Zastosowania całki oznaczonej

Transkrypt

1 Przkłd 9 Nie kd funkcj okrelon i ogrniczon n [, b] jes cłkowln n [, b], np funkcj Dirichle nie jes cłkowln n przedzile [, ], gd f ( ), gd liczb wmiern odcink [,] liczb niewmiern odcink [,] Gdbm dl kdego podziłu Π dokonli wboru punków porednich złoonego jednie z punków wmiernch odcink [, ], o sum cłkow błb równ, gdb wbór punków porednich złoon bł jednie z punków niewmiernch odcink [, ], o sum cłkow błb równ Sum Drbou Niech f R R bdzie funkcj okrelon i ogrniczon w przedzile [, b] Podzielm przedził [, b] n dowoln liczb odcinków (niekoniecznie równch), kórch długoci s odpowiednio równe,,, n Oznczm i i i, mi min f ( ), M i m f ( ) Sum S i Jeli m min f ( ) [ ; b ] n n i i m i i, S M i i nzw si odpowiednio sum Drbou doln i sum Drbou górn funkcji f w przedzile [, b] i, M m f ( ), S jes sum cłkow Riemnn, o [ ; b] m( b ) S S S M ( b ) Zem isniej kres górn sum dolnch i kres doln sum górnch, kóre nzwm odpowiednio cłk Drbou doln ( I sup S ) i cłk Drbou górn ( I inf S ) Mm m( b ) S I I S S M ( b ) Wrunkiem koniecznm i wsrczjcm cłkowlnoci funkcji w sensie Riemnn jes równo cłek Drbou I I 5 d d Zdni d + d sin d cos sin d 7 rcn d 8 9 d 9 d + d + cos ln d d e Zsosowni cłki oznczonej b D (, ) f, g C[, b] D [ g( ) f ( ) ] d f ( ) g( ) b Przkłd Obliczm pole obszru ogrniczonego wkresmi funkcji f ( ) i f ( ) Punk wspólne wkresów ch funkcji {, } D 9 D [( ) ( ) ] d ( [ ] ) d S Kowlski, Wkłd z memki (dl sudenów kierunku Mechnik) wkłd

2 Nrsujem obszr D (nie jes o wmgne prz rozwizniu zdni) Przkłd Obliczm pole obszru zwrego midz wkresmi prbol i Punk wspólne wkresów ch funkcji {, } D D d ( ) [ ] [ ] Przkłd Obliczm pole obszru ogrniczonego wkresmi funkcji sin, cos, Punk wspólne wkresów ch funkcji sin cos sin sin (sin + )(sin ) Njmniejsz liczb rzeczwis dodni spełnijc en wrunek jes D sin cos D [cos sin ] d [ sin + cos ] [ sin + cos ] [ sin + cos] Przkłd Obliczm pole obszru ogrniczonego wkresmi funkcji + +, Punk wspólne wkresów ch funkcji + + ( + ) ( + )( ) {,, } D D D, gdzie D + + D + + S Kowlski, Wkłd z memki (dl sudenów kierunku Mechnik) wkłd

3 D D + D [ + + ] d + [ ( + + )] d ( + ) d + ( ) d [ ] [ ] Pole figur w ukłdzie biegunowm Punk o współrzdnch (, ) mon okreli prz pomoc dwu wielkoci r ϕ ) k ϕ pomidz dodni półosi wekorem wodzcm ego punku Przjmuje si ϕ < (lbo < ϕ ) ) odległoci r ego punku od poczku ukłdu Wzor r cosϕ, r sin ϕ n zmin współrzdnch krezjskich n współrzdne biegunowe r r( D [, ] ) ϕ D ( ϕ, r), r( C D [ r( ϕ ] dϕ r r( Przkłd Obliczm pole koł ( ) + ( ) Zsosujm wzor n przejcie od współrzdnch prosoknch do współrzdnch biegunowch + r cosϕ, + r sin ϕ Równnie dnego koł m pos r Dlego [ ] r( dϕ dϕ dϕ [ ϕ D ] Przkłd 5 Obliczm pole obszru ogrniczonego lemnisk Bernoulliego ( + ) ( ) ( + ) 9( Zsosujm wzor n przejcie od współrzdnch prosoknch do współrzdnch biegunowch ) r cosϕ, r sin ϕ Równnie lemnisk m pos r cosϕ Dlego D [ ] r ( dϕ cos ϕ dϕ cos ϕ dϕ [ sin ϕ] S Kowlski, Wkłd z memki (dl sudenów kierunku Mechnik) wkłd

4 ( Jeli dne jes równnie wekorowe krzwej ;, prz czm funkcje (, ( orz ich pochodne (, ( s ( cigłe w przedzile ;, wzrosowi prmeru od do odpowid wzros k ϕ od do, o obszr ogrniczon krzw m pole, kóre mon oblicz w oprciu o kd z poniszch wzorów D ( ( d, D ( ( d, D [ ( ( ( ( ] d Przkłd Obliczm pole koł + Równnie wekorowe okrgu cos ; Zsosujem pierwsz wzór sin ( [ cos cos d cos d cos sin + ] D ( d Przkłd 7 Obliczm pole obszru ogrniczonego elips + b Równnie wekorowe ej elips cos ; Zsosujem drugi wzór bsin D ( d ( sin b( sin d b sin d [ cos sin + ] b ( cos cos Przkłd 8 Obliczm pole obszru ogrniczonego krdioid [,] ( sin sin - - [ ( ( ( Zsosujem rzeci wzór D ( ] d + [( cos cos ( cos cos ( sin sin ( sin sin )] d cos] d [ Zdni I Oblicz pole obszru ogrniczonego krzwmi nszkicow e obszr, +,,, ,, 7, 8, 9 +, +, +, 8,,, +, 5 ( ) S Kowlski, Wkłd z memki (dl sudenów kierunku Mechnik) wkłd

5 rcsin, rccos, 7 ( rcsin ) 8 +, II Oblicz pole obszru ogrniczonego pierwszm łukiem ckloid ( sin, ( cos i osi odcich ( cos II Oblicz pole obszru ogrniczonego seroid [,] ( sin S Kowlski, Wkłd z memki (dl sudenów kierunku Mechnik) wkłd 5