STANDARDOWE FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI. METODY HEURYSTYCZNE wykład 6. (alternatywa dla s) (zdef. poprzez klasę s) GAUSSOWSKA F.

Transkrypt

1 METODY HEURYSTYCZNE wykład 6 STANDARDOWE FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI 2 GAUSSOWSKA F. PRZYNALEŻNOŚCI F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY s środek; a określa szerokość krzywej 3 4 F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY π F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY γ (zdef. poprzez klasę s) (alternatywa dla s) F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY L 5 6

2 F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY t F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY singleton (alternatywa dla π) 7 Singleton charakteryzuje jednoelementowy zbiór rozmyty. Funkcja ta jest wykorzystywana głównie do operacji rozmywania w systemach wnioskujących. 8 prędkość samochodu: X: [, ma ] Mała prędkość samochodu (A) typ L Średnia prędkość samochodu (B) typ t Duża prędkość samochodu (C) typ γ µ() α Jądro α - przekrój Baza µ A () µ B () µ C () Nośnik(baza) zbioru rozmytego A: zbiór elementów ZR, dla których µ () >.5 Jądro zbioru rozmytego A: zb. elementów ZR, dla których µ()= = µ A () =.25, µ B ()=.75, µ C ()= ma 9 α-przekrój zbioru rozmytego A: zbiór nierozmyty taki, że: Wysokość zbioru rozmytego A: X={,..., } Zbiór normalny: α-przekroje: A = X = {,..., }, Normalizacja zbioru: A. = {2, 4, 5, 8, }, A.3 = {4, 5, 8, }, - przed normalizacją: A.6 = {5, 8}, A.7 = {5}. - po normalizacji: 2 2

3 Inkluzja (zawieranie sie ZR A w ZR B): µ () µ B () µ A () ZR wypukły: ZR niewypukły: µ () µ () OPERACJE NA ZBIORACH ROZMYTYCH Równość dwu ZR A i B: 3 4 PRZECIĘCIE W literaturze istnieje wiele definicji przecięcia (iloczynu) zbiorów rozmytych pod wspólną nazwą T-norm. SUMA Definicje sumy zbiorów rozmytych mają nazwę S-norm. µ () µ A () µ B () µ A () µ B () Najczęściej stosowana definicja przecięcia zbiorów A i B: µ () µ A () µ B () µ A () µ B () DOPEŁNIENIE zbioru rozmytego: µ () µ A () µ Â () lub (iloczyn algebraiczny): µ () µ A () µ B () µ A () µ B () Dla ZR nie są spełnione prawa dopełnienia: 5 6 Przykład: Przykład: Przecięcie: Suma: Przecięcie: Suma: 7 8 3

4 Liczby rozmyte to ZR zdefiniowane na osi liczb rzeczywistych. Wymagania: zbiór normalny: h(a)=; LICZBY ROZMYTE np.: zbiór wypukły; funkcja przynależności przedziałami ciągła. µ () dodatnie µ () ujemne; 9 ani dodatnie ani ujemne. 2 ZASADA ROZSZERZANIA: ZASADA ROZSZERZANIA: Zasada rozszerzania pozwala przenieść (rozszerzyć) różne operacje matematyczne ze zbiorów nierozmytych na zbiory rozmyte (w tym również na liczby rozmyte). Zasada rozszerzania pozwala przenieść (rozszerzyć) różne operacje matematyczne ze zbiorów nierozmytych na zbiory rozmyte (w tym również na liczby rozmyte). dodawanie odejmowanie A A 2 = B A A 2 = B Nie zawsze wynikiem operacji arytmetycznych na liczbach rozmytych jest liczba rozmyta... Twierdzenie (Dubois, Prade): mnożenie dzielenie A A 2 = B A A 2 = B 2 Jeżeli liczby rozmyte A i A 2 mają ciągłe funkcje przynależności, to wynikiem operacji arytmetycznych dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia są liczby rozmyte. 22 Dodawanie liczb rozmytych: Trójkątne liczby rozmyte: µ µ A (y) µ B (z) µ A+B () Opis: - f. przynależności klasy t; -jako: µ () Mnożenie liczb rozmytych: Wyostrzanie trójkątnej liczby rozmytej: a a M a 2 µ µ A (y) µ B (z) µ A B ()

5 Płaskie liczby rozmyte: µ() PRZYBLIŻONE WNIOSKOWANIE Logika tradycyjna (dwuwartościowa): O prawdziwości zdań wnioskuje się na podstawie prawdziwości innych zdań. Schemat notowania: Nad kreską zdania, na podstawie których się wnioskuje; Pod kreską otrzymany wniosek. Jeśli prawdziwe są wszystkie zdania powyżej kreski to prawdziwy jest też wniosek. Teraz: A, B zdania. 27 A= : logiczną wartością zdania A jest prawda; A= : logiczną wartością zdania A jest fałsz. Funktory logiczne: Operacja logiczna Funktor Czyta się: negacja ~ lub nie jest prawdą, że... koniunkcja i, oraz alternatywa lub implikacja jeżeli... to... równoważność wtedy i tylko wtedy, gdy... tożsamość jest tożsame... kwantyfikator ogólny kwantyfikator szczególny dla każdego... istnieje takie Implikacja (wynikanie): Zdanie logiczne o strukturze jeśli p to q" (p q) p poprzednik implikacji; q następnik implikacji. Implikacja jest prawdziwa: gdy q jest prawdziwe; gdy p i q są fałszywe. 29 REGUŁY WNIOSKOWANIA MODUS PONENS Modus ponendo ponens sposób wnioskowania przez twierdzenie p do twierdzenia q. Wniosek: A A B Z prawdziwości przesłanki i implikacji wynika prawdziwość wniosku. A= Jacek jest kierowcą B= Jacek ma prawo jazdy Jeśli A= to B= B 3 5

6 MODUS TOLLENS Modus tollendo tollens sposób wnioskowania prowadzący przez przeczenie do przeczenia. ~B A B Wniosek: ~A Z prawdziwości przesłanki i implikacji również wynika prawdziwość wniosku. B= (~B=) Jacek nie ma prawa jazdy A= (~A=) Jacek nie jest kierowcą Jeśli B= to A= 3 REGUŁY WNIOSKOWANIA W LOGICE ROZMYTEJ Reguły, których przesłanki lub wnioski wyrażone są w języku zbiorów rozmytych. Reguły pochodzące od ekspertów zwykle wyrażone są w języku nieprecyzyjnym. Zbiory rozmyte pozwalają przełożyć ten język na konkretne wartości liczbowe. Praca systemu decyzyjnego opartego na logice rozmytej zależy od definicji reguł rozmytych w bazie reguł. 32 Reguły mają postać IF...AND...THEN. np.: IF a is A AND b is B THEN c is C IF a is A2 AND b is NOT B2 THEN c is C2 gdzie: a, b, c zmienne lingwistyczne, A,..., C2 zbiory rozmyte. Zmienne lingwistyczne: zmienne, które przyjmują jako wartości słowa lub zdania wypowiedziane w języku naturalnym. (również wartości liczbowe). 33 Różnice w porównaniu z klasycznymi regułami IF-THEN: Wykorzystanie zmiennych opisujących zbiory rozmyte; Występowanie mechanizmu określającego stopień przynależności elementu do zbioru; Wykorzystanie operacji na zbiorach rozmytych. Schemat wnioskowania, w którym przesłanka, implikacja i wniosek są nieprecyzyjne: Wniosek: Prędkość samochodu jest duża Jeśli prędkość samochodu jest bardzo duża poziom hałasu jest wysoki Poziom hałasu jestśredniowysoki 34 Wniosek: Prędkość samochodu jest duża Jeśli prędkość samochodu jest bardzo duża poziom hałasu jest wysoki Poziom hałasu jestśredniowysoki Wniosek: Prędkość samochodu jest duża Jeśli prędkość samochodu jest bardzo duża poziom hałasu jest wysoki Poziom hałasu jestśredniowysoki Rozmyta reguła wnioskowania modus ponens : jest A Jeśli jest A y jest B Wniosek: y jest B 35 Zmienne lingwistyczne: prędkość samochodu y poziom hałasu Zbiór wartości zmiennych lingwistycznych: : T={ mała, średnia, duża, bardzo duża } y: T2={ mały, średni, średniowysoki, wysoki } 36 6

7 Do każdego elementu zbiorów T i T2 można przyporządkować zbiór rozmyty o założonej przez nas funkcji przynależności. Tu: A prędkość samochodu jest bardzo duża ; A prędkość samochodu jest duża ; B poziom hałasu jest wysoki ; B poziom hałasu jest średniowysoki. Implikacja ma tą samą postać (A B) w regule rozmytej jak i w nierozmytej. W regule rozmytej jej przesłanka nie dotyczy zb. rozmytego A lecz A, który może być zbliżony do A, ale niekoniecznie A=A. 37 Ponieważ A A - wniosek jest inny niż byłby w przypadku reguły nierozmytej. Zbiór rozmyty B jest określony przez złożenie zbioru rozmytego A oraz implikacji A B: Rozmyta reguła wnioskowania modus tollens : y jest B Jeśli jest A y jest B Wniosek: jest A 38 Wyznaczanie funkcji µ A B (,y) gdy µ A () oraz µ B (y) są znane:. Reguła Mamdaniego: 2. Reguła Larsena: 3. Reguła Łukasiewicza: STEROWNIKI ROZMYTE 4. Reguła Zadeha: Nie wymagają tworzenia modelu rozważanego procesu (co często jest trudne); Należy jedynie sformułować zasady postępowania w postaci rozmytych reguł (IF..THEN). Schemat układu klimatyzacji: pomieszczenie KLIMATYZATOR czujnik temperatury STEROWNIK ROZMYTY zmierzone wartości wejściowe; czujnik wilgotności sygnał sterujący (intensywność chłodzenia). 4 Zastosowania praktyczne: sprzęt AGD (pralki, lodówki, odkurzacze); kamery (autofokus); nadzór wentylacji w tunelach; sterowanie światłami na wjeździe na autostradę; klimatyzacja; automatyka przemysłowa; sterowanie robotów;

8 STEROWNIK ROZMYTY: Np. Sterowanie ogrzewaniem: BLOK ROZMYWANIA BAZA REGUŁ BLOK WNIOSKOWANIA BLOK WYOSTRZANIA Cena ogrzewania Temperatura mróz zimno chłodno tanio mocno mocno średnio średnio mocno średnio słabo drogo średnio słabo wcale Baza reguł (model lingwistyczny): zbiór rozmytych reguł w postaci: ROZMYWANIE (fuzzyfikacja) Przejście od pomiarów (konkretna wartość ) do funkcji przynależności przez określenie stopni przynależności zmiennych lingwistycznych do każdego ze zbiorów rozmytych. Temperatura: T =5 C Cena_ogrz: p =48zł/MBTU µ chłodno (T)=.5 µ tanio (p)= C T 48zł/MBtu p Stopień spełnienia reguły dla wszystkich przesłanek: µ chłodno (T) µ tanio (p).5 5 C T.3 48zł/MBtu p 45 poziom zapłonu reguły 46 WNIOSKOWANIE Obliczanie stopnia prawdziwości wniosku: Wnioskowanie MIN: AGREGACJA Jeżeli więcej niż jedna reguła ma niezerowy poziom zapłonu, wyniki (zbiory rozmyte) sumuje się. µ średnio (h) µ całe =.3 µ wniosku (h) h h

9 WYOSTRZANIE (defuzzyfikacja) Jeżeli na wyjściu wymagana jest wartość liczbowa, stosuje się jedną z metod wyostrzania: Tu: Metoda pierwszego maksimum: COG 57 h Metoda środka maksimum: Metoda środka ciężkości(cog): 49 A i powierzchnia zbioru i µ i stopień przynależności do zbioru i c i środek ciężkości zbioru i. 5 STEROWNIKI ROZMYTE TAKAGI-SUGENO Baza reguł sterownika ma charakter rozmyty tylko w części IF. W części THEN występują zależności funkcyjne. Reguły Mamdaniego: wynikiem jest zbiór rozmyty B: IF =A AND 2 =A 2 n =A n THEN y = B Reguły Takagi-Sugeno: wynikiem jest funkcja f ( i ): IF =A AND 2 =A 2 n =A n THEN y = f (, 2,.. n ) Zwykle są to funkcje liniowe : f ( i ) = y = a +a +a n n 5 52 R () :IF prędkość is niska THEN hamowanie = prędkość R (2) :IF prędkość is średnia THEN hamowanie = 4 prędkość R (3) :IF prędkość is wysoka THEN hamowanie = 8 prędkość µ.8 niska średnia wysoka.3. R () : w =.3; r = 2 R (2) : w 2 =.8; r 2 = 4 2 R (3) : w 3 =.; r 3 = Hamowanie = Prędkość 53 9