Technologie i systemy oparte na logice rozmytej

Transkrypt

1 Zagadnienia I

2 Technologie i systemy oparte na logice rozmytej Mają zastosowania w sytuacjach kiedy nie posiadamy wystarczającej wiedzy o modelu matematycznym rządzącym danym zjawiskiem oraz tam gdzie zbudowanie takiego modelu jest nieopłacalne lub nawet niemożliwe. Technologie oparte na logice rozmytej znajdują zastosowanie m.in. w bazach danych, sterowaniu, modelowaniu i przetwarzaniu języka naturalnego.

3 Na czym polega różnica między logiką tradycyjną i logiką rozmytą? Paweł zarabia 5 tys. złotych. Paweł kupił kg jabłek. Paweł ma 5 lat. Paweł w ciągu wakacji 3 dni spędził nad morzem. Określenia precyzyjne. Przypisanie 0 lub jest jednoznaczne. Logika tradycyjna Paweł zarabia dużo. Paweł kupił trochę jabłek. Paweł jest młody. Paweł w ciągu wakacji był krótko nad morzem. Określenia nieprecyzyjne. Przypisanie 0 lub nie jest jednoznaczne. Logika rozmyta

4 Rozmyty świat Czy to jest pudełko zawierające niebieskie kulki? Czy to jest pudełko zawierające czerwone kulki? Czy to jest pudełko zawierające niebieskie/czerwone kulki?

5 Bez rozmycia Brak czerwonych kulek 0 Tylko czerwone kulki Między stanami 0 i możliwe są stany pośrednie.

6 Rozmycie Pudełko nie zawiera czerwonych kulek (0). Pudełko zawiera sporo czerwonych kulek. Pudełko zawiera znikomą ilość czerwonych kulek. Pudełko zawiera przeważnie czerwone kulki. Pudełko zawiera trochę czerwonych kulek. Tak, pudełko zawiera tylko czerwone kulki ().

7 Logika klasyczna 0 Logika rozmyta Tylko dwie wartości: prawda i fałsz 0 Wartości z przedziału [0,] Zanim poznamy logikę rozmytą musimy poznać teorię zbiorów rozmytych

8 Zbiory - powtórzenie Zbiór to kolekcja, wielość obiektów. Pojęcie zbioru jest podstawowe i niedefiniowalne. Określenie zbioru musi być jednoznaczne w tym sensie, że musi być jasne czy dany konkretny obiekt należy do tego zbioru. Obiekt który należy do zbioru jest nazywany elementem zbioru. Zbiór definiujemy przez podanie jego elementów.

9 Przykład = {0, 0, -5, 7} B = ø C = {{},,{{},{3}}} D = { R: >4} E = zbiór zielonych samochodów F = zbiór latających słoni W przypadku każdego z tych zbiorów łatwo określić czy dany obiekt należy do zbioru czy nie należy. 7 3 D

10 Zbiory rozmyte Istnieją zbiory w przypadku których określenie przynależności danego konkretnego obiektu nie jest jednoznaczne. Przykład = zbiór młodych ludzi B = zbiór szybkich samochodów C = zbiór wysokich drzew W przypadku takich zbiorów możemy mówić o stopniu przynależności. Przykład Można powiedzieć, że osoba w wieku 35 lat należy do zbioru w większym stopniu niż osoba w wieku 80 lat.

11 Dla ustalenia uwagi określmy tzw. obszar rozważań (ang. the universe of the discourse). Nazywać go będziemy przestrzenią lub zbiorem i oznaczymy przez X. Definicja Zbiorem rozmytym w pewnej (niepustej) przestrzeni X, co zapisujemy jako X nazywamy zbiór par ={(, ()): X} gdzie : X [0,] jest funkcją przynależności zbioru rozmytego. Funkcja ta każdemu elementowi X przypisuje jego stopień przynależności do zbioru rozmytego.

12 Możemy wyróżnić 3 przypadki: ) ()= oznacza pełną przynależność elementu do zbioru rozmytego, tzn.. ) ()=0 oznacza brak przynależność elementu do zbioru rozmytego, tzn.. 3) 0< ()<0 oznacza częściową przynależność elementu do zbioru rozmytego. Jeżeli X jest przestrzenią o skończonej liczbie elementów X={,,, 3 } To zbiór rozmyty oznaczamy następująco ( ) ( ) ( n n )

13 Jeżeli X zawiera nieskończoną liczbę elementów to zbiór rozmyty X symbolicznie zapisujemy jako X ( ) Przykład Niech X=N (zbiór liczb naturalnych) Zbiór liczb naturalnych bliskich liczbie określamy następująco: 0, 9 0,4 0 0,7 0,7 3 0,4 4 0, 5

14 Przykład Niech X=R (zbiór liczb rzeczywistych) Zbiór liczb rzeczywistych bliskich liczbie (oznaczmy go przez ) określamy wykorzystując następującą funkcję przynależności: ( ) ( ) Zatem 0,5 X [ ( ) ]

15 Przykład Niech X=R (zbiór liczb rzeczywistych) Zbiory rozmyte liczb rzeczywistych bliskich liczbie można też określić inaczej wykorzystując inną funkcję przynależności: ( ) 0,, w przeciwnym razie 0,

16 Przykład Sformalizujmy teraz określenie temperatura wody odpowiednia do kąpieli. Zbiór rozważań: Zbiór rozmyty: X=[5, 6,, 4, 5] 0, 6 0,3 7 0,5 8 0,8 9 0,95 0 0,9 0,8 3 0,75 4 0,7 5 Inna możliwość: 0, 5 0, 6 0,4 7 0,7 8 0, ,9 0,85 0,8 3 0,75 4 0,7 5

17 Przykłady funkcji przynależności Funkcja Gaussowska ( ) ep gdzie jest środkiem, a określa szerokość krzywej Funkcja typu dzwonowego ( ; a, b, c) b c a gdzie parametr a określa szerokość, b określa nachylenie, natomiast c określa środek.

18 Przykłady funkcji przynależności Funkcja klasy t t( ; a, b, c) 0 a b a c c b 0 a b a c b c Funkcja klasy L L( ; a, b) b b a 0 a a b b

19 Przykłady funkcji przynależności Funkcja klasy s s( ; a, b, c) 0 a c a c c a a b a c b c Funkcja radialna ( ) ep

20 Przykłady funkcji przynależności Funkcja klasy ( ; a, b) 0 a b a a a b b Funkcja singleton ( ) 0 Do zbioru rozmytego należy tylko.

21 Przykład Niech X= [0, zł] Funkcję przynależności zbioru rozmytego dużo pieniędzy określamy jako funkcję klasy s. 0,

22 Definicja Zbiór elementów przestrzeni X których ()>0 nazywamy nośnikiem zbioru rozmytego. Wprowadzamy oznaczenie: supp :={ X: ()>0 } Przykład Jeżeli X={,,3,4,5,6,7,8} oraz wówczas 0, 0,4 0,6 5 0,3 7 supp ={,, 5, 7}

23 Definicja Wysokość zbioru rozmytego oznaczamy przez h() i określamy jako: Przykład h( ) sup ( ) Jeżeli X={,,3,4,5,6,7,8,9,0} oraz X wówczas 0, 0,4 0,6 5 0,3 7 h() = 0,6

24 Definicja Mówimy, że zbiór rozmyty jest pusty (ozn. =ø) wtedy i tylko wtedy supp := ø Definicja Mówimy, że zbiór rozmyty zawiera się w zbiorze B (ozn. B) wtedy i tylko wtedy każdego X ( ) ( ) B Przykład 0,5 B

25 Operacje na zbiorach rozmytych Definicja Przecięciem zbiorów rozmytych,b X jest zbiór rozmyty funkcji przynależności B ( ) min{ ( ), ( )} B B o W przypadku wielu zbiorów,,, n przecięcie określone jest następującą funkcją przynależności ( ) min{ ( ),..., ( )}... n n B 0,5 B

26 Definicja Sumą zbiorów rozmytych,b X jest zbiór rozmyty przynależności ( ) ma{ ( ), ( )} B B B o funkcji W przypadku wielu zbiorów,,, n przecięcie określone jest następującą funkcją przynależności ( ) ma{ ( ),..., ( )}... n n 0,5 B B

27 Definicja Dopełnieniem zbioru rozmytego X jest zbiór rozmyty przynależności gdzie X. ( ) ( ) o funkcji Przykład 0,5 Jeżeli X={,,3,4} oraz wówczas ,8 0,6 0, 0, ,4 0,6 4

28 Można łatwo pokazać (ćwiczenia!), że przypadku zbiorów rozmytych nie są spełnione prawa dopełnienia tzn: X Zachodzą natomiast prawa de Morgana oraz absorbcji (ćwiczenia!). Ponadto w przypadku operacji na zbiorach rozmytych zachodzą własności przemienności, łączności oraz rozdzielności. Przykład Jeżeli X={,,3} oraz wówczas 0,8 0, 0, 0,6 0,4 0,4 3 X 0,8 0,6 3

29 Definicja Iloczynem kartezjańskim zbiorów rozmytych X i B Y nazywamy zbiór rozmyty B funkcji przynależności gdzie X i y Y. B (, y) min{ ( ), ( y)} B Przykład Jeżeli X={,,3,4,5} oraz wówczas B 0, 0, (,) 0,4 0, (,) 0,6 5 0,4 (,) B 0,3 (,) 0,4 0,4 (5,) 0,3 0,3 (5,)

30 t -normy Przecięcie zbiorów rozmytych,b X określiliśmy jako zbiór rozmyty B o funkcji przynależności B ( ) min{ ( ), ( )} B Zamiast funkcji min możemy użyć dowolnej t-normy, tzn. funkcji T takiej, że: T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c)) (łączność) T(a, b) = T(b, a) (przemienność) T(a, b) T(d, c) a d, b c (monotoniczność) T(a, ) = a (warunek brzegowy) Wprowadźmy oznaczenie T( a, b) a T b

31 Operatory t -normy

32 s -normy Sumę zbiorów rozmytych,b X określiliśmy jako zbiór rozmyty B o funkcji przynależności B ( ) ma{ ( ), ( )} B Zamiast funkcji ma można wziąć dowolna s-normę, tzn. dowolna funkcje spełniająca warunki: S(S(a, b), c) = S(a, S(b, c)) (łaczność) S(a, b) = S(b, a) (przemienność) S(a, b) S(d, c) a d, b c (monotoniczność) S(a, 0) = a (warunek brzegowy) Wprowadźmy oznaczenie S( a, b) a S b

33 Operatory s -normy

34 Relacje rozmyte Zbiory rozmyte pozwalają nam operować nieprecyzyjnym sformułowaniami temperatura wody odpowiednia do kąpieli szybki samochód Zajmiemy się teraz relacjami rozmytymi. Relacje takie pozwalają sprecyzować nieprecyzyjne sformułowania np. jest znacznie mniejsze od y zdarzenie miało miejsce dużo wcześniej niż zdarzenie y

35 Definicja Relacją rozmytą R między dwoma niepustymi zbiorami (nierozmytymi) X i Y nazywamy zbiór rozmyty określony na iloczynie kartezjańskim X Y tzn: R, y, R (, y) X y Y gdzie R : X Y [0,] jest funkcją przynależności. Oznaczenia R X Y R(, y ) (, y ) R X Y R(, y ) (, y )

36 Przykład Niech X={3,4,5} i Y={4,5}. Zdefiniujmy następującą relację R 0,8 (3,4) 0,3 (3,5) (4,4) 0,8 (4,5) 0,8 (5,4) (5,5) Relację tą możemy interpretować jako reprezentację zdania jest mniej więcej równe y. Funkcja przynależności tej relacji y R (, y) 0,8 0,3 y y

37 Przykład (cd) Relację R 0,8 (3,4) 0,3 (3,5) (4,4) 0,8 (4,5) 0,8 (5,4) (5,5) możemy zapisać za pomocą macierzy y y 3 0,8 0,8 0,3 0,8 gdzie =3, =4, 3 =5 oraz y =4, y =5.

38 Przykład Przyjmijmy, że X=Y=[40,300] będzie przedziałem prędkości osiąganych przez samochody. Rozważmy relację R o następującej funkcji przynależności R (, y) 0 y 70 0 y y y Relację tą możemy interpretować jako reprezentację zdania samochód osiągający prędkość maksymalną jest dużo szybszy od samochodu osiągającego prędkość maksymalną y.

39 Złożenie relacji Niech X, Y i Z będą zbiorami nierozmytymi. Rozważmy dwie relacje rozmyte R X Y S Y Z z funkcją przynależności z funkcją przynależności R S (, y) ( y, z) Definicja Złożeniem typu sup-t relacji rozmytych R i S nazywamy relację rozmytą R S X Z określoną następującą funkcją przynależności R S (, z) sup{ (, y) ( y, z)} gdzie T jest operatorem t normy. y Y R T S

40 Przykład Jeżeli T(a, b)=min{a, b} wówczas otrzymujemy R S (, z) sup{min{ (, y), ( y, z)}} (tzw. złożenie typu sup-min) y Y R S Jeżeli zbiór Y ma skończoną liczbę elementów wówczas R S (, z) ma{min{ (, y ), ( y, z)}} (tzw. złożenie typu ma-min) y Y R S

41 Przykład Rozważmy dwie relacje rozmyte R 0,3 0,6 0,7 S 0,4 0,3 0,8 0,4 gdzie X={, }, Y={y, y }, Z={z, z, z 3 } Złożenie typu ma-min relacji R i S ma postać R S 0,3 0,6 0,7 0,4 0,3 0,8 0,4 a a a a a a 3 3

42 Przykład (cd) Korzystając ze wzoru R S Znajdujemy wartości a ij (, z) ma{min{ (, y ), ( y, z)}} y Y R S a a a 3 a a a 3 ma{min{ 0,3;0,4};min{;0,3}} 0,3 ma{min{ 0,3;};min{;0,8}} 0,8 ma{min{ 0,3;0,4};min{;}} ma{min{ 0,6;0,4};min{0,7;0,3}} 0,4 ma{min{ 0,6;};min{0,7;0,8}} 0,7 ma{min{ 0,6;0,4};min{0,7;}} 0,7

43 Przykład (cd) Ostatecznie R S 0,3 0,4 0,8 0,7 0,7