Zagadnienia wielokryterialne
|
|
|
- Wiktoria Wójtowicz
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 0-0-0 Zgdiei ielokryterile Wielokryterile zgdiei decyzyje (Multiple riteri Decisio Problem - MDP) Istieje termi: Multicriteri decisio-id - Wspomgie decyzji ielokryterilych elem kryjącej się pod tym termiem dziłlości jest dostrczeie litykoi/decydetoi, ogólie uczestikom procesu decyzyjego, rzędzi stoiących pomoc roziązyiu problemu decyzyjego, którym kilk - często sprzeczych - puktó idzei musi być ziętych pod ugę Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Nleży stierdzić: Nie istieje, ogólości, jkkoliek decyzj (roziązie, dziłie), któr jest jlepsz jedocześie ze szystkich puktó idzei. Określeie optymlizcj ie m ztem, tym kotekście, sesu zego z klsyczej teorii optymlizcji W przeciieństie do klsyczych techik bdń opercyjych (opertios reserch), metody ielokryterile ie dją obiektyie jlepszych roziązń. Określeie spomgie ydje się iezbęde tych problemch, bo ostteczy ybór decyzji spośród opcji leży do decydet Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi
2 0-0-0 Problemy podejmoi decyzji ielokryterilych mogą być ogólie zklifikoe do dóch ktegorii: problemy decyzji ielotrybutoych (Multiple ttribute Decisio Problem - MDP) problemy decyzji ieloceloych (Multiple Objective Decisio Problem - MODP) Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Poróie: ech MDP Problem MODP Oce oprt o trybuty ele el Nie yrży prost Wyrźie określoy trybut Wyrźie określoy Nie yrży prost Ogriczeie Opcj Nie ystępują (łączoe trybuty) Skończo liczb, dyskrete (cześiej opise) Występują Nieskończo liczb, (pojiją się trkcie procesu decyzyjego) Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi
3 0-0-0 Zgdieie ielotrybutoe przykłd (Problem yboru smolotó myśliskich). Pee pństo zdecydoło się zkupić flotę odrzutoych myślicó US. Urzędicy Petgou przedstili iformcję o łściościch czterech modeli, które mogą być sprzede do tego krju. Zespół litykó Sił Poietrzych ziteresoego krju zgodził się, że leży rozżć sześć chrkterystyk (trybutó). Są to: mksyml prędkość (), zsięg lti (), mksymly łduek użyteczy (), koszt zkupu (), iezodość (), merolość (). Wrtości tych trybutó zostły przedstioe tblicy. Myśliiec trybut M średi b. ysok M isk średi M ysok ysok M średi średi Który z smolotó poiie ybrć ziteresoy krj, jeżeli chciłby mieć smolot jk jszybszy, o jk jiększym zsięgu, jk jiększej łdoości, jk jtńszy, jk jbrdziej iezody i jk jyższych zdolościch meroych? Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Zgdieie ieloceloe przykłd Firm produkuje d produkty. Kieroicto zdecydoło, że prgie zleźć pl produkcji, który będzie: mksymlizoć cłkoite zyski, mksymlizoć spodzieą liczbę opoych części ryku, spełić ogriczei procesoe (tj. dostępość suroc), uikąć sycei ryku (tj. być stie sprzedć szystkie yprodukoe yroby) Kżd jedostk produktu przyosi zysk ysokości jedostek pieiężych, drugiego jedostkę. Ustloo, że kżd sprzed jedostk produktu spooduje zdobycie jedostek udziłu ryku, drugiego produktu jedostek udziłu. Podto idomo, że jedostk produktu potrzebuje jedostki suroc do yprodukoi, jedostk produktu tylko jedostkę orz, że dostępych jest rozżym przedzile czsu tylko 0 jedostek suroc. W końcu ekspertyz ryku skzuje, że ie ięcej iż 0 jedostek produktu i ie ięcej iż 0 jedostek produktu poio być produkoe rozżym przedzile czsu Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi
4 0-0-0 metody roziązyi Przypomieie: Problemy ielotrybutoe problemy yzczei tkiej opcji decyzyjej spośród skończoego (liczboo iedużego) zbioru dopuszczlych opcji, któr zpei jk jlepsze osiągięcie szystkich rozptryych przez decydet kryterió trybutó Tk sformułoy problem problem yboru ielotrybutoego Ie sformułoi: problem sortoi ielotrybutoego przyporządkoie opcji do z góry określoych ktegorii problem porządkoi ielotrybutoego podził opcji klsy opcji jedkoo dobrych Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Die szkoły roziązyi problemó ielotrybutoych: szkoł merykńsk (Rlph Keeey, Hord Riff) metody ielotrybutoej teorii użyteczości szkoł europejsk (errd Roy, Philippe Vicke, Rom Słoiński) metody relcji przeyższi Metod szkoły merykńskiej HP (The lytic Hierrchy Process) Proces lityczej Hierrchizcji Metod szkoły europejskiej ELETRE Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 8
5 0-0-0 Proces lityczej hierrchizcji problemu decyzyjego The lytic Hierrchy Process utor: Thoms L. Sty, Uiversity of Pittsburgh, 9 Proces lityczej hierrchizcji problemu decyzyjego jest systemtyczą procedurą oprtą hierrchiczym przedstieiu elemetó problemu decyzyjego, tkich elemetó, które określją jego istotę Metod poleg dekompozycji problemu możliie proste jego elemety skłdoe i potem przetrziu sekecji oce osoby/grupy osób oprtych o poróyie prmi Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 9 Przykłd. Średiozmoż rodzi postoił kupić dom. W yiku rodziej dyskusji udło się określić osiem kryterió, które poiy służyć oceie domu. Kryteri te moż podzielić trzy grupy: ekoomicze, loklizcyje i fizycze. hociż moż było rozpocząć proces podejmoi decyzji od ocey zględej żości poszczególych grup kryterió, rodziie ydło się, że rczej poii oceić zględą żość poszczególych kryterió iż zjmoć się grupmi kryterió. Zdie poległo ostteczie yborze jedego z trzech domó-kdydtó. Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 0
6 0-0-0 Kroki roziązyi problemu Krok I - dekompozycj i przedstieie problemu postci hierrchiczej Kolejość rozżych poziomó hierrchii: POZIOM PIERWSZY - cel ogóly do osiągięci rozżym problemie POZIOMY NSTĘPNE kryteri-trybuty uszczegółoijące cel ogóly POZIOM NJNIŻSZY rozże opcje decyzyje-kdydci Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Poszczególe poziomy hierrchii: N pierszym jyższym poziomie zjdzie się ogóly cel KUPNO DOMU N drugim poziomie zjdzie się osiem trybutó kryterió uszczegółijących cel ogóly (ie zmy ich jeszcze), które poiy być oceioe ze zględu cel ogóly N trzecim - jiższym - poziomie zjdą się trzy domy opcje decyzyje kdydci, które poiy być oceioe ze zględu kryteri zjdujące się poziomie drugim Poziom Kupo domu Poziom trybut trybut... trybut 8 Poziom Dom Dom Dom Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi
7 0-0-0 Krok II - określeie/zdefiioie oceiych trybutó Zsd (hierrchiczej ciągłości): ) elemety iższego poziomu (kryteri, trybuty) muszą być poróyle prmi odiesieiu do elemetó yższego poziomu Przykłd: Nleży otrzymć rcjolą odpoiedź pytie: N ile dom jest lepszy od domu biorąc pod ugę kryterium Nleży otrzymć rcjolą odpoiedź pytie: N ile trybut jest żiejszy od trybutu przy kupie domu przez średiozmożą rodzię Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Zsd : ) struktur hierrchicz problemu musi obejmoć szystkie elemety (kryteri, trybuty) skze przez człokó grupy decyzyjej jko istote Przykłd: Poierzchi dziłki był uz z ży trybut, tylko przez jedego z człokó rodziy i zostł łączoy do zestu trybutó Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi
8 złokoie rodziy ybrli stępujące kryteri:. Rozmiry domu: ogól poierzchi domu, liczb pokoi, rozmiry pokoi, pojemość spiżri schokó;. Dogodość komuikcji publiczej: bliskość przystku utobuso., przystku metr, itp;. Otoczeie: tężeie ruchu uliczego, bezpieczeństo okolicy, łde idoki, iskie opłty (podtki), zdbe otoczeie;. Kiedy dom był zbudoy: ie potrzeb objśień;. Dziłk: poierzchi dziłki, przestrzeń przed domem, z tyłu, z boku tkże odległość od sąsidó;. Wyposżeie: klimtyzcj, syglizcj lrmo, zmyrk do czyń, usuie śmieci i podobe urządzei będące domu;. Ogóly st: ściy, dch, czystość, istlcj elektrycz, istlcj odo-klizcyj, potrzeb remotu 8. Wruki fisoe zkupu: ruki sprzedży i kredytu bkoego Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Krok III - specyfikcj opcji decyzyjych i osttecze grficze przedstieie hierrchii Iformcje o domch,, : Dom. Njiększy z domó, około łde okolice, iezbyt itesyy ruch drogoy, podtki z dom ieduże. Dziłk iększ iż domó i. Ogóly st domu ie jest jlepszy, potrzebe są zsdicze pry i mloie. Z tego poodu bk może fisoć zkup domu z dużym procetem, moż poiedzieć, że ruki fisoe są iezdoljące. Dom. Dom jest ieco miejszy od domu, położoy jest dleko od przystkó utobusoych, około itesyy ruch drogoy. Dom jest dosyć mły i brkuje im ooczesych udogodień. Z drugiej jedk stroy st domu jest brdzo dobry i dom moż dostć pożyczkę z dosyć iskim procetem; to ozcz, że ruki fisoe są pełi zdoljące. Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi
9 trybut : Rozmiry domu trybut : Dogodość komuikcji publiczej trybut : Otoczeie trybut : Kiedy dom był zbudoy trybut : Dziłk trybut : Wyposżeie trybut : Ogóly st trybut 8: Wruki fisoe Iformcje o domch,, c.d.: Dom. Dom jest brdzo mły i ie m im ooczesych udogodień. W okolicy duże podtki, le dom jest dobrym stie i jest bezpieczy. Dziłk jest iększ iż domu, le miejsz iż domu. Ogóly st domu dobry i dobrze yposżoy. Wruki fisoe zczie lepsze jk dl domu, le ie tk dobre jk dl domu. Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Poziom Dom Poziom Poziom Dom Dom Dom Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 8
10 Poziom el drzędy Poziom trybut trybut... trybut Poziom Podtrybut trybutu Podtrybut trybutu... Podtrybut m trybutu Poziom K Opcj Opcj... Opcj p Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 9 Krok IV - torzeie mcierzy poróń prmi Porói utorzoej hierrchii prodzimy prmi Mcierze poróń prmi torzymy dl poziomó,..., K Mcierze poróń prmi torzymy dl porói szystkich elemetó poziomu iższego zględem kolejych elemetó poziomu yższego Ztem: dl poziomu k (k=,..., K) liczb torzoych mcierzy poróń prmi ró się liczbie elemetó poziomu k- mcierze poróń prmi są mcierzmi kdrtoymi, dl poziomu k mjącymi ymir róy liczbie elemetó tym poziomie Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 0
11 0-0-0 Rozmiry domu publiczej Otoczeie domu Kiedy był zbudoy Dziłk Wyposżeie domu Ogóly st domu Wruki fisoe kup Przykłd: Mcierze poróń prmi utorzymy dl:. porói żości kryterió trybutó poziomu (rozmiry domu, dogodość komuikcji utobusoej,...) ze zględu ogóly cel poziomu (zdooleie z kup domu). porói kżdego z domó (,, ) opcji poziomu - ze zględu kryteri trybuty poziomu (rozmiry domu, dogodość komuikcji utobusoej) Musimy utorzyć: - jedą mcierz o ymirze 8x8, dl poróń prmi trybutó poziomu ze zględu cel poziomu - osiem mcierzy o ymirzex, dl poróń prmi opcji zkupu domu z poziomu ze zględu trybuty poziomu Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Przykłd: Kupo domu: mcierz poróń prmi dl poziomu : Kupo domu Dogodość komuikcji Rozmiry domu Dogodość komuikcji utobusoej Otoczeie domu Kiedy dom był zbudoy Dziłk Wyposżeie domu Ogóly st domu Wruki fisoe kup Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi
12 0-0-0 Kupo domu: mcierze poróń prmi dl poziomu : Rozmiry domu Otoczeie domu Dogodość komuikcji utobusoej Kiedy dom był zbudoy Dziłk Ogóly st domu Wyposżeie domu Wruki fisoe kup Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi gregcj oce z ykorzystiem mcierzy poróń prmi zczeie mcierzy poróń prmi Dyspoujemy,,..., - zbiór rozżych elemetó (kryterió, trybutó, opcji poziomu iższego) dym poziomie hcemy Kżdemu elemetoi,,..., - przypisć umeryczą żość, gę,,...,, tych elemetó zględem elemetó poziomu yższego, które mogą być iterpretoe jko użyteczości tych elemetó Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi
13 0-0-0 Wykoujemy Poróie poszczególych elemetó prmi, uzyskując liczby ij Mcierze poróń prmi:. i.... j... i j ij j i Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi ij ji 0, ; i, j ij, Włściości mcierzy poróń prmi:. Kdrto. Wymir określoy przez liczbę elemetó poróyych dym poziomie. Odrotie symetrycz. Liczbo (iekoieczie) Rozsądie jest przyjąć, że poio zchodzić: i j ij ; i, j,,..., ( ) czyli:... i... i... j... j j i j i ędziemy zkłdli: i, : i i i 0 Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi
14 0-0-0 Propozycj Th. Sty iego: poszukujemy przybliżoych oce elemetó poprzez yzczeie ektor spełijącego róie: mx gdzie mx jiększ rtość łs mcierzy Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Określie g: Sytucj : pe skl porócz istieje i poróie prmi yrżją się jko relcj tej skli N przykłd: Oceimy zsięgi smolotó myśliskich i oceimy d smoloty, smolot o zsięgu i smolot o zsięgu. W chrkterze ocey porói smolotu zględem smolotu do mcierzy porói prmi prodzić moż stosuek W /W. Odrotą rtość W /W moż prodzić do tej mcierzy jko oceę porói smolotu zględem Sytucj : ie istieje skl porócz (ocey oprte o subiektye odczuci) potrzeb jest pe skl liczbo preferecji N przykłd: Oceimy otoczeie domó, i oceimy d domy, i Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 8
