MODELOWANIE I STABILNOŚĆ RYNKU
|
|
- Wiktor Przybysz
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wcłw Gierulski 1) Bogusłw Rdziszewski ) MODEOWANIE I STABINOŚĆ RYNKU STRESZCZENIE W prcy rozwż się kilk różnych modeli rynku i sposoby zchowni ceny bieżącej względem ceny równowgi. Szczególną uwgę zwrócono n przypdek, gdy producenci przy prognozowniu ceny uwzględniją nie ylko kulne poziomy cen le i ich poziomy z okresów wcześniejszych. Przenlizowno procesy dojści ceny kulnej do ceny równowgi, wyznczono obszry jej sbilności orz zbdno chrker bifurkcji n brzegch. 1. WSTĘP Rynek jes mechnizmem, kóry decyduje zrówno o cenie, jk i ilości sprzednych dóbr. Mówi się o mechnizmie rynkowym jko wzjemnym oddziływniu popyu i podży. Przy rozprywniu ego mechnizmu, w większości przypdków, rkuje się czs jko niezleżną zmienną dyskreną, przyjmującą wrości cłkowie oznczjące kolejne godziny, dni, ygodnie, miesiące czy eż l. Ozncz o, że wrości rozprywnych zmiennych (np. cen, popy, podż) mogą zmienić się ylko wedy, gdy jedn wrość cłkowi zmiennej zosje zsąpion kolejną cłkowią wrością ej zmiennej. Zkłd się, że w przedziłch między kolejnymi wrościmi kiej dyskrenej zmiennej niezleżnej nie zmieniją swoich wrości zmienne opisujących zchownie się rynku. Kolejne wrości zmiennej reprezenują zem kolejne okresy, nie chwile czsu reprezenowne przez ę zmienną. Popy (funkcj popyu) o zleżność pomiędzy ilością dobr, kórą chcą i mogą kupić konsumenci, ceną ego dobr. Zwykle przyjmuje się, że popy w dnym okresie zleży od ceny w ym smy okresie. Podswowe prwo popyu mówi, że gdy cen rośnie, spd ilość dnego dobr, jką są skłonni kupić konsumenci, przy złożeniu innych czynników jko słych. Prwo o doyczy zdecydownej większości dóbr, kóre są nzywne dobrmi normlnymi. 1) dr hb. inż., prof. PŚk., Wydził Zrządzni i Modelowni kompuerowego, Poliechnik Święokrzysk, Kielce ) prof. dr hb., Wydził Zrządzni i Modelowni Kompuerowego, Poliechnik Święokrzysk, Kielce
2 Zuwżmy, że przewidywn cen n produkowne dobr jes jednym z podswowych czynników decydujących o poziomie produkcji. W związku z ym problem en jes jednym z podswowych problemów zrządzni produkcją. W przypdku rynku produków nierwłych cen jes wyznczn z wrunku oczyszczni rynku czyli z wrunku, że w kżdym rozprywnym okresie podż jes równ popyowi (oczyszcznie rynku w kżdym okresie) [1]. Tk syucj m miejsce wedy, gdy nie jes możliwe gromdzenie zpsów. Bd się również modele rynku uwzględnijące mgzynownie. Wedy przy kszłowniu ceny w przyszłości uwzględni się cenę kulną skorygowną skłdnikiem zleżnym od kulnego poziomu zpsów [1,9]. W prezenownej prcy przy kszłowniu kulnego poziomu podży uwzględniono kilk różnych modeli kszłowni ceny dobr [-9], w szczególności wzięo pod uwgę ceny z większej liczby wcześniejszych okresów. Wyznczono obszry sbilności ceny, zbdno chrker bifurkcji n brzegch orz przenlizowno procesy dochodzeni ceny kulnej do ceny równowgi. Propozycje innych modeli rynku możn znleźć między innymi w prcch [1-4].. POPYT, PODAŻ I CENA RÓWNOWAGI W njprosszym przypdku przyjmuje się funkcję popyu w posci [1] Q d, = α βp, (1) gdzie α, β >. Wrość współczynnik β możn rkowć jko spdek popyu przy jednoskowym podwyższeniu ceny dobr. Przyjmuje się również, że podż dobr zleży od ceny ego dobr. Krzyw podży m zwykle nchylenie rosnące - przy cench wyższych sprzedwcy są skłonni oferowć n sprzedż większe ilości dóbr niż przy cench niższych Q = γ + δe( p ), () s, gdzie E( p ) jes ceną oczekiwną w okresie, γ, δ oznczją słe dodnie. W njprosszym przypdku wrość współczynnik δ możn rkowć jko przyros podży przy jednoskowym podwyższeniu ceny dosrcznego n rynek dobr. Wspomniny wyżej wrunek o oczyszczniu rynku możn przy powyższych oznczenich zpisć w posci Q s Q, d, = (3) dl wszyskich.
