Modelowanie niepewności przy użyciu przybliżonych miar prawdopodobieństwa
|
|
- Henryka Karolina Turek
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Modelowae epewośc pzy użycu pzyblżoych ma pawdopodobeństwa d ż. Mosław Kweselewcz Wydzał Elektotechk utomatyk Kateda utomatyk Gdańsk, lstopad 998
2 . Wpowadzee Tadycyje do modelowaa epewośc stosoway był apaat pobablstyczy. Ops pobablstyczy stosoway może być jedak w pzypadkach, gdy występuje wystaczająca lczba daych, czyl używając języka statystyk, póba dobze epezetująca badaą populację. W welu paktyczych sytuacjach wauek te e może być spełoy. Często dae dotyczące ozważaego zagadea dostaczae są pzez ekspetów, zaówo w zakese wybou odpowedego ozkładu pawdopodobeństwa, jak jego paametów. Stąd stosowae opsu pobablstyczego, opatego o ewystaczającą lczbę daych oaz często występujący abtaly wybó ozkładów pawdopodobeństwa, jak óweż czasochłoe oblczea z wykozystaem apaatu pobablstyczego może w welu pzypadkach powadzć do ewaygodych wyków. W paktyce dae ekspeymetale są e tylko losowe, ale edokłade. Często wyażae są w postac subektywej ocey ekspetów. W ejszym opacowau pzedstawa sę alteatywe w stosuku do pawdopodobeństwa metody epezetacj epewośc, któe poza losowoścą uwzględają edokładość daych, któym sę dyspouje. Iym paktyczym poblemem jest występowae óżego typu daych. Część z ch może meć p. chaakte losowy, a część chaakte losowy, ale ze względu a zbyt małą lczbę daych ekspeymetalych moża stwedzć, że dae te są edokłade. W takm pzypadku celowe byłoby zastosowae metodyk oblczeowej, pozwalającej a opeowau óżym typam daych. Metodyka taka może być zaczepęta z teo faktów wpowadzoej pzez Shafea (976) opeająca sę a kocepcj edokładego pawdopodobeństwa obejmująca ops pobablstyczy posyblstyczy. Te ostat, pzy pewych założeach może być pzekształcoy a zbó ozmyty odwote. Z kole steją metody tasfomacj z opsu pobablstyczego a posyblstyczy odwote. W zwązku z tym kocepcja Shafea wydaje sę badzo atakcyja w sytuacj występowaa óżych typów epewośc.. Metody epezetacj epewośc Jak wspomao wcześej, teoa faktów wpowadzoa pzez Shafea (976) pozwala a opeowae óżym typam epewośc, włączając ops pobablstyczy posyblstyczy. Z kole kocepcja ozkładu możlwośc wpowadzoa pzez Zadeha (978) utożsama fukcję ozkładu możlwośc z fukcją chaakteystyczą zbou ozmytego. W zwązku z tym a guce teo faktów omówoe zostaą tzy podstawowe odzaje epezetacj epewośc: teoa zboów ozmytych, teoa pawdopodobeństwa oaz teoa możlwośc.. Teoa zboów ozmytych Teoa zboów ozmytych wyosła z klasyczej teo zboów. W odóżeu od zbou klasyczego gaca zbou ozmytego e jest okeśloa pecyzyje, atomast występuje płye pzejśce od całkowtej epzyależośc elemetu do zbou, popzez jego częścowa pzyależość, aż do całkowtej pzyależośc. To płye pzejśce okeśloe jest popzez fukcję pzyależośc µ, któa może pzyjmować watośc z pzedzału [0,]: [ ] µ : X 0,,
3 gdze X ozacza klasyczy zbó elemetów, atomast jest etyketą pzypoządkowaą zboow ozmytemu, zdefowaemu popzez tą fukcję. Watość fukcj µ () x wyaża stopeń pzyależośc elemetu x z X do zbou ozmytego. Zboy ozmyte mogą służyć do opsu a pzykład takch pojęć lgwstyczych jak mały, śed, duży, badzo duży, zdefowaych w pewym zamkętym pzedzale lczbowym. 0, day zbó ozmyty daje zbó eozmyty postac: Dla każdego [ ] { x X µ ( )} ; x, () azyway -pzekojem. Poeważ < pocąga za sobą, zbó óżych - pzekojów twozy zageżdżoy cąg zboów eozmytych. Day zbó ozmyty jest jedozacze okeśloy popzez zwązay z m cąg - pzekojów, zgode z astępujacą zależoścą: gdze µ () x µ () x I µ ozacza fukcję pzyależośc -pzekoju, µ x sup, () I atomast podzbó pzedzału [0,], składający sę z watośc, takch że () dla pewych x z X. I azywa sę zboem pozomu. Kocepcja -pzekojów wyaża stotą zależość pomędzy zboem klasyczym zboem ozmytym. Pozwala a dekompozycję zbou ozmytego a zboy klasycze oaz kozystae z klasyczej teo zboów. W pzypadku lczb ozmytych, któe ależy tatować jako zomalzowae wypukłe zboy ozmyte (Zob. p. Dubos ad Pade 988), okeśloe a pzestze lczb zeczywstych, aytmetykę lczb ozmytych moża spowadzć to aytmetyk pzedzałów lczbowych (Mooe 966). Moża zdefować dwa odzaje lczb kadyalych dla zboów ozmytych, okeśloych a skończoym zboze X. Skalaa lczba kadyala jest lczbą zeczywstą, zdefowaą astępująco: x X () x µ. () Iym typem lczby kadyalej jest ozmyta lczba kadyala cad(), któa jest lczbą ozmytą defowaą dla każdego I, zgode z zależoścą:. Teoa faktów µ cad. (4) ( )( ) Teoa zdazeń (faktów) (ag. Evdece Theoy) opea sę a dwóch dualych addytywych maach, way (ag. belef) ufośc (ag. plausblty). Dla daego skończoego zbou X maa way jest fukcją: taką, że: Bel : P ( X ) [ 0,]
4 4 Bel ( ) 0, Bel( ) Bel X, (5) (! ) Bel( j ) Bel( j k ) +! + j j< k + ( ) Bel(! ) Ze względu a własość (6) may way zwae są maam supeaddytywym. Maa ufośc jest fukcją: taką, że: Pl Pl : P ( X ) [ 0,] ( ) 0, Pl( ) Pl X, (7) (! ) Pl( j ) Pl( j k ) j +! + j< k + ( ) Pl(! ) Ze względu a własość (8) may ufośc zwae są maam subaddytywym. Pomędzy obydwema maam zachodzą astępujące zależośc: Pl ( ) Bel( ) ( ) Bel( ) + + (6) (8), (9) Pl. (0) Wygode jest zdefować powyższe may z wykozystaem fukcj zwaej podstawowym pzypoządkowaem pobablstyczym: któa speła astępujące własośc: Watość ( ) ( X ) [ ] m : P 0,, ( ) 0 m, P ( X ) ( ) m. m wyaża ułamek z jakm dostępe zaczące fakty spzyjają, że day elemet z X, któego chaakteystyka w sese stotych atybutów jest ekompleta, ależy do zbou. May way ufośc moża wyazć odpowedo jako: ( ) Bel m( B), () B; B ( ) Pl m( B). () B; B Θ Tasfomacja odwota może być wykoaa zgode z zależoścą: oaz wzoem (9). m B ( ) ( ) Bel( B) B; B ()
5 5 Dla daego podstawowego pzypoządkowaa pobablstyczego, każdy zbó P( X ), dla któego m ( ) 0 azywa sę elemetem fokalym. Paa (F,m), gdze F ozacza zbó wszystkch elemetów fokalych dukowaych pzez m, azywa sę zboem faktów, zdazeń.. Teoa pawdopodobeństwa Rozważmy zbó zdazeń (F,m) w sese teo zdazeń. Jest faktem dobze zaym, że jeśl F składa sę wyłącze ze zdazeń elemetaych, to zwązae z tym may way ufośc są sobe ówe oaz spowadzają sę do may pawdopodobeństwa (Shafe 976), któa speła własość addytywośc. Maa pawdopodobeństwa Po, okeśloa a skończoym zboze X, może być jedozacze wyażoa popzez fukcję ozkładu pawdopodobeństwa: zgode z zależoścą: [ ] p : X 0,, ( ) p( x) Po (4) x Z puktu wdzea teo faktów oczywstym jest że:.4 Teoa możlwośc () x m( {} x ) p. Mówmy, że odza podzboów daego zbou jest zageżdżoa, jeśl te podzboy mogą być zageżdżoe w tak sposób, że każdy z podzboów zawea sę w astępym. Na pzykład: 4 X jest zageżdżoą odzą podzboów pzestze X. Teoa możlwośc staow specjalą gałąź teo faktów, któa zwązaa jest z zageżdżoym elemetam fokalym. Odpowedkam may way ufośc w teo możlwośc są odpowedo maa potzeby maa możlwośc. Maa możlwośc (ag. possblty) jest jedozacze okeśloa za pomocą fukcj ozkładu możlwośc zgode z zależoścą: dla wszystkch P( X ) astępujący: : X [ 0,] ( ) sup ( x) Pos, (5) x. Maa potzeby (ag. ecessty) Nec okeśloa jest w sposób Nec ( ) Pos( ), (6) co staow posyblstyczy odpowedk zależośc (9). Rozkład możlwośc może być wyażoy w opacu o elemety fokale. Załóżmy, że X { x, x,!, x } oaz ech!, gdze { x, x,!, x } (,,!, ) będze kompletą sekwecją zageżdżoych podzboów, któe zaweają wszystke elemety fokale may możlwośc Pos. Wówczas, jeśl ( ) 0,,,. Nech poadto m m( ) oaz ( ) x m, to { }!. Dla wszystkch,,,. zachodzą astępujące zależośc:
6 6, (7) m k k m (8) + gdze + 0. Wato zauważyć, że: + dla wszystkch,,,- oaz. Teoa możlwośc może e tylko być sfomułowaa jako szczególy pzypadek teo faktów z zageżdżoym podzboam, ale óweż w opacu o zboy ozmyte. Rozkład możlwośc (Zadeh 978) defoway jest w opacu o zbó ozmyty. Dla daego zbou ozmytego ze zomalzowaą fukcją pzyależośc µ moża zdefować fukcję ozkładu możlwośc : () x () x, (9) µ dla wszystkch x z X. Maa możlwośc zdefowaa jest astępująco: dla wszystkch P( X ) ( ) sup ( x) Pos B (0) x B B. Używając tej tepetacj elemety fokale odpowadają - pzekojom zbou ozmytego.. May epewośc Rozważa sę tzy typy epewośc: ozmyce (eokeśloość), co wąże sę z edokładym gacam zboów ozmytych, eokeśloość (ag. ospecfcty) (edokładość), co zwązae jest z ozmaam (lczbą kadyalą) stotych zboów alteatyw oaz spzeczość (lub ezgodość, dysoas), co wyażą koflkt pomędzy óżym zboam alteatyw.. May eokeśloośc Maa epewośc zwązaej z ą fomacją została zapopoowaa po az pewszy w sese klasyczej teo zboów pzez Hatleya (98). Maa ta wyażoa w btach pzyjmuje postać: ( ) log U, () gdze ozacza lczebość skończoego zbou. Jede bt epewośc jest ówoważy całkowtej epewośc w stosuku do pawdy lub fałszu jedego stwedzea. Fukcja () zwaa jest fukcją Hatley a. Zaczee epewośc mezoej za pomocą fukcj Hatley a zależy od zaczea zbou. Fukcja ta może być dobze schaakteyzowaa popzez pojęce eokeśloość. Natualym ozwęcem fukcj Hatley a a teoę zboów ozmytych teoę możlwośc jest fukcja U-epewość (Hgash ad Kl 98): U ( ) d 0 log, ()
