Zagadnienia wielokryterialne

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zagadnienia wielokryterialne"

Transkrypt

1 0-0-0 Zgdiei ielokryterile Wielokryterile zgdiei decyzyje (Multiple riteri Decisio Problem - MDP) Istieje termi: Multicriteri decisio-id - Wspomgie decyzji ielokryterilych elem kryjącej się pod tym termiem dziłlości jest dostrczeie litykoi/decydetoi, ogólie uczestikom procesu decyzyjego, rzędzi stoiących pomoc roziązyiu problemu decyzyjego, którym kilk - często sprzeczych - puktó idzei musi być ziętych pod ugę Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Nleży stierdzić: Nie istieje, ogólości, jkkoliek decyzj (roziązie, dziłie), któr jest jlepsz jedocześie ze szystkich puktó idzei. Określeie optymlizcj ie m ztem, tym kotekście, sesu zego z klsyczej teorii optymlizcji W przeciieństie do klsyczych techik bdń opercyjych (opertios reserch), metody ielokryterile ie dją obiektyie jlepszych roziązń. Określeie spomgie ydje się iezbęde tych problemch, bo ostteczy ybór decyzji spośród opcji leży do decydet Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi

2 0-0-0 Problemy podejmoi decyzji ielokryterilych mogą być ogólie zklifikoe do dóch ktegorii: problemy decyzji ielotrybutoych (Multiple ttribute Decisio Problem - MDP) problemy decyzji ieloceloych (Multiple Objective Decisio Problem - MODP) Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Poróie: ech MDP Problem MODP Oce oprt o trybuty ele el Nie yrży prost Wyrźie określoy trybut Wyrźie określoy Nie yrży prost Ogriczeie Opcj Nie ystępują (łączoe trybuty) Skończo liczb, dyskrete (cześiej opise) Występują Nieskończo liczb, (pojiją się trkcie procesu decyzyjego) Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi

3 0-0-0 Zgdieie ielotrybutoe przykłd (Problem yboru smolotó myśliskich). Pee pństo zdecydoło się zkupić flotę odrzutoych myślicó US. Urzędicy Petgou przedstili iformcję o łściościch czterech modeli, które mogą być sprzede do tego krju. Zespół litykó Sił Poietrzych ziteresoego krju zgodził się, że leży rozżć sześć chrkterystyk (trybutó). Są to: mksyml prędkość (), zsięg lti (), mksymly łduek użyteczy (), koszt zkupu (), iezodość (), merolość (). Wrtości tych trybutó zostły przedstioe tblicy. Myśliiec trybut M średi b. ysok M isk średi M ysok ysok M średi średi Który z smolotó poiie ybrć ziteresoy krj, jeżeli chciłby mieć smolot jk jszybszy, o jk jiększym zsięgu, jk jiększej łdoości, jk jtńszy, jk jbrdziej iezody i jk jyższych zdolościch meroych? Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Zgdieie ieloceloe przykłd Firm produkuje d produkty. Kieroicto zdecydoło, że prgie zleźć pl produkcji, który będzie: mksymlizoć cłkoite zyski, mksymlizoć spodzieą liczbę opoych części ryku, spełić ogriczei procesoe (tj. dostępość suroc), uikąć sycei ryku (tj. być stie sprzedć szystkie yprodukoe yroby) Kżd jedostk produktu przyosi zysk ysokości jedostek pieiężych, drugiego jedostkę. Ustloo, że kżd sprzed jedostk produktu spooduje zdobycie jedostek udziłu ryku, drugiego produktu jedostek udziłu. Podto idomo, że jedostk produktu potrzebuje jedostki suroc do yprodukoi, jedostk produktu tylko jedostkę orz, że dostępych jest rozżym przedzile czsu tylko 0 jedostek suroc. W końcu ekspertyz ryku skzuje, że ie ięcej iż 0 jedostek produktu i ie ięcej iż 0 jedostek produktu poio być produkoe rozżym przedzile czsu Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi

4 0-0-0 metody roziązyi Przypomieie: Problemy ielotrybutoe problemy yzczei tkiej opcji decyzyjej spośród skończoego (liczboo iedużego) zbioru dopuszczlych opcji, któr zpei jk jlepsze osiągięcie szystkich rozptryych przez decydet kryterió trybutó Tk sformułoy problem problem yboru ielotrybutoego Ie sformułoi: problem sortoi ielotrybutoego przyporządkoie opcji do z góry określoych ktegorii problem porządkoi ielotrybutoego podził opcji klsy opcji jedkoo dobrych Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Die szkoły roziązyi problemó ielotrybutoych: szkoł merykńsk (Rlph Keeey, Hord Riff) metody ielotrybutoej teorii użyteczości szkoł europejsk (errd Roy, Philippe Vicke, Rom Słoiński) metody relcji przeyższi Metod szkoły merykńskiej HP (The lytic Hierrchy Process) Proces lityczej Hierrchizcji Metod szkoły europejskiej ELETRE Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 8

5 0-0-0 Proces lityczej hierrchizcji problemu decyzyjego The lytic Hierrchy Process utor: Thoms L. Sty, Uiversity of Pittsburgh, 9 Proces lityczej hierrchizcji problemu decyzyjego jest systemtyczą procedurą oprtą hierrchiczym przedstieiu elemetó problemu decyzyjego, tkich elemetó, które określją jego istotę Metod poleg dekompozycji problemu możliie proste jego elemety skłdoe i potem przetrziu sekecji oce osoby/grupy osób oprtych o poróyie prmi Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 9 Przykłd. Średiozmoż rodzi postoił kupić dom. W yiku rodziej dyskusji udło się określić osiem kryterió, które poiy służyć oceie domu. Kryteri te moż podzielić trzy grupy: ekoomicze, loklizcyje i fizycze. hociż moż było rozpocząć proces podejmoi decyzji od ocey zględej żości poszczególych grup kryterió, rodziie ydło się, że rczej poii oceić zględą żość poszczególych kryterió iż zjmoć się grupmi kryterió. Zdie poległo ostteczie yborze jedego z trzech domó-kdydtó. Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 0

6 0-0-0 Kroki roziązyi problemu Krok I - dekompozycj i przedstieie problemu postci hierrchiczej Kolejość rozżych poziomó hierrchii: POZIOM PIERWSZY - cel ogóly do osiągięci rozżym problemie POZIOMY NSTĘPNE kryteri-trybuty uszczegółoijące cel ogóly POZIOM NJNIŻSZY rozże opcje decyzyje-kdydci Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Poszczególe poziomy hierrchii: N pierszym jyższym poziomie zjdzie się ogóly cel KUPNO DOMU N drugim poziomie zjdzie się osiem trybutó kryterió uszczegółijących cel ogóly (ie zmy ich jeszcze), które poiy być oceioe ze zględu cel ogóly N trzecim - jiższym - poziomie zjdą się trzy domy opcje decyzyje kdydci, które poiy być oceioe ze zględu kryteri zjdujące się poziomie drugim Poziom Kupo domu Poziom trybut trybut... trybut 8 Poziom Dom Dom Dom Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi

7 0-0-0 Krok II - określeie/zdefiioie oceiych trybutó Zsd (hierrchiczej ciągłości): ) elemety iższego poziomu (kryteri, trybuty) muszą być poróyle prmi odiesieiu do elemetó yższego poziomu Przykłd: Nleży otrzymć rcjolą odpoiedź pytie: N ile dom jest lepszy od domu biorąc pod ugę kryterium Nleży otrzymć rcjolą odpoiedź pytie: N ile trybut jest żiejszy od trybutu przy kupie domu przez średiozmożą rodzię Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Zsd : ) struktur hierrchicz problemu musi obejmoć szystkie elemety (kryteri, trybuty) skze przez człokó grupy decyzyjej jko istote Przykłd: Poierzchi dziłki był uz z ży trybut, tylko przez jedego z człokó rodziy i zostł łączoy do zestu trybutó Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi

8 złokoie rodziy ybrli stępujące kryteri:. Rozmiry domu: ogól poierzchi domu, liczb pokoi, rozmiry pokoi, pojemość spiżri schokó;. Dogodość komuikcji publiczej: bliskość przystku utobuso., przystku metr, itp;. Otoczeie: tężeie ruchu uliczego, bezpieczeństo okolicy, łde idoki, iskie opłty (podtki), zdbe otoczeie;. Kiedy dom był zbudoy: ie potrzeb objśień;. Dziłk: poierzchi dziłki, przestrzeń przed domem, z tyłu, z boku tkże odległość od sąsidó;. Wyposżeie: klimtyzcj, syglizcj lrmo, zmyrk do czyń, usuie śmieci i podobe urządzei będące domu;. Ogóly st: ściy, dch, czystość, istlcj elektrycz, istlcj odo-klizcyj, potrzeb remotu 8. Wruki fisoe zkupu: ruki sprzedży i kredytu bkoego Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Krok III - specyfikcj opcji decyzyjych i osttecze grficze przedstieie hierrchii Iformcje o domch,, : Dom. Njiększy z domó, około łde okolice, iezbyt itesyy ruch drogoy, podtki z dom ieduże. Dziłk iększ iż domó i. Ogóly st domu ie jest jlepszy, potrzebe są zsdicze pry i mloie. Z tego poodu bk może fisoć zkup domu z dużym procetem, moż poiedzieć, że ruki fisoe są iezdoljące. Dom. Dom jest ieco miejszy od domu, położoy jest dleko od przystkó utobusoych, około itesyy ruch drogoy. Dom jest dosyć mły i brkuje im ooczesych udogodień. Z drugiej jedk stroy st domu jest brdzo dobry i dom moż dostć pożyczkę z dosyć iskim procetem; to ozcz, że ruki fisoe są pełi zdoljące. Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi

9 trybut : Rozmiry domu trybut : Dogodość komuikcji publiczej trybut : Otoczeie trybut : Kiedy dom był zbudoy trybut : Dziłk trybut : Wyposżeie trybut : Ogóly st trybut 8: Wruki fisoe Iformcje o domch,, c.d.: Dom. Dom jest brdzo mły i ie m im ooczesych udogodień. W okolicy duże podtki, le dom jest dobrym stie i jest bezpieczy. Dziłk jest iększ iż domu, le miejsz iż domu. Ogóly st domu dobry i dobrze yposżoy. Wruki fisoe zczie lepsze jk dl domu, le ie tk dobre jk dl domu. Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Poziom Dom Poziom Poziom Dom Dom Dom Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 8

10 Poziom el drzędy Poziom trybut trybut... trybut Poziom Podtrybut trybutu Podtrybut trybutu... Podtrybut m trybutu Poziom K Opcj Opcj... Opcj p Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 9 Krok IV - torzeie mcierzy poróń prmi Porói utorzoej hierrchii prodzimy prmi Mcierze poróń prmi torzymy dl poziomó,..., K Mcierze poróń prmi torzymy dl porói szystkich elemetó poziomu iższego zględem kolejych elemetó poziomu yższego Ztem: dl poziomu k (k=,..., K) liczb torzoych mcierzy poróń prmi ró się liczbie elemetó poziomu k- mcierze poróń prmi są mcierzmi kdrtoymi, dl poziomu k mjącymi ymir róy liczbie elemetó tym poziomie Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 0

11 0-0-0 Rozmiry domu publiczej Otoczeie domu Kiedy był zbudoy Dziłk Wyposżeie domu Ogóly st domu Wruki fisoe kup Przykłd: Mcierze poróń prmi utorzymy dl:. porói żości kryterió trybutó poziomu (rozmiry domu, dogodość komuikcji utobusoej,...) ze zględu ogóly cel poziomu (zdooleie z kup domu). porói kżdego z domó (,, ) opcji poziomu - ze zględu kryteri trybuty poziomu (rozmiry domu, dogodość komuikcji utobusoej) Musimy utorzyć: - jedą mcierz o ymirze 8x8, dl poróń prmi trybutó poziomu ze zględu cel poziomu - osiem mcierzy o ymirzex, dl poróń prmi opcji zkupu domu z poziomu ze zględu trybuty poziomu Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Przykłd: Kupo domu: mcierz poróń prmi dl poziomu : Kupo domu Dogodość komuikcji Rozmiry domu Dogodość komuikcji utobusoej Otoczeie domu Kiedy dom był zbudoy Dziłk Wyposżeie domu Ogóly st domu Wruki fisoe kup Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi

12 0-0-0 Kupo domu: mcierze poróń prmi dl poziomu : Rozmiry domu Otoczeie domu Dogodość komuikcji utobusoej Kiedy dom był zbudoy Dziłk Ogóly st domu Wyposżeie domu Wruki fisoe kup Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi gregcj oce z ykorzystiem mcierzy poróń prmi zczeie mcierzy poróń prmi Dyspoujemy,,..., - zbiór rozżych elemetó (kryterió, trybutó, opcji poziomu iższego) dym poziomie hcemy Kżdemu elemetoi,,..., - przypisć umeryczą żość, gę,,...,, tych elemetó zględem elemetó poziomu yższego, które mogą być iterpretoe jko użyteczości tych elemetó Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi

13 0-0-0 Wykoujemy Poróie poszczególych elemetó prmi, uzyskując liczby ij Mcierze poróń prmi:. i.... j... i j ij j i Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi ij ji 0, ; i, j ij, Włściości mcierzy poróń prmi:. Kdrto. Wymir określoy przez liczbę elemetó poróyych dym poziomie. Odrotie symetrycz. Liczbo (iekoieczie) Rozsądie jest przyjąć, że poio zchodzić: i j ij ; i, j,,..., ( ) czyli:... i... i... j... j j i j i ędziemy zkłdli: i, : i i i 0 Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi

14 0-0-0 Propozycj Th. Sty iego: poszukujemy przybliżoych oce elemetó poprzez yzczeie ektor spełijącego róie: mx gdzie mx jiększ rtość łs mcierzy Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Określie g: Sytucj : pe skl porócz istieje i poróie prmi yrżją się jko relcj tej skli N przykłd: Oceimy zsięgi smolotó myśliskich i oceimy d smoloty, smolot o zsięgu i smolot o zsięgu. W chrkterze ocey porói smolotu zględem smolotu do mcierzy porói prmi prodzić moż stosuek W /W. Odrotą rtość W /W moż prodzić do tej mcierzy jko oceę porói smolotu zględem Sytucj : ie istieje skl porócz (ocey oprte o subiektye odczuci) potrzeb jest pe skl liczbo preferecji N przykłd: Oceimy otoczeie domó, i oceimy d domy, i Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 8

15 0-0-0 Th. Sty zpropooł sklę preferecji zględej Dl porói dóch elemetó zpropooł yróżić pięć sytucji podstoych: Sytucj róożości, kiedy obyd elemety są róoże; Sytucj słbej preferecji, kiedy pierszy elemet jest słbo preferoy zględem drugiego, lbo odrotie; Sytucj istotej preferecji, kiedy pierszy elemet jest istotie preferoy zględem drugiego, lbo odrotie; Sytucj yrźej preferecji, kiedy pierszy elemet jest yrźie preferoy zględem drugiego, lbo odrotie; Sytucj bezzględej preferecji, kiedy pierszy elemet jest bezzględie preferoy zględem drugiego, lbo odrotie Th. Sty złożył tkże możliość ystąpiei preferecji pośredich efekcie zpropooł sklę dzieięciostopioą Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 9 Skl liczbo preferecji zględych edług Sty iego Oce porói prmi ij Preferecj Róożość elemetó i, j 9,,, 8 Odrotości podych yżej liczb Słb preferecj elemetu i tego zględem elemetu j tego Istot preferecj elemetu i tego zględem elemetu j tego Wyrź preferecj elemetu i tego zględem elemetu j tego ezzględ preferecj elemetu i tego zględem elemetu j tego Preferecje pośredie elemetu i tego zględem elemetu j tego Preferecje odrote stosuku do odpoiedich preferecji podych yżej Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 0

16 Rozmiry domu Dogodość komuikcji publiczej Otoczeie domu Kiedy był zbudoy Dziłk Wyposżeie domu Ogóly st domu Wruki fisoe kup Jkie pyti stimy przy poróyiu prmi elemetó i? Przykłdy: - ile żiejszy jest elemet iż - ile iększy pły m elemet iż? - ile elemet jest brdziej irygody iż? - ile elemet jest brdziej odpoiedi iż? - ile elemet jest lepszy iż? Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Kupo domu: mcierz poróń prmi dl poziomu (ypełio): Kupo domu Rozmiry domu Dogodość komuikcji utobusoej Kiedy dom był zbudoy Otoczeie domu 8 Dziłk Wyposżeie domu Ogóly st domu Wruki fisoe kup 8 Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi

17 0-0-0 Kupo domu: mcierze poróń prmi dl poziomu (ypełioe): Rozmiry domu 8 Otoczeie domu 8 Dogodość komuikcji publiczej Kiedy dom był zbudoy Dziłk Wyposżeie domu 8 8 Ogóly st domu Wruki fisoe kup Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Przed przystąpieiem do sytezy priorytetó oce spójości mcierzy poróń prmi Oce zgodości oce decydetó: - ideks zgodości. I. mx Subiektye złożeie: Jeżeli ideks zgodości jest miejszy od 0. moż być zdooloym z oce decydetó - stosuek zgodości Przypdkoy ideks zgodości R.I. R.I Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi

18 0-0-0 Stosuek zgodości. R.. I R. I Subiektye złożeie: Jeżeli stosuek zgodości jest miejszy od 0. moż być zdooloym z oce decydetó Jeżeli ideks zgodości i stosuek zgodości mją zbyt duże rtości leży poprosić decydetó o zstoieie i pooe podie oce Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Krok V obliczeie loklych priorytetó ) obliczeie jiększej rtości łsej b) obliczeie ektor łsego odpoidjącego tej rtości łsej Wykoujemy to dl kżdej mcierzy poróń prmi Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 8

19 Obliczie przybliżoego ektor łsego mcierzy poróń prmi metod Sty iego I: i j ij j i.. i j i i ij, i,. i i ; i, Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Obliczie przybliżoego ektor łsego mcierzy poróń prmi metod Sty iego II: i j ij j i.. j ij i ij j ij,, j, i, j,. i j ij j ij, j i, Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 8

20 Rozmiry domu Dogodość komuikcji utobusoej Otoczeie domu Kiedy był zbudoy Dziłk Wyposżeie domu Ogóly st domu Wruki fisoe kup Wektor priorytetó Obliczie przybliżoej rtości jiększej rtości łsej mcierzy poróń prmi metod Sty iego:. mx j j j lub. mx j i ij i j Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 9 Kupo domu: mcierz poróń prmi dl poziomu : Kupo domu Rozmiry domu Dogodość komuikcji utobusoej Otoczeie domu Kiedy dom był zbudoy Dziłk Wyposżeie domu Ogóly st domu Wruki fisoe kup I. 0.8.R. 0.9 mx 8 Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 0

21 0-0-0 Kupo domu: mcierze poróń prmi dl poziomu : Rozmiry domu mx Wektor priorytetó 8. Dogodość komuikcji utobusoej I R mx..i. 0. Wektor priorytetó R. 0. Otoczeie domu Wektor priorytetó 8 8 mx.0.i R. 0. Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Kupo domu: mcierze poróń prmi dl poziomu (c.d.): Kiedy dom był zbudoy mx.000.i Dziłk Wektor priorytetó R Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi mx.08 Wyposżeie domu mx.i Wektor priorytetó 8.R. 0.0.I Wektor priorytetó R. 0.0

22 Rozmiry domu Dogodość komuikcji utobusoej Otoczeie domu Kiedy był zbudoy Dziłk Wyposżeie domu Ogóly st domu Wruki fisoe kup Ogóle priorytety Kupo domu: mcierze poróń prmi dl poziomu (c.d.): Ogóly st domu Wektor priorytetó mx.000.i R Wruki fisoe kup Wektor priorytetó mx.0 Krok V obliczeie globlych priorytetó.i. 0.0.R. 0.0 obliczeie sumy iloczyó priorytetó kżdej głęzi od kdydt do celu ogólego Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Ogóly priorytet dom P Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi

23 Rozmiry domu Rozmiry domu Dogodość komuikcji utobusoej Dogodość komuikcji utobusoej Otoczeie domu Otoczeie domu Kiedy był zbudoy Kiedy był zbudoy Dziłk Dziłk Wyposżeie domu Wyposżeie domu Ogóly st domu Ogóly st domu Ogóle priorytety Ogóle priorytety Ogóly priorytet dom P Wruki fisoe kup Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Ogóly priorytet dom P Wruki fisoe kup Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi

24 0-0-0 Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Zdie do smodzielego roziązi ybór miejsc prcy po studich bsolet yższej uczeli m możliość podjęci prcy jedym z trzech miejsc prcy, orz. Postoił o skorzystć z metody HP jko rzędzi spomgi decyzji. Jko kryteri-trybuty, które ksztłtują jego zdooleie z prcy ybrł:. możliości prodzei prc bdczych,. możliości su zodoego,. ysokość ygrodzei,. spółprcoicy, koledzy,. loklizcj miejsc prcy,. reputcj ryku prcy Dlej pode są mcierze poróń prmi jkie utorzył o relizując proces decyzyjy Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 8 prcy z Zdooleie di s Wygrodzeie Koledzy Loklizcj 9 9 putcj Re Oceń przedstioe yiki poróń prmi i przeprodź z ich pomocą proces decyzyjy yboru zdoljącego miejsc prcy po studich

25 0-0-0 Przykłdy zstosoń metody HP: ybór loklizcji ybór projektu dego przedsięzięci ybór dostcy ybór techologii ybór człokó zespołu, ybór kieroik projektu ybór produktu, p. ut, komputer... Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 9 Dziękuję z ugę Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 0

Komputerowe Systemy Sterowania. Wieloatrybutowe problemy decyzyjne metody rozwiązywania

Komputerowe Systemy Sterowania. Wieloatrybutowe problemy decyzyjne metody rozwiązywania 0-0-9 Komputeroe Systemy Wielotrybutoe problemy decyzyje metody roziązyi Przypomieie: Problemy ielotrybutoe problemy yzczei tkiej opcji decyzyjej spośród skończoego (liczboo iedużego) zbioru dopuszczlych

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń

Bardziej szczegółowo

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,

Bardziej szczegółowo

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi

Bardziej szczegółowo

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem

Bardziej szczegółowo

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny 5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,

Bardziej szczegółowo

Journal of Agribusiness and Rural Development

Journal of Agribusiness and Rural Development ISSN 1899-5772 Jourl of Agribusiess d Rurl Developmet www.jrd.edu.pl 4(10) 2008, 47-60 WYKORZYSTANIE ANALITYCZNEGO PROCESU HIERARCHICZNEGO W ANALIZIE SYSTEMU MOTYWACYJNEGO PRZEDSIĘBIORSTWA TRANSPORTOWEGO

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi

Bardziej szczegółowo

Collegium Novum Akademia Maturalna

Collegium Novum Akademia Maturalna Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r. KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Układy równań liniowych Macierze rzadkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Ukłdy rówń liiowych Mcierze rzdkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Pl zjęć. Zdie rozwiązi ukłdu rówń liiowych.. Ćwiczeie -

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb. Rchuek prwopoobieństw MA1181 Wyził T, MS, rok k. 2013/14, sem. zimowy Wykłowc: r hb. A. Jurlewicz Wykł 9: Róże rozje zbieżości ciągów zmieych losowych. rw wielkich liczb. Zbieżość z prwopoobieństwem 1:

Bardziej szczegółowo

Twoje zdrowie -isamopoczucie

Twoje zdrowie -isamopoczucie Twoje zdrowie -ismopoczucie Kidney Disese nd Qulity of Life (KDQOL-SF ) Poniższ nkiet zwier pytni dotyczące Pn/Pni opinii o włsnym zdrowiu. Informcje te pozwolą nm zorientowć się, jkie jest Pn/Pni smopoczucie

Bardziej szczegółowo

Wykład 8: Całka oznanczona

Wykład 8: Całka oznanczona Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 25.01.2003 r.

Matematyka finansowa 25.01.2003 r. Memyk fisow 5.0.003 r.. Kóre z poiższych ożsmości są prwdziwe? (i) ( ) i v v i k m k m + (ii) ( ) ( ) ( ) m m v (iii) ( ) ( ) 0 + + + v i v i i Odpowiedź: A. ylko (i) B. ylko (ii) C. ylko (iii) D. (i),

Bardziej szczegółowo

Systemy Wyszukiwania Informacji

Systemy Wyszukiwania Informacji Uniersytet Śląski Systemy Wyszkini Informcji Agnieszk Nok Brzezińsk gnieszk.nok@s.ed.pl Instytt Informtyki Zkłd Systemó Informtycznych Uniersytet Śląski Wrnki zliczeni przedmiot Ooiązko oecność n ykłdch

Bardziej szczegółowo

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności. CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.

Bardziej szczegółowo

SYSTEM WIELKOŚCI CHARAKTERYZUJĄCY POTENCJALNĄ I ODDZIELONĄ CZĄSTKĘ ZUŻYCIA TRIBOLOGICZNEGO

SYSTEM WIELKOŚCI CHARAKTERYZUJĄCY POTENCJALNĄ I ODDZIELONĄ CZĄSTKĘ ZUŻYCIA TRIBOLOGICZNEGO 6-0 T B O L O G 8 Piotr SDOWSK * SYSTEM WELKOŚC CKTEYZUĄCY POTECLĄ ODDZELOĄ CZĄSTKĘ ZUŻYC TBOLOGCZEGO SYSTEM OF VLUES CCTEZED POTETL D SEPTED WE PTCLE Słow kluczowe: prc trci, zużywie ściere, cząstk zużyci,

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1, I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego

Bardziej szczegółowo

Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy

Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Temt: Mcierze Pojęci Dziłni n mcierzch Wyzncznik mcierzy Symbolem gwizdki (*) oznczono zgdnieni przeznczone dl studentów wybitnie zinteresownych prezentowną temtyką. Ann Rjfur Pojęcie mcierzy Mcierz to

Bardziej szczegółowo

Macierze w MS Excel 2007

Macierze w MS Excel 2007 Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

GRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana

GRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana GRAFY podstwowe definicje GRAFY i SIECI Grf: G = ( V, E ) - pr uporządkown V = {,,..., n } E { {i, j} : i j i i, j V } - zbiór wierzchołków grfu - zbiór krwędzi grfu Terminologi: grf = grf symetryczny,

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

smoleńska jako nierozwiązywalny konflikt?

smoleńska jako nierozwiązywalny konflikt? D y s k u s j smoleńsk jko nierozwiązywlny konflikt? Wiktor Sorl Michł Bilewicz Mikołj Winiewski Wrszw, 2014 1 Kto nprwdę stł z zmchmi n WTC lub z zbójstwem kżnej Diny? Dlczego epidemi AIDS rozpowszechnił

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

MACIERZE I WYZNACZNIKI

MACIERZE I WYZNACZNIKI MCIERZE I WYZNCZNIKI Defiicj Mcierą o współcyikch recywistych (espoloych) i wymire m x ywmy pryporądkowie kżdej pre licb turlych (i,k), i,,, m, k,,,, dokłdie jedej licby recywistej ik [ ik ] mx (espoloej)

Bardziej szczegółowo

Współzależności między wykluczeniem społecznym a edukacją

Współzależności między wykluczeniem społecznym a edukacją Współzależości między ykluczeiem społeczym a edukacją Tomasz Paek Warszaa, 30 czerca 2014 ZWIĄZKI POMIĘDZY WYKLUCZENIEM SPOŁECZNYM A EDUKACJĄ Wykształceie oraz kompetecje są jedym z podstaoych yzaczikó

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb.

Wykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb. Rchuek prwdopodobieństw MA064 Wydził Elektroiki, rok kd. 2008/09, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 2: Sumowie iezleżych zmieych losowych i jego związek ze splotem gęstości i trsformtmi Lplce

Bardziej szczegółowo

a Komisją Zakładową NSZZ Solidarność Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, reprezentowaną przez: mgr Krystynę Andrzejewską

a Komisją Zakładową NSZZ Solidarność Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, reprezentowaną przez: mgr Krystynę Andrzejewską POROZUMIENIE zwrte w dniu 11 czerwc 2015 roku w sprwie zsd zwiększeni wyngrodzeń prcowników Uniwersytetu im. Adm Mickiewicz w Poznniu od 1 styczni 2015 roku pomiędzy: Uniwersytetem im. Adm Mickiewicz w

Bardziej szczegółowo

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Wyrównanie sieci niwelacyjnej 1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

2. Na ich rozwiązanie masz 90 minut. Piętnaście minut przed upływem tego czasu zostaniesz o tym poinformowany przez członka Komisji Konkursowej.

2. Na ich rozwiązanie masz 90 minut. Piętnaście minut przed upływem tego czasu zostaniesz o tym poinformowany przez członka Komisji Konkursowej. Kod uczni... MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów Rok szkolny 03/0 ETAP SZKOLNY - 5 pździernik 03 roku. Przed Tobą zestw zdń konkursowych.. N ich rozwiąznie msz 90 minut. Piętnście minut

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Rchuek prwdopodobieństw MA5 Wydził Elektroiki, rok kd. 20/2, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 7: Zmiee losowe dwuwymirowe. Rozkłdy łącze, brzegowe. Niezleżość zmieych losowych. Momety. Współczyik

Bardziej szczegółowo

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową

Bardziej szczegółowo

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk

Bardziej szczegółowo

WNIOSEK O PRZYZNANIE STYPENDIUM SZKOLNEGO

WNIOSEK O PRZYZNANIE STYPENDIUM SZKOLNEGO WNIOSEK O PRZYZNANIE STYPENDIUM SZKOLNEGO w roku szkolnym... I. Dne osoowe uczni / słuchcz Nzwisko..... Imion...... Imię ojc i mtki...... PESEL uczni / słuchcz Dt i miejsce urodzeni... II. Adres zmieszkni

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

Raport na temat stężenia fluorków w wodzie przeznaczonej do spożycia przez ludzi będącej pod nadzorem PPIS w Gdyni za 2006 rok

Raport na temat stężenia fluorków w wodzie przeznaczonej do spożycia przez ludzi będącej pod nadzorem PPIS w Gdyni za 2006 rok POWIATOWA STACJA SANITARNO-EPIDEIOLOGICZNA W GDYNI LABORATORIU BADAŃ FIZYKO-CHEICZNYCH WODY Słomir Piliszek Rport n temt stężeni fluorkó odzie przeznczonej do spożyci przez ludzi będącej pod ndzorem PPIS

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk rtości i ektory łse ektorem łsym mcierzy A [ ] zymy kżdy iezeroy ektor V, który zchoue kieruek po ykoiu

Bardziej szczegółowo

4.3. Przekształcenia automatów skończonych

4.3. Przekształcenia automatów skończonych 4.3. Przeksztłceni utomtów skończonych Konstrukcj utomtu skończonego (niedeterministycznego) n podstwie wyrżeni regulrnego (lgorytm Thompson). Wejście: wyrżenie regulrne r nd lfetem T Wyjście : utomt skończony

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej). MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):

Bardziej szczegółowo

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-) Poniższe zdni pochodzą ze zbiorów: ) J. Rutkowski, Algebr bstrkcyjn w zdnich b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zdń z lgebry Do kolokwium proszę też przejrzeć zdni z ćwiczeń. Wszystkim życzę Wesołych

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x

Bardziej szczegółowo

Rys. 1. Schemat połączenia. = (grubość sklejki) = (grubość drewna) Szymon Skibicki, Katedra Budownictwa Ogólnego

Rys. 1. Schemat połączenia. = (grubość sklejki) = (grubość drewna) Szymon Skibicki, Katedra Budownictwa Ogólnego Szymo Sibici, Ktedr Budowictw Ogólego Przyłd obliczei połączei w rtowicy drewiej wyoego z pomocą łde z sleji iglstej gr. 8mm, łączoej gwoździe zgodie z Rys.. Sróty: EK5 P-E 995--:00AC:006A:008 W prmetrch

Bardziej szczegółowo

Programy współbieżne

Programy współbieżne Specyfikownie i weryfikownie Progrmy współieżne Mrek A. Bednrczyk, www.ipipn.gd.pl Litertur wiele prc dostępnych w Sieci np.: http://www.wikipedi.org/ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne PJP Prosty

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI Dodjąc( bądź odejmując) do siebie dw wektory (lub więcej), dodjemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO 1) z dnia 21 października 2011 r.

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO 1) z dnia 21 października 2011 r. Dzieik Ustaw Nr 251 14617 Poz. 1508 1508 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO 1) z dia 21 paździerika 2011 r. w sprawie sposobu podziału i trybu przekazywaia podmiotowej dotacji a dofiasowaie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych (1)

Rozwiązywanie układów równań liniowych (1) etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody dokłde rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etody dokłde pozwlą uzyskie rozwiązi w skończoe liczbie kroków obliczeiowych.

Bardziej szczegółowo

Fizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule

Fizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule Fizyk Kurs przygotowwczy n studi inżynierskie mgr Kmil Hule Dzień 3 Lbortorium Pomir dlczego mierzymy? Pomir jest nieodłączną częścią nuki. Stopień znjomości rzeczy często wiąże się ze sposobem ich pomiru.

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Foli Univ. Agric. Stetin. 2007, Oeconomic 254 (47), 117 122 Jolnt KONDRATOWICZ-POZORSKA ROLA KLIENTA W ZRÓWNOWAŻONYM ROZWOJU FIRMY ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w kl. VI.

Scenariusz lekcji matematyki w kl. VI. Alin Grodzk Scenriusz lekcji mtemtyki w kl. VI. Temt lekcji: Pol figur płskich - powtórzenie. Celem lekcji jest rozwijnie umiejętności rozpoznwni i klsyfikowni wielokątów, obliczni pól figur orz utrwlnie

Bardziej szczegółowo

1 Kryterium stabilności. 2 Stabilność liniowych układów sterowania

1 Kryterium stabilności. 2 Stabilność liniowych układów sterowania Kryterium stbilości Stbilość liiowych ukłdów sterowi Ukłd zmkięty liiowy i stcjory opisy rówiem () jest stbily, jeŝeli dl skończoej wrtości zkłócei przy dowolych wrtościch początkowych jego odpowiedź ustlo