3 Eliminując z ych równń wielkości podży i popyu, możn orzymć nsępujące równnie opisujące zminy ceny: gdzie δ α+γ =, c =. β β p + E( p ) = c, (4) W przypdku ogólnym cen oczekiwn może zleżeć od pewnej liczby cen w poprzednich okresch. Jeśli ogrniczymy się do zleżności ceny oczekiwnej od cen z 1 poprzednich okresów, o możn ją wyrzić w posci E( p ) = f ( p 1, p,..., p ). Funkcj f ozncz przyporządkownie cenom z poprzednich okresów ceny kulnej. W njprosszym przypdku przyjmuje się, że f jes funkcją liniową jednej ceny, dokłdniej E p ) p. Osni ( = 1 zleżność ozncz, że ceną oczekiwną w przyszłym okresie jes cen kuln. W ej prcy przyjmiemy między innymi, że 1 i 1 E( p ) = k p = i i. (5) i 1 1 k i= 1 Ozncz o, że w ndchodzącym okresie cen oczekiwn jes średnią wżoną cen z poprzednich okresów. Dokłdniej, cen jes unormownym szeregiem geomerycznym (w przypdku k < 1) lub średnią rymeyczną (w przypdku k = 1 ) cen z poprzednich okresów. Zuwżmy, że jeżeli p =, gdzie p ozncz cenę równowgi, o p równ równ E ( p równ ) = p równ. (6) Wobec ego z równni ( 4) możn wyznczyć cenę równowgi w posci c p równ =, (7) 1 + wedy zmienn y określon wzorem y = p p równ będzie opisywć odchylenie ceny kulnej p od ceny równowgi p. Wyznczjąc sąd cenę różnicowe p równ i podswijąc do równni (4) orzymmy równnie 3
4 y + E( y ) =. (8) opisujące zchownie się ego odchyleni w kolejnych okresch czsu. Aby zbdć sbilność modeli rynku nleży wyznczyć zchownie się odchyleni ceny kulnej od ceny równowgi. Jeśli odchylenie o w kolejnych okresch zmniejsz się o cen równowgi jes sbiln, jeśli zwiększ się, o cen równowgi jes niesbiln. Ten heurysyczny opis sbilności w ujęciu memycznym sprowdz się do zbdni zchowni się rozwiązń równni (8), kóre przy uczynionych wyżej złożenich mją posć y = cλ, (9) gdzie c i λ oznczją słe, z kórych c jes słą dowolną, λ spełni k zwne równnie chrkerysyczne w posci λ + E( λ) =. (1) Jes o równnie lgebriczne sopni względem λ.. 3. STABINOŚĆ I BIFURKACJA CENY RÓWNOWAGI Z posci (9) rozwiązń równni (8) wynik, że będą one ze wzrosem mleć do zer (będą sympoycznie sbilne) wedy i ylko wedy, gdy wszyskie pierwiski λ równni chrkerysycznego (8) będą spełnić nierówność λ < 1, gdzie ozncz w przypdku pierwisk chrkerysycznego rzeczywisego wrość bezwzględną, w przypdku pierwisk zespolonego jego moduł. Zuwżmy, że jeżeli równnie ypu (8) m chociż jedno rozwiąznie, kóre jes sympoycznie sbilne, o wszyskie jego rozwiązni są sympoycznie sbilne. W ej syucji wysrczy zbdć n przykłd sbilność k zwnego rozwiązni rywilnego, czyli rozwiązni = równni (8). Widomo [1], że wrunkiem koniecznym i y dosecznym sympoycznej sbilności rozwiązni rywilnego równni (8) jes spełnienie nierówności mx i λ i <1, gdzie λi (i =1,,..., ) oznczją pierwiski równni chrkerysycznego (1). Wobec ego bdnie sbilności modelu rynku sprowdz się do sprwdzeni czy wszyskie pierwiski równni chrkerysycznego (1) spełniją powyższą nierówność. Twierdzenie o w posci geomerycznej możn sformułowć nsępująco: wrunkiem koniecznym i dosecznym sbilności sympoycznej rozwiązni rywilnego równni (8) jes, by wszyskie pierwiski równni 4
5 chrkerysycznego (1) leżły n płszczyźnie zespolonej wewnąrz jednoskowego okręgu (rys. 1). Wrunek en wyzncz w przesrzeni prmerów pewien obszr Ω nzywny obszrem sbilności sympoycznej. Jeśli prmery nleżą do obszru sbilności sympoycznej, o sąd wynik, że po upływie pewnej liczby okresów rozwiązni zczną, co do modułu, mleć. Szybkość zleżny m.in. od kroności pierwisk chrkerysycznego im kroność jes większ ym czs en może być dłuższy. Jeżeli równnie chrkerysyczne m chociż jeden pierwisek, kóry leży poz wspomninym wyżej okręgiem jednoskowym, o mmy do czynieni z niesbilnością. W ym przypdku odchylenie ceny kulnej od ceny równowgi będzie w pewnych okresch corz większe. Przy bdniu sbilności jes rzeczą równie ineresującą zchownie się rozwiązń z kimi prmermi, kóre lokują pierwiski chrkerysyczne w ooczeniu brzegu obszru sbilności sympoycznej, w szczególności n brzegu ego obszru. W przypdku, gdy jeden pierwisek rzeczywisy lub dw pierwiski zespolone równni chrkerysycznego leżą n brzegu okręgu jednoskowego pokznego n rysunku 1, mmy do czynieni z bifurkcją. W kiej syucji odchylenie ceny kulnej od ceny równowgi może oscylcyjnie zmienić się, le nie będzie ni mleć do zer, ni nie będzie rosnąć nieogrniczenie. Rys. 1. Położenie pierwisków równni chrkerysycznego n płszczyźnie zespolonej w przypdku sbilności N ej płszczyźnie njbrdziej chrkerysycznymi punkmi ze względu n sbilność są punky A i B. W przypdku punku A mmy pierwisek chrkerysyczny równy 1, w punkcie B pierwisek równy1. Pierwiski leżące w innych punkch ego okręgu są zespolone sprzężone, ich moduł jes równy 1. Jeśli przynjmniej jeden pierwisek chrkerysyczny jes równy 1, pozosłe leżą wewnąrz jednoskowego okręgu, o wedy mówi się bifurkcj jes ypu siodło-węzeł. 5
6 Jeśli przynjmniej jeden pierwisek chrkerysyczny jes równy 1, pozosłe leżą wewnąrz jednoskowego okręgu, o mmy do czynieni z bifurkcją ypu ognisko. Jeśli wysępuje przynjmniej jedn pr pierwisków równni chrkerysycznego leżących n okręgu jednoskowym ( λ = e πiθ, i = 1 ), pozosłe leżą wewnąrz ego okręgu, o bifurkcj jes ypu Neimrk -Hopf. W dlszej części prcy będą pokzne przykłdy kich bifurkcji. W związku z powyższym, podswijąc 1, 1 lub e πiθ do równni chrkerysycznego (9) możn wyznczyć zkres zmienności prmerów, przy kórym mmy do czynieni odpowiednio z bifurkcją ypu siodło-węzeł, ognisko lub bifurkcją Neimrk -Hopf. 4. STATYCZNE OCZEKIWANIA CENOWE Syczne oczekiwni cenowe doyczą njprosszego modelu rynku, gdy cen oczekiwn w okresie jes k sm jk był w okresie 1 (w zleżności (5) =1), czyli E p ) = p. (11) ( 1 lub po przekszłcenich α βp p = γ + δp p + 1 = 1, c. (1) Równnie chrkerysyczne (9) przyjmuje erz posć. λ + =. (13) W rozwżnym przypdku wrunek konieczny i doseczny sbilności ceny równowgi przyjmuje posć < 1. (14) Ozncz o, że jednoskowy przyros produkcji powinien być co do bezwzględnej wrości mniejszy od jednoskowego spdku popyu. Punky = 1 i = 1 n osi liczbowej są brzegiem obszru sbilności (rys. ). 1 1 Rys.. Obszr sbilności w przesrzeni prmerów w przypdku sycznych oczekiwń cenowych 6
7 1. NORMANE OCZEKIWANIA CENOWE p norm Niech erz ozncz cenę jką producenci chcą uzyskć. Jeśli kuln cen różni się od ceny normlnej, o oczekiwni cenowe producenci uslją według wzoru E ( p ) = p 1 + µ ( pnorm p 1). (15) Współczynnik µ jes mirą szybkości zmierzni ceny bieżącej do ceny normlnej. Częso przyjmuje się, że cen normln jes ceną równowgi, czyli p norm = p równ. Jeśli µ =, o normlne oczekiwni cenowe redukują się do sycznych oczekiwń cenowych (11). Podswijąc oczekiwni cenowe określone wzorem (15) do wzoru (), określjącego podż i posępując podobnie jk w przypdku oczekiwń sycznych, orzymmy nsępujące równnie różnicowe określjące odchylenie ceny kulnej od ceny równowgi kórego równnie chrkerysyczne m posć y = ( 1 µ ) y 1, (16) λ = ( 1 µ ). (17) Wobec ego odchylenie ceny kulnej od ceny równowgi, reprezenowne przez rozwiązni równni (16) jes sbilne wedy i ylko wedy, gdy ( 1 µ ) < 1. (18) Obszr sbilności n płszczyźnie prmerów (,µ ), wyznczony przez ukłd nierówności (18), pokzno n rysunku 3. Rys. 3. Obszr sbilności w przypdku normlnych oczekiwń cenowych W celu zbdni rodzju bifurkcji n brzegu obszru sbilności podswijąc 1 λ =1 do równni chrkerysycznego (17). Wedy orzymmy µ =1+. N ym brzegu obszru sbilności, reprezenownym przez ę zleżność, mmy bifurkcję 7
8 ypu siodło- węzeł. N rysunku 4 pokzno przykłdowe zchownie się ceny w ooczeniu ceny równowgi. 1 8 wnęrze 1 8 brzeg 1 8 zewn Rys. 4. Bifurkcj ypu siodło-węzeł (zminy ceny w czsie) Jeśli do równni chrkerysycznego (17) podswimy λ = 1, o orzymmy 1 µ =1. N ym brzegu mmy zem do czynieni z bifurkcją ypu ognisko. (rys.5) 1 8 wnęrze 1 8 brzeg 1 8 zewn Rys. 5. Bifurkcj ypu ognisko (zminy ceny w czsie) 5. ADAPTACYJNE OCZEKIWANIA CENOWE Rozwżmy erz przypdek, gdy oczekiwni cenowe są w kżdym okresie modyfikowne przez dodnie wyrzu proporcjonlnego do różnicy między ceną obserwowną i ceną przewidywną w poprzednim okresie, czyli E ( p ) E( p 1 ) = µ [ p 1 E( p 1 )], (19) gdzie µ jes słym współczynnikiem. Jeśli µ = 1, o dpcyjne oczekiwni cenowe redukują się do sycznych oczekiwń cenowych (11). Podswijąc powyższą zleżność do równni równowgi orzymmy po przekszłcenich nsępujące równnie różnicowe opisujące odchylenie ceny kulnej od ceny równowgi kórego równnie chrkerysyczne m posć y = [ 1 µ (1 + )] y 1, () λ = 1 µ (1 + ). (1) 8
