Badania niezawodnościowe i statystyczna analiza ich wyników

Transkrypt

1 Badaa ezawodoścowe statystycza aalza ch wyków. Co to są badaa ezawodoścowe jak sę je przeprowadza?. Metody prezetacj opsu daych pochodzących z eksperymetu 3. Sposoby wyzaczaa rozkładu zmeej losowej a podstawe daych z eksperymetu. Co to są badaa ezawodoścowe jak sę je przeprowadza? Jak jest rozkład zmeej losowej opsującej czas życa elemetu? Odpowedź a pytae wymaga zwykle przeprowadzea eksperymetu. Pojęca podstawowe stosowaa termologa: populacja - zbór wszystkch elemetów daego rodzaju, próba losowa - wybrae w pewe sposób ektóre elemety populacj opsae przez wektor, dr ż. Jacek Jarck gdze T = T,T,...,T,..., T T - wektor losowy T - zmea losowa (czas życa -tego elemetu badae sposób uzyskaa wedzy o elemetach z próby losowej, wykem badaa jest t t,t,...,t,..., t - realzacje zmeych losowych T statystyka fukcja wektora losowego T S(T = S(T,T,...,T,...,T dr ż. Jacek Jarck 3 Przeprowadzae badań ezawodoścowych: pobrae próby losowej, oczekwae otowae chwl uszkodzeń kolejych elemetów, z jedoczesym sprawdzaem czy e jest spełoe kryterum zakończea badaa. Krytera zakończea badaa: uszkodzee wszystkch elemetów wchodzących w skład próby losowej (badae pełe, uszkodzee zadaej lczby k (k< elemetów, przekroczee dopuszczalego czasu badaa T, uszkodzee zadaej lczby k elemetów, lub przekroczee dopuszczalego czasu badaa T, dr ż. Jacek Jarck 4

2 Wykem badaa ezawodoścowego jest zawsze zbór daych: t,t,...,t,..., tk Kłopoty z uzyskaem zadowalająco lczych zborów daych: przyspeszoe badaa ezawodośc Ze względu a zacze trudośc z przeprowadzeem w realym czase eksperymetu w warukach omalych, wymusza sę szybsze wystąpee uszkodzeń przez zwększee pozomu stresu a astępe w jakś sposób, odwzorowuje wyk badań a waruk omale. Dalej rozważae będze jedye badae pełe.. Metody prezetacj opsu daych pochodzących z eksperymetu tabela umer czas hstogram t t Rysuek prezetujący w sposób loścowy przyależość daych do poszczególych zakresów badaej zmeej.... t... t dr ż. Jacek Jarck 5 dr ż. Jacek Jarck 6 Budowa hstogramu:. Wyzaczee zakresu rysowaa. Podzał zakresu rysowaa a rówe podprzedzały wyzaczee dla każdego podprzedzału lczby ależących do ego daych (lub odpowedch częstośc, arysowae odpowedego wykresu słupkowego. Przykład : Z rozkładu ormalego o parametrach µ =, σ = wylosowao = lczb. Jak arysować hstogram? Jak jest wpływ lczby podprzedzałów m a wygląd hstogramu? dr ż. Jacek Jarck =, m = =, m = =, m = dr ż. Jacek Jarck 8

3 gęstość emprycza Wysokość słupka hstogramu gęstośc empryczej jest wyzaczaa przez podzelee wysokośc słupka dla daego podprzedzału, przez długość tego podprzedzału. Przykład : Z rozkładu ormalego o parametrach µ =, σ = wylosowao =, = 3 = lczb. Jak wygląda dystrybuata emprycza dla poszczególych przypadków? dystrybuata emprycza Fukcja określoa astępująco:.8.6 N = F ( t t t = k / tk < t tk+ t > t = dr ż. Jacek Jarck 9 dr ż. Jacek Jarck N = N = = Twerdzee (Glwek( Glwek Nech D = sup F t R ( t F( t będze odległoścą dystrybuaty empryczej od dystrybuaty F(t. Jeżel t,t...,t...,t, pochodzą z rozkładu o dystrybuace F(t to P( lm D = = = dr ż. Jacek Jarck dr ż. Jacek Jarck 3

4 3. Sposoby wyzaczaa rozkładu zmeej losowej a podstawe daych z eksperymetu Sformułowae zadaa estymacj parametryczej Nech T =T,T,...,T będze wektorem opsującym próbę losową pobraą z jedego z rozkładów rodzy parametryczej { F : θ Θ} przy czym wartość parametru (parametrów θ detyfkującego rozkład e jest zaa. θ Jak wykorzystać próbę losową dla wycągęca wosków dotyczących ezaego parametru θ? dr ż. Jacek Jarck 3 Sposób postępowaa: Skostruować statystykę θ ( T = θ (T,T,...,T,...,T zwaa estymatorem puktowym,, w tak sposób aby jej wartość była blska prawdzwej wartośc parametru θ. W jak sposób uzyskać fukcję (statystykę określającą estymator? Jak oceć jakość estymatora puktowego? dr ż. Jacek Jarck 4 Ocea estymatorów ch własośc Jakość estymatora moża próbować oceać przy pomocy wyrażea (opsującego błąd w postac ζ ( θ = E θ θ [( ] Po klku przekształceach uzyskuje sę ζ ( θ = E θ E θ + E θ θ = Var θ + b gdze [( ( ] [ ( ] ( ( θ ( θ ( θ = E( θ θ Var b - waracja estymatora - obcążee estymatora Aby błąd ξ był mały waracja powa być możlwe mała obcążee estymatora wo wyosć. dr ż. Jacek Jarck 5 Defcja Estymatory o obcążeu rówym oszą azwę estymatorów eobcążoych. Defcja Jeżel P( θ > ε θ to estymator azywamy zgodym. Oblczae estymatorów metodą ajwększej warogodośc Metodę podał R. A. Fsher dr ż. Jacek Jarck 6 4

5 Defcja 3 Jeżel zmea losowa ma gęstość f(θ,t,t jeśl T = T,T,,T jest próbą z rozkładu tej zmeej, to łącza gęstość próby rozpatrywaa jako fukcja parametru θ a postać L ( θ ;t,t,...,t,...,t f( θ, t os azwę fukcj warogodośc. Twerdzee = = Nech T = T,T,,T będze próbą z rozkładu o gęstośc f(θ,t,t oraz θ prawdzwą wartoścą poszukwaego parametru θ.. Wówczas dla każdej ustaloej wartośc parametru θ θ zachodz dr ż. Jacek Jarck 7 gdy P [ f ( θ,t... f ( θ,t > f( θ,t... f( θ,t ] Wosek Jako wartość parametru θ ależy przyjąć wartość θ, która maksymalzuje fukcję warogodośc. Przykład 3 Nech T=T,T,,T będze próbą z rozkładu ormalego o parametrach θ =[μ, σ]. Przy pomocy metody ajwększej warogodośc ależy wyzaczyć θ. dr ż. Jacek Jarck 8 Fukcja warogodośc wygląda astępująco: L ( µ, σ ; t,...,t = µ Po logarytmowau otrzymujemy exp (t ( πσ σ = l L = σ = Oblczee pochodych prowadz do układu rówań ( µ, σ ; t,...,t (t µ lσ l π L = ( t = µ µ σ = L = σ 4σ (t µ = 4 = σ dr ż. Jacek Jarck 9 rozwązae układu powyższego rówań ma postać µ ˆ = t = t ˆσ = (t t = = Moża pokazać, że w wyzaczoym pukce, fukcja warogodośc osąga maksmum. Komputerowe metody aalzy wyków badań ezawodośc Sformułowae zadaa (przykałd( przykałd: Badau pełemu poddao 3 losowo wybraych z pewej populacj elemetów. Zarejestrowao astępujące realzacje czasu życa: dr ż. Jacek Jarck 5

6 Nr elemetu t [h] Nr elemetu t [h] Jak jest rozkład zmeej losowej opsującej czas życa elemetu? Uwaga geerala: Ne steje jedozacza "automatycza" procedura, która bez podejmowaa dodatkowych decyzj bez aruszea formalzmu rozumowaa matematyczego, prowadz do wyzaczea poszukwaego rozkładu. Przykładowy tok postępowaa: sporządzć dla zarejestrowaych daych hstogram, przeaalzować wygląd hstogramu a podstawe jego kształtu, próbować wycągąć jakeś wosk co do typu rozkładu, dr ż. Jacek Jarck dr ż. Jacek Jarck dla wytypowaych a podstawe aalzy hstogramu rozkładów prawdopodobeństwa sporządzć wykresy probablstycze a podstawe rozkładu daych a wykresach podjąć decyzję o wyborze typu rozkładu, dla wybraego rozkładu wyzaczyć parametry p. metodą ajwększej warogodośc, Aalza daych przy pomocy arzędz paketu SAS (dae pochodzą z pokazaej wcześej tabel. Aalza hstogramu Nektóre stosowae obece arzędza komputerowe: uwersale oprogramowae matematycze (p. paket MATLAB, specjalstycze oprogramowae do aalzy daych (p. system SAS frmy SAS Isttute, dr ż. Jacek Jarck 3 dr ż. Jacek Jarck 4 6

7 Do dalszej aalzy zostają wytypowae rozkłady: ormaly, Webulla,, wykładczy. Tworzee wykresów probablstyczych Dla określoego typu rozkładu kostruuje sę specyfcze przeskaloway układ współrzędych. Jeśl dae pochodzą z tego właśe rozkładu, to po aeseu ch a wykres powy rozłożyć sę mej węcej wzdłuż l prostej. Zgode z decyzja podjętą w kroku dae aesoo a wykres dla - rozkładu: ormalego, - rozkładu Webulla, - rozkładu wykładczego, dr ż. Jacek Jarck 5 dr ż. Jacek Jarck 6 dr ż. Jacek Jarck 7 dr ż. Jacek Jarck 8 7

8 3. Aalza wykresów probablstyczych wosk Stwerdzamy, że dla rozkładu Webulla,, dae ajlepej "układają sę" wzdłuż l prostej, wyberamy węc te rozkład. Wyzaczmy przy pomocy metody ajwększej warogodośc estymatory parametrów λ p wybraego rozkładu, lecz e musmy tego robć bo; Paket SAS przy tworzeu wykresów probablstyczych oblcza zawsze przy pomocy metody ajwększej warogodośc odpowede parametry drukuje je a wykrese. Z wykresu dla rozkładu Webulla odczytujemy węc parametry rozkładu, wyoszą oe: Shape ( p =.665 Scale ( σ = dr ż. Jacek Jarck 9 dr ż. Jacek Jarck 3 Ostatecze przyjmujemy, że rozkład czasu życa badaego elemetu opsay jest fukcją F(t = e.665 t t śred czas życa dla otrzymaego rozkładu wyos T śr = E(T = h 3 Na wykrese dystrybuaty, wyk oblczeń prezetują sę astępująco: dr ż. Jacek Jarck 3 - dystrybuata emprycza dla daych uzyskaych w wyku badaa, - dystrybuata oblczoa jako wyk estymacj rozkładem Webulla, 3 - dystrybuata rozkładu, z którego losowao dae, był to rozkład wykładczy z parametrem λ = / (śred czas życa wyosł. h. dr ż. Jacek Jarck 3 8