7 7 gdze ozacza lczbę kadyalą -pzekoju zbou. wato zwócć uwagę, że U() jest śedą ważoą fukcj Hatley a dla wszystkch -pzekojów. Dla skończoych upoządkowaych ozkładów możlwośc fukcja U-epewość może być wyażoa w astępujący sposób: U () ( ) + log log () gdze + 0. Zakładając, że ozkład możlwośc epezetuje zomalzoway zbó ozmyty moża pokazać, że U()U(), wtedy gdy + oaz jest lczbą kadyalą -pzekoju, dla któego. Kozystając za zależośc (8) otzymamy: U ( m) gdze ( m, m,!, m ) odpowadającym ozkładow możlwośc (,,, ) m log, (4) m jest podstawowym pzypoządkowaem pobablstyczym,!. Fukcja U-eokeśloość może być zastosowaa dla dowolego zbou faktów (F,m): ( m) m( ) N F log. (5) Fukcja N jest oczywśce śedą ważoą fukcj Hatley a dla wszystkch elemetów fokalych. Wagam są watośc podstawowego pzypoządkowaa pobablstyczego. Dla każdego elemetu fokalego, m() ozacza stopeń faktu zogskowaego a, podczas gdy log ozacza bak okeśloośc pzypsaa faktu. Im wększa jest watość m(), tym badzej waygode są fakty, atomast m wększy jest zbó, ( log ), ty mej okeśloy jest zbó tych faktów. Poeważ dla ozkładu pawdopodobeństwa mamy do czyea ze zdazeam elemetaym, to log 0 dla każdego elemetu fokalego w kosekwecj N(m)0.. May ezgodośc Poeważ maa eokeśloośc jest ówa zeo, tz. wszystke may pawdopodobeństwa są w peł okeśloe, dla każdego ozkładu pawdopodobeństwa, w celu pełego odóżea ma pobablstyczych celowe jest wpowadzee ej may, a maowce etop Shaoa (948): ( m) m( { x} ) m( { x} ) H x X log, (6) któa mezy śedą epewość (w btach), zwązaą z pedykcją wyków ekspeymetu losowego staow watość oczekwaą koflktu pomędzy watoścam faktów. W teo faktów zapopoowao dwe may, któe są odpowedkam etop Shaoa, a maowce maę ezgodośc (ag. dssoace) Yage (98):
8 8 E ( m) m( ) Pl( ) F oaz maę zameszaa (ag. cofuso) (pomyłk) (Hoele 98): C ( m) m( ) Bel( ) F log, (7) log, (8) W pzypadku may pawdopodobeństwa obydwe fukcje spowadzają sę do etop Shaoa (6). Kl (99) pokazał, że w teo faktów ajlepszą fukcją meząca koflkt jest fukcja dysoasu S (ag. stfe) zdefowaa jako: ( m) m( ) m( B) S F B F Fukcja S(m) może być óweż wyażoa jako: S B log (9) ( m) N( m) Z( m), (0) gdze N(m) jest maą eokeśloośc (5), atomast fukcja Z(m) zdefowaa jest jako: ( m) m( ) m( B) Z F B F log B () W teo możlwośc dla upoządkowaego ozkładu możlwośc fukcja dysoasu zdefowaa jest jako: S () U() ( ) + j log, () gdze U() jest maą posyblstyczej eokeśloośc (U-epewość). Fukcja S() może być óweż wyażoa jako: S () ( ). Sumaycza epewość w teo faktów + j j j log () Poeważ w teo faktów steją obok sebe dwa typy epewośc, a maowce eokeśloość oaz ezgodość, wydaje sę sesowym dokoać połączea ma dotyczących tych epewośc w jedą maę. Lamata Moal (988) popoują wykozystać sumę algebaczą obu welkośc: ( m) N( m) S( m) NS + (4)
9 9 Maa NS spowadza sę do astępujących zależośc odpowedo dla teo faktów teo możlwośc: NS ( m) m( ) NS F log, (5) m B B F () ( ) + ( B) log. (6) Uwag:. NS wyaża sę w btach.. W pzypadku ozkładu pawdopodobeństwa NS pzyjmuje postać etop Shaoa..4 Wykozystae ma epewośc do ocey zbou faktów W popzedm pukce pzedstawoo podstawowe may epewośc zwązae z oceą zbou faktów. May te podzeloo a dwe zasadcze gupy:. May eokeśloośc,. May ezgodośc Maa eokeśloośc opea sę a fukcj Hatley a U() () dla dowolego zbou faktów (F,m) wyaża sę fukcją eokeśloośc U(m) (5). Okeśla oa stopeń edokładośc daych. W pzypadku zageżdżoych elemetów fokalych (ozkład możlwośc) moża stosować fomułę (). Może być oa óweż stosowaa do ocey epewośc zbou ozmytego. May ezgodośc pozwalają a stwedzee stopa koflktu pomędzy daym opeają sę o etopę Shaoa N(m) (6). W pzypadku ogólym dla dowolego zbou faktów (F,m) stosuje sę dwe may, a maowce maę ezgodośc E(m) (7) oaz maę zameszaa C(m) (8). Dla ozkładu pawdopodobeństwa may te są sobe ówe spowadzają sę do etop Shaoa N(m) (6). Fukcja ezgodośc E(m) jest ówa zeo wtedy tylko wtedy, gdy loczy mogoścowy faktów jest epusty. Mówmy wtedy, że mamy do czyea ze zgodym zboem faktów. Każdy ozkład możlwośc, ze względu a własość zageżdżea zwązay jest ze zgodym zboem faktów. Poadto jeśl dla daego ezagżdżoego zbó faktów otzymamy watość fukcj ezgodośc ówą zeo, moża go popzez odpowede pzekształcee spowadzć do zbou zageżdżoego (Dubos ad Pade 988). Oblczając zatem watość fukcj ezgodośc dla daego zbou faktów możemy a tej podstawe wybać odpowed ops do ch epezetacj. Jeśl maa ezgodośc ówa sę meze zameszaa oaz fukcja eokeśloośc ówa jest zeo, mamy do czyea z ozkładem pobablstyczym. Jeśl atomast fukcja ezgodośc jest ówa zeo, moża stosować ops posyblstyczy. Jak już wspomao wcześej do pomau koflktu w ogólej teo faktów stosuje sę fukcję dysoasu S(m). Po zsumowau tej may z maą eokeśloośc otzymuje sę maę epewośc dla daego zbou faktów, któa jest użytecza w dokoywau tasfomacj z opsu pobablstyczego a ops posyblstyczy odwote. j j
10 0 4. Tasfomacja ozkładu możlwośc a ozkład pawdopodobeństwa odwote Isteje wele metod tasfomacj z ozkładu pawdopodobeństwa a ozkład możlwośc odwote. Metody te zależą od typu ozwązywaego poblemu, zwązaego z daą tasfomacją. W ejszym opacowau omawa sę dwa odzaje tasfomacj, a maowce klasyczą już tasfomacje wpowadzoą pzez Dubos Pade (98), opatą o kocepcję edokładego pawdopodobeństwa oaz tasfomację Kla (99) zachowującą epewość daych podczas jej dokoywaa. 4. Podejśce Dubos Pade a Podejśce do teo możlwośc zapopoowae pzez Dubos Pade a (98), opea sę a kocepcj eówych pawdopodobeństw dla zdazeń elemetaych oaz edokładego pawdopodobeństwa (Shafe 976). Jeśl weźmemy pod uwagę zut moetą to mamy do czyea z astępującym zboem zdazeń elemetaych X { x ozel, x eszka}. Jeśl poadto założymy, że moeta jest zekształcoa (ag. based): p p p, gdze p ozacza pawdopodobeństwo zajśca zdazea x,,, moża wpowadzć stopeń potzeby (ag. ecessty) a kozyść zajśca zdazea x zdefoway astępująco: p p, co óweż ozacza emożlwość zajśca zdazea x. Odpowed stopeń możlwośc zajśca zdazea x wyaz sę astępującą zależoścą: p. (7) π utozy (Dubos ad Pade 98) defują pozostałe stope astępująco: 0,. π Wato zauważyć, że daemu zdazeu pzypoządkowaa jest paa (potzeba, możlwość). W opacu o pzedstawoą deę moża zdefować tasfomację pawdopodobeństwo - możlwość odwote. X x ;!,,. Do dalszych ozważań pzyjmjmy zbó zdazeń elemetaych: { }!, gdze Po( { x }), p Załóżmy, że p p p p oaz Po jest maą pawdopodobeństwa (4) zdefowaą zgode z aksjomatyczą defcją pawdopodobeństwa Bayesa. Załóżmy poadto, że { x,x,! x } oaz 0. Dubos Pade (98) wpowadzają astępującą defcję stopa potzeby. Defcja. Stopem potzeby zajśca zdazea X jest dodatkowa lość pawdopodobeństwa zwązaego ze zdazeam elemetaym ze zbou w poówau z loścą pawdopodobeństwa pzypsaą ajczęścej występującemu zdazeu e ależącemu do zbou : Nec ( ) max p j max p k, 0. (8) x x j k
11 Jeśl otzymujemy Nec u ( ) ( p p ),, j!, j gdze: p + 0. Na podstawe zależośc (6) otzymujemy(dubos ad Pade 98): pzy czym spełoy jest wauek: +, (9) ( ) j j π m p, p ( ) Po( ) Pos( ), (40) Nec. (4) Zależość (4) jest badzo waża z puktu wdzea paktyczego. Maa potzeby maa możlwośc mogą być tepetowae jako odpowedo góe dole ogaczee a maę pawdopodobeństwa. Iym słowy maa pawdopodobeństwa e może być wększa od may możlwośc mejsza od may potzeby. W paktyce, gdy e mamy do czyea z daym dokładym (p. opa ekspetów, bak zgodośc op ekspetów) jesteśmy w stae oblczyć pzedzał lczbowy w któym zajduje sę pawdopodobeństwo. Pzekształcee odwote do (40) wyaża sę zależoścą (Dubos ad Pade 98): gdze: π Podejśce Kla ( π π )! j, (4),, p j j + Załóżmy, że mamy skończoe upoządkowae ozkłady możlwośc (,,!, ) pawdopodobeństwa p ( p, p,, ) oaz! p. Kl (99) popouje astępujące pzekształcee ozkład pawdopodobeństwa a ozkład możlwośc: gdze wykładk powe być dobay zgode z zależoścą: p,,,!, p, (4) ( p) N() + S(), 0 < < H (44) Pzekształcee odwote powo być zealzowae zgode z fomułą: p,,,!,, (45) k k
12 óweż dobeając zgode z zależoścą (44), któa ma zapewć zgodość pomędzy pawdopodobeństwem możlwoścą w sese (4). Tego typu tasfomacja jest jedozacza w obydwu keukach zawsze steje (Kl 99). Zgode z (6),(6) oaz (44) współczyk pzy tasfomacj pawdopodobeństwomożlwość ależy wyzaczyć a podstawe zależośc: p log p p+ p log p p p p j j, (46) atomast pzy tasfomacj możlwość - pawdopodobeństwo kozystając z fomuły: k k log k k ( + ) log j j (47) 4. Uwag dotyczące ealzacj umeyczej tasfomacj Tasfomacja wpowadzoa pzez Dubos Pade a (98) może być zealzowaa w badzo posty sposób, poeważ wymaga postych opeacj aytmetyczych. Może być óweż w posty sposób ozwęta dla pzypadku cągłego. Tasfomacja Kla wymaga, opócz postych opeacj algebaczych wyzaczea współczyka skalującego, co spowadza sę do ozwązaa ówaa (46) lub (47) ze względu a ta zmeą, czego e moża dokoać w sposób jawy poeważ w obydwu pzypadkach mamy do czyea z ówaam w postac uwkłaej. Boąc pod uwagę fakt dostępośc skuteczych metod umeyczych do ozwązywaa takch ówań, ozwązae ch z puktu wdzea umeyczego e powo staowć wększego poblemu. 5. Pzykłady oblczeowe 5. May epewośc (Kl 987) Dae zwązae z óżym typam omawaych ozkładów zaczepęto z pacy (Kl 987). W Tablcach, oaz zestawoo odpowedo ozkład możlwośc, ozkład pawdopodobeństwa oaz ogóly ozkład zbou faktów. Dla ozkładu możlwośc zdazea twozą zbó zageżdżoych podzboów, atomast dla ozkładu pawdopodobeństwa staową zdazea elemetae. Oblczoe watośc ma ezgodośc, zameszaa oaz eokeśloośc dla poszczególych ozkładów zestawoo w Tablcy 4. Wato zwócć uwagę, że dla ozkładu pawdopodobeństwa may ezgodośc zameszaa są sobe ówe, atomast maa eokeśloośc jest ówa zeo. Rozkład pawdopodobeństwa jest zawsze dokłady, atomast e jest gdy ozkładem zgodym. W pzypadku ozkładu możlwośc ozkładu zbou faktów występuje bak dokładośc, atomast w ozważaym pzypadku obydwa ozkłady są zgode, poeważ maa ezgodośc ówa jest zeo. W ogólym pzypadku dowoly zbó faktów e mus być zgody. Zbó możlwośc zawsze staow zgody zbó faktów, gdyż mamy zawsze do czyea z zageżdżoym elemetam fokalym.
13 Tablca. Rozkład możlwośc X x x x Maa możlwośc : m () Bel () Pl () x x x x x x 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 0 0. x x x x x x 4 0. x4 Tablca. Rozkład pawdopodobeństwa X x x x Maa pawdopodobeństwa : m () Bel () Pl () x x x x x x 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 4 0 x4
14 4 Tablca. Ogóly ozkład zbou faktów X x x x Maa teo faktów : m () Bel () Pl () x x x x x x 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 0 0. x x x 4 0. x4 Tablca 4. May epewośc dla ozkładu możlwośc, pawdopodobeństwa oaz zbou faktów Maa Rozkład możlwośc Rozkład pawdopodobeństwa Rozkład zbou faktów E(m) C(m) U(m) Tasfomacja pawdopodobeństwo-możlwość Załóżmy, że mamy ozkład pawdopodobeństwa: p {( 0.0, x )(, 0., x )(, 0.5, x )(, 0., x )(, 0.5, x )(, 0.05, x )(, 0.0, x )}, któy po upoządkowau pzyjme postać: p {( 0., x )(, 0.5, x )(, 0.5, x )(, 0., x )(, 0.05, x )(, 0.0, x )(, 0.0, x )} Fukcja U-eokeśloość (5) pzyjme watość: 7 N ( p) p log x 0,
15 5 poeważ log x 0,,,!, 7, atomast etopa Shaoa (6): 7 H ( p) p log p. 40. Rys. Różca epewośc w fukcj współczyka W celu dokoaa tasfomacj z ozkładu pawdopodobeństwa a ozkład możlwośc ależy zaleźć tak współczyk, dla któego spełoa jest zależość dotycząca zachowaa may epewośc podczas tasfomacj (44), któa dla ozważaej tasfomacj pzyjmuje postać (46). Ze względów oblczeowych wygodej pzyjąć N (, ) + S(, ) H ( p, ) 0. Różca ta dla ozważaego pzypadku w fukcj współczyka pzedstawoa jest a Rys.. Pzyjmuje oa watość 0 dla W kosekwecj otzymujemy astępujący upoządkoway ozkład możlwośc: {(.0, x )(, 0.9, x )(, 0.9, x )(, 0.680, x )(, 0.456, x )(, 0.648, x )(, 0.054, x )} , co daje: {( 0.648, x )(, 0.680, x )(, 0.9, x )(,.0, x )(, 0.9, x )(, 0.456, x )(, 0.054, x )} Sumaycza epewość NS(), zwązaa z ozkładem, wyos.40. Wykozystując tasfomację zapopoowaą pzez Dubos Pade a (40) otzymujemy: 4 {(.0, x )(, 0.95, x )(, 0.95, x )(, 0.5, x )(, 0., x )(, 0., x )(, 0.4, x )} oaz w postac eupoządkowaej: {( 0., x )(, 0.5, x )(, 0.95, x )(,.0, x )(, 0.95, x )(, 0., x )(, 0.4, x )}
16 6 Sumaycza maa epewośc dla otzymaego ozkładu możlwośc wyos NS().54 jest mejsza od may epewośc dla ozważaego ozkładu pawdopodobeństwa. 6. Uwag wosk W opacowau pzedstawoo tzy alteatywe metody opsu epewośc a guce teo faktów Shafea, a maowce teoę pawdopodobeństwa, teoę możlwośc oaz teoę zboów ozmytych. Omówoo podstawowe may epewośc, zwązae z ozważaym opsam oaz ch własośc. Ze względu a óże typy daych, występujących w zagadeu aalzy yzyka złożoych systemów pzemysłowych, a podstawe daych lteatuowych, zapopoowao metody tasfomacj daych pobablstyczych a posyblstycze odwote. Pokazao óweż zależość pomędzy zboem ozmytym maą możlwośc, stosowaą w opse pobablstyczym. Zawato uwag dotyczące ealzacj umeyczej pzedstawoych metod tasfomacj. Należy podkeślć, że metoda tasfomacj, zapopoowaa pzez Kla (99) zachowuje epewość daych w sese zdefowaych ma epewośc. Z dugej jedak stoy mmo, że tasfomacja wpowadzoa pzez Dubos Pade a (98) e zachowuje epewośc, jest dobze uzasadoa w opacu o kocepcję zekształcoego ekspeymetu losowego. Lteatua Dubos D., Pade H. 98. Ufa cos ad ecessty measues: towads a possblstc tepetato of hstogams. Fuzzy Sets ad Systems 0:5-0. Dubos D., Pade H Fuzzy sets ad statstcal data. Euopea J. Opeatoal Reseach 5: Dubos D., Pade H Possblty Theoy. appoach to computezed Pocessg of Ucetaty. New Yok: Pleum Pess. Hatley R.V.L. 98. Tasmsso of fomato. The Bell System Techcal J., 7: Hoele U. 98. Etopy wth espect to plausblty measues. Poc. th IEEE Ite. Symp. o Multple Valued-Logc: Hgash M., Kl G.J. 98. O the oto of dstace epesetg fomato closeess: Possblty ad pobablty dstbutos. Ite. J. Geeal Systems 9 (): 0-5. Kl G., Folga T Fuzzy Sests, Ucetaty ad Ifomato, Petce Hall. Kl G.J. 99. Developmets Uceaty-Based Ifomato. I dvaces Computes (M. C. Yovts Ed.) cademc Pess: Hacout Bace Jovaovch, New Yok. Lamat M.T. Moal S Measues of etopy the theoy of evdece. Ite. J. of Geeal Systems 4 (4): Mooe R Iteval alyss. Eglewood Clffs: Petce Hall. Shafe G Mathematcal Theoy of Evdece. Pceto Uvesty Pess, Pceto, New Jesey. Shao C.E. 948.The mathematcal theoy of Commucato. He Bell System Techcal Joual 7: 79-4, Yage R.R. 98. Etopy ad specfcty mathematcal theoy of evdece. Iteatoal Joual of Geeal Systems 9 (4): Zadeh L Fuzzy sets as a bass fo atheoy of possblty. Fuzzy Sets ad Systems (): -8.
ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI
ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI Opracował: M. Kweselewcz Zadeh (978) wprowadzł pojęce rozkładu możlwośc jako rozmyte ograczee, kóre odzaływuje w sposób elastyczy a wartośc przypsae daej zmeej. Defcja. Nech
Bardziej szczegółowoLaboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI
Laboatoum Metod tatystyczych ĆWICZENIE WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Oacowała: Katazya tąo Weyfkaca hotez Hoteza statystycza to dowole zyuszczee dotyczące ozkładu oulac. Wyóżamy hotezy: aametycze
Bardziej szczegółowoWspółczynnik korelacji rangowej badanie zależności między preferencjami
Współczyk korelacj ragowej badae zależośc mędzy preferecjam Przemysław Grzegorzewsk Istytut Badań Systymowych PAN ul. Newelska 6 01-447 Warszawa E-mal: pgrzeg@bspa.waw.pl Pla referatu: Klasycze metody
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
Bardziej szczegółowoPOPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki
PORZĄDKOWANIE WARIANTÓW PRZY NIEKOMPLETNYCH MACIERZACH PORÓWNAŃ PARAMI Mosław Kweselewcz Poltechka Gdańska Wydzał Elektotechk Automatyk PORZĄDKOWANIE WARIANTÓW PRZY NIEKOMPLETNYCH MACIERZACH PORÓWNAŃ PARAMI
Bardziej szczegółowo5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby
Bardziej szczegółowoPomiary parametrów napięć i prądów przemiennych
Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach
Bardziej szczegółowoTablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)
Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów,
Bardziej szczegółowoRóżniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
Bardziej szczegółowowww.bdas.pl Rozdział 3 Zastosowanie języka SQL w statystyce opisowej 1 Wprowadzenie
Rozdzał moogaf: 'Bazy Daych: Nowe Techologe', Kozelsk S., Małysak B., Kaspowsk P., Mozek D. (ed.), WKŁ 007 Rozdzał 3 Zastosowae języka SQL w statystyce opsowej Steszczee. Relacyje bazy daych staową odpowede
Bardziej szczegółowoPermutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2
Permutacje { 2,,..., } Defcja: Permutacją zboru lczb azywamy dowolą różowartoścową fukcję określoą a tym zborze o wartoścach w tym zborze. Uwaga: Lczba wszystkch permutacj wyos! Permutacje zapsujemy w
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)
Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?
Bardziej szczegółowoTESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).
TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu
Bardziej szczegółowoFizyka, technologia oraz modelowanie wzrostu kryształów
Fzyka, techologa oaz modelowae wzostu kyształów Stasław Kukowsk Mchał Leszczyńsk Istytut Wysokch Cśeń PA 0-4 Waszawa, ul Sokołowska 9/37 tel: 88 80 44 e-mal: stach@upess.waw.pl, mke@upess.waw.pl Zbgew
Bardziej szczegółowoJego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.
Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.
Bardziej szczegółowoWARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE
WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Czyiki wpływające a zmiaę watości pieiądza w czasie:. Spadek siły abywczej. 2. Możliwość iwestowaia. 3. Występowaie yzyka. 4. Pefeowaie bieżącej kosumpcji pzez człowieka. Watość
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa
Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1
Bardziej szczegółowo1. Relacja preferencji
dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x
Bardziej szczegółowoUOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie
B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety
Bardziej szczegółowoMonika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu
Bardziej szczegółowoŚrednia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne
Mary położea Średa arytmetycza Klasycze Średa harmocza Średa geometrycza Mary położea e Modala Kwartyl perwszy Pozycyje Medaa (kwartyl drug) Kwatyle Kwartyl trzec Decyle Średa arytmetycza = + +... + 2
Bardziej szczegółowoKONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny
KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych
Bardziej szczegółowoPlanowanie eksperymentu pomiarowego I
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym
Bardziej szczegółowoW loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:
Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach,
Bardziej szczegółowoEKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.
Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoROZKŁAD NORMALNY. 2. Opis układu pomiarowego. Ćwiczenie może być realizowane za pomocą trzech wariantów zestawów pomiarowych: A, B i C.
ĆWICZENIE 1 Opacowane statystyczne wynków ROZKŁAD NORMALNY 1. Ops teoetyczny do ćwczena zameszczony jest na stone www.wtc.wat.edu.pl w dzale DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABORATORYJNE (Wstęp do teo pomaów).
Bardziej szczegółowo3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz
Bardziej szczegółowoPodstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki
tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga
Bardziej szczegółowoPROPAGACJA NIEPEWNOŚCI W POMIARACH TEMPERATURY
PROBLEMS AND PROGRESS IN METROLOGY PPM 8 Coeece Dgest Eml BURCON Główy Uząd Ma Samodzele Laboatoum Temomet PROPAGACJA NIEPEWNOŚCI W POMIARACH TEMPERATURY Laboatoa akedytowae, wzocując czujk tempeatuy,
Bardziej szczegółowoopisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn
ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0
Bardziej szczegółowoMiary statystyczne. Katowice 2014
Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących
Bardziej szczegółowoObliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?
Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu 7 ze Statystyki
Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj
Bardziej szczegółowoFINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.
ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja
Bardziej szczegółowoStatystyczne charakterystyki liczbowe szeregu
Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc
Bardziej szczegółowowyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=
ESTYMATOR WARIANCJI I DYSPERSJI Ozaczmy: µ wartość oczekwaa rozkładu gauowkego wyków pomarów (wartość prawdzwa merzoej welkośc σ dyperja rozkładu wyków pomarów wyk er pomarów (,..., Stoując metodę ajwękzej
Bardziej szczegółowoRegresja REGRESJA
Regresja 39. REGRESJA.. Regresja perwszego rodzaju Nech (, będze dwuwyarową zeą losową, dla które steje kowaracja. Nech E( y ozacza warukową wartość oczekwaą zdefowaą dla przypadku zeych losowych typu
Bardziej szczegółowoBADANIE CHARAKTERYSTYKI DIODY PÓŁPRZEWODNIKOWEJ
Fzyka cała stałego, Elektyczość magetyzm BADANIE CHARAKTERYTYKI DIODY PÓŁPRZEWODNIKOWEJ 1. Ops teoetyczy do ćwczea zameszczoy jest a stoe www.wtc.wat.edu.pl w dzale DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABORATORYJNE..
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
Bardziej szczegółowoL.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x
Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoMatematyczny opis ryzyka
Aalza ryzyka kosztowego robót remotowo-budowlaych w warukach epełe formac Mgr ż Mchał Bętkowsk dr ż Adrze Powuk Wydzał Budowctwa Poltechka Śląska w Glwcach MchalBetkowsk@polslpl AdrzePowuk@polslpl Streszczee
Bardziej szczegółowoPODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE
Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka
Bardziej szczegółowoMODELE OBIEKTÓW W 3-D3 część
WYKŁAD 5 MODELE OBIEKTÓW W -D część la wykładu: Kocepcja krzywej sklejaej Jedorode krzywe B-sklejae ejedorode krzywe B-sklejae owerzche Bezera, B-sklejae URBS 1. Kocepcja krzywej sklejaej Istotą z praktyczego
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze
Bardziej szczegółowoModele wartości pieniądza w czasie
Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku
Bardziej szczegółowoStatystyka Inżynierska
Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe
Bardziej szczegółowoIV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE
IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE 4.. Rozkład zmeej losowej dwuwymarowej Defcja 4.. Uporządkowaą parę (X, Y) azywamy zmeą losową dwuwymarową, jeśl każda ze zmeych X Y jest zmeą losową. Defcja 4.. Fukcję
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADOWE TEMATY ZADAŃ PROJEKTOWYCH
PRZYKŁADOWE TEMATY ZADAŃ PROJEKTOWYCH Z PRZEDMIOTU EWOLUCYJNE METODY OPTYMALIZACJI. Rozwązać zadae zadaa załaduku (plecakowego z ograczeam a dopuszczale wymary oraz cężar []: a algorytmem symulowaego wyżarzaa.
Bardziej szczegółowoMiary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej
Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
Bardziej szczegółowoWyrażanie niepewności pomiaru
Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway
Bardziej szczegółowoAKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Istytut Iżyer Ruchu Morskego Zakład Urządzeń Nawgacyjych Istrukcja r 0 Wzory do oblczeń statystyczych w ćwczeach z radoawgacj Szczec 006 Istrukcja r 0: Wzory do oblczeń statystyczych
Bardziej szczegółowoWyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym.
Wyzaczae oporu aczyowego kaplary w przepływe lamarym. I. Przebeg ćwczea. 1. Zamkąć zawór odcający przewody elastycze a astępe otworzyć zawór otwerający dopływ wody do przewodu kaplarego. 2. Ustawć zawór
Bardziej szczegółowoVI. TWIERDZENIA GRANICZNE
VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych
Bardziej szczegółowoPortfel złożony z wielu papierów wartościowych
Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe
Bardziej szczegółowoJEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
Bardziej szczegółowoPOLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4
POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 INETYCJE LINIOE - ŁUŻEBNOŚĆ PRZEYŁU I BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI 1. PROADZENIE 1.1. Nejszy stadard przedstawa reguły
Bardziej szczegółowoMETODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH
POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych
Bardziej szczegółowoBadania Maszyn CNC. Nr 2
Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc
Bardziej szczegółowoRelacyjny model danych. Relacyjny model danych
Pla rozdzału Relacyjy model daych Relacyjy model daych - pojęca podstawowe Ograczea w modelu relacyjym Algebra relacj - podstawowe operacje projekcja selekcja połączee operatory mogoścowe Algebra relacj
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Zadae. W kolejych okresach czasu t =, ubezpeczoy, charakteryzujący sę parametrem ryzyka Λ, geeruje N t szkód. Dla daego Λ = λ zmee N, N są warukowo ezależe mają (brzegowe) rozkłady Possoa: k λ Pr( N t
Bardziej szczegółowoPŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej
PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m
Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee
Bardziej szczegółowoBQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE
BQR FMECA/FMEA Przed rozpoczęcem aalzy ależy przeprowadzć dekompozycję systemu a podsystemy elemety. W efekce dekompozycj uzyskuje sę klka pozomów: pozom systemu, pozomy podsystemów oraz pozom elemetów.
Bardziej szczegółowoSTATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt
STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake
Bardziej szczegółowof f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu
METODA RÓŻIC SKOŃCZOYCH (omówee a przykładze rówań lowych) ech ( rówaa różczkowe zwyczaje lowe I-rz.) lub jedo II-rzędu f / / p( x) f / + q( x) f + r( x) a x b, f ( a) α, f ( b) β dea: a satce argumetu
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów
Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego
Bardziej szczegółowoELEMENTY MATEMATYKI FINANSOWEJ. Wprowadzenie
ELEMENTY MATEMATYI FINANSOWEJ Wpowadzeie Pieiądz ma okeśloą watość, któa ulega zmiaie w zależości od czasu, w jakim zostaje o postawioy do aszej dyspozycji. Watość tej samej omialie kwoty będzie ia dziś
Bardziej szczegółowo8.1 Zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego
Rozdzał 8 Cąg szereg fukcyje 8.1 Zbeżość cągu szeregu fukcyjego Dla skrócea zapsu przyjmjmy pewe ozaczee. Defcja. Nech X, Y. Przez Y X ozaczamy zbór wszystkch fukcj określoych a zborze X o wartoścach w
Bardziej szczegółowo. Wtedy E V U jest równa
Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo
Bardziej szczegółowo( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
Zadae. Nech Nech (, Y będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc 4 x + xy gdy x ( 0, y ( 0, f ( x, y = 0 w przecwym przypadku. S = + Y V Y E V S =. =. Wyzacz ( (A 0 (B (C (D (E 8 8 7 7 Zadae. Załóżmy,
Bardziej szczegółowoTARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA
Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej
Bardziej szczegółowoSprawdzenie stateczności skarpy wykopu pod składowisko odpadów komunalnych
Sprawdzee stateczośc skarpy wykopu pod składowsko odpadów koualych Ustalee wartośc współczyka stateczośc wykoae zostae uproszczoą etodą Bshopa, w oparcu o poższą forułę: [ W s( α )] ( φ ) ( φ ) W ta F
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae. Rzucamy symetryczą moetą ta długo aż dóch olejych rzutach pojaą sę resz. Oblcz artość oczeaą lczby yoaych rzutó. (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) (E) 6 Wsazóa: jeśl rzuce umer
Bardziej szczegółowoElementy arytmetyki komputerowej
Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych... 3. Przegląd wybraych systemów
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 5 Szereg rozdzelczy przedzałowy (dae pogrupowae) (stosujemy w przypadku dużej lczby epowtarzających sę daych) Przedzał (w ; w + ) Środek x& Lczebość Lczebość skumulowaa s
Bardziej szczegółowoZmiana bazy i macierz przejścia
Auomaya Roboya Algebra -Wyład - dr Adam Ćmel cmel@agh.edu.pl Zmaa bazy macerz prześca Nech V będze wymarową przesrzeą lową ad całem K. Nech Be e będze bazą przesrze V. Rozważmy ową bazę B e... e. Oczywśce
Bardziej szczegółowoKALIBRACJA NIE ZAWSZE PROSTA
KALIBRACJA NIE ZAWSZE PROSTA Potr Koeczka Katedra Chem Aaltyczej Wydzał Chemczy Poltechka Gdańska S w S C -? C w Sygał - astępstwo kosekwecja przeprowadzoego pomaru główy obekt zateresowań aaltyka. Cel
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych
dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby
Bardziej szczegółowo+Ze (Z-1)e. Możliwe sytuacje: 1) orbita nie penetrująca kadłuba
Atomy weloelektoowe: ekulombowsk potecał (cetaly) kedy? ektóe atomy weloelektoowe (p. alkalcze) maą elekto w śede odległ. od ąda >> ż odległośc pozostałych elektoów, el. walecyy kadłub atomu Róże stay
Bardziej szczegółowoOKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)
Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja
Bardziej szczegółowok k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2
Pojęce przedzału ufośc Przyład: Rozważmy pewe rzad proces (tz. ta tórego lczba zajść podlega rozładow Possoa). W cągu pewego czasu zaobserwowao =3 tae zdarzea. Oceć możlwy przedzał lczby zdarzeń tego typu
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5
L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 11 OPTYMALIZACJA WIELOKRYTERIALNA
WYKŁAD OPTYMALIZACJA WIELOKYTEIALNA Wstęp. W wielu pzypadkach pzy pojektowaniu konstukcji technicznych dla okeślenia ich jakości jest niezędne wpowadzenie więcej niż jednego kyteium oceny. F ) { ( ), (
Bardziej szczegółowoTMM-2 Analiza kinematyki manipulatora metodą analityczną
Opracował: dr ż. Przemysław Szumńsk Laboratorum Teor Mechazmów Automatyka Robotyka, Mechatroka TMM- Aalza kematyk mapulatora metodą aaltyczą Celem ćwczea jest zapozae sę ze sposobem aalzy kematyk mechazmu
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. I Pracownia IF UJ Marzec 2017
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Marzec 07 PODRĘCZNIKI Wstęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawctwo Naukowe PWN Warszawa 999
Bardziej szczegółowoWSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW
WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW U podstaw wszystkch auk przyrodczych leży zasada: sprawdzaem wszelkej wedzy jest eksperymet, tz jedyą marą prawdy aukowej jest dośwadczee Fzyka, to auka
Bardziej szczegółowo