9 Wobec ego, cen równowgi w przypdku dpcyjnych przewidywń cenowych będzie sbiln wedy i ylko wedy, gdy 1 µ (1 + ) < 1. () Obszr sbilności n płszczyźnie prmerów (,µ ), wyznczony przez ukłd nierówności (), pokzno n rysunku 6. Rys. 6. Obszr sbilności w przypdku dpcyjnych oczekiwń cenowych Podswijąc λ =1 do równni chrkerysycznego (1) orzymmy = 1 lub µ =. N ych brzegch obszru sbilności mmy bifurkcję ypu siodło-węzeł (prz rys. 4). Jeśli podswimy λ = 1, o orzymmy µ =. N ym brzegu 1 + obszru sbilności mmy do czynieni z bifurkcją ypu ognisko (prz rys. 5). 6. EKSTRAPOACYJNE OCZEKIWANIA CENOWE Niech przewidywni cenowe kszłują się według wzoru E ( p ) = p 1 + µ ( p 1 p ). (3) Ozncz o, że syczne oczekiwni cenowe są modyfikowne przez wyrżenie proporcjonlne do różnicy cen w osnich dwóch okresch i redukują się do nich przy µ =. Posępując podobnie jk w poprzednich punkch możn wyznczyć cenę równowgi i uzyskć nsępujące równnie różnicowe opisujące zchownie się odchyleni ceny kulnej od ceny równowgi y µ µ + 1 = ( 1+ ) y + y kórego równnie chrkerysyczne przyjmuje posć 1, (4) λ + (1 + µ ) λ µ =. (5) 9
10 Możn pokzć [5], że cen równowgi jes sbiln wedy i ylko wedy, gdy spełniony jes ukłd nierówności µ < 1, µ > (1 + µ ) 1, µ > (1 + µ ) 1. (6) Obszr sbilności n płszczyźnie prmerów (,µ ), wyznczony przez ukłd nierówności (5), pokzno n rysunku 7. Rys. 7. Obszr sbilności w przypdku eksrpolcyjnych i regresywnych oczekiwń cenowych Podswijąc λ =1 do równni chrkerysycznego (5) orzymmy = 1. N ym brzegu obszru sbilności mmy bifurkcję ypu siodło-węzeł (prz rys. 4). 1 Jeśli λ = 1, o orzymmy µ =. N ym brzegu obszru sbilności mmy do czynieni z bifurkcją ypu ognisko (prz rys. 5). 1 Jeśli µ =, o równnie chrkerysyczne (4) m pierwiski zespolone ± sprzężone w posci λ = e πiθ. Ozncz o, że n ym brzegu obszru 1, sbilności obserwujemy bifurkcję ypu Neimrk-Hopf. [1,5]. Przedswijąc e pierwiski w posci rygonomerycznej orzymmy λ 1 + λ = cos(πθ). Ale n podswie (4) sum pierwisków ego równni wyrż się wzorem 1 λ 1 + λ = 1. Wobec ego cos πθ =. N rozwżnym brzegu obszru sbilności (rys. 7) mmy [ 1,3] i wobec ego cos( πθ) [ 1,1], o ozncz, że θ [,1]. W ej syucji równnie (4) m rozwiąznie szczególne w posci y = sin πθ i wobec ego θ reprezenuje zw. częsość włsną (lub częsość rezonnsową). Niech θ = p / q, gdzie p < q oznczją liczby nurlne. Wedy θ jes liczbą wymierną i przy bdniu bifurkcji Neimrk-Hopf sosunek p / q określ yp rezonnsu. Jeżeli θ jes liczbą niewymierną, o rozwżne rozwiąznie 1
11 szczególne jes prwie okresowe. Z powyższych rozwżń wynik, że możliwe ypy rezonnsów zleżą od przedziłu zmienności prmerów modelu, osecznie od przedziłu zmienności θ. Jeżeli n przykłd =, o θ = p / q = 1/ 3. Przy = 1 orzymmy θ = p / q = 1/ 4 id. 1 y 1 1 wnęrze y brzeg zewn. y 1 y y Rys.8. Bifurkcj Neimrk-Hopf 1:3 (zleżności czsowe i płszczyzn fzow) Rys.9. Bifurkcj ypu Neimrk-Hopf,, 1 µ = (wewnąrz obszru sbilności) Rys.1. Bifurkcj ypu Neimrk-Hopf,, 1 µ = (zewnąrz obszru sbilności) N rysunkch 8, 9 i 1 pokzno chrkerysyczne zchownie się odchyleni ceny kulnej od ceny równowgi w przypdku rezonnsu 1 : 3. 11
12 7. OCZEKIWANIA CENOWE W POSTACI ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ CEN Z WIĘKSZEJ ICZBY OKRESÓW Rozwżmy erz dlsze uogólnienie rozwżnego modelu. Przypuśćmy, że decyzj o poziomie produkcji podejmown w okresie zleży od cen p, gdzie =1,,...,m, m jes jednym z elemenów zbioru { 1,,..., }. W przypdku = 1 decyzj o poziomie produkcji w okresie jes podejmown n podswie ceny p 1 (prz zleżność (3)), w przypdku = n podswie cen p 1 i p (prz zleżność (16)) id. Rozwżmy erz przypdek, gdy oczekiwni cenowe kszłuje się n podswie średniej rymeycznej cen z 1 poprzednich okresów. W ym przypdku z równni (5) orzymmy 1 = 1 E ( p ) p s= s. (7) Urzymując w mocy złożenie, że w kżdym okresie cen rynkow jes usln n poziomie oczyszczjącym rynek, z równń (1), () i (4) orzymmy nsępujące równnie różnicowe, opisujące