15 0-0-0 Th. Sty zpropooł sklę preferecji zględej Dl porói dóch elemetó zpropooł yróżić pięć sytucji podstoych: Sytucj róożości, kiedy obyd elemety są róoże; Sytucj słbej preferecji, kiedy pierszy elemet jest słbo preferoy zględem drugiego, lbo odrotie; Sytucj istotej preferecji, kiedy pierszy elemet jest istotie preferoy zględem drugiego, lbo odrotie; Sytucj yrźej preferecji, kiedy pierszy elemet jest yrźie preferoy zględem drugiego, lbo odrotie; Sytucj bezzględej preferecji, kiedy pierszy elemet jest bezzględie preferoy zględem drugiego, lbo odrotie Th. Sty złożył tkże możliość ystąpiei preferecji pośredich efekcie zpropooł sklę dzieięciostopioą Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 9 Skl liczbo preferecji zględych edług Sty iego Oce porói prmi ij Preferecj Róożość elemetó i, j 9,,, 8 Odrotości podych yżej liczb Słb preferecj elemetu i tego zględem elemetu j tego Istot preferecj elemetu i tego zględem elemetu j tego Wyrź preferecj elemetu i tego zględem elemetu j tego ezzględ preferecj elemetu i tego zględem elemetu j tego Preferecje pośredie elemetu i tego zględem elemetu j tego Preferecje odrote stosuku do odpoiedich preferecji podych yżej Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 0
16 Rozmiry domu Dogodość komuikcji publiczej Otoczeie domu Kiedy był zbudoy Dziłk Wyposżeie domu Ogóly st domu Wruki fisoe kup Jkie pyti stimy przy poróyiu prmi elemetó i? Przykłdy: - ile żiejszy jest elemet iż - ile iększy pły m elemet iż? - ile elemet jest brdziej irygody iż? - ile elemet jest brdziej odpoiedi iż? - ile elemet jest lepszy iż? Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Kupo domu: mcierz poróń prmi dl poziomu (ypełio): Kupo domu Rozmiry domu Dogodość komuikcji utobusoej Kiedy dom był zbudoy Otoczeie domu 8 Dziłk Wyposżeie domu Ogóly st domu Wruki fisoe kup 8 Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi
17 0-0-0 Kupo domu: mcierze poróń prmi dl poziomu (ypełioe): Rozmiry domu 8 Otoczeie domu 8 Dogodość komuikcji publiczej Kiedy dom był zbudoy Dziłk Wyposżeie domu 8 8 Ogóly st domu Wruki fisoe kup Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Przed przystąpieiem do sytezy priorytetó oce spójości mcierzy poróń prmi Oce zgodości oce decydetó: - ideks zgodości. I. mx Subiektye złożeie: Jeżeli ideks zgodości jest miejszy od 0. moż być zdooloym z oce decydetó - stosuek zgodości Przypdkoy ideks zgodości R.I. R.I Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi
18 0-0-0 Stosuek zgodości. R.. I R. I Subiektye złożeie: Jeżeli stosuek zgodości jest miejszy od 0. moż być zdooloym z oce decydetó Jeżeli ideks zgodości i stosuek zgodości mją zbyt duże rtości leży poprosić decydetó o zstoieie i pooe podie oce Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Krok V obliczeie loklych priorytetó ) obliczeie jiększej rtości łsej b) obliczeie ektor łsego odpoidjącego tej rtości łsej Wykoujemy to dl kżdej mcierzy poróń prmi Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 8
19 Obliczie przybliżoego ektor łsego mcierzy poróń prmi metod Sty iego I: i j ij j i.. i j i i ij, i,. i i ; i, Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Obliczie przybliżoego ektor łsego mcierzy poróń prmi metod Sty iego II: i j ij j i.. j ij i ij j ij,, j, i, j,. i j ij j ij, j i, Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 8
20 Rozmiry domu Dogodość komuikcji utobusoej Otoczeie domu Kiedy był zbudoy Dziłk Wyposżeie domu Ogóly st domu Wruki fisoe kup Wektor priorytetó Obliczie przybliżoej rtości jiększej rtości łsej mcierzy poróń prmi metod Sty iego:. mx j j j lub. mx j i ij i j Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 9 Kupo domu: mcierz poróń prmi dl poziomu : Kupo domu Rozmiry domu Dogodość komuikcji utobusoej Otoczeie domu Kiedy dom był zbudoy Dziłk Wyposżeie domu Ogóly st domu Wruki fisoe kup I. 0.8.R. 0.9 mx 8 Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 0
21 0-0-0 Kupo domu: mcierze poróń prmi dl poziomu : Rozmiry domu mx Wektor priorytetó 8. Dogodość komuikcji utobusoej I R mx..i. 0. Wektor priorytetó R. 0. Otoczeie domu Wektor priorytetó 8 8 mx.0.i R. 0. Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Kupo domu: mcierze poróń prmi dl poziomu (c.d.): Kiedy dom był zbudoy mx.000.i Dziłk Wektor priorytetó R Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi mx.08 Wyposżeie domu mx.i Wektor priorytetó 8.R. 0.0.I Wektor priorytetó R. 0.0
22 Rozmiry domu Dogodość komuikcji utobusoej Otoczeie domu Kiedy był zbudoy Dziłk Wyposżeie domu Ogóly st domu Wruki fisoe kup Ogóle priorytety Kupo domu: mcierze poróń prmi dl poziomu (c.d.): Ogóly st domu Wektor priorytetó mx.000.i R Wruki fisoe kup Wektor priorytetó mx.0 Krok V obliczeie globlych priorytetó.i. 0.0.R. 0.0 obliczeie sumy iloczyó priorytetó kżdej głęzi od kdydt do celu ogólego Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Ogóly priorytet dom P Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi
23 Rozmiry domu Rozmiry domu Dogodość komuikcji utobusoej Dogodość komuikcji utobusoej Otoczeie domu Otoczeie domu Kiedy był zbudoy Kiedy był zbudoy Dziłk Dziłk Wyposżeie domu Wyposżeie domu Ogóly st domu Ogóly st domu Ogóle priorytety Ogóle priorytety Ogóly priorytet dom P Wruki fisoe kup Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Ogóly priorytet dom P Wruki fisoe kup Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi
24 0-0-0 Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi Zdie do smodzielego roziązi ybór miejsc prcy po studich bsolet yższej uczeli m możliość podjęci prcy jedym z trzech miejsc prcy, orz. Postoił o skorzystć z metody HP jko rzędzi spomgi decyzji. Jko kryteri-trybuty, które ksztłtują jego zdooleie z prcy ybrł:. możliości prodzei prc bdczych,. możliości su zodoego,. ysokość ygrodzei,. spółprcoicy, koledzy,. loklizcj miejsc prcy,. reputcj ryku prcy Dlej pode są mcierze poróń prmi jkie utorzył o relizując proces decyzyjy Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 8 prcy z Zdooleie di s Wygrodzeie Koledzy Loklizcj 9 9 putcj Re Oceń przedstioe yiki poróń prmi i przeprodź z ich pomocą proces decyzyjy yboru zdoljącego miejsc prcy po studich
25 0-0-0 Przykłdy zstosoń metody HP: ybór loklizcji ybór projektu dego przedsięzięci ybór dostcy ybór techologii ybór człokó zespołu, ybór kieroik projektu ybór produktu, p. ut, komputer... Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 9 Dziękuję z ugę Kzimierz Duzikieicz, dr hb. iż., Robert Piotroski, dr iż., Ktedr Iżyierii Systemó Steroi 0
Komputerowe Systemy Sterowania. Wieloatrybutowe problemy decyzyjne metody rozwiązywania
0-0-9 Komputeroe Systemy Wielotrybutoe problemy decyzyje metody roziązyi Przypomieie: Problemy ielotrybutoe problemy yzczei tkiej opcji decyzyjej spośród skończoego (liczboo iedużego) zbioru dopuszczlych
PODSTAWY ALGEBRY LINIOWEJ ALGEBRA MACIERZY
PODSTWY LGEBRY LINIOWEJ LGEBR MCIERZY Mcierzą prostokątą o m ierszch i kolumch zymy tblicę m liczb rzeczyistych ij (i,,...,m; j,,...,) zpisą postci ujętego isy kdrtoe prostokąt liczb M m M m Liczby rzeczyiste
Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń
MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,
Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP
Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +
Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO
Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi
Ocena ekspertów w analizach prowadzonych metodą AHP przy wyborze wariantów inwestycji
Oce ekspertó lizch prodzoych metodą AHP przy yborze ritó iestycji Dr iż. Elżbiet Szfrko Uiersytet Wrmińsko-Mzurski Olsztyie, Wydził Nuk Techiczych Alytic Hierrchy Process (AHP) jest jedą z metod lizy ielokryterilej,
Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.
5 CIĄGI 5 Defiicj ciągu Ciągiem liczbowym zywmy fukcję przyporządkowującą kżdej liczbie turlej liczbę rzeczywistej Ciąg zpisujemy często wyliczjąc wyrzy,, lub używmy zpisu { } lbo ( ) Ciągi liczbowe moż
2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a
Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy
3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.
Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak
WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE
Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem
5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny
5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,
Journal of Agribusiness and Rural Development
ISSN 1899-5772 Jourl of Agribusiess d Rurl Developmet www.jrd.edu.pl 4(10) 2008, 47-60 WYKORZYSTANIE ANALITYCZNEGO PROCESU HIERARCHICZNEGO W ANALIZIE SYSTEMU MOTYWACYJNEGO PRZEDSIĘBIORSTWA TRANSPORTOWEGO
Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
Collegium Novum Akademia Maturalna
Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu
Wybrane zagadnienia. Wykład 2a. Metoda simpleks rozwiązywania zadań programowania liniowego.
Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego Prowdzący: dr iiż.. Zbiigiiew TARAPATA De kotktowe: e-mil: WWW: Zbigiew.Trpt@wt.edu.pl http://trpt.stref.pl tel. : 83-94-3,
KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.
KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,
7. Szeregi funkcyjne
7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych
Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
Układy równań liniowych Macierze rzadkie
5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Ukłdy rówń liiowych Mcierze rzdkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Pl zjęć. Zdie rozwiązi ukłdu rówń liiowych.. Ćwiczeie -
Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.
Rchuek prwopoobieństw MA1181 Wyził T, MS, rok k. 2013/14, sem. zimowy Wykłowc: r hb. A. Jurlewicz Wykł 9: Róże rozje zbieżości ciągów zmieych losowych. rw wielkich liczb. Zbieżość z prwopoobieństwem 1:
Twoje zdrowie -isamopoczucie
Twoje zdrowie -ismopoczucie Kidney Disese nd Qulity of Life (KDQOL-SF ) Poniższ nkiet zwier pytni dotyczące Pn/Pni opinii o włsnym zdrowiu. Informcje te pozwolą nm zorientowć się, jkie jest Pn/Pni smopoczucie
Ciągi liczbowe podstawowe definicje i własności
Ciągi liczbowe podstwowe defiicje i włsości DEF *. Ciągiem liczbowym (ieskończoym) zywmy odwzorowie zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. :. Przyjęto zpis:,,...,,... Przy czym zywmy -tym
Wykład 8: Całka oznanczona
Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy
HIERARCHIZACJA KRYTERIÓW OCENY JAKOŚCI PROCESÓW SERWISOWANIA MASZYN ROLNICZYCH METODĄ PORÓWNYWANIA
I N Ż YNIERIA R OLNICZA A GRICULTURAL E NGINEERING 2012: Z. 2(136) T. 1 S. 299-306 ISSN 1429-7264 Polskie Torzysto Iżyierii Roliczej http://.ptir.org HIERARCHIZACJA RYTERIÓW OCENY JAOŚCI PROCESÓW SERWISOWANIA
Matematyka finansowa 25.01.2003 r.
Memyk fisow 5.0.003 r.. Kóre z poiższych ożsmości są prwdziwe? (i) ( ) i v v i k m k m + (ii) ( ) ( ) ( ) m m v (iii) ( ) ( ) 0 + + + v i v i i Odpowiedź: A. ylko (i) B. ylko (ii) C. ylko (iii) D. (i),
ZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2).
ZADANIA NA POCZA TEK Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 4 3 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4
O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych
Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć
Systemy Wyszukiwania Informacji
Uniersytet Śląski Systemy Wyszkini Informcji Agnieszk Nok Brzezińsk gnieszk.nok@s.ed.pl Instytt Informtyki Zkłd Systemó Informtycznych Uniersytet Śląski Wrnki zliczeni przedmiot Ooiązko oecność n ykłdch
Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Matematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4
Mtemty wyre zgdiei List r 4 Zdie Jeżeli ułd wetorów v, v przestrzei liiowej V ie jest liiowo iezleży, to mówimy, że wetory v, v są liiowo zleże Udowodić stępujące twierdzeie: Ułd wetorów v, v ( ) jest
CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.
CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.
SYSTEM WIELKOŚCI CHARAKTERYZUJĄCY POTENCJALNĄ I ODDZIELONĄ CZĄSTKĘ ZUŻYCIA TRIBOLOGICZNEGO
6-0 T B O L O G 8 Piotr SDOWSK * SYSTEM WELKOŚC CKTEYZUĄCY POTECLĄ ODDZELOĄ CZĄSTKĘ ZUŻYC TBOLOGCZEGO SYSTEM OF VLUES CCTEZED POTETL D SEPTED WE PTCLE Słow kluczowe: prc trci, zużywie ściere, cząstk zużyci,
Zastosowanie metody analizy hierarchicznej problemu
54 Kzimierz Wiicki Ktedr Ekoomii, Politechik Rzeszowsk Adrzej Jurek Akdemi Rolicz w Szczeciie Mrek Ldowski Akdemi Morsk w Szczeciie Zstosowie metody lizy hierrchiczej problemu Wstêp Metod lizy hierrchiczej
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego
Macierze w MS Excel 2007
Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy
Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy
Temt: Mcierze Pojęci Dziłni n mcierzch Wyzncznik mcierzy Symbolem gwizdki (*) oznczono zgdnieni przeznczone dl studentów wybitnie zinteresownych prezentowną temtyką. Ann Rjfur Pojęcie mcierzy Mcierz to
DZIAŁ 2. Figury geometryczne
1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko
Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
kdei Morsk w Gdyi Ktedr utotyki Okrętowej Teori sterowi lgebr cierzow Mirosłw Toer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W owoczesej teorii sterowi brdzo często istieje potrzeb zstosowi otcji cierzowej uprszczjącej
KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
GRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana
GRAFY podstwowe definicje GRAFY i SIECI Grf: G = ( V, E ) - pr uporządkown V = {,,..., n } E { {i, j} : i j i i, j V } - zbiór wierzchołków grfu - zbiór krwędzi grfu Terminologi: grf = grf symetryczny,
WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
smoleńska jako nierozwiązywalny konflikt?
D y s k u s j smoleńsk jko nierozwiązywlny konflikt? Wiktor Sorl Michł Bilewicz Mikołj Winiewski Wrszw, 2014 1 Kto nprwdę stł z zmchmi n WTC lub z zbójstwem kżnej Diny? Dlczego epidemi AIDS rozpowszechnił
Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
MACIERZE I WYZNACZNIKI
MCIERZE I WYZNCZNIKI Defiicj Mcierą o współcyikch recywistych (espoloych) i wymire m x ywmy pryporądkowie kżdej pre licb turlych (i,k), i,,, m, k,,,, dokłdie jedej licby recywistej ik [ ik ] mx (espoloej)
Współzależności między wykluczeniem społecznym a edukacją
Współzależości między ykluczeiem społeczym a edukacją Tomasz Paek Warszaa, 30 czerca 2014 ZWIĄZKI POMIĘDZY WYKLUCZENIEM SPOŁECZNYM A EDUKACJĄ Wykształceie oraz kompetecje są jedym z podstaoych yzaczikó
Wykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb.
Rchuek prwdopodobieństw MA064 Wydził Elektroiki, rok kd. 2008/09, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 2: Sumowie iezleżych zmieych losowych i jego związek ze splotem gęstości i trsformtmi Lplce
WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Rachunek wektorowo-macierzowy w programie SciLab
Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Dziłi liczbch Dodwie i odejmowie + b 3 + = 5 b = + (-b) 3 = 3 + (-) = + 0 = + (-) = 0 Rchuek wektorowo-mcierzowy w
1.5. Iloczyn wektorowy. Definicja oraz k. Niech i
.. Iloczyn ektoroy. Definicj. Niech i, j orz k. Iloczynem ektoroym ektoró = i j k orz = i j k nzymy ektor i j k.= ( )i ( )j ( )k Skrótoo możn iloczyn ektoroy zpisć postci yzncznik: i j k. Poniżej podno
a Komisją Zakładową NSZZ Solidarność Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, reprezentowaną przez: mgr Krystynę Andrzejewską
POROZUMIENIE zwrte w dniu 11 czerwc 2015 roku w sprwie zsd zwiększeni wyngrodzeń prcowników Uniwersytetu im. Adm Mickiewicz w Poznniu od 1 styczni 2015 roku pomiędzy: Uniwersytetem im. Adm Mickiewicz w
METODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Rozwiązywanie układów równań liniowych. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer.
ETODY NUERYCZNE Wykłd 6. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych dr hb. iż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH et.numer. wykłd 6 Pl etody dokłde etod elimicji Guss etod Guss-Seidl Rozkłd LU et.numer. wykłd 6 Ukłd rówń
Wyrównanie sieci niwelacyjnej
1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa
Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut
PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje
PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze
Wprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
2. Na ich rozwiązanie masz 90 minut. Piętnaście minut przed upływem tego czasu zostaniesz o tym poinformowany przez członka Komisji Konkursowej.
Kod uczni... MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów Rok szkolny 03/0 ETAP SZKOLNY - 5 pździernik 03 roku. Przed Tobą zestw zdń konkursowych.. N ich rozwiąznie msz 90 minut. Piętnście minut
Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie
Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
WNIOSEK O PRZYZNANIE STYPENDIUM SZKOLNEGO
WNIOSEK O PRZYZNANIE STYPENDIUM SZKOLNEGO w roku szkolnym... I. Dne osoowe uczni / słuchcz Nzwisko..... Imion...... Imię ojc i mtki...... PESEL uczni / słuchcz Dt i miejsce urodzeni... II. Adres zmieszkni
O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI
ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,
MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
SZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową
MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic
![MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic](/thumbs/26/7422983.jpg "MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic")
MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,
Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1
lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Rchuek prwdopodobieństw MA5 Wydził Elektroiki, rok kd. 20/2, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 7: Zmiee losowe dwuwymirowe. Rozkłdy łącze, brzegowe. Niezleżość zmieych losowych. Momety. Współczyik
Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk
Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)
Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assignment Problem)
![D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assignment Problem)](/thumbs/98/136777750.jpg "D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assignment Problem)")
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badaia operacyje (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assigmet Problem) Bliskim "krewiakiem" ZT (w sesie podobieństwa modelu decyzyjego) jest zagadieie
Raport na temat stężenia fluorków w wodzie przeznaczonej do spożycia przez ludzi będącej pod nadzorem PPIS w Gdyni za 2006 rok
POWIATOWA STACJA SANITARNO-EPIDEIOLOGICZNA W GDYNI LABORATORIU BADAŃ FIZYKO-CHEICZNYCH WODY Słomir Piliszek Rport n temt stężeni fluorkó odzie przeznczonej do spożyci przez ludzi będącej pod ndzorem PPIS
Rys. 1. Schemat połączenia. = (grubość sklejki) = (grubość drewna) Szymon Skibicki, Katedra Budownictwa Ogólnego
Szymo Sibici, Ktedr Budowictw Ogólego Przyłd obliczei połączei w rtowicy drewiej wyoego z pomocą łde z sleji iglstej gr. 8mm, łączoej gwoździe zgodie z Rys.. Sróty: EK5 P-E 995--:00AC:006A:008 W prmetrch
4.3. Przekształcenia automatów skończonych
4.3. Przeksztłceni utomtów skończonych Konstrukcj utomtu skończonego (niedeterministycznego) n podstwie wyrżeni regulrnego (lgorytm Thompson). Wejście: wyrżenie regulrne r nd lfetem T Wyjście : utomt skończony
Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Wartości i wektory własne
Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk rtości i ektory łse ektorem łsym mcierzy A [ ] zymy kżdy iezeroy ektor V, który zchoue kieruek po ykoiu
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Pierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Analiza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera
Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie
Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne
Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):
Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)
Poniższe zdni pochodzą ze zbiorów: ) J. Rutkowski, Algebr bstrkcyjn w zdnich b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zdń z lgebry Do kolokwium proszę też przejrzeć zdni z ćwiczeń. Wszystkim życzę Wesołych
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania
Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x
Programy współbieżne
Specyfikownie i weryfikownie Progrmy współieżne Mrek A. Bednrczyk, www.ipipn.gd.pl Litertur wiele prc dostępnych w Sieci np.: http://www.wikipedi.org/ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne PJP Prosty
Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera
Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki
Zbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe
pojęci zbioru i elementu RCHUNEK ZIORÓW zbiór zwier element element nleży do zbioru jest elementem zbioru ( X zbiór wszystkich przedmiotów indywidulnych, których dotyczy dn nuk zbiór pełny (uniwerslny
Spis treści. Wstęp... 4
pis treści Wstęp... 4 Zdni mturlne......................................................... 5 1. Funkcj kwdrtow... 5. Wielominy... 7. Trygonometri... 9 4. Wrtość bezwzględn... 11 5. Plnimetri... 15 6.
Przekształcenia automatów skończonych
Przeksztłceni utomtów skończonych Teori utomtów i języków formlnych Dr inŝ. Jnusz Mjewski Ktedr Informtyki Konstrukcj utomtu skończonego n podstwie wyrŝeni regulrnego (lgorytm Thompson) Wejście: wyrŝenie
4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
ROZPORZĄDZENIE MINISTRA NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO 1) z dnia 21 października 2011 r.
Dzieik Ustaw Nr 251 14617 Poz. 1508 1508 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO 1) z dia 21 paździerika 2011 r. w sprawie sposobu podziału i trybu przekazywaia podmiotowej dotacji a dofiasowaie
4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.
4. Reurecj. Zleżości reurecyje, lgorytmy reurecyje, szczególe fucje tworzące. Reurecj poleg rozwiązywiu problemu w oprciu o rozwiązi tego smego problemu dl dych o miejszych rozmirch. W iformtyce reurecj
MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań
MATEMATYKA Przed próbą mturą Sprwdzi (poziom rozszerzoy) Rozwiązi zdń Zdie ( pkt) P Uczeń oblicz potęgi o wykłdikc wymieryc i stosuje prw dziłń potęgc o wykłdikc wymieryc 5 ( ) 7 5 Odpowiedź: C Zdie (
ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.