeli funkcja jest określona w
Bardziej szczegółowoRozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej
Rozdział Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Definicja i własności granicy funkcji W rozdziale omówiono granicę ciągu liczbowego przy n, natomiast w rozdziale opisano funkcje elementarne i ich własności
Bardziej szczegółowoObliczanie pochodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia. Autorzy: Tomasz Zabawa
Obliczanie pocodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia Autorzy: Tomasz Zabawa 207 ./matjax/matjax.js?configtex-ams-mml_htmlormml"> Obliczanie pocodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia Autor:
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja
Bardziej szczegółowoMatematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2
Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2 Definicja funkcji przypomnienie Definicja Dla danych dwóch niepustych zbiorów X, Y przypisanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)
Bardziej szczegółowoRachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowo6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.
6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6.1. Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Heinego granicy
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I
Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoSekantooptyki owali i ich własności
Sekantooptyki owali i ich własności Magdalena Skrzypiec Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej 19 października 2009r. Informacje wstępne Definicja Owalem nazywamy
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoLISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)
LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA I
ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Lista nie zawiera
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2
Bardziej szczegółowo(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Bardziej szczegółowoLISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych
LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach 0. 0.5 n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia
Bardziej szczegółowoWSTEP ¾ DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ
st ep do analizy matematycznej STEP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ Rachunek zdań, funkcja zdaniowa, kwanty katory Zad. Udowodnić nastepujace prawa rachunku zdań (tautologie): a) p _ (s q) b) p, s (s p) c) (
Bardziej szczegółowo10. arccos 3 + 4x, 11. tg sin cos x, 12. arcctg x ctg 2x, arcsin(2x 1) arcsin 2x 1, 21. sin2 x 2 1,
. Nawiasy Dopisz nawiasy jak w przykªadzie: ln cos 4 + = ln((cos(4)) ) +. sin,. ln 3 +, 3. tg ctg, 4. sin, 5. log 3 4, 6. arcsin sin, 7. tg 4 3, 8. log, 9. cos +3, 0. arccos 3 + 4,. tg sin cos,. arcctg
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności trygonometryczne
Równania i nierówności trygonometryczne Piotr Rzonsowski Zadanie 1. Obliczyć równania: Zadania obowiązkowe a) cos x = 1, b) tg x =, c) cos( x + π ) =, d) sin x = 1. Wskazówka: (a) Oblicz cos y = 1 a następnie
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA I
ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co tydzień Choć zadania po symbolu potrójne karo nie są typowe, warto też poświęcić im nieco uwagi Lista nie zawiera odpowiedzi, ale poprawność
Bardziej szczegółowo4. Granica i ciągłość funkcji
4. Granica i ciągłość funkcji W niniejszym rozdziale wprowadzamy pojęcie granicy funkcji, definiujemy funkcje ciągłe i omawiamy ich podstawowe własności. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowoGranica funkcji. 8 listopada Wykład 4
Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).
MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),
Bardziej szczegółowoRozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.
Bardziej szczegółowo1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami
Bardziej szczegółowoOba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoWBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0
WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoZestaw 0. 1 sin 2 x ; k) (arctg x) 0 = 1 ; l) (arcctg x) x 2 m) (arcsin x) 0 = p 1
Podstawowe wzor rachunku ró zniczkowego Zestaw. Rachunek ró zniczkow i ca kow a) (f () g ()) = f () g () + f () g () b) f (g ()) = f (g ()) g () f() c) g() = f ()g() f()g () d) ( n ) = n n g () e) (log
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoLista 0 wstęp do matematyki
dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista wstęp do matematyki.. Sprawdź, czy następujące zdania logiczne są tautologiami: p q) p q) p q) p q) p q) q p) d)[p q) p]
Bardziej szczegółowoMatematyka dla DSFRiU zbiór zadań
I Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań do użytku wewnętrznego Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i. i= 5 ( ) i i=
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:
Bardziej szczegółowo1 Wiadomości wst ¾epne
Wiadomości wst ¾ene. Narysować wykresy funkcji elementarnych sin cos tg ctg a ( a 6= ) log a ( a 6= ) arcsin arccos arctg arcctg Podać ich dziedziny i rzeciwdziedziny.. Roz o zyć na u amki roste wyra zenie
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.
Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 Miara kąta Miara kąta kąt mierzymy od ramienia początkowego do końcowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (α > 0) kąt zgodny
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadania Wydanie dziewiętnaste powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 6 Marian Gewert Wydział Matematyki Politechnika
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoTRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych
TRYGONOMETRIA. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne kąta ostrego można zdefiniować przy użyciu trójkąta prostokątnego: c a α b DEFINICJA. Sinusem kąta ostrego α w trójkącie
Bardziej szczegółowo( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb
Pocodne Załómy, e unkcja jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu. Liczb ( + ) ( ) nazywamy ilorazem rónicowym unkcji w punkcie dla przyrostu. Pocodn ( ) unkcji w punkcie nazywamy granic ilorazu rónicowego,
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoCi agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji
2 grudnia 2014 ciagłość - zaufanie 1 Dlaczego zbliżajac się do łuku drogi nie hamujemy wiedzac, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej ciagnie się droga. 2
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowo2 5 C). Bok rombu ma długość: 8 6
Zadanie 1 W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej 6 i przyprostokątnej sinus większego z kątów ostrych ma wartość: C) Zadanie Krótsza przekątna rombu o długości tworzy z bokiem rombu kąt 60 0. Bok
Bardziej szczegółowoEgzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowo