Wartości i wektory własne

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wartości i wektory własne"

Transkrypt

1 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk rtości i ektory łse ektorem łsym mcierzy A [ ] zymy kżdy iezeroy ektor V, który zchoue kieruek po ykoiu możei przez tę mcierz: A V V. () ielkość est rtością łsą mcierzy A odpoidącą ektoroi łsemu V. Rzeczyist i symetrycz mcierz A posid yłączie rzeczyiste rtości łse, orz zbiór liioo iezleżych ektoró łsych ozczoych V, V,..., V. ektory te oczyiście ie są yzczoe edozczie, poież kżdy z ich może zostć pomożoy przez iezeroą stłą, dle pozostąc ektorem łsym (defiic). Kżdy ektor łsy m odpoidącą rtość łsą, ozczoą,,...,. rtości łse dl de mcierzy są określoe edozczie. Zbiór szystkich rtości łsych mcierzy zymy ektrum te mcierzy. Róiem chrkterystyczym mcierzy A zymy róie: ( I ) p( ) 0 det A, () którym I [ ] ozcz mcierz edostkoą. yrżeie stoące po lee stroie tego rói est ielomiem p stopi zmiee. k ięc yzczeie ektrum mcierzy A est róozcze z yzczeiem szystkich pieristkó rói (). Mcierz A est pieristkiem łsego rói chrkterystyczego, czyli: p ( A) 0. (3) ierdzeie poyższe osi zę tierdzei Cyley Hmilto. Podto, eżeli q ( x) est ielomiem rtością łsą mcierzy A to q ( ) est rtością łsą mcierzy q ( A). Przeksztłceie przez podobieństo ie zmiei rtości łsych mcierzy, czyli eżeli istiee odrcl mcierz P [ ] to rtości łse mcierzy P A P i mcierzy A są róe. Przeksztłceie ortogole ie zmiei rtości łsych mcierzy, czyli eżeli istiee odrcl mcierz Q [ ] tk, że Q Q I to rtości łse mcierzy Q A Q i mcierzy A są róe (iosek z tierdzei poprzediego). Dl symetrycze dodtio określoe mcierzy A i iezeroego ektor zchodzi ziązek: A 0 < mi mx. (4) Do oszcoi ektrum rtości łsych doole mcierzy kdrtoe możemy użyć tierdzei Gerszgori, tomist przypdku symetrycze mcierzy tródigole możemy zstosoć ciągi Sturm do określei z doolą dokłdością przedziłó, których zduą się e poszczególe rtości łse. Numerycze yzczie rtości łsych mcierzy est edym z brdzie żmudych zdń podstoe lizy umerycze. Jedk ze zględu zstosoi prktycze zostło oprcoych iele metod służących do roziązi tego zgdiei. Metody te moż podzielić trzy ktegorie:

2 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk metody pozlące zlezieie szystkich rtości i ektoró łsych, p. metody: Jcobiego z róież metodą trsformci ortogolych, Lczos i Husholder połączeu z metodą rozkłdu Q R ; metody pozlące yzczeie ybre rtości i odpoidącego e ektor łsego, p. metod potęgo, ogólości pozląc yzczeie rtości łse bliższe pode liczbie i odpoidącego e ektor łsego; metody pozlące obliczeie grupy rtości łsych i odpoidących im ektoró łsych. Przed yborem metody obliczeń leży obec poyższego, ze zględu efektyość czsoą obliczeń, zstoić się, czy będą m potrzebe szystkie rtości łse lizoe mcierzy, czy tylko ich ybry podzbiór, czy też ed edy rtość łs ełiąc określoe ruki. dlsze części prcy zmiemy się diem metodmi yzczi rtości łsych rzeczyiste mcierzy symetrycze. Metod Jcobiego Metod Jcobiego (trsformci ortogolych) poleg ykoiu yścioe mcierzy A [ ] ciągu trsformci ortogolych, yiku których mcierz t zostie doprodzo do postci digole D [ ]. mcierzy digole przekąte głóe zdą się rtości łse mcierzy yścioe, tomist ektory łse odpoidące tym rtościom łsym będą zpise kolumch mcierzy [ ]. gdzie: {} i A D, (5) { m} { i} { } { } Q... Q... Q Q. (6) est iloczyem mcierzy Q defiiuących kolee trsformce ortogole i,,..., m. rsformce ortogole są ykoye tki osób, by koleo zeroć pry elemetó mcierzy A rozmieszczoych symetryczie zględem przekąte głóe i iększych co do modułu. k ięc lgorytm metody moż rozbić stępuące kroki:. ybór elemetu iodącego trsformci ortogole, czyli yzczeie ideksó p i q elemetu mcierzy A iększego co do modułu, ie leżącego przekąte głóe te mcierzy:. yzczeie mcierzy trsformci ełiły ruek: { i} { i} p, q : pq mx. (7) kl, A k l,,..., k l { i} Q tk, by elemety oe mcierzy: } { i} { i} { i} Q A } } Q 0, (9) pq qp i yzczeie elemetó oe mcierzy A }.Jk łto rdzić, eżeli mcierz Q { i} przymiemy ko mcierz edostkoą, które zmieioo edyie elemety: (8)

3 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk q pp q q q qp pq qq s s c, (0) czyli osttecz mcierz będzie mił postć: Q {} i p q L M 0 L M 0 L M 0 L p q 0 L 0 L 0 M M M c L s L 0 M M M s L c L 0 M M M 0 L 0 L 0, () to ełieie ruku ortogolości Q Q I est róozcze z zżądiem by ielkości ozczoe ko c i s ełiły zleżość: c + s. () ruek te est edocześie rukiem ystrczącym ortogolości mcierzy Q. Jk łto się przekoć, trkcie trsformci (8) zmieią się edyie elemety mcierzy A leżące do ierszy i kolum optrzoych skźikmi p i q. Odpoiedie zory trsformcye mą postć: } { i} { i} { i} pp } {} i {} i {} i qq } {} i {} i {} i ( c s ) + c s ( ) pq c s pp pp + s + c pq } { i} { i} rp c s + c s + c qq qq } {} i {} i rq s } {} i {} i rq c } {} i {} i rq s rp rp pr pr rq rq qr qr s c + s c pp pq pq qq r p, r q, (3), (4) i moż e yprodzić przykłd przez bezpośredie ykoie operci mcierzoych ystępuących (8). ruek (9) połączeiu z róiem (3) 3 służy do yzczei c i s dl bieżące iterci. A mioicie, poież: est róoże: ozczoemu η, przy podstieiu róie (6) przechodzi : { i} { i} { i} ( s ) + c s ( ) 0 c (5) c pq s pp { i} { i} qq qq pp η {}, (6) i c s pq s t (7) c 3