rozwżny model rynku α βp = γ + δ 1 1 s= p s lub po przekszłcenich Wrości prmerów wzrosem cen. 1 1 p = p +. s= s c (8) i c zwykle powinny być kie, by podż rosł ze Aby zbdć sbilność ceny równowgi, wynikjącej z równni (8), wprowdźmy podobnie jk poprzednich punkch nową zmienną chrkeryzującą odchylenie ceny kulnej od ceny równowgi. Będzie on spełnić nsępujące równnie różnicowe 1 1 s= y = ys. (9) O zchowniu się rynku wokół ceny równowgi decyduje zchownie się rozwiązń ego równni. Zuwżmy, że zgdnienie o przez podswienie (7) sprowdziliśmy do bdni sbilności ( dokłdniej sbilności sympoycznej) rozwiązni rywilnego równni (8). Równnie chrkerysyczne ego równni przyjmuje posć 1
13 λ + [ λ 1 + λ Jes o równnie lgebriczne sopni względem λ λ + 1] =. (3) Możn pokzć [3], że wrunkiem koniecznym i dosecznym sbilności rynku w ym przypdku jes spełnienie nierówności 1 < <, (31) Jeśli uwzględnimy ceny dobr ylko z jednego okresu ( = 1 ), o wrunek (31) jes równowżny wrunkowi (8). Przy = wrunek sbilności przyjmuje posć nierówności 1 < <. (3) W związku z ym przy = wrunkiem koniecznym i dosecznym sbilności jes spełnienie przez prmer nierówności (3). Dl dowolnych obszry sbilności (w posci odcinków) wyznczone przez nierówność (31) pokzno n rysunku 11. Rys.11. Obszr sbilności w przypdku oczekiwń cenowych w posci średniej rymeycznej cen z poprzednich okresów Punkmi brzegowymi ych obszrów sbilności są punky A 1, A,... orz punky B 1, B,.... Podswijąc λ =1 do równni chrkerysycznego (9) orzymmy = 1. Ozncz o, że w punkch B 1, B,... mmy bifurkcję ypu siodło-węzeł (prz rys. 4). Niech erz będzie liczbą nieprzysą. Wedy podswijąc λ = 1 do równni chrkerysycznego (9) orzymmy 1 + =, sąd =. To ozncz, że w 13
14 punkch A 1, A 3,... ( A z wskźnikmi nieprzysymi) mmy do czynieni z bifurkcjmi ypu ognisko (prz rys. 5). Niech erz będzie liczbą przysą. Po podswieniu = do równni chrkerysycznego (3) orzymmy λ + λ 1 + λ λ + 1 =. Możn pokzć, że dl wszyskich przysych równnie o nie m pierwisków rzeczywisych, wszyskie pierwiski zespolone są prmi sprzężone i leżą w płszczyźnie zespolonej n jednoskowych okręgu. A o ozncz, że w punkch A, A 4,... ( A z wskźnikmi przysymi) mmy bifurkcje ypu Neimrk-Hopf (prz rys. 8, 9 i 1). 8. OCZEKIWANIA CENOWE W POSTACI ŚREDNIEJ WAŻONEJ CEN Z WIĘKSZEJ ICZBY OKRESÓW Rozwżmy erz dlsze uogólnienie rozwżnego modelu. Złóżmy, że decyzj o poziomie produkcji podejmown w okresie zleży od cen p, gdzie =1,,..., m, m jes jednym z elemenów zbioru { 1,,..., }. W przypdku = 1 decyzj o poziomie produkcji w okresie jes podejmown n podswie ceny p 1 (prz zleżność (3)), w przypdku = n podswie cen {,1,... } i p (prz zleżność (16)) id. W przypdku ogólnym przyjmiemy, że oczekiwni cenowe są średnią wżoną cen z poprzednich 1, czyli 1 1 s E ( p ) = k p 1 s= s. (33) j k j= 1 Urzymując w mocy złożenie, że w kżdym okresie cen rynkow jes usln n poziomie oczyszczjącym rynek, z równń (1), () i (4) orzymmy równnie (4) w posci równni różnicowego, p s 1 j= 1 = = k p +. j s s c, (34) k gdzie < k < 1. Osni nierówność zpewni, że udził cen z wcześniejszych okresów w kszłowniu wielkości podży jes wykłdniczo mlejący. Z równni (34), podobnie jk poprzednio możn orzymć cenę równowgi p = p równ w posci (7). Aby zbdć sbilność ceny równowgi zuwżmy, że równnie różnicowe (8), chrkeryzujące odchylenie ceny kulnej od ceny równowgi, przyjmuje w rozwżnym przypdku posć 14
15 1 1 1 s 1 s= k j j= 1k y = y. (35) Równnie chrkerysyczne ego równni przyjmuje posć λ + ( k, )[ λ 1 + kλ k s λ + k 1 ] =, (36) gdzie ( k, ). j 1 k = j = 1 Możn łwo sprwdzić, że równnie λ [ λ + ( k, ) k] ( k, ) k = (37) m kie sme pierwiski jk równnie (35) i dodkowo pierwisek λ = k. Przypdek k =1 (wpływ n poziom kulnej ceny m średni rymeyczn zpsów z okresów wcześniejszych) zosł rozprzony w punkcie 7. Rozwżmy wobec ego przypdek = i 1 < k 1. Równnie chrkerysyczne przyjmuje erz posć λ + [ λ + k] = (38) 1 + k Rys. 1. Obszr sbilności w przypdku = i wobec ego wrunek sbilności przyjmuje posć nsępującego ukłdu nierówności k < 1 + k, k > ( 1+ k), k > ( 1+ k). (39) 15