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zagadnień technicznych SKRYPT. Siergiej Fialko

Modelowanie zagadnień technicznych SKRYPT. Siergiej Fialko Modelownie zgdnień technicznych SKRYPT Siergiej Filko Wydził Fizyki, Mtemtyki i Informtyki Politechniki Krkowskiej Krków Siergiej Filko Modelownie zgdnień technicznych. Niniejszy kurs jest poświęcony typowym

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań MATEMATYKA Przed próbą mturą Sprwdzi (poziom rozszerzoy) Rozwiązi zdń Zdie ( pkt) P Uczeń oblicz potęgi o wykłdikc wymieryc i stosuje prw dziłń potęgc o wykłdikc wymieryc 5 ( ) 7 5 Odpowiedź: C Zdie (

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Rekuperator to urządzenie

Rekuperator to urządzenie Rekupertor to urządzenie będące sercem cłego systemu wentylcji mechnicznej. Skłd się z zintegrownej obudowy, w której znjdują się dw wentyltory, w nszym przypdku energooszczędne. Jeden z nich służy do

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie I. ZASADY OGÓLNE PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnzjum nr 2 im. ks. Stnisłw Konrskiego nr 2 w Łukowie 1. W Gimnzjum nr 2 w Łukowie nuczne są: język ngielski - etp educyjny III.1 język

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY Przykłdowy zestw zdń r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod

Bardziej szczegółowo

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń

Bardziej szczegółowo

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY . Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest

Bardziej szczegółowo

MĘŻCZYŹNI. 2010 r. WYBRANE WSKAŹNIKI POWIATOWE W RELACJI DO ŚREDNIEJ WOJEWÓDZTWA W 2010 R. WOJEWÓDZTWO = 100 122,6 126,1 113,0

MĘŻCZYŹNI. 2010 r. WYBRANE WSKAŹNIKI POWIATOWE W RELACJI DO ŚREDNIEJ WOJEWÓDZTWA W 2010 R. WOJEWÓDZTWO = 100 122,6 126,1 113,0 URZĄD STATYSTYCZNY WE WROCŁAWIU WYBRANE DANE STATYSTYCZNE 2008 2009 2010 POWIAT JAWORSKI LUDNOŚĆ WEDŁUG PŁCI I WIEKU W LATACH 2010 I 2035 Poierzchni h 58155 58155 58155 51761 51581 51568 n 1 km 2 89 89

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane? INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj

Bardziej szczegółowo

3, leŝącym poniŝej punktu P. Wartości funkcji f są

3, leŝącym poniŝej punktu P. Wartości funkcji f są Odpowiedzi i schemty oceii Arkusz Zdi zmkięte Numer zdi Poprw odpowiedź Wskzówki do rozwiązi D ( 0 x )( x + b) x 0 + b 0 x xb x + ( 0 b) x + b 0 x + ( 0 b) x + b 0 0x + 0 0 WyrŜei po obu stroch rówości

Bardziej szczegółowo

Nadokreślony Układ Równań

Nadokreślony Układ Równań Mchł Pzos Istytut echolog Iforcyych Iżyer Ląoe Wyzł Iżyer Ląoe Poltech Kros Noreśloy Uł Róń Z oreśloy ułe loych róń lgebrczych y o czye sytuc, gy lczb loo ezleżych róń est ęsz ż yr przestrze (lczb zeych).

Bardziej szczegółowo

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zdi Odpowiedzi Pukty Bde umiejętości Obszr stdrdu. B 0 pluje i wykouje obliczei liczbch rzeczywistych,

Bardziej szczegółowo

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A Wzncznik mcierz Uwg Wzncznik definiujem tlko dl mcierz kwdrtowch:,,,,,, =,,,,,, n n n n nn n,,, det = n,,, n n nn - mcierz - wzncznik mcierz Wzncznik mcierz to wzncznik n wektorów, które stnowią kolumn

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Układy równań liniowych Macierze rzadkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Ukłdy równń liniowych Mcierze rzdkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Pln zjęć. Zdnie rozwiązni ukłdu równń liniowych..

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy przydziału

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy przydziału Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przediotu: Badaia operacyje Teat ćwiczeia: Probley przydziału Zachodiopoorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki Szczeci 20 Opracował:

Bardziej szczegółowo

Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia

Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia Wykªd 1 Mcierze i wyznczniki 11 Mcierze podstwowe okre±leni Denicj 1 Mcierz (rzeczywist ) wymiru m n, gdzie m, n N, nzywmy prostok tn tblic zªo»on z m n liczb rzeczywistych ustwionych w m wierszch i n

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

Podstawy wytrzymałości materiałów

Podstawy wytrzymałości materiałów Podstw wtrzmłości mteriłów IMiR - MiBM - Dodtek Nr 1 rkterstki geometrcze figur płskic Momet sttcze, środek ciężkości figur i jego wzczie, momet bezwłdości, główe cetrle osie bezwłdości, promieie bezwłdości,

Bardziej szczegółowo