4 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk t + η t 0, (8) czyli zykłe róie kdrtoe ze zględu pomociczą zmieą t. Pieristki tego rói moż yzczyć posługuąc się dobrze zymi zormi, edk, ze zględu poprę stbilości umerycze roziązi, do yzczei mieszego z ich korzystie est stosoć formułę: ( η) sg t. (9) η + η + Gdyby edkże η było tk duże, że η poodołoby ystąpieie błędu dmiru trkcie ykoyi obliczeń, leży zstosoć formułę: t. (0) η Po yzczeiu rtości zmiee pomocicze t porcmy do yścioych ieidomych c i s, korzystąc z zleżości () i (7): 3. Obliczeie mcierzy ektoró łsych podstie zleżości: { 0} est mcierz edostko. Stosoe zory trsform- przy czym początkoą mcierzą cye przymą postć: c t +. () s t c } { i} { i} Q, () } { i} { i} rp c rp s rq { } {} {} r,,..., i+ i i rq s rp + c rq, (3) któr yik z fktu, że koleych itercch zmieią się yłączie kolumy p i q mcierzy. 4. Sprdzeie ruku zkończei obliczeń: } { } < ε i+, (4) s którym liczik i mioik ułmk są odpoiedio róe: dl ormy mksimum, lub: s } } mx i,,,..., i } } mx i,,..., i i } } s } } ii i ( ) ( ii ) i i (5) (6) 4

5 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk dl ormy średiokdrtoe. Jeżeli ruek (4) est ełioy dl rzucoe przez użytkoik dokłdości ε, to kończymy obliczei, przeciym przypdku kotyuuemy prcę poczyąc od yzczei oego } elemetu iodącego pq (7). k obr metod postępoi będzie zbież, poież eśli obliczymy sumę kdrtó elemetó mcierzy A leżących poz przekątą głóą i ozczymy { i} {} i ą przez S : to prost z (4) yik, że: S S ( ) {} i {} i i i } {} i {} i S i ( ) pq, (7), (8) czyli, że liczik ułmk e zorze (4) będzie mootoiczie mlł do zer koleych itercch, ięc dl doolie młego dodtiego ε ruek (4) zostie ełioy po skończoe liczbie iterci. Metod Jcobiego est efekty dl mcierzy A o ieielkich rozmirch (rzędu 0). Do prodzei obliczeń dużych mcierzch leży stosoć ie, brdzie efektye metody, p. metodę Husholder lub Lczos by doprodzić mcierz yścioą do postci tródigole stępie metodę rozkłdu Q R do yzczei rtości i ektoró łsych tk zredukoe mcierzy. Algorytm postępoi przedsti się stępuąco:. ybrć elemet iodący (czyli yzczyć p i q ) (7);. Obliczyć η i t (6), (9); 3. Obliczyć c i s (); 4. yzczyć 5. yzczyć } A (8) lub (3), (4); } () lub (3); 6. Sprdzić ruek (4). zleżości od yiku rdzei lbo leży rócić do., lbo zkończyć prcę. Dl lepsze ilustrci osobu postępoi przedstimy go przykłdzie obliczi szystkich rtości łsych i odpoidących im ektoró łsych mcierzy A [ 4 4] z dokłdością ε : 3 4 A A. (9)

6 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk Iterc piersz:. Elemet iodący (iększy co do modułu elemet mcierzy p 3, q 4.. ółczyiki η i t : 3. ółczyiki c i s : 4. Mcierz A {} : { 0} { 0} 33, 34 5, {} 0 7 η sg( η) sg( 000) t 0,68034 η + η + 0, ( 0,500000) c 0,85065 t + ( 0,68034) + s t c 0, , ,5573 { 0} A oz przekąte głóe). (30). (3) 0 0 0,000 Q 0 0 0,000 0,85 0, c s. (3) 0,56 0, s c A {} { 0} { 0} { 0 Q A Q } 5. Mcierz {} :,000,000 0,85 0,56 0,56 0, ,000,000 0,85 0,85 0,56 0,56 { } { 0} { 0 Q } 3,000,000,954,000,000,76,954,76,090,877,90,877,90 0,090. (33) ,000,000 0,85 0,56 0,56 0,85 6. ruek zkończei obliczeń ( ormie mksimum): s {} { } mx i,,,3,4 {} {} mx i,,3,4 ii i i 0,09070,000,000 0,85 0,56, ,56 0,85. (34), (35) s {}, {} 0, 978 > ε 0,09070 czyli koiecze est ykoie stępe iterci., (36) 6

7 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk Iterc drug:. Elemet iodący (iększy co do modułu elemet mcierzy p, q 3.. ółczyiki η i t : 3. ółczyiki c i s : 4. Mcierz A {} : {} {} { } 3, 3,953575, 33 {} {} 33, {},09070 η 0, , sg( η) sg( 0,33308) t 0,77657 η + η + 0, ( 0,33308) c 0, t + ( 0,77657) + s t c 0, , , { } A oz przekąte głóe). (37). (38) c 0 s 0 0,809 0,588 {} 0 0 0,000 Q. (39) 0,588 0,809 s 0 c 0 0, A {} { } { } { Q A Q } 0,809 0,588,000 0, Mcierz {} : 0,809,000 3,000,000,954,877,000,000,76,90,954,76,090,877,90 0,090 { } { } { Q } 0,809 0,588,000 0,588 0,809,000 5,49 0,96,36 0,96,000,7,90,7,059,693,36,90,693 0,090. (40),000,000 0,85 0,56 0,56 0,85 0,809 0,588,000 0,588 0,809, ruek zkończei obliczeń ( ormie mksimum): s {} { } mx i,,,3,4 i {} {} mx i,,3,4 ii i,3605 0, ,809,000 0,50 0,309 0,588 0,688 0,45 0,56 0,85. (4), (4) s {} {},3605 0, 3054 > ε 0,09070 czyli dle koiecze est ykoie stępe iterci., (43) 7

8 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk Iterc trzeci:. Elemet iodący (iększy co do modułu elemet mcierzy p, q 4.. ółczyiki η i t : 3. ółczyiki c i s : 4. Mcierz A {} 3 : { } { } { } 5,4990, 4,3605, 44 {} {} 44 0,09070 {} 0, ,4990 η, ,3605 sg( η) sg(,75584) t 0,4945 η + η + 3, ( 3,75584) c 0, t + ( 0,4945) + s t c 0,4945 0, ,4760 { } A oz przekąte głóe). (44). (45) c 0 0 s 0,989 0,48 {} 0 0 0,000 Q. (46) ,48 0,989 s 0 0 c A {} 3 { } { } { Q A Q } 0,989 0,48,000,000 0,48 5. Mcierz {} 3 : 0,989 5,49 0,96 0,96,000,7,7,059,36,90,693,36,90,693 0,090 { 3} { } { Q } 0,989 0,48,000,000 0,48 0,989 5,496,96 0,50,96,000,7,745 0,50,7,059,674,745,674 0,437. (47) 0,809,000 0,50 0,309 0,588 0,688 0,45 0,56 0,85 0,989,000,000 0,48 0,48 0, ruek zkończei obliczeń ( ormie mksimum): s {} 3 { 3} mx i,,,3,4 i {} 3 {} 3 mx i,,3,4 ii i,730 0, ,800 0,47 0,43,000 0,588 0,688 0,45 0,9 0,594 0,796. (48), (49) s {} 3,730 {} 0, 0386 > ε 3 0, czyli dle koiecze est ykoie stępe iterci., (50) 8

9 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk Ostteczie po ykoiu iterci otrzymuemy: 5,66 { },66 0,00 D A, (5) 0,03 0,00,37 i ruek zkończei obliczeń: 0,836 0,37 0,44 0,54 { } 0,9 0,883 0,350 0,88, (5) 0,346 0,09 0,794 0,489 0,40 0,38 0,76 0,809 s { } { } mx i,,,3,4 i { } { } mx i,,3,4 ii i 65,3700 { } 65 { } 0, < ε, (53), (54) s,3700 podczs gdy rtości ścisłe mcierzy D i są róe odpoiedio: 5,66 { ść},66 D A, (55) 0,03,37 0,836 0,37 0,44 0,54 { ść} 0,9 0,883 0,350 0,88. (56) 0,346 0,09 0,794 0,489 0,40 0,38 0,76 0,809 Jk idć przyęcie ruku zkończei obliczeń ormie mksimum z dopuszczlym poziomem błędu ε 0, 000 pozoliło yzczeie szystkich rtości i ektoró łsych mcierzy A z dokłdością co mie trzech cyfr zczących z k Rys.. Błąd metody Jcobiego ormie mksimum (k liczb iterci). k 9

10 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk Metod potęgo Metod potęgo ersi podstoe służy do yzczei mksymle co do modułu rtości łse i odpoidącego e ektor łsego. Jeżeli edk ykorzystmy fkty, że rtości łse mcierzy odrote są odrotościmi rtości łsych mcierzy de orz że modyfikc mcierzy polegąc dodiu do elemetó e przekąte głóe pee liczby d poodue przesuięcie szystkich rtości łsych te mcierzy o tę smą liczbę d (przesuięcie idm), możemy przy pomocy metody potęgoe yzczyć rtość łsą bliższą doole liczbie. Metod potęgo poleg ykoiu ciągu możeń przyętego ektor strtoego przez mcierz, które domiuące rtości łse i odpoidącego ektor łsego poszukuemy. Procedur tk est róozcz pomożeiu ektor strtoego przez mcierz yścioą podiesioą do potęgi róe liczbie iterci. ektor będący iloczyem zmierz tedy do ektor odpoidącego iększe rtości łse, smą rtość łsą możemy tomist obliczyć z yrżei zego ilorzem Ryleigh (4). Uzsdieie poprości metody est stępuące. Rozżmy dooly ektor orz ciąg operci możei tego ektor przez mcierz A [ ] : { } { 0} {} {} { k+ } {} k k+ A A A M A A A... A A. (57) Poież kżdy ektor przestrzei ymiroe moż przedstić ko kombicę liioą ektoró łsych sze mcierzy, to szczególości: α V, (58) gdzie V ozcz ty ektor łsy α możik. Przymimy podto, dl prostoty zpisu, że rtości łse są uporządkoe koleości od iększe do miesze co do modułu (skźik ). Podstiąc (58) do (57) 3 otrzymuemy: { k+ } A Poież, mocy defiici problemu łsego, zchodzi ziązek: k+ to ostti czło yrżei (59) est róy: A k+ α V α A V. (59) V k+ k+ V, (60) k+ k+ α A V α V, (6) co, po yciągięciu przed zk sumy domiuące rtości łse ostteczie prodzi do stępuące zleżości, iążące ektor z rtościmi i ektormi łsymi mcierzy A : { k+} k+ { k+ } k+ α V. (6) 0

11 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk Zgodie z cześieszym złożeiem est domiuącą rtością łsą, czyli zchodzi zleżość: < dl, (63) ięc gdy k+ k to 0. Jk z tego idć lim k {} k { k+ } skł {} k V,. (64) e zorze (64) symbol skł ozcz doolie ybrą skłdoą ektor. Ze zględu stbilość umeryczą procedury, po kżdym kroku potęgoym (57) oo uzysky ektor ormlizuemy, czyli zstępuemy ektorem o tym smym kieruku i { k +} } } } zrocie, le długości róe, czyli (gdyby te operci ie ykoć to długość ektor po koleych krokch lbo rosł by do ieskończoości, eżeli długość ektor strtoego był iększ od edości, lbo mlł do zer przeciym przypdku) rtości łse ie obliczmy prost ze zoru (64) le z ilorzu Ryleigh: { k} { k} A {} k {} k skł {} k {} k { k+ }. (65) Oczyiście po kżde iterci leży rdzić ruki zkończei obliczeń postci błędu zbieżości rtości łse i ektor łsego: { k + } { k} { k+ } { k + } { k} < ε < ε. (66) Poież tempo zbieżości rtości łse est zczie yższe iż tempo zbieżości ektor łsego, dobór rtości ε i ε poiie być ykoyy rozżie, złszcz dl dużych mcierzy. szczególości leży się zstoić, czy dlsze lizie są m potrzebe zróo rtość k i odpoidący e ektor łsy, eżeli tk, to czy muszą być yzczoe tk smo precyzyie. Przy rdziu ruku (66) leży mieć udze fkt, że eżeli domiuąc rtość łs est uem, to ektory będące koleymi przybliżeimi odpoidącego e ektor łsego co iterc będą zmieiły zrot przeciy. Ostteczy lgorytm metody ygląd stępuąco: yzczyć ektor strtoy mąc zględzie fkt, że ego dobór może mieć zczący pły liczbę ykoych iterci. Oczyiście, k łto się domyślić, im ektor strtoy est bliższy poszukiemu ektoroi łsemu, tym mie iterci trzeb będzie ykoć;. Zormlizoć yzczoy ektor. ykoć krok potęgoy {} k { k +} { k} A { } { } { } k+ k k+ 3. Obliczyć ilorz Ryleigh ; { k} ; {} k {} k ;

12 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk 4. Sprdzić ruek (66). zleżości od yiku rdzei lbo leży rócić do., lbo zkończyć prcę. Dl lepsze ilustrci osobu postępoi przedstimy go przykłdzie obliczi domiuące rtości łse i odpoidącego e ektor łsego mcierzy A [ 4 4] z poprzediego przykłdu (9) dokłdością ε { 0} ε 0, 000. tym celu przymimy ektor początkoy [ 4] :. Normlizc:. Krok potęgoy: 3. Ilorz Ryleigh:. (67) Iterc piersz: 4 0,500. (68) 3 4 0,500 {} { 0},500 A. (69) 5, ,500 {},500 [ 0,500 ], ,000 3,500. (70) 4. ruki zkończei obliczeń mogą być rdzoe dopiero po drugie iterci, tkim rzie porcmy do puktu. i kotyuuemy obliczei. Iterc drug:. Normlizc:. Krok potęgoy: 3. Ilorz Ryleigh: 0, 000 0, 000 {} {}, 500 0, 349. (7) {} {}, 000 0, 465 8, 5 3, 500 0, ,09 {} {} 0,349,836 A. (7) 5 0,465 5, ,84 8,370 {} {} { },09,836 [ 0,349 0,465 0,84] 0, ,696 8,370. (73)

13 4. ruki zkończei obliczeń: Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk {} { 0} 0, , , ,86076 > ε {} { 0} 0,349 ( ),477 > ε 0,465 0,84 0,500 czyli koiecze est ykoie stępe iterci. Iterc trzeci:. Normlizc:. Krok potęgoy: 3. Ilorz Ryleigh: {} {} {} {},06944,09,836 5,696 8,370 0,90 0,348 0,57 0,759, (74). (75) 3 4 0,90,55 {} 3 {} 0,348 3,500 A. (76) 5 0,57 5, ,759 9,003 {} {} {} 3 4. ruki zkończei obliczeń: {} {} {},55 3,500 [ 0,90 0,348 0,57 0,759], ,334 9,003, ,79797, {} {} 0,348 0,349 ( ) 0,040 > ε 0,90 0,57 0,759 0,465 0,84 0,0398 > ε czyli dle koiecze est ykoie stępe iterci. toku dlszych obliczeń moż się przekoć, że po ośmiu itercch: {} 8 {} 7 {} 8,3700 +, < ε,3700 {} 8 {} 7 0,9 0,9 ( ) 0,00390 > ε 0,54 0,490 0,808 0,50 0,489 0,808. (77), (78), (79) czyli zostł ełioy ruek (66) (błąd zbieżości ze zględu rtość łsą), po 5 itercch: 3

14 { 5} { 4} { 5} Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk,3700 +,3700, < ε { 5} { 4} 0,88 0,88 ( ) 057 < ε 0,54 0,489 0,809 0,54 0,489 0,809. (80) czyli zostł ełioy ruek (66) (błąd zbieżości ze zględu ektor łsy). Jk idć, uzyskie tkie sme dokłdości przypdku ektor łsego, k przypdku rtości łse ymg ykoi około dukrotie iększe liczby iterci. Efektyość (tempo zbieżości) metody potęgoe zleży od rtości ilorzu, gdyż k gdzie c ( ) α, ( ) α V + ( ) k c k k V + µ { k+ } { k} k k α V c V + c V, µ, µ c V, (8),,..., są stłymi ółczyikmi rozkłdu. Ze zoru (8) yik, że tempo, z kim ektor zmierz do ektor łsego V est szcoe od góry przez rtość tego ilorzu. Ngorsz sytuc ystąpi tedy, gdy ilorz est róy ede, czyli rtości te różią się edyie zkiem. koleych itercch ystąpią oscylce pomiędzy dom przeciymi rtościmi bez szs ełieie ruku zkończei obliczeń. Nlepsz sytuc tomist ( ztem róież iększe przyieszeie obliczeń) stąpi tedy, gdy ilorz te będzie mił iększą możlią dl de mcierzy rtość. Sytuc tk poi się, gdy. Moż do ie doprodzić przez odpoiedie przesuięcie idm rtości łsych yścioe mcierzy o rtość opt ( ) +. (8) Nleży tym celu pier możliie precyzyie oszcoć rtości łse i ( przykłd korzystąc z ciągó Sturm) stępie przeksztłcić mcierz A [ ] odemuąc od szystkich elemetó e przekąte głóe skłdik opt ' A A opt I, (83) gdzie I [ ] ozcz mcierz edostkoą, i dlsze obliczei prodzić tk uzyske mcierzy ' A, dl które będzie zchodził ruek [ ]. Po zkończeiu iterci leży oczyiście ' ' porócić do rtości łse mcierzy yścioe, dodąc do yiku obliczeń metodą potęgoą. yzczoy trkcie tych obliczeń ektor łsy ie ymg żdych modyfikci, gdyż opt przesuięcie idm ie m płyu ego skłdoe. 4

15 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk Rys.. Zbieżość metody potęgoe dl domiuące rtości łse ( ) i odpoidącego e ektor łsego ( ) koleych itercch ( ), skl logrytmicz., Metod iterci odrote Metod iterci odrote może być uż z rit metody potęgoe służący do yzczei rtości łse mcierzy, bliższe zeru. Podstą merytoryczą te metody est cytoe yże tierdzeie, że rtości łse mcierzy odrote są odrotościmi rtości łsych mcierzy de. Sposób postępoi est podoby k poprzedio, z edym zstrzeżeiem dotyczącym kroku potęgoego. prostsze postci metody iterci odrote formlie zstępuemy mcierz A mcierzą A dle obliczei prodzimy k metodzie potęgoe. Jedk tki osób postępoi est mło efektyy umeryczie, gdyż złożoość obliczeio procedury odrci mcierzy est duż. Jest edk prosty osób uikięci te operci. ystrczy tym celu kroku potęgoym zmist operci możei mcierzy przez ektor: { k + } { k} A, (84) roziązć ukłd liioych róń lgebriczych: { k+} { k} A. (85) Aby roziązie ukłdu róń było efektye leży zstosoć edą z metod oprtych dekompozyci mcierzy (rozkłd L L eżeli mcierz est dodtio określo, rozkłd L U prze- ciym przypdku), gdyż dekompozyci dokouemy edokrotie, tomist ukłd róń musimy roziązć trkcie kżde iterci. k procedur postępoi est efekty, gdy mcierz A est peł lub prie peł. Jeżeli tomist mmy do czyiei z mcierzą A, któr est rzdk, korzystiesze może okzć się zstosoie procedury itercye roziązi ukłdu liioych róń lgebriczych. Ostteczie, przypdku metody iterci odrote lgorytm postępoi przedsti się stępuąco: yzczyć ektor strtoy ; 5

16 . Zormlizoć yzczoy ektor przez roziązie ukłdu liioych róń lgebr-. ykoć krok potęgoy iczych; 3. Obliczyć ilorz Ryleigh Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk {} k { k+} { k} A { k+ } { k} { k+} ; { k} ; {} k {} k 4. Sprdzić ruek (66). zleżości od yiku rdzei lbo leży rócić do., lbo zkończyć prcę. Jeżeli metodę iterci odrote zstosuemy do mcierzy po przesuięciu idm rtości łsych o liczbę d (83), uzyskmy zbieżość roziązi ie do bliższe zeru rtości łse mcierzy yścioe do rtości łse bliższe te zde liczbie. te osób moż, stosuąc rit metody potęgoe, yzczyć doolą rtość łsą mcierzy. Uogólioy problem łsy Uogólioym problemem łsym zymy zdie postci: A V B V. (86) Jeżeli yzczik mcierzy B est róży od zer zdie tkie moż formlie rodzić do stdrdoego problemu łsego przez obustroe pomożeie przez mcierz B, co prodzi do: B A V V. (87) kie postępoie m edk zsdiczą dę oodoą umeryczą złożoością procedury (odrcie mcierzy), orz możliością utrty stbilości trkcie obliczeń. Podto, eżeli mcierz B est psmo (częsty przypdek) to mcierz odrot do ie częście tk ie est, co przypdku dużych zdń może być kłopotlie. Jeżeli mcierz B est symetrycz i dodtio określo możliy est stępuący osób postępoi, polegący zstosoiu rozkłdu L L : co po podstieiu do (86) de: po leostroym pomożeiu przez B L L, (88) A L L, (89) L : L A L Jeżeli dokomy terz podstiei: L L L. (90) L Y, czyli L Y, (9) to problem (86) rodzimy do stdrdoego problemu łsego (), z rtościmi łsymi zchoymi z zdi (86), le zmieioymi ektormi łsymi: L 443 A L Y Y, (9) C który możemy roziązć przykłd edą z przedstioych poyże metod. Ząc ektory łse problemu (9) możemy kżde chili rócić do ektoró łsych zdi yścioego (86), korzystąc z zleżości (9). Jeżeli tomist trkcie roziązyi zdi (86) meto- 6

17 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk dą potęgoą przy uzględieiu zleżości (88) chcemy uikąć koieczości odrci mcierzy L i L możemy zstosoć procedurę postępoi przedstioą poiże: Dokoć rozkłdu. Zormlizoć yzczoy ektor. Obliczyć ektor L L mcierzy B i przyąć ektor strtoy {} k { k} Y ; {} k {} k Y Y { 0} Y ; {} k roziązuąc ukłd liioych róń lgebriczych { k+} 3. Obliczyć ektor Y roziązuąc ukłd liioych róń lgebriczych co est róozcze ykoiu kroku potęgoego; { } { } { } k+ k k+ 4. Obliczyć ilorz Ryleigh Y ; {} k { k} ; L L Y { k+} { k} A 5. Sprdzić ruek (66). Dokłdie tk smo k e cześie rozżych przykłdch, eżeli ruek (66) zostł ełioy, kończymy obliczei, przeciym rzie rcmy do. tym miescu rto zrócić ugę fkt, że trkcie obliczeń (pukt.) kżde iterci est zdoy ektor łsy orygilego problemu łsego (86), tk ięc ie leży go obliczć pooie zkończeie prcy. Przedstioy poyże osób postępoi zstosuemy do yzczei domiuące rtości łse uogólioego problemu łsego opisego symetryczymi mcierzmi A [ 4 4] i B [ 4 4], z dokłdością ε ε 0, 000 : A, B. (93) { 0} Operce stępe rozkłd mcierzy B i ektor strtoy Y : B L L, Y (94) Normlizc:. Ukłd róń: L Y Iterc piersz: Y Y 4 0,500 0, , ,500. (95) 0,67 0,033 0,00 0,00. (96), 7

18 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk 3. Ukłd róń: ,67 0,550 {} { 0} 0 0 {} 0,033 {} 0,39 L Y A Y Y ,00 0, ,00 0,543 (97) 4. Ilorz Ryleigh: 0,550 {} 0,39 Y [ 0,500 0,500] 0, 39. 0,536 0,543 (98) 5. ruki zkończei obliczeń mogą być rdzoe dopiero po drugie iterci, tkim rzie porcmy do puktu. i kotyuuemy obliczei. Iterc drug:. Normlizc: 0,550 0,567 {} {} 0,39 0,46 Y {} {} 0,536 0,55 Y Y 0,9459 0,543 0,559. (99). Ukłd róń: 4 0,567 0,706 {} {} 0 {} 0,46 {} 0,065 L 0 0 0,55 0, ,559 0,. (00) 3. Ukłd róń: ,706,060 {} {} 0 0 {} 0,065 {} 0,686 L Y A Y Y ,33, ,,33 (0) 4. Ilorz Ryleigh:,060 {} {} { } 0,686 Y [ 0,567 0,46 0,55 0,559], 4833.,48,33 (0) 5. ruki zkończei obliczeń: {} { 0},4833 0,39 0,86043 > ε,4833 0,567 {} { 0} 0,46 0,500,09649 > ε 0,55 0,559 0,500 czyli koiecze est ykoie stępe iterci., (03) 8

19 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk Iterc trzeci:. Normlizc:,060 0,467 {} {} 0,686 0,30 Y {} {},48 0,69 Y Y 5,5383,33 0,543. (04). Ukłd róń: 4 0,467 0,67 {} {} 0 {} 0,30 {} 0,073 L 0 0 0,69 0, ,543 0,09. (05) 3. Ukłd róń: ,67,080 {} 3 {} 0 0 {} 3 0,073 {} 3 0,747 L Y A Y Y ,369, ,09,79 (06) 4. Ilorz Ryleigh:,080 {} {} {} 3 0,747 Y [ 0,467 0,30 0,69 0,543], ,374,79 (07) 5. ruki zkończei obliczeń: {} {},88566,4833 0,07584 > ε {}, ,467 0,567 {} {} 0,30 0,46 0,38843 > ε 0,69 0,55 0,543 0,559 czyli koiecze est ykoie stępe iterci. toku dlszych obliczeń moż się przekoć, że po siedmiu itercch: {} 7 {} 6,9075, < ε {} 7,9075 0,467 0,464 {} 7 {} 6 0,39 0,33 0,04 > ε 0,609 0,67 0,556 0,554, (08), (09) czyli zostł ełioy ruek (66) (błąd zbieżości ze zględu rtość łsą), po itercch: { } { } { },9098, < ε,9098 0, 466 0, 466 0, 37 0, < ε 0, 6 0, 6 0, 555 0, 555 { } { }. (0) 9

20 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk czyli zostł ełioy ruek (66) (błąd zbieżości ze zględu ektor łsy). Jk idć, uzyskie tkie sme dokłdości przypdku ektor łsego, k przypdku rtości łse tym przypdku ymg ykoi około trzykrotie iększe liczby iterci Rys. 3 Zbieżość metody potęgoe dl domiuące rtości łse ( ) i odpoidącego e ektor łsego ( ) koleych itercch ( ) uogólioego problemu łsego, skl logrytmicz., 0

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń

Bardziej szczegółowo

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,

Bardziej szczegółowo

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi

Bardziej szczegółowo

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny 5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej). MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności. CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb. Rchuek prwopoobieństw MA1181 Wyził T, MS, rok k. 2013/14, sem. zimowy Wykłowc: r hb. A. Jurlewicz Wykł 9: Róże rozje zbieżości ciągów zmieych losowych. rw wielkich liczb. Zbieżość z prwopoobieństwem 1:

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1, I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego

Bardziej szczegółowo

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy

Bardziej szczegółowo

TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM

TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zkres GIMNAZJUM LICZBY Lizy turle: 0,1,,,4, Koleje lizy turle zwsze różią się o 1, zpis, +1, +, gdzie to dowol liz turl ozz trzy koleje lizy turle, Lizy pierwsze:

Bardziej szczegółowo

SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE

SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE Publikcj współfisow ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE dr iż Ryszrd Krupiński

Bardziej szczegółowo

SYSTEM WIELKOŚCI CHARAKTERYZUJĄCY POTENCJALNĄ I ODDZIELONĄ CZĄSTKĘ ZUŻYCIA TRIBOLOGICZNEGO

SYSTEM WIELKOŚCI CHARAKTERYZUJĄCY POTENCJALNĄ I ODDZIELONĄ CZĄSTKĘ ZUŻYCIA TRIBOLOGICZNEGO 6-0 T B O L O G 8 Piotr SDOWSK * SYSTEM WELKOŚC CKTEYZUĄCY POTECLĄ ODDZELOĄ CZĄSTKĘ ZUŻYC TBOLOGCZEGO SYSTEM OF VLUES CCTEZED POTETL D SEPTED WE PTCLE Słow kluczowe: prc trci, zużywie ściere, cząstk zużyci,

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo

Mamy nadzieję, że zestaw, który przygotowaliśmy maturzystom, spełni swoje zadanie i przyczyni się do egzaminacyjnych sukcesów.

Mamy nadzieję, że zestaw, który przygotowaliśmy maturzystom, spełni swoje zadanie i przyczyni się do egzaminacyjnych sukcesów. Zestw wzoów mtemtyzy zostł pzygotowy dl potze egzmiu mtulego z mtemtyki oowiązująej od oku 00. Zwie wzoy pzydte do ozwiązi zdń z wszystki dziłów mtemtyki, dltego może służyć zdjąym ie tylko podzs egzmiu,

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI Dodjąc( bądź odejmując) do siebie dw wektory (lub więcej), dodjemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Zadania do rozdziału 7.

Zadania do rozdziału 7. Zdni do ozdziłu 7. Zd.7.. wiezchołkch kwdtu o okch umieszczono ednkowe łdunku. Jki łdunek o znku pzeciwnym tze umieścić w śodku kwdtu y sił wypdkow dziłąc n kżdy łdunek ył ówn zeu? ozwiąznie: ozptzmy siły

Bardziej szczegółowo

System SCADA we współpracy ze specjalnym algorytmem sterowania

System SCADA we współpracy ze specjalnym algorytmem sterowania Pomiary Automatyka Robotyka 6/009 System SCADA e spółpracy ze specjalym algorytmem steroaia Krzysztof Oprzędkieicz W pracy omóioo zasady realizacji systemu SCADA spółpracującego ze specjalymi algorytmami

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Badanie regularności w słowach

Badanie regularności w słowach Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik Edsger Wybe Dijkstr (1930 2002) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes,

Bardziej szczegółowo

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Nottki do temtu Metody poszukiwni rozwiązń ednokryterilnych problemów decyzynych metody dl zgdnień liniowego progrmowni mtemtycznego Liniowe

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

JEDNOŚĆ O R G R N ŻYDÓW PO LSKICH.

JEDNOŚĆ O R G R N ŻYDÓW PO LSKICH. Nr. 30. Ló, dni 1. rześni 1911. Rok. JEDNOŚĆ O R G R N ŻYDÓW PO LSKICH. REDKCY I DMINISTRCY: Ló, Sykstusk 29. Nr. telefonu 994. Prenumert krtlnie 2 kor. Numer poied. 20 h. OGŁOSZENI (inserty) oblicz się

Bardziej szczegółowo

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń 3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie

Bardziej szczegółowo

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Działania wewnętrzne i zewnętrzne

Działania wewnętrzne i zewnętrzne Autmtyk i Rtyk Alger -Wykłd - dr Adm Ćmiel miel@gedupl Dziłi wewętrze i zewętrze Nie X ędzie ustlym iepustym zirem Def Dwurgumetwym dziłiem wewętrzym w zirze X zywmy fukję Jeśli X i y X t y X zywmy wyikiem

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

ć Ę ó ó Ź ó ó ć ź ć ć Ś ć Ź ó Ó ó ó Ś ó ó ć ó ć Ź ź ć ó ź ć ó ź ó ó ó ó ć Ą ó ó ź ó ó ó ć ź ć ć ź ź Ś ó ó ó ć ó Ź ó ó ć ó ó ó ó Ę ó ó ź Ę ó ó ó ć ó ó ź Ć Ź ź ó ó ó ó ó ó ó óź ź ó ź ó ó ó ó ć ó ó ć ó ó

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie matematyki w ekonomii

Zastosowanie matematyki w ekonomii Jrosł Kokoszk Zstosoni mtmtki konomii Copright b Colorul Mdi Kopioni, ksroni, umiszczni ormi lktronicznj Intrnci bz konsultcji z łścicilm pr zbronion! Spis trści kliknij n intrsując Cię tmt. Podsto idomości.....

Bardziej szczegółowo

Metoda prądów obwodowych

Metoda prądów obwodowych Metod prądów owodowyh Zmenmy wszystke rzezywste źródł prądowe n npęowe, Tworzymy kłd równń lnowyh opsjąyh poszzególne owody. Dowolną seć lnową skłdjąą sę z elementów skponyh możn opsć z pomoą kłd równń

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

2. Funktory TTL cz.2

2. Funktory TTL cz.2 2. Funktory TTL z.2 1.2 Funktory z otwrtym kolektorem (O.. open olletor) ysunek poniżej przedstwi odnośny frgment płyty zołowej modelu. Shemt wewnętrzny pojedynzej rmki NAND z otwrtym kolektorem (O..)

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne Po nieco intuicyjnych początkch, zjmiemy się obiektmi, n których opier się progrmownie są to zmienne. Zmienne Progrmy operują n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni.

Bardziej szczegółowo

Literatura do ćwiczeń: Program zajęć: dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; rok I, I o.inż. 17 listopada 2015

Literatura do ćwiczeń: Program zajęć: dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; rok I, I o.inż. 17 listopada 2015 dr Krzysztof Żyjewski Iformtyk; rok I, I o.iż. 17 listopd 015 Kotkt: e-mil: krzysztof.zyjewski@uwm.edu.pl kosultcje: po 18 listopd 7.55-8.55, pok. A0/19 (ie termiy możliwe po uprzedim kotkcie milowym)

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne: W progrmie operuje się n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni. Interpretcj tej instrukcji jest nstępując: zmiennej znjdującej się z lewej strony instrukcji podstwieni

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ZWIZKU MIDZY TŁUMIENNOCI WTRCENIOW PTLI ABONENCKIEJ NA NISKICH I WYSOKICH CZSTOLIWOCIACH

ANALIZA ZWIZKU MIDZY TŁUMIENNOCI WTRCENIOW PTLI ABONENCKIEJ NA NISKICH I WYSOKICH CZSTOLIWOCIACH Jerzy Siuzdk, Tomsz Czrnecki Instytut Telekomunikcji PW 00-665 Wrsz, ul. Nooiejsk 15/19 siuzdk@tele.p.edu.pl, ctom@tele.p.edu.pl ANALIA WIKU MIDY TŁUMIENNOCI WTCENIOW PTLI ABONENCKIEJ NA NISKICH I WYSOKICH

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej,

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej, Wykłd z fizyki. Piot Posmykiewicz 49 6-4 Enegi potencjln Cłkowit pc wykonn nd punktem mteilnym jest ówn zminie jego enegii kinetycznej. Często jednk, jesteśmy zinteesowni znlezieniem pcy jką sił wykonł

Bardziej szczegółowo

RELACJE WARTOŚCI DŁUGOŚCI DROGI HAMOWANIA I DROGI ZATRZYMANIA DLA RÓŻNYCH WARUNKÓW RUCHU SAMOCHODU

RELACJE WARTOŚCI DŁUGOŚCI DROGI HAMOWANIA I DROGI ZATRZYMANIA DLA RÓŻNYCH WARUNKÓW RUCHU SAMOCHODU Zbigiew LOZIA, Pio WOLIŃSI RELACJE WARTOŚCI DŁUGOŚCI DROGI HAMOWANIA I DROGI ZATRZYMANIA DLA RÓŻNYCH WARUNÓW RUCHU SAMOCHODU Seszczeie Pc pzedswi oceę długości dogi mowi i dogi zzymi smocodu (zwej kże

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 25.01.2003 r.

Matematyka finansowa 25.01.2003 r. Memyk fisow 5.0.003 r.. Kóre z poiższych ożsmości są prwdziwe? (i) ( ) i v v i k m k m + (ii) ( ) ( ) ( ) m m v (iii) ( ) ( ) 0 + + + v i v i i Odpowiedź: A. ylko (i) B. ylko (ii) C. ylko (iii) D. (i),

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne w przykładach

Metody numeryczne w przykładach Metody umerycze w przyłdch Podręcz Poltech Lubels Poltech Lubels Wydzł Eletrotech Iformty ul. Ndbystrzyc 38A -68 Lubl Bet Pńczy Edyt Łus J Sor Teres Guz Metody umerycze w przyłdch Poltech Lubels Lubl Recezet:

Bardziej szczegółowo

Materiały dydaktyczne. Teoria sterowania. Semestr V. Wykłady

Materiały dydaktyczne. Teoria sterowania. Semestr V. Wykłady Projet wpółfiowy ze środów Uii Europejiej w rmch Europejiego Fuduzu Społeczego Mteriły dydtycze eori terowi Semetr V Wyłdy Projet Rozwój i promocj ieruów techiczych w Ademii Moriej w Szczeciie Ademi Mor

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie. Metoda I Stosujemy twierdzenie, mówiące że rzuty prędkości dwóch punktów ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe.

Rozwiązanie. Metoda I Stosujemy twierdzenie, mówiące że rzuty prędkości dwóch punktów ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe. Wyzczie prędkości i przyspieszeń cił w ruchu posępowym, obroowym i płskim orz chwilowych środków obrou w ruchu płskim. Ruch korbowodu część II Zdie.. Prę o długości L ślizg się jedym końcem (puk po podłodze,

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE METODY CBR DO SZACOWANIA KOSZTÓW WYTWARZANIA W FAZIE PROJEKTOWANIA

ZASTOSOWANIE METODY CBR DO SZACOWANIA KOSZTÓW WYTWARZANIA W FAZIE PROJEKTOWANIA ZASTOSOWANIE METODY CBR DO SZACOWANIA KOSZTÓW WYTWARZANIA W FAZIE PROJEKTOWANIA prof. r hab. iż. Ryszar Kosala r.kosala@po.opole.pl mgr iż. Barbara Baruś b.barus@po.opole.pl Politechika Opolska Wyział

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zagadnień technicznych SKRYPT. Siergiej Fialko

Modelowanie zagadnień technicznych SKRYPT. Siergiej Fialko Modelownie zgdnień technicznych SKRYPT Siergiej Filko Wydził Fizyki, Mtemtyki i Informtyki Politechniki Krkowskiej Krków Siergiej Filko Modelownie zgdnień technicznych. Niniejszy kurs jest poświęcony typowym

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba

Wybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba Wybrne zgdnieni z geometrii płszczyzny Dnut Zremb Wstęp Publikcj t powstł z myślą o studentch, którzy chcą zdobyć uprwnieni do nuczni mtemtyki w szkole. Zwier on nieco podstwowych widomości z geometrii

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE LINIOWE.

PROGRAMOWANIE LINIOWE. Wykłd 6 Progrowe lowe. Zstosow ekoocze. PROGRAMOWANIE LINIOWE. ZASTOSOWANIA EKONOMICZNE. CENY DUALNE. ANALIZA WRAŻLIWOŚCI.. RACHUNEK EKONOMICZNY. ZASADY RACJONALNEGO GOSPODAROWANIA. Rchuek ekooczy - porówe

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie

Bardziej szczegółowo

Journal of Agribusiness and Rural Development

Journal of Agribusiness and Rural Development ISSN 1899-5772 Jourl of Agribusiess d Rurl Developmet www.jrd.edu.pl 4(10) 2008, 47-60 WYKORZYSTANIE ANALITYCZNEGO PROCESU HIERARCHICZNEGO W ANALIZIE SYSTEMU MOTYWACYJNEGO PRZEDSIĘBIORSTWA TRANSPORTOWEGO

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek

Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek Ćwiczenie 4 Wyzncznie ogniskowych soczewek Wstęp teoretyczny: Krzyszto Rębils. utorem ćwiczeni w Prcowni izycznej Zkłdu izyki Uniwersytetu Rolniczego w Krkowie jest Józe Zpłotny. ZJWISK ZŁMNI ŚWITŁ Świtło,

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Raport na temat stężenia fluorków w wodzie przeznaczonej do spożycia przez ludzi będącej pod nadzorem PPIS w Gdyni za 2006 rok

Raport na temat stężenia fluorków w wodzie przeznaczonej do spożycia przez ludzi będącej pod nadzorem PPIS w Gdyni za 2006 rok POWIATOWA STACJA SANITARNO-EPIDEIOLOGICZNA W GDYNI LABORATORIU BADAŃ FIZYKO-CHEICZNYCH WODY Słomir Piliszek Rport n temt stężeni fluorkó odzie przeznczonej do spożyci przez ludzi będącej pod ndzorem PPIS

Bardziej szczegółowo

Nr: 1. Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1. Metody obliczeniowe

Nr: 1. Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1. Metody obliczeniowe Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody olczeowe Metody umerycze - sposoy rozwąz zd mtemtyczego z pomocą operc lczch t, y zde mogło yć rozwąze przez omputer. Rozwązywe ułdów rówń lowych.

Bardziej szczegółowo

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie Konstrkcje Elementy Mteriły Prost metod sprwdzni fndmentów ze względ n przebicie Prof dr b inż Micł Knff, Szkoł Główn Gospodrstw Wiejskiego w Wrszwie, dr inż Piotr Knyzik, Politecnik Wrszwsk 1 Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH Michł PAWŁOWSKI 1 1. WSTĘP Corz większy rozwój przemysłu energetycznego, w tym siłowni witrowych stwi corz większe wymgni woec producentów przekłdni zętych jeśli

Bardziej szczegółowo

GRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana

GRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana GRAFY podstwowe definicje GRAFY i SIECI Grf: G = ( V, E ) - pr uporządkown V = {,,..., n } E { {i, j} : i j i i, j V } - zbiór wierzchołków grfu - zbiór krwędzi grfu Terminologi: grf = grf symetryczny,

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe w zadaniach

Przestrzenie liniowe w zadaniach Przestrzenie linioe zadaniach Zadanie 1. Cz ektor [3, 4, 4 jest kombinacja linioa ektoró [1, 1, 1, [1, 0, 1, [1, 3, 5 przestrzeni R 3? Roziazanie. Szukam x,, z R takich, że [3, 4, 4 x [1, 1, 1 + [1, 0,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Ł Ś Ą ó ó ó ś ó ó ś ó ó ó ó ó Ó ś ó ś ó ó ś Ó ó Ó ś ó ś ó ó ó Ź ó ó ś ó ó ó ś ó ść ó ó ó Ą ó ś ó ó ó ś śó ó ó ź ó ó ś ó Ź ś ó ć ó ś Ę Ą ó ś óź ó ó ś ó ś Ę ó Ó ź ść ó ó ś ś ś Ó ó ź ó ś Ó ó ó ó ó ó ś Ó ó

Bardziej szczegółowo

( ) Elementy rachunku prawdopodobieństwa. f( x) 1 F (x) f(x) - gęstość rozkładu prawdopodobieństwa X f( x) - dystrybuanta rozkładu.

( ) Elementy rachunku prawdopodobieństwa. f( x) 1 F (x) f(x) - gęstość rozkładu prawdopodobieństwa X f( x) - dystrybuanta rozkładu. Elementy rchunku prwdopodoeństw f 0 f() - gęstość rozkłdu prwdopodoeństw X f d P< < = f( d ) F = f( tdt ) - dystryunt rozkłdu E( X) = tf( t) dt - wrtość średn D ( X) = E( X ) E( X) - wrncj = f () F ()

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

DLACZEGO DO CIEPLIC? NAJSTARSZY KURORT W POLSCE I WIELOWIEKOWA TRADYCJA ŚWIADCZENIA USŁUG LECZNICZYCH WYJĄTKOWE BOGACTWA NATURALNEO -

DLACZEGO DO CIEPLIC? NAJSTARSZY KURORT W POLSCE I WIELOWIEKOWA TRADYCJA ŚWIADCZENIA USŁUG LECZNICZYCH WYJĄTKOWE BOGACTWA NATURALNEO - Uzdroisko Cieplice Profile lecznicze: 1. CHOROBY ORTOPEDYCZNOURAZOWE 2. CHOROBY UKŁADU NERWOWEGO 3. CHOROBY REUMATOLOGICZNE 4. OSTEOPOROZA 5. CHOROBY NEREK I DRÓG MOCZOWYCH 6. CHOROBY OKA I PRZYDATKÓW

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy

Bardziej szczegółowo

T-08 Sprawozdanie o przewozach morską i przybrzeżną flotą transportową

T-08 Sprawozdanie o przewozach morską i przybrzeżną flotą transportową GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY, l. Niepodległości 208, 00-925 Wrszw www.stt.gov.pl Nzw i dres jednostki sprwozdwczej T-08 Sprwozdnie o przewozch morską i przyrzeżną flotą trnsportową Portl sprwozdwczy GUS www.stt.gov.pl

Bardziej szczegółowo

MXZ INVERTER SERIA. Jedna jednostka zewnętrzna może obsługiwać do 8 pomieszczeń. Ograniczenie poboru prądu. Efektywność energetyczna: klasa A

MXZ INVERTER SERIA. Jedna jednostka zewnętrzna może obsługiwać do 8 pomieszczeń. Ograniczenie poboru prądu. Efektywność energetyczna: klasa A INVERTER SERIA MXZ Typoszereg MXZ gwrntuje cicy, wysokowydjny i elstyczny system, spełnijący wszystkie wymgni w zkresie klimtyzcji powietrz. 6 MXZ-2C30VA MXZ-2C40VA MXZ-2C52VA MXZ-3C54VA MXZ-3C68VA MXZ-4C71VA

Bardziej szczegółowo

Programy współbieżne

Programy współbieżne Specyfikownie i weryfikownie Progrmy współieżne Mrek A. Bednrczyk, www.ipipn.gd.pl Litertur wiele prc dostępnych w Sieci np.: http://www.wikipedi.org/ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne PJP Prosty

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo