Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych

Transkrypt

1 1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie elementów dwustanowych opisują operacje dwuelementowej algebry Boole a. Algebrę Boole a definiują: dwuelementowy zbiór {0, 1} oraz trzy operacje: alternatywa (OR), koniunkcja (AND) i negacja (NOT) wraz ze zbiorem aksjomatów i twierdzeń. Zmienne należące do zbioru {0, 1} oraz ww. operacje nazywamy zmiennymi i operacjami logicznymi. Układy realizujące funkcje logiczne nazywamy funktorami logicznymi (powszechnie używa się też określenia: bramki logiczne) NEGACJA ( ang. NOT, pol. NIE, mat. ) Jest to zamiana wartości cyfry na przeciwną (tzn. 0 na 1 i 1 na 0). 0 = 1 1 = 0 Działanie podstawowych operacji logicznych często przedstawia się w postaci układów elektrycznych zawierających żarówki i wyłączniki. Przyjmując, że wyłącznik zwarty i świecąca się żarówka reprezentują jedynkę, a wyłącznik rozwarty i zgaszona żarówka reprezentują zero, działanie negacji realizuje przedstawiony niżej układ Negacja jest operacją jednoargumentową. Symbol graficzny funktora realizującego negację Negacja jest najprostszym działaniem logicznym. Wynikiem jest liczba przeciwna do wyjściowej. Działanie funktora NOT

2 2 SUMA LOGICZNA ( ang. OR, pol. LUB, mat. ) Suma logiczna dwu cyfr binarnych jest równa 0 wtedy i tylko wtedy, gdy obydwie cyfry są równe = = = = 1 Sumę logiczną realizuje przedstawiony niżej układ Symbol graficzny funktora OR oraz przykłady działania tego funktora ILOCZYN LOGICZNY ( ang. AND, pol. I, mat. ) Iloczyn logiczny dwu cyfr binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy, gdy obydwie cyfry są równe = = = = 1

3 Iloczyn logiczny realizuje przedstawiony niżej układ 3 Symbol graficzny funktora AND oraz przykłady działania tego funktora Funktory NAND i NOR NAND NOT AND NOR NOT OR Symbol graficzny funktora NAND Symbol graficzny funktora NOR

4 ALTERNATYWA WYKLUCZAJĄCA ( ang. XOR, pol. ALBO, mat. ) inaczej: różnica symetryczna, suma modulo 2 XOR exclusive OR Alternatywa wykluczająca dwu cyfr binarnych jest równa 0 wtedy i tylko wtedy, gdy obydwie cyfry są jednakowe = = = = 0 Symbol graficzny funktora XOR 2. Podstawowe operacje logiczne dla liczb binarnych W operacjach logicznych liczba binarna jest traktowana jako zbiór pojedynczych cyfr. Przykład: 3. Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych Dodawanie. Liczby dwójkowe dodajemy podobnie, jak dziesiętne. Gdy po dodaniu dwóch cyfr uzyskuje się wartość niemożliwą do zapisania pojedynczą cyfrą, zachodzi tzw. przeniesienie. Odejmujemy wtedy od wyniku podstawę systemu, a do następnej (starszej) pozycji dodajemy 1. W przypadku liczb dwójkowych przeniesienie wystąpi już wtedy, gdy wynik dodawania dwu cyfr jest większy od 1

5 5 Reguły dodawania: Odejmowanie. Reguły odejmowania: Mnożenie i dzielenie. Przykłady

6 Mnożenie przez 2 w układzie binarnym przesunięcie liczby o jedną pozycję w lewo i dopisanie zera z prawej strony liczby Dzielenie przez 2 w układzie binarnym przesunięcie liczby o jedną pozycję w prawo i odrzucenie ostatniej cyfry (jeśli liczba parzysta to tą cyfrą jest zero) 6 Przykład: mnożenie przez 10 w układzie dziesiętnym i przez 2 w dwójkowym Podobnie mnożenie i dzielenie w układzie dwójkowym przez 4 i inne potęgi dwójki przesunięcie w lewo lub w prawo o odpowiednią liczbę pozycji. 4. Liczby ujemne Przedstawiony wyżej system binarny, określany mianem naturalnego kodu binarnego (NKB lub NB) pozwala na zapis tylko liczb dodatnich i zera. Aby możliwe było zapisywanie liczb ujemnych, konieczna jest modyfikacja zapisu w taki sposób, żeby ciąg zer i jedynek zawierał informacją zarówno o wartości bezwzględnej, jak i o znaku liczby System znak-moduł (ZM) Pierwszy bit jest bitem znaku (nie przypisuje mu się wagi), 0 oznacza +, 1 oznacza - np. dla liczb czterobitowych: bit znaku Niestety, przyjęcie takiego systemu zapisu liczb komplikuje operacje binarnego dodawania i odejmowania, które są wykonywane przez procesor. Zero nie jest reprezentowane jednoznacznie, mamy bowiem np (podwójna reprezentacja zera)

7 System uzupełnieniowy do 2 (U2) Znak liczby nie jest tu oddzielony od jej wartości, a ujemność liczby jest wbudowana w metodę zapisu. Najstarsza waga jest ujemna, np. dla liczb czterobitowych mamy wagi: czyli dla liczb czterobitowych: (tzn. -8+0) (tzn. -8+1) (tzn. -8+2) (tzn. -8+3) (tzn. -8+7) Zalety: Wady: - Każda liczba dodatnia zaczyna się od zera, a ujemna od jedynki - Tylko jedno zero - Łatwa zmiana znaku liczby - Operacje arytmetyczne jak dla liczb NB - Porządek kodów nie jest zgodny z porządkiem liczb Zmiana znaku liczby w kodzie U2 Aby zmienić znak liczby, należy zamienić wszystkie cyfry na przeciwne, czyli 0 na 1 oraz 1 na 0 (w kierunku od lewej do prawej) za wyjątkiem najmniej znaczącej jedynki i zer za tą jedynką. Przykład dla liczb czterobitowych (zamiana 5 na 5 i odwrotnie)

8 Dodawanie i odejmowanie liczb w kodzie U2 Dodawanie - tak samo, jak w kodzie naturalnym Odejmowanie - dodanie z przeciwnym znakiem Przykłady dla liczb czterobitowych Kodowanie w systemie +N System ten jest wykorzystywany w reprezentacjach zmiennopozycyjnych (np. IEEE754). Porządek kodów jest zgodny z porządkiem liczb. Przyjmuje się, że reprezentuje liczbę najmniejszą, np. dla liczb k-bitowych k k-1 +1 Dla liczb 8-bitowych > > > > > > -127

9 9 Dla liczb k-bitowych N=2 k-1-1 Wartością liczby całkowitej jest X +N = X NB N Przykład. Liczba 5 zapisana na 8 bitach w kodzie +N 5. Rozszerzenie nieskończone Rozszerzenie nieskończone to rozszerzenie kodu liczby na większą liczbę pozycji z zachowaniem oryginalnej wartości Kod naturalny (NB) wiodące zera są nieznaczące Przykład: 5 zapisane na 4 pozycjach po rozszerzeniu na 8 pozycji Kod U2 wiodące zera (dla liczb dodatnich) są nieznaczące wiodące jedynki (dla liczb ujemnych) są nieznaczące Przykład: -5 zapisane na 4 pozycjach po rozszerzeniu na 8 pozycji Cyfrowe układy arytmetyczne przykład Odpowiednie połączenie funktorów logicznych pozwala wykonywać operacje arytmetyczne. Reguły dodawania dwu cyfr binarnych w formie tabelki (v 1, v 2 dodawane cyfry, s ich suma, c przeniesienie),

10 10 Urządzenie wykonujące dodawanie dwu cyfr binarnych zgodnie z ww. tabelką nazywa się półsumatorem Półsumator dodaje dwie cyfry dwójkowe (v 1, v 2 ), podając ich sumę (s) i przeniesienie (c). Przykład półsumatora zbudowanego z pięciu funktorów NAND oraz sprawdzenie jego działania dla wszystkich możliwych wariantów danych wejściowych

11 11