16 Obszr sbilności n płszczyźnie ( k, ), wyznczony przez en ukłd nierówności, pokzno n rysunku 1. k Podswijąc λ =1 do równni (38) orzymmy =, sąd 1+ k 1+ k = 1. N ym brzegu obszru sbilności pokznego n rysunku 11 mmy do czynieni z bifurkcją ypu siodło-węzeł (rys. 4). Jeżeli do równni chrkerysycznego (38) podswimy λ = 1, o orzymmy 1+ k =. N ym brzegu obszru sbilności pokznego n rysunku 11 bifurkcj 1 k jes ypy ognisko (rys.5). 1 Podswijąc = + 1 do równni chrkerysycznego orzymmy k 1 λ + λ+ 1 =. Sąd widć, że w ineresującym ns zkresie prmerów czyli k 1< k <.5 lub.5 < k < 1 równnie o m pierwiski zespolone w posci ± πiθ λ = e. Poniewż ich moduł równ się jedności, o ozncz, że n 1, rozwżnym brzegu obszru sbilności pokznego n rys. 1 mmy do czynieni z bifurkcją ypu Neimrk-Hopf. Powyższe przypdki doyczą sbilności, gdy w kszłowniu wielkości podży uwzględni się ceny z "młej" liczby okresów (z wyjąkiem k =1). W przypdku ρ równnie chrkerysyczne (36) jes sopni co njmniej rzeciego i nie możn podć k prosych wrunków sbilności jk (39). Zbdjmy wobec ego przypdek, gdy wielkość podży kszłuje się n podswie "dużej" liczby okresów. Przy uczynionych wyżej złożenich ozncz o, że m dążyć do nieskończoności (eoreycznie) lub przyjmuje wrości większe od jedności (prkycznie). Jeżeli k < 1 i, o równnie chrkerysyczne (36) redukuje się do posci gdyż ( k, ) (1 k) przy. Wobec ego ukłd nierówności λ + ( 1 k) k = (4) k < 1, k (1 k) < 1 wyzncz n płszczyźnie ( k, ) obszr sbilności pokzny n rysunku
17 Rys. 13. Obszr sbilności w przypdku oczekiwń cenowych w posci ciągu geomerycznego nieskończonego cen z poprzednich okresów Zbdjmy erz chrker bifurkcji n brzegu ego obszru sbilności. Podswijąc λ =1 do równni chrkerysycznego (4) orzymmy = 1. Wobec ego n ym brzegu mmy bifurkcję ypu siodło-węzeł (rys.4). Jeśli 1+ k podswimy λ = 1 do ego smego równni, o orzymmy = lub k =1. 1 k N ych brzegch mmy do czynieni z bifurkcją ypu ognisko (rys.5). 9. PODSUMOWANIE Ocen sbilności rozwżnych modeli rynku, nliz bifurkcyjn i różne rodzje bifurkcji n brzegu obszru sbilności pokzują jk złożone może być zchownie się ceny nwe w przypdku liniowych modeli rynku. Informcj o zchowniu się ceny n brzegu obszru sbilności ułwi przewidywnie jej zchownie się w jego ooczeniu. ITERATURA [1] Alf C. Ching, Podswy ekonomii memycznej, PWE, Wrszw 1994 [] Goeree J.K., Hommes C.H., Heerogeneous beliefs nd he non-liner Cobweb model, J. of Economics Dynmics & Conrol., vol.4, no.5-7, June. [3] Cirell Crl, He Xue-Zhong, erning bou he Cobweb, Complexiy, vol.6, [4] Cirell Crl, He Xue-Zhong, Dynmics of beliefs nd lerning under i -processes he heerogeneous cse, Journl of Economic nd Conrol, 7, 3, [5] Gierulski W., Rdziszewski B., Anliz sbilności modeli podży i popyu, Kwrlnik AGH Zgdnieni Techniczno - Ekonomiczne,.48, z.3, AGH Krków 3. [6] Gierulski W., Rdziszewski B., Oczekiwni cenowe sbilność rynku, Zrządznie przedsiębiorswem w wrunkch inegrcji europejskiej, część, Ekonomi, Informyk i meody memyczne, AGH Uczelnine wyd. nuk.- dydk., Krków 4. 17
18 [7] Gierulski W., Rdziszewski B., Anliz sbilności modeli podży i popyu z uwzględnieniem zpsów, V Sympozjum Insyuu Ekonomii i Zrządzni, Poliechnik Święokrzysk, Kielce..4, ZN Nuki Ekonomiczne nr 3, 4. [8] Gierulski W., Rdziszewski B., O sbilności i niesbilności modelu rynku przy różnych oczekiwnich cenowych, VI Sympozjum Insyuu Ekonomii i Zrządzni, Poliechnik Święokrzysk, Kielce , ZN Nuki Ekonomiczne nr 33, 5. [9] Okniński A., Rdziszewski B., Sbilność rynku przy prognozowniu ceny n podswie zpsów, Kwrlnik AGH Zgdnieni Techniczno Ekonomiczne (prc złożon do druku), Krków 5. MARKET MODEING AND STABIITY SUMMARY This sudy is n nlysis of rdiionl mrke models in cse when curren price depends no only on price in previous period of ime, bu lso on prices level in mny previous periods. Achieving equilibrium (blnce) of such mrke, region of sbiliy nd bifurcions prmeers re nlysed. 18
ZADANIA Z GEOMETRII RÓŻNICZKOWEJ NA PIERWSZE KOLOKWIUM
ZADANIA Z GEOMETRII RÓŻNICZKOWEJ NA PIERWSZE KOLOKWIUM. Koło o promieniu n płszczyźnie Oxy oczy się bez poślizgu wzdłuż osi Ox. Miejsce geomeryczne opisne przez punk M leżący n obwodzie ego koł jes cykloidą.
Bardziej szczegółowoPROGNOZOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH
SSof Polsk, el. (1) 4843, (61) 414151, info@ssof.pl, www.ssof.pl PROGNOZOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Andrzej Sokołowski Akdemi Ekonomiczn w Krkowie, Zkłd Sysyki W oprcowniu ym przedswiono pewną
Bardziej szczegółowoLISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&
LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.
Bardziej szczegółowoFizyka 1- Mechanika. Wykład 2 12.X Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów
Fizyk 1- Mechnik Wykłd 1.X.17 Zygmun Szefliński Środowiskowe Lbororium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl hp://www.fuw.edu.pl/~szef/ Pojęci podswowe Punk merilny Ciło, kórego rozmiry możn w dnym zgdnieniu
Bardziej szczegółowoAutor: Zbigniew Tuzimek Opracowanie wersji elektronicznej: Tomasz Wdowiak
DNIE UKŁDÓW LOKD UTOMTYCZNYCH uor: Zigniew Tuzimek Oprcownie wersji elekronicznej: Tomsz Wdowik 1. Cel i zkres ćwiczeni Celem ćwiczeni jes zpoznnie sudenów z udową orz dziłniem zezpieczeń i lokd sosownych
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE Z PARAMETREM
ÓWNANIA TYGONOMETYCZNE Z PAAMETEM Do grupy zgdnień eycznyc, w kóryc wysępuje pojęcie preru, nleżą równni rygonoeryczne. ozprywnie równń rygonoerycznyc z prere swrz ożliwość powórzeni i urwleni ożsości
Bardziej szczegółowoσ - ułamka granicy plastyczności R e lub granicy proporcjonalności R c.
Rozdził VII Hipoezy wyężeniowe Merił konsrukcji w zeżności od wrunków obciążeni może się znjdowć w różnych snch nprężeń. począku procesu, przy sosunkowo niedużych obciążenich będą o sny sprężyse, nomis
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoTemat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoATRAKTORY OKRESOWE, QUASI-OKRESOWE I CHAOTYCZNE W NIELINIOWYM MODELU HICKSA
Sudi i Prce WNEiZ US nr 44/2 206 DOI: 0.8276/sip.206.44/2-4 Rober Kruszewski * Szkoł Główn Hndlow w Wrszwie ATRAKTORY OKRESOWE, QUASI-OKRESOWE I CHAOTYCZNE W NIELINIOWYM MODELU HICKSA STRESZCZENIE W rykule
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zadań z dynamicznego ruchu płaskiego część I 9
ozwiązywnie zdń z dyniczneo ruchu płskieo część I 9 Wprowdzenie ozwiązywnie zdń w oprciu o dyniczne równni ruchu (D pole n uwolnieniu z więzów kżdeo z cił w sposób znny ze sttyki. Wrunki równowi są zbliżone
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim
Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe - metoda Fouriera. Przykładowe rozwiązania i wskazówki
INSTYTUT MATEMATYKI POLITECHNIKA KRAKOWSKA Dr Mrgret Wicik e-mi: mwicik@pk.edu.p Równni różniczkowe cząstkowe - metod Fourier. Przykłdowe rozwiązni i wskzówki zd.1. Wyznczyć funkcję opisującą drgni podłużne
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Bardziej szczegółowoOscylator harmoniczny tłumiony drgania wymuszone
Oscylor hroniczny łuiony rgni wyuszone x / Γ x e x Oscylor swoony łuiony Γ x Jeśli Γ
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoO pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych
Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń
Bardziej szczegółowo1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa
Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoPRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,
WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz
Bardziej szczegółowoN(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2
Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)
Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki oznczone. Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey n n podprzedziłów punktmi = x < x
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,
Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie
Bardziej szczegółowo< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)
Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
Bardziej szczegółowoSumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.
Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?
INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1
FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5
Bardziej szczegółowoWymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Bardziej szczegółowoPochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk
Bardziej szczegółowoCałkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx
Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 5 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 3 listopd 6r. Cłk nieoznczon Cłkownie. Podstwowe metody cłkowni Zdnie. Oblicz cłki:
Bardziej szczegółowoOznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i
Bardziej szczegółowoGrażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH
Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych i schemt ocenini zdń otwrtych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 D D D Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x + x+ 0
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć
Bardziej szczegółowoR + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10
Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne
Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa
Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut
Bardziej szczegółowo( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)
List / Grnic i ciągłość funkcji ( z przykłdowymi rozwiąznimi) Korzystjąc z definicji grnicy (ciągowej) funkcji uzsdnić podne równości: sin ) ( + ) ; b) ; c) + 5 Obliczyć grnice funkcji przy orz : + ) f
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew
Bardziej szczegółowoXI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Całka podwójna Całka podwójna po prostokącie. Oznaczenia:
XI. Rhunek łkowy funkji wielu zmiennyh. 1. Cłk podwójn. 1.1. Cłk podwójn po prostokąie. Oznzeni: P = {(x, y) R 2 : x b, y d} = [, b] [, d] - prostokąt n płszzyźnie, f(x, y) - funkj określon i ogrnizon
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Bardziej szczegółowoVI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona
VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x
Bardziej szczegółowoZadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna.
dnie 5. Krtownic sttycznie wyznczln. Wyznczyć wrtości sił w prętch krtownicy sttycznie wyznczlnej przedstwionej n Rys.1: ). metodą nlitycznego równowżeni węzłów, ). metodą gricznego równowżeni węzłów;
Bardziej szczegółowoDla danego czynnika termodynamicznego i dla określonej przemiany ciepło właściwe w ogólności zależy od dwóch niezależnych
Ciepło włśiwe Nieh zynnik ermodynmizny m sn określony przez emperurę orz iśnienie p. Dl dowolnej elemenrnej przeminy zzynjąej się od ego snu możemy npisć dq [J/kg] ( Równnie ( wiąże pohłninie lub oddwnie
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoWartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.
Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania
Vdemecum i Testy GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony
Bardziej szczegółowoMECHANIKA. Podstawy kinematyki Zasady dynamiki. Zasada zachowania pędu Zasada zachowania energii Ruch harmoniczny i falowy
MECHANIKA Podswy kineyki Zsdy dyniki Siły Równnie ruchu Ukłdy inercjlne i nieinercjlne Zsd zchowni pędu Zsd zchowni energii Ruch hroniczny i flowy ruch rejesrowne w czsie w sposób ciągły ziny położeni
Bardziej szczegółowoO RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI
ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,
Bardziej szczegółowoSumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania
Vdemecum i Testy GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony
Bardziej szczegółowoRedukcja układów sił działających na bryły sztywne
1 Redukcj ukłdów sił dziłjących n bryły sztywne W zdnich tego rozdziłu wykorzystuje się zsdy redukcji ukłdów sił wykłdne w rmch mechniki ogólnej i powtórzone w tomie 1 podręcznik. Zdnie 1 Zredukowć ukłd
Bardziej szczegółowoG i m n a z j a l i s t ó w
Ko³o Mtemtyzne G i m n z j l i s t ó w 1. Lizy,, spełniją wrunki: (1) ++ = 0, 1 () + + 1 + + 1 + = 1 4. Olizyć wrtość wyrżeni w = + + Rozwiąznie Stowrzyszenie n rzez Edukji Mtemtyznej Zestw 7 szkie rozwizń
Bardziej szczegółowozestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I
Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM
WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę
Bardziej szczegółowo2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć
Bardziej szczegółowoProsta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie
Konstrkcje Elementy Mteriły Prost metod sprwdzni fndmentów ze względ n przebicie Prof dr b inż Micł Knff, Szkoł Główn Gospodrstw Wiejskiego w Wrszwie, dr inż Piotr Knyzik, Politecnik Wrszwsk 1 Wprowdzenie
Bardziej szczegółowoMetoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).
Metod sił jest sposoem rozwiązywni ukłdów sttycznie niewyznczlnych, czyli ukłdów o ndliczowych więzch (zewnętrznych i wewnętrznych). Sprowdz się on do rozwiązni ukłdu sttycznie wyznczlnego (ukłd potwowy
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski
Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE RÓWNANIA NASGRO DO OPISU KRZYWYCH PROPAGACYJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOWYCH
Sylwester KŁYSZ *, **, nn BIEŃ **, Pweł SZBRCKI ** ** Instytut Techniczny ojsk Lotniczych, rszw * Uniwersytet rmińsko-mzurski, Olsztyn ZSTOSONIE RÓNNI NSGRO DO OPISU KRZYYCH PROPGCYJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOYCH
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy
Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowoEKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 2 Analiza popytu. Optymalna polityka cenowa. 1 ANALIZA POPYTU. OPTYMALNA POLITYKA CENOWA.
Wykłd Anlz popytu. Optymln poltyk cenow. 1 ANALIZA OYTU. OTYMALNA OLITYKA CENOWA. rzedmotem wykłdu jest prolem zrządzn zyskem poprzez oprcowne wdrożene odpowednej strteg różncown cen, wykorzystując do
Bardziej szczegółowoWykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera
Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Bardziej szczegółowoAparatura sterująca i sygnalizacyjna Czujniki indukcyjne zbliżeniowe LSI
Aprtur sterując i sygnlizcyjn Czujniki indukcyjne zbliżeniowe LSI Czujnik indukcyjny zbliżeniowy prcuje n zsdzie tłumionego oscyltor LC: jeżeli w obszr dziłni dostnie się metl, to z ukłdu zostje pobrn
Bardziej szczegółowoψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Bardziej szczegółowoZbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe
pojęci zbioru i elementu RCHUNEK ZIORÓW zbiór zwier element element nleży do zbioru jest elementem zbioru ( X zbiór wszystkich przedmiotów indywidulnych, których dotyczy dn nuk zbiór pełny (uniwerslny
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii
Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 6 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 9 listopd 8r. Cłk oznczon i cłk niewłściw Zstosowni rchunku cłkowego w geometrii
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew Pbisek Adm Wostko Wprowdzenie
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć
Bardziej szczegółowoWykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wykłd z mtemtyki dl studentów Inżynierii Środowisk Wykłd. Litertur. Gewert M., Skoczyls Z.: Anliz mtemtyczn, Oficyn Wydwnicz GiS, Wrocłw, 0.. Jurlewicz T., Skoczyls Z.: Algebr liniow, Oficyn Wydwnicz GiS,
Bardziej szczegółowoPropozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
Bardziej szczegółowoZastosowania całki oznaczonej
Przkłd 9 Nie kd funkcj okrelon i ogrniczon n [, b] jes cłkowln n [, b], np funkcj Dirichle nie jes cłkowln n przedzile [, ], gd f ( ), gd liczb wmiern odcink [,] liczb niewmiern odcink [,] Gdbm dl kdego
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 1. SUMY ALGEBRAICZNE rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowo