Wartości i wektory własne

Transkrypt

1 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk rtości i ektory łse ektorem łsym mcierzy A [ ] zymy kżdy iezeroy ektor V, który zchoue kieruek po ykoiu możei przez tę mcierz: A V V. () ielkość est rtością łsą mcierzy A odpoidącą ektoroi łsemu V. Rzeczyist i symetrycz mcierz A posid yłączie rzeczyiste rtości łse, orz zbiór liioo iezleżych ektoró łsych ozczoych V, V,..., V. ektory te oczyiście ie są yzczoe edozczie, poież kżdy z ich może zostć pomożoy przez iezeroą stłą, dle pozostąc ektorem łsym (defiic). Kżdy ektor łsy m odpoidącą rtość łsą, ozczoą,,...,. rtości łse dl de mcierzy są określoe edozczie. Zbiór szystkich rtości łsych mcierzy zymy ektrum te mcierzy. Róiem chrkterystyczym mcierzy A zymy róie: ( I ) p( ) 0 det A, () którym I [ ] ozcz mcierz edostkoą. yrżeie stoące po lee stroie tego rói est ielomiem p stopi zmiee. k ięc yzczeie ektrum mcierzy A est róozcze z yzczeiem szystkich pieristkó rói (). Mcierz A est pieristkiem łsego rói chrkterystyczego, czyli: p ( A) 0. (3) ierdzeie poyższe osi zę tierdzei Cyley Hmilto. Podto, eżeli q ( x) est ielomiem rtością łsą mcierzy A to q ( ) est rtością łsą mcierzy q ( A). Przeksztłceie przez podobieństo ie zmiei rtości łsych mcierzy, czyli eżeli istiee odrcl mcierz P [ ] to rtości łse mcierzy P A P i mcierzy A są róe. Przeksztłceie ortogole ie zmiei rtości łsych mcierzy, czyli eżeli istiee odrcl mcierz Q [ ] tk, że Q Q I to rtości łse mcierzy Q A Q i mcierzy A są róe (iosek z tierdzei poprzediego). Dl symetrycze dodtio określoe mcierzy A i iezeroego ektor zchodzi ziązek: A 0 < mi mx. (4) Do oszcoi ektrum rtości łsych doole mcierzy kdrtoe możemy użyć tierdzei Gerszgori, tomist przypdku symetrycze mcierzy tródigole możemy zstosoć ciągi Sturm do określei z doolą dokłdością przedziłó, których zduą się e poszczególe rtości łse. Numerycze yzczie rtości łsych mcierzy est edym z brdzie żmudych zdń podstoe lizy umerycze. Jedk ze zględu zstosoi prktycze zostło oprcoych iele metod służących do roziązi tego zgdiei. Metody te moż podzielić trzy ktegorie:

2 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk metody pozlące zlezieie szystkich rtości i ektoró łsych, p. metody: Jcobiego z róież metodą trsformci ortogolych, Lczos i Husholder połączeu z metodą rozkłdu Q R ; metody pozlące yzczeie ybre rtości i odpoidącego e ektor łsego, p. metod potęgo, ogólości pozląc yzczeie rtości łse bliższe pode liczbie i odpoidącego e ektor łsego; metody pozlące obliczeie grupy rtości łsych i odpoidących im ektoró łsych. Przed yborem metody obliczeń leży obec poyższego, ze zględu efektyość czsoą obliczeń, zstoić się, czy będą m potrzebe szystkie rtości łse lizoe mcierzy, czy tylko ich ybry podzbiór, czy też ed edy rtość łs ełiąc określoe ruki. dlsze części prcy zmiemy się diem metodmi yzczi rtości łsych rzeczyiste mcierzy symetrycze. Metod Jcobiego Metod Jcobiego (trsformci ortogolych) poleg ykoiu yścioe mcierzy A [ ] ciągu trsformci ortogolych, yiku których mcierz t zostie doprodzo do postci digole D [ ]. mcierzy digole przekąte głóe zdą się rtości łse mcierzy yścioe, tomist ektory łse odpoidące tym rtościom łsym będą zpise kolumch mcierzy [ ]. gdzie: {} i A D, (5) { m} { i} { } { } Q... Q... Q Q. (6) est iloczyem mcierzy Q defiiuących kolee trsformce ortogole i,,..., m. rsformce ortogole są ykoye tki osób, by koleo zeroć pry elemetó mcierzy A rozmieszczoych symetryczie zględem przekąte głóe i iększych co do modułu. k ięc lgorytm metody moż rozbić stępuące kroki:. ybór elemetu iodącego trsformci ortogole, czyli yzczeie ideksó p i q elemetu mcierzy A iększego co do modułu, ie leżącego przekąte głóe te mcierzy:. yzczeie mcierzy trsformci ełiły ruek: { i} { i} p, q : pq mx. (7) kl, A k l,,..., k l { i} Q tk, by elemety oe mcierzy: } { i} { i} { i} Q A } } Q 0, (9) pq qp i yzczeie elemetó oe mcierzy A }.Jk łto rdzić, eżeli mcierz Q { i} przymiemy ko mcierz edostkoą, które zmieioo edyie elemety: (8)

3 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk q pp q q q qp pq qq s s c, (0) czyli osttecz mcierz będzie mił postć: Q {} i p q L M 0 L M 0 L M 0 L p q 0 L 0 L 0 M M M c L s L 0 M M M s L c L 0 M M M 0 L 0 L 0, () to ełieie ruku ortogolości Q Q I est róozcze z zżądiem by ielkości ozczoe ko c i s ełiły zleżość: c + s. () ruek te est edocześie rukiem ystrczącym ortogolości mcierzy Q. Jk łto się przekoć, trkcie trsformci (8) zmieią się edyie elemety mcierzy A leżące do ierszy i kolum optrzoych skźikmi p i q. Odpoiedie zory trsformcye mą postć: } { i} { i} { i} pp } {} i {} i {} i qq } {} i {} i {} i ( c s ) + c s ( ) pq c s pp pp + s + c pq } { i} { i} rp c s + c s + c qq qq } {} i {} i rq s } {} i {} i rq c } {} i {} i rq s rp rp pr pr rq rq qr qr s c + s c pp pq pq qq r p, r q, (3), (4) i moż e yprodzić przykłd przez bezpośredie ykoie operci mcierzoych ystępuących (8). ruek (9) połączeiu z róiem (3) 3 służy do yzczei c i s dl bieżące iterci. A mioicie, poież: est róoże: ozczoemu η, przy podstieiu róie (6) przechodzi : { i} { i} { i} ( s ) + c s ( ) 0 c (5) c pq s pp { i} { i} qq qq pp η {}, (6) i c s pq s t (7) c 3

4 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk t + η t 0, (8) czyli zykłe róie kdrtoe ze zględu pomociczą zmieą t. Pieristki tego rói moż yzczyć posługuąc się dobrze zymi zormi, edk, ze zględu poprę stbilości umerycze roziązi, do yzczei mieszego z ich korzystie est stosoć formułę: ( η) sg t. (9) η + η + Gdyby edkże η było tk duże, że η poodołoby ystąpieie błędu dmiru trkcie ykoyi obliczeń, leży zstosoć formułę: t. (0) η Po yzczeiu rtości zmiee pomocicze t porcmy do yścioych ieidomych c i s, korzystąc z zleżości () i (7): 3. Obliczeie mcierzy ektoró łsych podstie zleżości: { 0} est mcierz edostko. Stosoe zory trsform- przy czym początkoą mcierzą cye przymą postć: c t +. () s t c } { i} { i} Q, () } { i} { i} rp c rp s rq { } {} {} r,,..., i+ i i rq s rp + c rq, (3) któr yik z fktu, że koleych itercch zmieią się yłączie kolumy p i q mcierzy. 4. Sprdzeie ruku zkończei obliczeń: } { } < ε i+, (4) s którym liczik i mioik ułmk są odpoiedio róe: dl ormy mksimum, lub: s } } mx i,,,..., i } } mx i,,..., i i } } s } } ii i ( ) ( ii ) i i (5) (6) 4

5 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk dl ormy średiokdrtoe. Jeżeli ruek (4) est ełioy dl rzucoe przez użytkoik dokłdości ε, to kończymy obliczei, przeciym przypdku kotyuuemy prcę poczyąc od yzczei oego } elemetu iodącego pq (7). k obr metod postępoi będzie zbież, poież eśli obliczymy sumę kdrtó elemetó mcierzy A leżących poz przekątą głóą i ozczymy { i} {} i ą przez S : to prost z (4) yik, że: S S ( ) {} i {} i i i } {} i {} i S i ( ) pq, (7), (8) czyli, że liczik ułmk e zorze (4) będzie mootoiczie mlł do zer koleych itercch, ięc dl doolie młego dodtiego ε ruek (4) zostie ełioy po skończoe liczbie iterci. Metod Jcobiego est efekty dl mcierzy A o ieielkich rozmirch (rzędu 0). Do prodzei obliczeń dużych mcierzch leży stosoć ie, brdzie efektye metody, p. metodę Husholder lub Lczos by doprodzić mcierz yścioą do postci tródigole stępie metodę rozkłdu Q R do yzczei rtości i ektoró łsych tk zredukoe mcierzy. Algorytm postępoi przedsti się stępuąco:. ybrć elemet iodący (czyli yzczyć p i q ) (7);. Obliczyć η i t (6), (9); 3. Obliczyć c i s (); 4. yzczyć 5. yzczyć } A (8) lub (3), (4); } () lub (3); 6. Sprdzić ruek (4). zleżości od yiku rdzei lbo leży rócić do., lbo zkończyć prcę. Dl lepsze ilustrci osobu postępoi przedstimy go przykłdzie obliczi szystkich rtości łsych i odpoidących im ektoró łsych mcierzy A [ 4 4] z dokłdością ε : 3 4 A A. (9)

6 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk Iterc piersz:. Elemet iodący (iększy co do modułu elemet mcierzy p 3, q 4.. ółczyiki η i t : 3. ółczyiki c i s : 4. Mcierz A {} : { 0} { 0} 33, 34 5, {} 0 7 η sg( η) sg( 000) t 0,68034 η + η + 0, ( 0,500000) c 0,85065 t + ( 0,68034) + s t c 0, , ,5573 { 0} A oz przekąte głóe). (30). (3) 0 0 0,000 Q 0 0 0,000 0,85 0, c s. (3) 0,56 0, s c A {} { 0} { 0} { 0 Q A Q } 5. Mcierz {} :,000,000 0,85 0,56 0,56 0, ,000,000 0,85 0,85 0,56 0,56 { } { 0} { 0 Q } 3,000,000,954,000,000,76,954,76,090,877,90,877,90 0,090. (33) ,000,000 0,85 0,56 0,56 0,85 6. ruek zkończei obliczeń ( ormie mksimum): s {} { } mx i,,,3,4 {} {} mx i,,3,4 ii i i 0,09070,000,000 0,85 0,56, ,56 0,85. (34), (35) s {}, {} 0, 978 > ε 0,09070 czyli koiecze est ykoie stępe iterci., (36) 6

7 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk Iterc drug:. Elemet iodący (iększy co do modułu elemet mcierzy p, q 3.. ółczyiki η i t : 3. ółczyiki c i s : 4. Mcierz A {} : {} {} { } 3, 3,953575, 33 {} {} 33, {},09070 η 0, , sg( η) sg( 0,33308) t 0,77657 η + η + 0, ( 0,33308) c 0, t + ( 0,77657) + s t c 0, , , { } A oz przekąte głóe). (37). (38) c 0 s 0 0,809 0,588 {} 0 0 0,000 Q. (39) 0,588 0,809 s 0 c 0 0, A {} { } { } { Q A Q } 0,809 0,588,000 0, Mcierz {} : 0,809,000 3,000,000,954,877,000,000,76,90,954,76,090,877,90 0,090 { } { } { Q } 0,809 0,588,000 0,588 0,809,000 5,49 0,96,36 0,96,000,7,90,7,059,693,36,90,693 0,090. (40),000,000 0,85 0,56 0,56 0,85 0,809 0,588,000 0,588 0,809, ruek zkończei obliczeń ( ormie mksimum): s {} { } mx i,,,3,4 i {} {} mx i,,3,4 ii i,3605 0, ,809,000 0,50 0,309 0,588 0,688 0,45 0,56 0,85. (4), (4) s {} {},3605 0, 3054 > ε 0,09070 czyli dle koiecze est ykoie stępe iterci., (43) 7

8 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk Iterc trzeci:. Elemet iodący (iększy co do modułu elemet mcierzy p, q 4.. ółczyiki η i t : 3. ółczyiki c i s : 4. Mcierz A {} 3 : { } { } { } 5,4990, 4,3605, 44 {} {} 44 0,09070 {} 0, ,4990 η, ,3605 sg( η) sg(,75584) t 0,4945 η + η + 3, ( 3,75584) c 0, t + ( 0,4945) + s t c 0,4945 0, ,4760 { } A oz przekąte głóe). (44). (45) c 0 0 s 0,989 0,48 {} 0 0 0,000 Q. (46) ,48 0,989 s 0 0 c A {} 3 { } { } { Q A Q } 0,989 0,48,000,000 0,48 5. Mcierz {} 3 : 0,989 5,49 0,96 0,96,000,7,7,059,36,90,693,36,90,693 0,090 { 3} { } { Q } 0,989 0,48,000,000 0,48 0,989 5,496,96 0,50,96,000,7,745 0,50,7,059,674,745,674 0,437. (47) 0,809,000 0,50 0,309 0,588 0,688 0,45 0,56 0,85 0,989,000,000 0,48 0,48 0, ruek zkończei obliczeń ( ormie mksimum): s {} 3 { 3} mx i,,,3,4 i {} 3 {} 3 mx i,,3,4 ii i,730 0, ,800 0,47 0,43,000 0,588 0,688 0,45 0,9 0,594 0,796. (48), (49) s {} 3,730 {} 0, 0386 > ε 3 0, czyli dle koiecze est ykoie stępe iterci., (50) 8

9 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk Ostteczie po ykoiu iterci otrzymuemy: 5,66 { },66 0,00 D A, (5) 0,03 0,00,37 i ruek zkończei obliczeń: 0,836 0,37 0,44 0,54 { } 0,9 0,883 0,350 0,88, (5) 0,346 0,09 0,794 0,489 0,40 0,38 0,76 0,809 s { } { } mx i,,,3,4 i { } { } mx i,,3,4 ii i 65,3700 { } 65 { } 0, < ε, (53), (54) s,3700 podczs gdy rtości ścisłe mcierzy D i są róe odpoiedio: 5,66 { ść},66 D A, (55) 0,03,37 0,836 0,37 0,44 0,54 { ść} 0,9 0,883 0,350 0,88. (56) 0,346 0,09 0,794 0,489 0,40 0,38 0,76 0,809 Jk idć przyęcie ruku zkończei obliczeń ormie mksimum z dopuszczlym poziomem błędu ε 0, 000 pozoliło yzczeie szystkich rtości i ektoró łsych mcierzy A z dokłdością co mie trzech cyfr zczących z k Rys.. Błąd metody Jcobiego ormie mksimum (k liczb iterci). k 9

10 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk Metod potęgo Metod potęgo ersi podstoe służy do yzczei mksymle co do modułu rtości łse i odpoidącego e ektor łsego. Jeżeli edk ykorzystmy fkty, że rtości łse mcierzy odrote są odrotościmi rtości łsych mcierzy de orz że modyfikc mcierzy polegąc dodiu do elemetó e przekąte głóe pee liczby d poodue przesuięcie szystkich rtości łsych te mcierzy o tę smą liczbę d (przesuięcie idm), możemy przy pomocy metody potęgoe yzczyć rtość łsą bliższą doole liczbie. Metod potęgo poleg ykoiu ciągu możeń przyętego ektor strtoego przez mcierz, które domiuące rtości łse i odpoidącego ektor łsego poszukuemy. Procedur tk est róozcz pomożeiu ektor strtoego przez mcierz yścioą podiesioą do potęgi róe liczbie iterci. ektor będący iloczyem zmierz tedy do ektor odpoidącego iększe rtości łse, smą rtość łsą możemy tomist obliczyć z yrżei zego ilorzem Ryleigh (4). Uzsdieie poprości metody est stępuące. Rozżmy dooly ektor orz ciąg operci możei tego ektor przez mcierz A [ ] : { } { 0} {} {} { k+ } {} k k+ A A A M A A A... A A. (57) Poież kżdy ektor przestrzei ymiroe moż przedstić ko kombicę liioą ektoró łsych sze mcierzy, to szczególości: α V, (58) gdzie V ozcz ty ektor łsy α możik. Przymimy podto, dl prostoty zpisu, że rtości łse są uporządkoe koleości od iększe do miesze co do modułu (skźik ). Podstiąc (58) do (57) 3 otrzymuemy: { k+ } A Poież, mocy defiici problemu łsego, zchodzi ziązek: k+ to ostti czło yrżei (59) est róy: A k+ α V α A V. (59) V k+ k+ V, (60) k+ k+ α A V α V, (6) co, po yciągięciu przed zk sumy domiuące rtości łse ostteczie prodzi do stępuące zleżości, iążące ektor z rtościmi i ektormi łsymi mcierzy A : { k+} k+ { k+ } k+ α V. (6) 0

11 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk Zgodie z cześieszym złożeiem est domiuącą rtością łsą, czyli zchodzi zleżość: < dl, (63) ięc gdy k+ k to 0. Jk z tego idć lim k {} k { k+ } skł {} k V,. (64) e zorze (64) symbol skł ozcz doolie ybrą skłdoą ektor. Ze zględu stbilość umeryczą procedury, po kżdym kroku potęgoym (57) oo uzysky ektor ormlizuemy, czyli zstępuemy ektorem o tym smym kieruku i { k +} } } } zrocie, le długości róe, czyli (gdyby te operci ie ykoć to długość ektor po koleych krokch lbo rosł by do ieskończoości, eżeli długość ektor strtoego był iększ od edości, lbo mlł do zer przeciym przypdku) rtości łse ie obliczmy prost ze zoru (64) le z ilorzu Ryleigh: { k} { k} A {} k {} k skł {} k {} k { k+ }. (65) Oczyiście po kżde iterci leży rdzić ruki zkończei obliczeń postci błędu zbieżości rtości łse i ektor łsego: { k + } { k} { k+ } { k + } { k} < ε < ε. (66) Poież tempo zbieżości rtości łse est zczie yższe iż tempo zbieżości ektor łsego, dobór rtości ε i ε poiie być ykoyy rozżie, złszcz dl dużych mcierzy. szczególości leży się zstoić, czy dlsze lizie są m potrzebe zróo rtość k i odpoidący e ektor łsy, eżeli tk, to czy muszą być yzczoe tk smo precyzyie. Przy rdziu ruku (66) leży mieć udze fkt, że eżeli domiuąc rtość łs est uem, to ektory będące koleymi przybliżeimi odpoidącego e ektor łsego co iterc będą zmieiły zrot przeciy. Ostteczy lgorytm metody ygląd stępuąco: yzczyć ektor strtoy mąc zględzie fkt, że ego dobór może mieć zczący pły liczbę ykoych iterci. Oczyiście, k łto się domyślić, im ektor strtoy est bliższy poszukiemu ektoroi łsemu, tym mie iterci trzeb będzie ykoć;. Zormlizoć yzczoy ektor. ykoć krok potęgoy {} k { k +} { k} A { } { } { } k+ k k+ 3. Obliczyć ilorz Ryleigh ; { k} ; {} k {} k ;

12 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk 4. Sprdzić ruek (66). zleżości od yiku rdzei lbo leży rócić do., lbo zkończyć prcę. Dl lepsze ilustrci osobu postępoi przedstimy go przykłdzie obliczi domiuące rtości łse i odpoidącego e ektor łsego mcierzy A [ 4 4] z poprzediego przykłdu (9) dokłdością ε { 0} ε 0, 000. tym celu przymimy ektor początkoy [ 4] :. Normlizc:. Krok potęgoy: 3. Ilorz Ryleigh:. (67) Iterc piersz: 4 0,500. (68) 3 4 0,500 {} { 0},500 A. (69) 5, ,500 {},500 [ 0,500 ], ,000 3,500. (70) 4. ruki zkończei obliczeń mogą być rdzoe dopiero po drugie iterci, tkim rzie porcmy do puktu. i kotyuuemy obliczei. Iterc drug:. Normlizc:. Krok potęgoy: 3. Ilorz Ryleigh: 0, 000 0, 000 {} {}, 500 0, 349. (7) {} {}, 000 0, 465 8, 5 3, 500 0, ,09 {} {} 0,349,836 A. (7) 5 0,465 5, ,84 8,370 {} {} { },09,836 [ 0,349 0,465 0,84] 0, ,696 8,370. (73)

13 4. ruki zkończei obliczeń: Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk {} { 0} 0, , , ,86076 > ε {} { 0} 0,349 ( ),477 > ε 0,465 0,84 0,500 czyli koiecze est ykoie stępe iterci. Iterc trzeci:. Normlizc:. Krok potęgoy: 3. Ilorz Ryleigh: {} {} {} {},06944,09,836 5,696 8,370 0,90 0,348 0,57 0,759, (74). (75) 3 4 0,90,55 {} 3 {} 0,348 3,500 A. (76) 5 0,57 5, ,759 9,003 {} {} {} 3 4. ruki zkończei obliczeń: {} {} {},55 3,500 [ 0,90 0,348 0,57 0,759], ,334 9,003, ,79797, {} {} 0,348 0,349 ( ) 0,040 > ε 0,90 0,57 0,759 0,465 0,84 0,0398 > ε czyli dle koiecze est ykoie stępe iterci. toku dlszych obliczeń moż się przekoć, że po ośmiu itercch: {} 8 {} 7 {} 8,3700 +, < ε,3700 {} 8 {} 7 0,9 0,9 ( ) 0,00390 > ε 0,54 0,490 0,808 0,50 0,489 0,808. (77), (78), (79) czyli zostł ełioy ruek (66) (błąd zbieżości ze zględu rtość łsą), po 5 itercch: 3

14 { 5} { 4} { 5} Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk,3700 +,3700, < ε { 5} { 4} 0,88 0,88 ( ) 057 < ε 0,54 0,489 0,809 0,54 0,489 0,809. (80) czyli zostł ełioy ruek (66) (błąd zbieżości ze zględu ektor łsy). Jk idć, uzyskie tkie sme dokłdości przypdku ektor łsego, k przypdku rtości łse ymg ykoi około dukrotie iększe liczby iterci. Efektyość (tempo zbieżości) metody potęgoe zleży od rtości ilorzu, gdyż k gdzie c ( ) α, ( ) α V + ( ) k c k k V + µ { k+ } { k} k k α V c V + c V, µ, µ c V, (8),,..., są stłymi ółczyikmi rozkłdu. Ze zoru (8) yik, że tempo, z kim ektor zmierz do ektor łsego V est szcoe od góry przez rtość tego ilorzu. Ngorsz sytuc ystąpi tedy, gdy ilorz est róy ede, czyli rtości te różią się edyie zkiem. koleych itercch ystąpią oscylce pomiędzy dom przeciymi rtościmi bez szs ełieie ruku zkończei obliczeń. Nlepsz sytuc tomist ( ztem róież iększe przyieszeie obliczeń) stąpi tedy, gdy ilorz te będzie mił iększą możlią dl de mcierzy rtość. Sytuc tk poi się, gdy. Moż do ie doprodzić przez odpoiedie przesuięcie idm rtości łsych yścioe mcierzy o rtość opt ( ) +. (8) Nleży tym celu pier możliie precyzyie oszcoć rtości łse i ( przykłd korzystąc z ciągó Sturm) stępie przeksztłcić mcierz A [ ] odemuąc od szystkich elemetó e przekąte głóe skłdik opt ' A A opt I, (83) gdzie I [ ] ozcz mcierz edostkoą, i dlsze obliczei prodzić tk uzyske mcierzy ' A, dl które będzie zchodził ruek [ ]. Po zkończeiu iterci leży oczyiście ' ' porócić do rtości łse mcierzy yścioe, dodąc do yiku obliczeń metodą potęgoą. yzczoy trkcie tych obliczeń ektor łsy ie ymg żdych modyfikci, gdyż opt przesuięcie idm ie m płyu ego skłdoe. 4

15 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk Rys.. Zbieżość metody potęgoe dl domiuące rtości łse ( ) i odpoidącego e ektor łsego ( ) koleych itercch ( ), skl logrytmicz., Metod iterci odrote Metod iterci odrote może być uż z rit metody potęgoe służący do yzczei rtości łse mcierzy, bliższe zeru. Podstą merytoryczą te metody est cytoe yże tierdzeie, że rtości łse mcierzy odrote są odrotościmi rtości łsych mcierzy de. Sposób postępoi est podoby k poprzedio, z edym zstrzeżeiem dotyczącym kroku potęgoego. prostsze postci metody iterci odrote formlie zstępuemy mcierz A mcierzą A dle obliczei prodzimy k metodzie potęgoe. Jedk tki osób postępoi est mło efektyy umeryczie, gdyż złożoość obliczeio procedury odrci mcierzy est duż. Jest edk prosty osób uikięci te operci. ystrczy tym celu kroku potęgoym zmist operci możei mcierzy przez ektor: { k + } { k} A, (84) roziązć ukłd liioych róń lgebriczych: { k+} { k} A. (85) Aby roziązie ukłdu róń było efektye leży zstosoć edą z metod oprtych dekompozyci mcierzy (rozkłd L L eżeli mcierz est dodtio określo, rozkłd L U prze- ciym przypdku), gdyż dekompozyci dokouemy edokrotie, tomist ukłd róń musimy roziązć trkcie kżde iterci. k procedur postępoi est efekty, gdy mcierz A est peł lub prie peł. Jeżeli tomist mmy do czyiei z mcierzą A, któr est rzdk, korzystiesze może okzć się zstosoie procedury itercye roziązi ukłdu liioych róń lgebriczych. Ostteczie, przypdku metody iterci odrote lgorytm postępoi przedsti się stępuąco: yzczyć ektor strtoy ; 5

16 . Zormlizoć yzczoy ektor przez roziązie ukłdu liioych róń lgebr-. ykoć krok potęgoy iczych; 3. Obliczyć ilorz Ryleigh Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk {} k { k+} { k} A { k+ } { k} { k+} ; { k} ; {} k {} k 4. Sprdzić ruek (66). zleżości od yiku rdzei lbo leży rócić do., lbo zkończyć prcę. Jeżeli metodę iterci odrote zstosuemy do mcierzy po przesuięciu idm rtości łsych o liczbę d (83), uzyskmy zbieżość roziązi ie do bliższe zeru rtości łse mcierzy yścioe do rtości łse bliższe te zde liczbie. te osób moż, stosuąc rit metody potęgoe, yzczyć doolą rtość łsą mcierzy. Uogólioy problem łsy Uogólioym problemem łsym zymy zdie postci: A V B V. (86) Jeżeli yzczik mcierzy B est róży od zer zdie tkie moż formlie rodzić do stdrdoego problemu łsego przez obustroe pomożeie przez mcierz B, co prodzi do: B A V V. (87) kie postępoie m edk zsdiczą dę oodoą umeryczą złożoością procedury (odrcie mcierzy), orz możliością utrty stbilości trkcie obliczeń. Podto, eżeli mcierz B est psmo (częsty przypdek) to mcierz odrot do ie częście tk ie est, co przypdku dużych zdń może być kłopotlie. Jeżeli mcierz B est symetrycz i dodtio określo możliy est stępuący osób postępoi, polegący zstosoiu rozkłdu L L : co po podstieiu do (86) de: po leostroym pomożeiu przez B L L, (88) A L L, (89) L : L A L Jeżeli dokomy terz podstiei: L L L. (90) L Y, czyli L Y, (9) to problem (86) rodzimy do stdrdoego problemu łsego (), z rtościmi łsymi zchoymi z zdi (86), le zmieioymi ektormi łsymi: L 443 A L Y Y, (9) C który możemy roziązć przykłd edą z przedstioych poyże metod. Ząc ektory łse problemu (9) możemy kżde chili rócić do ektoró łsych zdi yścioego (86), korzystąc z zleżości (9). Jeżeli tomist trkcie roziązyi zdi (86) meto- 6

17 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk dą potęgoą przy uzględieiu zleżości (88) chcemy uikąć koieczości odrci mcierzy L i L możemy zstosoć procedurę postępoi przedstioą poiże: Dokoć rozkłdu. Zormlizoć yzczoy ektor. Obliczyć ektor L L mcierzy B i przyąć ektor strtoy {} k { k} Y ; {} k {} k Y Y { 0} Y ; {} k roziązuąc ukłd liioych róń lgebriczych { k+} 3. Obliczyć ektor Y roziązuąc ukłd liioych róń lgebriczych co est róozcze ykoiu kroku potęgoego; { } { } { } k+ k k+ 4. Obliczyć ilorz Ryleigh Y ; {} k { k} ; L L Y { k+} { k} A 5. Sprdzić ruek (66). Dokłdie tk smo k e cześie rozżych przykłdch, eżeli ruek (66) zostł ełioy, kończymy obliczei, przeciym rzie rcmy do. tym miescu rto zrócić ugę fkt, że trkcie obliczeń (pukt.) kżde iterci est zdoy ektor łsy orygilego problemu łsego (86), tk ięc ie leży go obliczć pooie zkończeie prcy. Przedstioy poyże osób postępoi zstosuemy do yzczei domiuące rtości łse uogólioego problemu łsego opisego symetryczymi mcierzmi A [ 4 4] i B [ 4 4], z dokłdością ε ε 0, 000 : A, B. (93) { 0} Operce stępe rozkłd mcierzy B i ektor strtoy Y : B L L, Y (94) Normlizc:. Ukłd róń: L Y Iterc piersz: Y Y 4 0,500 0, , ,500. (95) 0,67 0,033 0,00 0,00. (96), 7

18 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk 3. Ukłd róń: ,67 0,550 {} { 0} 0 0 {} 0,033 {} 0,39 L Y A Y Y ,00 0, ,00 0,543 (97) 4. Ilorz Ryleigh: 0,550 {} 0,39 Y [ 0,500 0,500] 0, 39. 0,536 0,543 (98) 5. ruki zkończei obliczeń mogą być rdzoe dopiero po drugie iterci, tkim rzie porcmy do puktu. i kotyuuemy obliczei. Iterc drug:. Normlizc: 0,550 0,567 {} {} 0,39 0,46 Y {} {} 0,536 0,55 Y Y 0,9459 0,543 0,559. (99). Ukłd róń: 4 0,567 0,706 {} {} 0 {} 0,46 {} 0,065 L 0 0 0,55 0, ,559 0,. (00) 3. Ukłd róń: ,706,060 {} {} 0 0 {} 0,065 {} 0,686 L Y A Y Y ,33, ,,33 (0) 4. Ilorz Ryleigh:,060 {} {} { } 0,686 Y [ 0,567 0,46 0,55 0,559], 4833.,48,33 (0) 5. ruki zkończei obliczeń: {} { 0},4833 0,39 0,86043 > ε,4833 0,567 {} { 0} 0,46 0,500,09649 > ε 0,55 0,559 0,500 czyli koiecze est ykoie stępe iterci., (03) 8

19 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk Iterc trzeci:. Normlizc:,060 0,467 {} {} 0,686 0,30 Y {} {},48 0,69 Y Y 5,5383,33 0,543. (04). Ukłd róń: 4 0,467 0,67 {} {} 0 {} 0,30 {} 0,073 L 0 0 0,69 0, ,543 0,09. (05) 3. Ukłd róń: ,67,080 {} 3 {} 0 0 {} 3 0,073 {} 3 0,747 L Y A Y Y ,369, ,09,79 (06) 4. Ilorz Ryleigh:,080 {} {} {} 3 0,747 Y [ 0,467 0,30 0,69 0,543], ,374,79 (07) 5. ruki zkończei obliczeń: {} {},88566,4833 0,07584 > ε {}, ,467 0,567 {} {} 0,30 0,46 0,38843 > ε 0,69 0,55 0,543 0,559 czyli koiecze est ykoie stępe iterci. toku dlszych obliczeń moż się przekoć, że po siedmiu itercch: {} 7 {} 6,9075, < ε {} 7,9075 0,467 0,464 {} 7 {} 6 0,39 0,33 0,04 > ε 0,609 0,67 0,556 0,554, (08), (09) czyli zostł ełioy ruek (66) (błąd zbieżości ze zględu rtość łsą), po itercch: { } { } { },9098, < ε,9098 0, 466 0, 466 0, 37 0, < ε 0, 6 0, 6 0, 555 0, 555 { } { }. (0) 9

20 Michł Pzdoski Istytut echologii Iformcyych Iżyierii Lądoe ydził Iżyierii Lądoe Politechik Krkosk czyli zostł ełioy ruek (66) (błąd zbieżości ze zględu ektor łsy). Jk idć, uzyskie tkie sme dokłdości przypdku ektor łsego, k przypdku rtości łse tym przypdku ymg ykoi około trzykrotie iększe liczby iterci Rys. 3 Zbieżość metody potęgoe dl domiuące rtości łse ( ) i odpoidącego e ektor łsego ( ) koleych itercch ( ) uogólioego problemu łsego, skl logrytmicz., 0