Prognozowanie macierzy kowariancji finansowych szeregów czasowych stóp zwrotu nie jest sprawą błahą. Zagadnienie to związane jest również w oczywisty

Transkrypt

1 Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna w e W r ocł aw iu Prognozowanie macierzy kowariancji i korel acji f inans owych s zeregó w czas owych Wsęp Prognozowanie macierzy kowariancji finansowych szeregów czasowych sóp zwrou nie jes sprawą błahą. Zagadnienie o związane jes również w oczywisy sposób z prognozowaniem wariancji (bądź zmienności sóp zwrou) oraz macierzy korelacji sóp zwrou. Kowariancja i korelacja, analogicznie jak zmienność, są zmiennymi nieobserwowalnymi wpros, co urudnia ich pomiar, modelowanie i prognozowanie. Prawidłowe wyznaczanie prognoz powyższych paramerów jes niezbędne w akich zagadnieniach jak: analiza porfelowa (zarówno dla modelu Markowiza, jak i Sharpe a), modele równowagi rynków kapiałowych, wycena opcji (szczególnie pewnych złożonych insrumenów egzoycznych), pomiar ryzyka rynkowego według koncepcji VaR (meoda kowariancji-wariancji oraz meoda symulacji Mone Carlo) oraz w zagadnieniu zabezpieczania ceny insrumenu lub porfela insrumenów (hedging). Prawidłowa ocena przyszłej macierzy wariancji-kowariancji lub wynikającej z niej korelacji umożliwia wiec skueczniejsze zarządzanie ryzykiem inwesycji i/lub osiąganie dochodów (spekulacyjnych lub arbirażowych) (por. [5][6][7][9] i [0]). Prakyka wypracowała różne meody prognozowania kowariancji oraz korelacji finansowych szeregów czasowych. Dzielą się one na dwie podsawowe grupy narzędzi; oparych na analizie szeregów czasowych oraz na oszacowaniach rynkowych na podsawie odpowiednich insrumenów opcyjnych (korelacja implikowana) (por. [3][8][]). Brak jes zgodności, kóra z meod pozwala na lepsze oszacowanie przyszłych warości macierzy.

2 K r zy s z of P ion ek Prakycznie każdego roku proponowane są bądź o kolejne modele, bądź prezenowane wyniki nowych badań. Ze względu znaczne urudnienia (por. [3][]) w przeprowadzeniu badań prognozowania korelacji implikowanej w warunkach polskich, ograniczone rozmiary pracy oraz odmienny apara badań, w niniejszej pracy przedsawione zosaną jedynie najpopularniejsze echniki wykorzysujące szeregi czasowe sóp zwrou. Podejście wykorzysujące zw. korelacje implikowana zosanie jedynie zasygnalizowane i sanowić będzie dalszy obszar prac auora. W części empirycznej przedsawione zosaną wyniki prognoz korelacji (na podsawie prognoz macierzy kowariancji) dla subiekywnie wybranego horyzonu kwaralnego dla przykładowych szeregów finansowych ze szczególnym uwzględnieniem rynku polskiego. Wykorzysane zosaną echniki prognoz opare o sałą macierz kowariancji, wygładzania wykładniczego, a akże o wielorównaniowe modele klasy GARCH. Przykład empiryczny ma przede wszyskim charaker ilusracyjny do omówionych zagadnień eoreycznych. Celem badań jes odpowiedź na pyanie, kóra z prezenowanych echnik prognozowania korelacji sprawdzała się do ej pory najlepiej dla kilku wybranych par szeregów i powinna przynajmniej sanowić obszar poencjalnie rozszerzonych badań.. D w u w y m i a r o w y m o d e l só p z w r o u W dalszej części pracy, w obszarze zaineresowania pozosaje jedynie model dwuwymiarowy służący do opisu zależności pomiędzy szeregami sóp zwrou dla dwóch insrumenów. Uogólnienie na wiele insrumenów zazwyczaj nie nasręcza większych kłopoów. Punkem wyjścia do dalszych rozważań są pojęcia wekora warunkowych warości oczekiwanych ( ) µ, warunkowej macierzy wariancji-kowariancji ( H ) oraz posaci warunkowego rozkładu sandaryzowanych resz modelu ( z ). Wszyskie 3 zagadnienia należy rozparywać łącznie, gdyż wzajemnie wpływają na siebie i wspólnie deerminują własności osaecznego modelu. Więcej informacji na en ema znaleźć można w pracach np. [][9][0]. uaj przedsawione zosaną jedynie podsawowe i niezbędne informacje. Rozparywany w niniejszej pracy dwuwymiarowy model sóp zwrou zadany jes nasępującymi równaniami: r = µ + ε, gdzie: ()

3 P r og nozow anie macier zy kow ar iancj i i kor el acj i 3 r, r = r,, µ, µ = µ,, ε, ε = ε. (), Zazwyczaj zakłada się, że sopy zwrou r i r pochodzą w ym przypadku z zw. dwuwymiarowego warunkowego rozkładu normalnego, co oznacza się jako (por. []): r N µ, H, (3) ( ) I gdzie I o informacja dosępna w chwili -. Wekor µ oznacza wekor warunkowych warości oczekiwanych na podsawie informacji w chwili - dla szeregu pierwszego oraz drugiego. Przyjmuje się, że (por. [0]): = E r I = f r, r, i=,, k=,,, l=,,, (4) [ ] ( ) µ i, i, k, l gdzie f ( ) o liniowa funkcja przeszłych warości sóp zwrou. Gdy µ, i/lub µ, zależą jednocześnie od przeszłych warości zarówno r, jak i r, o mamy do czynienia z klasą modeli VAR (vecor auoregressive models). Najczęściej zakłada się jednak, iż (por. [7][9][0]): = f r, k=,,, (5) ( i k ) µ i,, czyli, że warunkowe warości oczekiwane dla jednego insrumenu nie zależą od przeszłych realizacji sóp zwrou dla drugiego insrumenu. W większości przypadków wysarczające bywa uwzględnienie jedynie osaniej sopy zwrou (k=), co wprowadza modele auoregresyjne AR() zadane wzorem: µ i, = µ i0 + ϕiri,. (6) Dodakowo, ponieważ badania dowodzą, że długoerminowa (bezwarunkowa) warość oczekiwana szeregów dziennych sóp zwrou wynosi zazwyczaj zero, przyjmuje się bez większej sray dla jakości modelu, iż µ i0 = 0, co prowadzi do przyjęcia nasępującego założenia: ϕr, µ = ϕ r. (7), Powyższe założenia znacznie upraszczają (w sosunku do modeli VAR) problemy esymacji i prognozowania, zapewniając jednocześnie, że model w przejrzysy sposób ujmuje poencjalnie obserwowane w szeregach zależności auokorelacyjne. Możliwe są oczywiście rozwiązania z warunkowymi rozkładami o grubszych ogonach, np. z wielowymiarowym rozkładem -Sudena (por. [][5][0]).

4 4 Krzyszof Pionek akie podejście sanowi chwilowy sandard w przypadku analiz wielowymiarowych i będzie wykorzysane również w niniejszej pracy. Należy ponado zaznaczyć, że jeżeli rozparuje się model dany wzorem (), w kórym wekor warunkowych warości oczekiwanych zadany jes wzorem (7) i korelacja pomiędzy szeregami błędów wynosi: ρ ε, ε = ρ, (8) (,, ) o korelacja pomiędzy szeregami sóp zwrou dana jes zależnością: ρ ( r,,r, ) = ρ ( ϕ )( ϕ ) ϕ ϕ. (9) W przypadku wysępowania auokorelacji w szeregach sóp zwrou, niezbędne może być więc wniesienie odpowiednich poprawek w przypadku analizy macierzy korelacji lub wariancji-kowariancji błędów ε. Zależności e będą wykorzysywane na eapie worzenia prognoz korelacji na podsawie różnych modeli. Drugim, lecz kluczowym z punku widzenia niniejszej pracy, zagadnieniem jes opis zmian warości warunkowej macierzy wariancjikowariancji oznaczanej przez H. Pomiędzy warunkową macierzą wariancji-kowariancji ( H ), wekorem ε oraz wekorem sandaryzowanych resz modelu ( z ) błędów modelu ( ) zachodzą nasępujące związki (por. [][][4][5][0]): = ε H z, (0) gdzie: z iid E z = 0, var z = I, () [ ] [ ] = var I = E I = [ ] ( ) H ε ε ε H H. () Wekor ( z ) jes więc wekorem dwóch zmiennych o zerowych średnich, macierzy wariancji-kowariancji zadanej przez dwuwymiarową z pochodzi z macierz jednoskową ( ) I. W pracy przyjęo, że wekor ( ) dwuwymiarowego rozkładu normalnego, lecz spoyka się również rozwiązania z wykorzysaniem rozkładu dwuwymiarowego o grubszych ogonach, najczęściej wielowymiarowego rozkładu -Sudena. Macierz kwadraową ( H ) uzyskuje się w ym przypadku najczęściej przez rozkład Cholesky ego.

5 Prognozowanie macierzy kowariancji i korel acji 5 W dalszej części pracy elemeny warunkowej macierzy wariancjikowariancji oznaczane będą w sposób nasępujący: h, h, H = h h, h, = h, (3),, Poniżej w sposób skróowy zaprezenowane zosaną modele zmian warości warunkowej macierzy wariancji-kowariancji. Na podsawie ych modeli odbywać się będzie prognozowanie przyszłych warunkowych warości H ; k,,3.... Prognozy e posłużą wariancji-kowariancji na kolejne dni ( ) + k = naomias nasępnie do sformułowania prognoz korelacji szeregów sóp zwrou r i r w chwili dla zadanego horyzonu, np. ygodnia, miesiąca, kwarału ( ) ( ) H.. Modele warunkowej macierzy wariancji kowariancji.. MEODA SAŁEJ WARUNKOWEJ MACIERZY Meoda a jes najprosszym i dość częso spoykanym podejściem, w H macierz kórym zakłada się, że warunkowa ( ) H i bezwarunkowa ( ) wariancji-kowariancji są równe i sałe w czasie (por. [3][8][]): H E + = H = ε ε, (4) czyli N ii, + ε ii, k N k = 0 N, + h, + ε, kε, k N k = 0 h h =, i=,, (5) = =. (6) Waro zwrócić uwagę, iż problemem pozosaje wybór wielkości zw. okna, czyli parameru N. Najczęściej przyjmuje się warości N rzędu Bezwarunkowa macierz wariancji-kowariancji dana jes w ogólności wzorem: H = E[ H ].

6 6 Krzyszof Pionek Dopuszcza się u jednak pewną niekonsekwencję, uzasadniając wybór wielkości N zmiennymi w czasie paramerami procesu. Podejście, w kórym sałą macierz wariancji-kowariancji na kolejnych N dni prognozuje się na podsawie hisorycznej macierzy wariancji-kowariancji z porównywalnej ilości dni z przeszłości nazywa się prognozą naiwną. Zakładając jednak, zgodnie z wcześniejszym ogólnym założeniem, że macierz H jes sała w czasie dla całego szeregu dwuwymiarowych danych, macierz bezwarunkowa powinna być wyznaczana na podsawie całego zbioru dosępnych danych z przeszłości (rozszerzające się okno), a przynajmniej na podsawie odpowiednio dużego zbioru obserwacji (por. przykład empiryczny)... MEODA ŚREDNIEJ WAŻONEJ WYKŁADNICZO Drugie prezenowane podejście zakłada już wpros, że warunkowe wariancje i kowariancje mogą być zmienne w czasie. Nadal warunkowa macierz wariancji-kowariancji wyznaczana jes jako średnia z macierzy iloczynów wekorów błędów, lecz zasosowany jes wykładniczy sysem wag nadający większe znaczenie obserwacjom mniej odległym w czasie. Jes o podejście rozpropagowane w ramach zw. meodologii RiskMerics M (por. [7][0][3][8][]). Warości warunkowej macierzy H + opisywane są nasępującą zależnością: ( ) ( ) H k + = λ ε ε + λh = λ λ ε k ε k, (7) k = o gdzie paramer λ ( 0,), przyjmuje zwykle warości bliskie i nazywany jes sałą wygładzania. W prakyce korzysa się z wzorów, w kórych sumowanie do nieskończoności zasąpione jes ważoną sumą N elemenów: N N k k hii, + λ ε i, k ( λ N ) λ ε i, k, i=,, (8) l k = 0 k = 0 λ l= 0 oraz N N k k h, + = h, + λ ε, k ε, k ( λ N ) λ ε, k ε, k. (9) l k = 0 k = 0 λ l= 0 W podejściu ym wielkość parameru λ usala się bądź o na podsawie minimalizacji odpowiedniego błędu prognoz wewnąrz zw. próby uczącej lub na podsawie relacji pomiędzy paramerami N, λ i ilorazem sumy uwzględnianych wag do sumy nieskończonego ciągu wag, najczęściej

7 Prognozowanie macierzy kowariancji i korel acji 7 przyjmując, iż uwzględnia się yle składników, by wpływ wag sojących przy nich sanowił 99% wpływu wszyskich wag (w sumowaniu do nieskończoności) (por. [7]): N k N λ λ = 99% λ= 0,0 k = 0 ( ). (0) Im wyższa warość λ, ym z relaywnie dłuższego okresu z przeszłości uwzględniane są dane podlegające ważonemu uśrednianiu. Na przykład dla parameru λ = 0,97 okno, kóre uwzględnia wpływ 99% wagi obserwacji ma szerokość 5 obserwacji. Odpowiedni dobór parameru λ skraca więc okno, dla kórego liczona jes średnia do rozmiarów, kóre zbliżają o podejście do prognozy naiwnej, w kórej o okres dla kórego dokonuje się prognoz jes porównywalny z okresem z przeszłości, służącym do wyznaczenia prognozy. Formalnie w każdym z równań (9) i (0) mógłby być użyy paramer λ o innej warości, nie czyni się ak jednak, by zapewnić dodanią określoność macierzy wariancji-kowariancji w każdej chwili..3. MODEL KLASY MGARCH Kolejna, najbardziej skomplikowana meoda zakłada, że warunkowa macierz wariancji-kowariancji opisywana jes wielorównaniowym modelem GARCH, kóry jes nauralnym rozszerzeniem modeli jednorównaniowych wprowadzonych przez Engle a w 98 i Bollersleva w 986 roku (por. [][9][0]). Ogólna posać wielowymiarowego modelu GARCH (Mulivariae GARCH MGARCH) zaproponowana zosała przez Bollersleva w roku 988 (por. [][5][0]) i w lieraurze nosi nazwę VECH-GARCH. Macierz H zadana jes nasępującym równaniem: vech H = vech W + A vech ε ε + B vech H, () ( ) ( ) ( ) ( ) w kórym operaor vech ( ) (vecor-half operaor) zdefiniowany jes w nasępujący sposób: a b c vech b d e = a b c d e f c e f [ ]. () Powyższy model jes wielowymiarowym odpowiednikiem jednowymiarowego modelu GARCH(,). Możliwa jes oczywiście analiza modeli VECH-GARCH wyższych rzędów, ale w prakyce nie jes spoykana.

8 8 Krzyszof Pionek Dla przypadku dwuwymiarowego macierz W jes symeryczną macierzą o wymiarach, naomias macierze à i B są symerycznymi macierzami o wymiarach 3 3. Model przyjmuje więc posać: h, ω a a a3 ε,- b b b3 h,- h, = ω + a a a3,-,- + ε ε b b b3 h,-. (3) h, ω a3 a3 a33 ε,- b3 b3 b33 h,- Podsawowymi problemami, kóre wysępują w przypadku prakycznego sosowania modelu VECH-GARCH jes duża liczba paramerów, kóre należy wyesymować, konieczność zapewnienia dodaniej określoność macierzy H w każdym punkcie czasu oraz konieczność zapewnienia skończoności warości bezwarunkowej macierzy wariancji-kowariancji. W przypadku pełnego dwuwymiarowego modelu VECH niezbędna jes esymacja paramerów (ylko w zakresie modelu warunkowej macierzy wariancjikowariancji) co już samo w sobie w prakyce uniemożliwia sosowanie ego rozwiązania (por. [][0][5][4]). Zaproponowano więc szereg modeli zawierających się w ogólnym modelu VECH, kóre ograniczają liczbę esymowanych paramerów i/lub zapewniają dodanią określoność macierzy. Odbywa się o jednak zawsze koszem ogólności modelu. Do najczęściej wykorzysywanych rozwiązań zalicza się modele diagonalne DVECH oraz modele klasy BEKK (pełne i diagonalne) (por. [][][4][5][0]). W niniejszej pracy wykorzysano model diagonalny DVECH zaproponowany w 988 roku przez Bollersleva, Engle a i Wooldridge a (por. [][]). Macierze à i B są w ym rozwiązaniu macierzami diagonalnymi, a wykorzysany w dalszej części pracy model ma posać: h, ω a 0 0 ε,- b 0 0 h,-, = h ω + 0 a 0,-,- + 0 b 0 ε ε h,-. (4) h, ω 0 0 a 33 ε,- 0 0 b 33 h,- Jak ławo zauważyć, w modelu ym, niezbędna jes już ylko esymacja 9 paramerów. Elemeny h, + macierzy H zależą jedynie od swoich przeszłych warości (, ) ( i, j, ) + h oraz odpowiednich iloczynów błędów z chwili ε ε, co powoduje, że brak jes zw. efeku przenikania (por. [][5]).

9 Prognozowanie macierzy kowariancji i korel acji 9 Elemeny h oraz h opisane są w ym przypadku wpros klasycznym, jednowymiarowym modelem GARCH(,), a elemen h - jego odpowiednikiem (por. [][9][0]): h = ω + a ε + b h,,, h = ω + a ε ε + b h,,,, h = ω + a ε + b h,,,. (5) Skukuje o uławieniami w zakresie esymacji oraz prognozowania warości macierzy. Nierudno akże pokazać, że model diagonalny można przedsawić w nasępującej posaci, kóra uławia dalsze analizy (por. [4]): H = W + A ε ε + B H, (6) + ( ) gdzie X Y oznacza iloczyn Hadamarda 3 oraz W = ω ω ω ω, A = a a a a i B = b b b b. (7) Posać a uławia zapis oraz analizę warunków dodaniej określoności H, co jes znacznym problemem dla modeli VECH. macierzy ( ) + Korzysając z faku, że suma macierzy dodanio określonej oraz macierzy (pół)dodanio określonej jes macierzą dodanio określoną uzyskuje się warunki wysarczające, by zapewnić dodanią określoność macierzy H w każdym momencie czasu: macierze W, A, B muszą być dodanio określone 4 co uzyskuje się poprzez spełnienie nasępujących nierówności: x > 0, x > 0, x x x > 0, (8) gdzie x o odpowiednie elemeny ω, a i b macierzy W, A i B. macierz H (dla =) musi być dodanio określona, co najprościej zapewnić przyrównując ją do bezwarunkowej macierzy wariancjikowariancji 5. 3 Iloczyn Hadamarda jes zw. iloczynem ablicowym. Jeśli macierze Z, X i Y mają e same wymiary i Z = X Y o elemeny macierzy Z wyznacza się jako iloczyny odpowiadających elemenów macierzy X i Y, j. z = x y. 4 Formalnie, przynajmniej jedna macierz spośród W, A, B musi być dodanio okręcona, pozosałe dwie mogą być połówkowo dodanio określone. Najczęściej warunek dodaniej określoności narzuca się jednak na wszyskie macierze. 5 Dla procedury esymacji jes o macierz wariancji-kowariancji szacowana z próby, naomias w procedurach symulacyjnych jes o macierz wynikająca z przyjęych paramerów modelu (por. wzór (37)).

10 0 Krzyszof Pionek Oprócz dodaniej określoności macierz wariancji-kowariancji niezbędne jes zapewnienie również skończoności elemenów bezwarunkowej macierzy wariancji-kowariancji H. W przypadku dwuwymiarowego diagonalnego modelu DVECH dodakowe warunki mają wyjąkowo prosą posać analogiczną jak dla modeli jednowymiarowych, a mianowicie: a + b < ; i, j =, (9) a = a, b = b ; i, j =,, i j. ji ji Paramery modelu esymuje się zazwyczaj meodą największej wiarygodności maksymalizując funkcję (por. [][5][0]): LLF = ln H + ε ' H ε. (30) = Posać diagonalna umożliwia jednak esymację osobno każdego z równań (5). Paramery modeli wariancji h i h esymuje się jako zwykłe jednorównaniowe modele, a paramery modelu kowariancji h na podsawie maksymalizacji funkcji wiarygodności (wzór (30)) przy założeniu, że paramery modeli wariancji zosały wyesymowane wcześniej. Pozwala o skrócić szereg niezbędny do esymacji. Nierudno jednocześnie zauważyć, że dwie wcześniej rozparywane meody opisu macierzy H zawierają się w prezenowanym modelu DVECH- GARCH. Meodę z punku.. uzyskuje się przy założeniu, że macierze A i B są macierzami skalarnymi o paramerach równych zero, naomias meodę wygładzania wykładniczego z punku.. - przy założeniu, że: W = , A = λ λ λ λ i B = λ λ λ λ. 3. Prognozowanie macierzy wariancji k owariancji oraz k orel acji Korelacja warunkowa zdefiniowana jes w analogiczny sposób jak korelacja bezwarunkowa, a mianowicie (por. 3][7][0]): h, ρ ( ε,, ε, ) =. (3) h h,, Chcąc jednak zaprognozować korelację bezwarunkową dla okresu (+,+) na podsawie informacji dosępnej w chwili, niezbędna jes umiejęność

11 Prognozowanie macierzy kowariancji i korel acji prognozowania elemenów warunkowej macierzy wariancji-kowariancji h + dla każdej chwili rozparywanego okresu (k=,, ) a nasępnie (, k ) uśrednienie ych prognoz. Znając prognozowane średnie warości odpowiednich elemenów macierzy w zadanym okresie (+,+): ( ), = h, + k k= h, k=,,,, (3) ( ) ( h, ) możliwe jes wyznaczenie prognozy korelacji pomiędzy sopami zwrou w rozparywanym okresie (por. [3][8][]): ( ) ( ) h, ( ) ( ) h, h, ρ =. (33) Waro zaznaczyć, iż uśrednianie prognoz warunkowych korelacji dla zadanego okresu, uzyskanych na podsawie prognoz warunkowych elemenów macierzy kowariancji, prowadzi w ogólności do fałszywych wyników. W przypadku dokonywania analiz dla szeregów z auokorelacją należy pamięać o wnioskach wynikających z zależności (8) i (9). Poniżej zaprezenowane zosaną wzory do wyznaczania prognoz odpowiednich elemenów macierzy wariancji-kowariancji oraz ich średnich dla zadanego okresu dla każdej z prezenowanych meod. W meodzie sałej macierzy wariancji-kowariancji prognozy elemenów macierzy dla chwil z przedziału (+,+) oraz średnie prognozy z ego okresu równe są elemenom oszacowanej bezwarunkowej macierzy wariancjikowariancji: ( ) h, + k = h, = h. (34) Dla meody wygładzania wykładniczego zachodzą naomias nasępujące zależności: ( ) h = h = h. (35), + k,, + Warunkowe warości macierzy wariancji-kowariancji, dla każdego dnia rozparywanego okresu, jak i średnie dla odpowiednich elemenów równe są prognozie poszczególnych elemenów dla pierwszego dnia okresu. Znacznie bardziej skomplikowane jes omawiane zagadnienie dla wielowymiarowych modeli MGARCH nawe dla uproszczonego przypadku diagonalnego.

12 Krzyszof Pionek Prognoza elemenów warunkowej macierzy wariancji-kowariancji na podsawie informacji dosępnej w chwili dana jes nasępującymi wzorami (por. [8][9]): k h + ( α + β ) ( h, + h ); k h, + k = ω + αε i,ε j, + βh, ; k = i, j =, (36) gdzie h ω α β (37) Można ławo wykazać, że gdy k, o warości h, + k h. W przypadku modelu DVECH-GARCH wysępuje więc efek powrou do długoerminowej średniej (do warości bezwarunkowej). Prognozę średnich warości uzyskuje się w ym modelu z zależności: h h h h ( ) ( ), = +, + ( α β ) ( α β ) + +. (38) Przedsawione powyżej meody wyznaczania prognoz warości h posłużą w dalszej części pracy do wyznaczenie prognoz korelacji ( ) ( ), ρ dla poszczególnych par szeregów sóp zwrou. Do oceny jakości prognoz służą odpowiednie miary błędów ex pos. 4. Ocena błędów prognoz Ze względu na prezenowany w dalszej części przykład empiryczny doyczący jedynie, ze względu na ograniczony rozmiar pracy, wyników prognozowania macierzy korelacji, poniżej zaprezenowane zosaną jedynie miary oceny błędów dla warości skalarnych (korelacji). Analogicznie mogą być oceniane prognozy z osobna każdego z elemenów macierzy wariancjikowariancji. zaniechano prezenacji miar oceny prognoz całej macierzy. rafność prognoz w analizowanych wcześniej przypadkach określa się za pomocą błędów ex pos. Miary e mogą zosać wykorzysane zarówno podczas analizy błędu prognozy wewnąrz próby (dla próbki uczącej), kóry może posłużyć do kalibracji modelu prognozy, jak i do analizy błędu prognozy poza próbą (próbka esowa). Miary błędów prognozy ex pos dzielimy na (por. 8][9][]): miary symeryczne, kóre w aki sam sposób uwzględniają przeszacowanie i niedoszacowanie prognozy korelacji,

13 Prognozowanie macierzy kowariancji i korel acji 3 miary niesymeryczne, kóre w odmienny sposób uwzględniają przeszacowanie i niedoszacowanie prognozy korelacji np. w poszczególnych kwarałach. W zależności od wykorzysania prognoz do wyboru najlepszej meody sosuje się różne oszacowania błędu ex pos. Niezbędne jes dodakowo świadomość, iż w zagadnieniach ekonomicznych minimalizacja odpowiedniej saysycznej miary błędów prognoz nie musi prowadzić w każdym przypadku do minimalizacji sra ekonomicznych. Zależy o między innymi od faku, jak wpływa niedoszacowanie oraz przeszacowanie prognozy na wynik finansowy. W poniższych wzorach ρ f, m oznacza prognozę korelacji dla okresu m, naomias ρ h, m o hisorycznie zaobserwowana korelacja w ym okresie. Jako przykładowe (por. np. [9]) miary symeryczne można wymienić: pierwiasek średniego kwadrau błędu (roo mean squared error) M f m h m RMSE = M ( ρ ), ρ,, (39) m= średni błąd bezwzględny (mean absolue error) M ρ f, m ρh, m m= MEA =. (40) M Naomias przykładowe miary niesymeryczne błędu ex pos o: średnie błędy mieszane (mean mixed errors) M M MMEU = ρ f, m ρh, m Km + ρ f, m ρh, m Lm M, (4) m= m= M M MMEO = ρ ρ K + ρ ρ L M, (4) f, m h, m m f, m h, m m m= m= dla ρ f, m ρ h, m L dla ρ f, m > ρh, m m =, K m =. (43) 0 dla ρ f, m > ρh, m 0 dla ρ f, m ρh, m Miara MMEU uwzględnia silniej błędy niedoszacowania zmienności, a miara MMEO błędy przeszacowania zmienności. Do porównania przydaności różnych echnik prognozowania zmienności wykorzysuje się model regresji liniowej (por. [9]): ρ = α + βρ + e (44) h, m f, m m W przypadku doskonalej, nieobciążonej prognozy wyraz wolny w równaniu regresji powinien mieć warość 0, naomias wyraz sojący przy prognozie warość. Miarą efekywności poszczególnych meod prognozowania

14 4 Krzyszof Pionek zmienności są współczynniki deerminacji R dla poszczególnych modeli regresji. Aby określić przydaność danych modeli prognoz należy łącznie rozparywać informacje o paramerach α i β oraz R. Powyższe miary błędów posłużą do zobrazowania jakości wybranych echnik prognozowania w przykładzie empirycznym. 5. Przykład empiryczny Celem przykładu empirycznego jes zobrazowanie rozważań z części eoreycznej. Ze względu na ograniczony rozmiar badań, przykład en w żaden sposób nie preenduje do jednoznacznej odpowiedzi na pyanie, kóra z prezenowanych meod prognozowania macierzy kowariancji i korelacji sprawdzała się w przeszłości (na podsawie miar błędów ex pos) najlepiej dla wybranych par szeregów, i kóra powinna być więc używana w przyszłości. Rozważania mają charaker ilusracyjny. Pewne osrożne wnioski można jednak wysnuć. Wszyskie prezenowane w pracy wyniki badań empirycznych uzyskano na podsawie auorskich procedur napisanych w środowisku MALAB 6.0. Próbę do badań sanowiły dość subiekywnie wybrane pary szeregów dziennych sóp zwrou z nasępujących insrumenów i okresów: indeksy DJIA i WIG (okres od do , obserwacje), waluy DOLAR i EURO (okres od do , 563 obserwacje) oraz akcje BRE I VISULA (okres od do , 766 obserwacji). Każdorazowo prognozowaniu podlegała korelacja pomiędzy szeregami w okresie kolejnych 63 dni sesyjnych (co odpowiada długości kwarału, przy czym odpowiednie okresy nie koniecznie zaczynały się dnia kalendarzowego kwarału). Esymacji paramerów poszczególnych modeli dokonywano z 500 osanich dni, by zapewnić prawidłowe oszacowania modeli, szczególnie w przypadku modelu AR()-DVECH-GARCH. Paramer λ w meodzie wygładzania wykładniczego usalono na 0,97, co odpowiada paramerowi minimalizującemu błąd wewnąrz próby dla prognoz zmienności dla wcześniejszych badań auora (por. [9]). Kwaralną korelację prognozowano osaecznie 6 meodami (dla każdej z proponowanych echnik uwzględniono przypadek z założeniem auokorelacji 6 Jeśli w dowolnym dniu analizowanego okresu nie było z jakiegokolwiek powodu danej dla jednego szeregu, o dzień en usuwany był z analizowanej próby.

15 Prog nozow a nie m a c ierzy kow a ria nc j i i korel a c j i 5 w szeregach, jak i bez auokorelacji). Osaecznie meody oznaczono w sposób nasępujący: F meoda sałej macierzy warunkowej bez uwzględnienia auokorelacji, F meoda sałej macierzy warunkowej z uwzględnieniem auokorelacji, F3 meoda wygładzania wykładniczego bez uwzględnienia auokorelacji, F4 meoda wygładzania wykładniczego bez uwzględnienia auokorelacji, F5 diagonalny model VECH bez uwzględniania auokorelacji, F6 diagonalny model VECH z uwzględnianiem auokorelacji. abele od do 3 prezenują uzyskane oceny błędów prognoz odpowiednio dla rozparywanych par insrumenów. abela. Wyniki oceny błędów prognoz dla indeksów RMSE MEA MME0 MMEU alfa bea R F 0,08 0,6 0,63 0,67 0,443-0,363 0,036 F 0,09 0,6 0,65 0,68 0,37-0,97 0,054 F3 0,887 0,548 0,558 0,643 0,90 0,364 0,383 F4 0,884 0,545 0,506 0,684 0,99 0,365 0,37 F5 0,968 0,56 0,89 0,8 0,04-0,63 0,0056 F6 0,967 0,559 0,8 0,84 0,07-0,53 0,0050 Źródło: obliczenia własne. abela. Wyniki oceny błędów prognoz dla walu RMSE MEA MME0 MMEU alfa bea R F 0,90 0,845 0,33 0,64 0,858-0,654 0,0853 F 0,05 0,83 0,378 0,633 0,7988-0,564 0,075 F3 0,040 0,575 0,386 0,85 0,3354 0,376 0,30 F4 0,045 0,553 0,68 0,848 0,3337 0,3833 0,48 F5 0,357 0,8 0,65 0,3374 0,8346-0,95 0,0555 F6 0,374 0,86 0,44 0,348 0,839-0,96 0,057 Źródło: obliczenia własne. abela 3. Wyniki oceny błędów prognoz dla akcji RMSE MEA MME0 MMEU alfa bea R F 0,93 0,56 0,883 0,30 0,074 0,4467 0,73 F 0,9 0,50 0,898 0,39 0,0764 0,4376 0,30 F3 0,883 0,063 0,596 0,8 0,084 0,4576 0,370 F4 0,846 0,09 0,45 0, 0,08 0,4749 0,45 F5 0,00 0,098 0, 0,67 0,455 0,669 0,007 F6 0,0 0,088 0,08 0,66 0,454 0,709 0,0 Źródło: obliczenia własne.

16 6 Krzyszof Pionek W przypadku szeregów sóp zwrou z indeksów odpowiednie miary oceny błędów prognoz wyznaczone zosały na podsawie 3 sformułowanych prognoz na kolejny kwarał. Dla szeregów walu i akcji liczba odpowiednich prognoz wynosiła 6 i 35. Na podsawie uzyskanych wyników dla ych szczególnych, wybranych szeregów możliwe jes wyciągnięcie nasępujących osrożnych wniosków: prognozowanie bezwarunkowej macierzy kowariancji i korelacji prezenowanymi ypowymi meodami obarczone jes znacznymi błędami ex pos, prognozy w niewielkim sopniu wyjaśniają hisorycznie nasępnie realizowane korelacje (niska warość saysyki R ), dla każdej z prezenowanych par szeregów najmniejszy błąd prognozy (RMSE) uzyskano dla meody wygładzania wykładniczego z paramerem wygładzania równym 0,97, najbardziej skomplikowany model DVECH-GARCH każdorazowo generował prognozy obarczone najwyższym symerycznym błędem, model en każdorazowo częściej niedoszacowywał prognozy przyszłej korelacji. Zaprezenowane wnioski należy rakować z osrożnością, gdyż doyczą jedynie 3 wybranych par szeregów. Prezenowane wyniki są jedynie wsępem do niezbędnych szerszych badań. Po ds u mo w anie Na podsawie badań nad możliwością prognozowania korelacji finansowych szeregów czasowych na okres kolejnego kwarału (63 dni sesyjne) swierdzono, iż korelacja 7 jes wyjąkowo rudnym paramerem do prognozowania. Niezbędne jes poszukiwanie skueczniejszych meod prognozowania oraz przede wszyskim osrożne sosowanie narzędzi finansowych opierających się na prognozach macierzy korelacji i kowariancji. Modele prossze okazały się przewyższać znacznie bardziej skomplikowany model DVECH-GARCH. Isoy ego poszukiwać można w fakcie, że prognozowana była korelacja dla dość długiego okresu na podsawie warości osanio obserwowanej pojedynczej warunkowej macierzy 7 Badania innych auorów wykazały, że macierz kowariancji jes jeszcze mniej sabilna w czasie i rudniejsza ym samym do prognozowania.

17 Prog nozow a nie m a c ierzy kow a ria nc j i i korel a c j i 7 kowariancji, co jes specyfiką modeli klasy MGARCH(,). Przewaga ego modelu powinna rosnąć w zagadnieniach, w kórych niezbędne jes prognozowanie warunkowej macierzy wariancji-kowariancji dla krókich okresów czasu. Ponieważ model średniej ważonej wykładniczo każdorazowo okazał się najlepszy, należy zwrócić szczególną uwagę w prakycznych zasosowaniach na ę propozycję, kórej zaleą pozosaje również prosoa i inuicyjna inerpreacja. Prezenowane powyżej wnioski wymagają zdecydowanie dalszego powierdzenia w kolejnych pogłębionych badaniach dla innych meod i szeregów. Lieraura. Bollerslev., Engle. R., Nelson D. (994) ARCH Models. W: Handbook of Economerics. Volume IV. Amserdam. Holland Bollerslev., Engle R., Wooldridge J. (988). A Capial Asse Pricing Model wih ime-varying Covariance., Journal of Poliical Economy. Universiy of Chicago Press, vol. 96() Campa J., Chang K. (997). he Forecasing Abiliy of Correlaions Implied in Foreign Exchange Opions. NBER Working Paper Series. Working Paper Ding Z., Engle R. (00). Large Scale Condiional Covariance Marix Modeling, Esimaion and esing. Academia Economic Papers. 5. Gourieroux C. (997). ARCH Models and Financial Applicaions. Springer- Verlag. New York. 6. Hull J. (999). Fuures, opions and oher derivaives. Prenive-Hall, New York 7. J.P. Morgan (996). J.P. Morgan/Reuers Risk Merics M echnical Documen. J.P. Morgan. New York 8. Lopez J., Waler C. (000). Evaluaing covariance marix forecass in a value-a-risk framework. Federal Reserve Bank of San Francisco. Working Papers in Applied Economic heory Pionek K. (00). Modelowanie i prognozowanie zmienności insrumenów finansowych. Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu (praca dokorska) 0. say R. (00). Analysis of Financial ime Series. Wiley and Sons.. Chicago Waler C., Lopez J. (000). Is implied correlaion worh calculaing? Evidence from foreign exchange opions and hisorical daa. Federal Reserve Bank of San Francisco. Working Papers in Applied Economic heory