MIARY NIEZAWODNOŚ CIOWEJ I STRUKTURALNEJ ISTOTNOŚ CI ELEMENTÓW

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUKOWE AKADEM MARYNARK WOJENNEJ ROK XLV NR 3 (66) 6 Agata Załęska-Foral Akadema Maryark Wojeej MARY NEZAWODNOŚ COWEJ STRUKTURALNEJ STOTNOŚ C ELEMENTÓW STRESZCZENE W artykule zdefowao wyzaczoo strukturalą ezawodoścową stotość elemetów dla obektów o różyc strukturac ezawodoścowyc. Zdefowao także stotość zdarzeń bazowyc w drzewac zdarzeń (uszkodzeń). WSTĘP Zapewee ezawodośc bezpeczego dzałaa dużyc złożoyc systemów ma ogrome zaczee w aalze systemów. Aby poprawć ezawodość systemu ależy zaleźć odpowedź a pytae które elemety mają ajwększy wpływ a jego ezawodość. W systemac koeretyc ektóre elemety są bardzej stote od yc w określau sprawośc systemu. Elemet połączoy szeregowo z resztą systemu mus być co ajmej tak samo zaczący jak każdy y. stotą sprawą dla projektata czy aaltyka ezawodoścowego jest zatem zajomość stotośc poszczególyc elemetów systemu. W tym celu musmy zać odpowedą marę wpływu elemetu a ezawodość całego systemu. Od 96 roku wprowadzoo wele różyc defcj mar stotośc elemetów. Struktura systemu Zakładamy że w sese ezawodoścowym obekt (system) składa sę z elemetów. Nec { } C... ozacza zbór elemetów systemu. 37

2 Agata Załęska-Foral Zakładamy róweż że zbór staów k-tego elemetu jest uporządkowaym zborem S k { } k C przy czym lczbę przyporządkowujemy staow ezdatośc a lczbę staow zdatośc elemetu. Fukcję : S... S S azywamy fukcją struktury systemu lub strukturą systemu. Fukcja ta przyporządkowuje staom elemetów sta systemu przy czym S... S { x ( x x... x ) : xk S k k C}. Sta elemetu k w cwl t jest opsay zmeą losową X k (t) która przyjmuje wartośc ze zboru S k. Sta S(t) całego systemu w czase t jest całkowce wyzaczoy przez stay jego elemetów poprzez strukturę : S( t) ( X( t)) X( t) ( X ( t) X ( t)... X ( t)). Elemet azywamy pasywym dla struktury jeśl jest stała w x ; to zaczy że dla każdego ( x) x ) x... x x... x zacodz ( ) ( x) ( x); ( + przy czym x) (... x x... x ); ( x + x) (... x x... x ). ( x + ym słowy elemet jest pasywy jeśl jego sta e ma wpływu a sta systemu. Systemy zawerające co ajmej jede elemet pasywy azywamy redukowalym. Fukcja struktury jest emalejąca wtedy tylko wtedy gdy ( x) ( x) są fukcjam emalejącym oraz ( x) ( x) dla każdego ( x). Moża wykazać [] że dla każdej struktury zacodz astępujący wzór: ( x) x ( x) + ( x ) ( x). () 38 Zeszyty Naukowe AMW

3 Mary ezawodoścowej strukturalej stotośc elemetów Przykład. Nec ( x x ) x + x xx będze strukturą rówoległą złożoą z dwóc elemetów. Wzór przyjmuje w tym wypadku astępującą postać: ( x x ) x ( x ) + x ( x ) + x ( x ) x + x ( x ) x x ( x ) ( x ( x x ( x ) ) + ) + + x + x x x. Struktury koerete W pracy ograczymy sę do rozpatrywaa struktur które są fukcjam emalejącym. Struktury take azywamy mootoczym. Ne będzemy rozważać struktur któryc sta e zależy od stau c elemetów. Mówmy że system jest koerety jeśl jego struktura jest mootocza eredukowala. Jeżel system ma strukturę koeretą to ( ) oraz ( ). Podzbór P C systemu ( C ) azywa sę śceżką systemu (śceżką zdatośc systemu) gdy przy zdatośc wszystkc elemetów ależącyc do tego zboru system jest w stae zdatośc. Śceżkę azywamy mmalą gdy e zawera żadej ej śceżk jako podzboru właścwego. Śceżkę P azywamy krytyczą ze względu a elemet C gdy P {} e jest śceżką. Ozacza to że utrata zdatośc przez -ty elemet systemu zdatego dlatego że zdate są wyłącze elemety tworzące daą śceżkę powoduje utratę zdatośc przez system. Każda mmala śceżka jest krytycza ze względu a dowoly swój elemet. Podzbór K C systemu ( C ) azywa sę cęcem gdy w astępstwe ezdatośc wszystkc elemetów z K system jest ezdaty. Cęce azywamy mmalym jeżel e zawera żadego ego cęca jako podzboru właścwego. Strukturą mmalej śceżk P j j... p azywamy fukcję barą określoą wzorem π ( x) x P j. () Struktura mmalej śceżk przyjmuje wartość gdy wszystke jej elemety są zdate wartość w przecwym przypadku. 3 (66) 6 39

4 Agata Załęska-Foral Strukturą mmalego cęca określoą wzorem κ ( x) C x K j K j j... k azywamy fukcję barą (3) gdze symbol C jest skrótem zapsu astępującyc dzałań: C x xc x ( x ) ( x )( x Struktura mmalego cęca przyjmuje wartość gdy ezdate są wszystke elemety tworzące cęce a wartość w pozostałyc przypadkac. Strukturę systemu moża przedstawć za pomocą struktur jej mmalyc śceżek ). ( x) C p j π j ( x) (4) co odpowada rówoległej strukturze utworzoej z mmalyc śceżek. Moża ją też przedstawć za pomocą struktur mmalyc cęć ( x) κ ( x) k j j (5) co odpowada szeregowej strukturze utworzoej z mmalyc cęć. Drzewa zdarzeń (uszkodzeń ) Rozważmy alteratywe do poprzedc przedstawee struktury koeretej zwae drzewem zdarzeń (uszkodzeń). Metoda drzewa uszkodzeń polega a dekompozycj zdarzea (p. uszkodzea obektu) a elemety łańcuca przyczyowo-skutkowego w tak sposób że u podstawy drzewa uszkodzeń zajdują sę zdarzea elemetare które mogą być przyczyą zdarzea staowącego werzcołek drzewa. Drzewo uszkodzeń umożlwa zaobserwowae zwązku mędzy uszkodzeem systemu a jego przyczyam. Jeżel zamy prawdopodobeństwa uszkodzeń elemetów systemu możemy oblczyć jego ezawodość. 4 Zeszyty Naukowe AMW

5 Mary ezawodoścowej strukturalej stotośc elemetów Kostruowae drzewa uszkodzeń rozpoczya sę od zdarzea szczytowego z zastosowaem bramek logczyc AND OR oraz zdarzeń bazowyc reprezetującyc uszkodzea sprzętu lub błędy człoweka. Sygał wyjścowy pojaw sę a bramce AND wtedy gdy a wejścu podae zostaą wszystke sygały p. obekt jest uszkodzoy jeśl wszystke elemety obektu są uszkodzoe. Sygał pojaw sę a bramce OR gdy a wejścu poday zostae co ajmej jede sygał p. obekt zostae uszkodzoy jeżel co ajmej jede elemet obektu jest uszkodzoy. Drzewo zdarzeń ozacza dzałae a zdarzeac a zatem w aalze drzewa uszkodzeń wykorzystuje sę algebrę Boola. Cęcem dla drzewa zdarzeń jest zbór zdarzeń bazowyc któryc wystąpee powoduje wystąpee zdarzea szczytowego. Cęce jest mmale jeżel e może być zredukowae powoduje wystąpee zdarzea szczytowego. Cęce jest krytycze dla zdarzea bazowego jeżel każde cęce mmale zawera. Jeżel zdarzee szczytowe ozacza uszkodzee systemu (drzewo uszkodzeń) a zdarzea bazowe odpowadają uszkodzeom elemetów wówczas defcja cęca jest detycza z defcją cęca dla struktury koeretej. W aalze drzew zdarzeń wykorzystuje sę pojęce dualego drzewa zdarzeń. Jedym z powodów aby to zrobć jest fakt że mmale śceżk daego drzewa są mmalym cęcam drzewa dualego. Śceżką azywamy zbór zdarzeń któryc ewystąpee spowoduje że e zajdze zdarzee szczytowe. STOTNOŚĆ STRUKTURALNA ELEMENTÓW W daym systeme koeretym ektóre elemety są bardzej stote od yc w określau sprawośc systemu. Jak stoty jest elemet w określeu czy system jest zdaty czy e? Po perwsze załóżmy że zamy sta wszystkc pozostałyc elemetów ( x). Wtedy jeżel ( x) a ( x) to zaczy jeżel ( x) ( x) (6) możemy przyjąć że elemet jest bardzej stoty ż jeżel ( x ) ( x) (7) lub ( x ) ( x). (8) 3 (66) 6 4

6 Agata Załęska-Foral W perwszym przypadku sta elemetu określa czy system jest sprawy czy e atomast w przypadkac (7) (8) sta elemetu jest bez zaczea. Gdy zacodz (6) wektor ( x) azywamy wektorem śceżk krytyczej dla. Całkowtą lczbę wektorów śceżek krytyczyc dla elemetu ozaczamy astępująco ( ) [ ( x ) ( x )]. (9) ( x ) Poższy wzór określa możlwy pomar strukturalej stotośc elemetu : ( ) ( ) [ ( x) ( x)]. () { x x } Stąd dla daej struktury możemy uporządkować elemety systemu według strukturalej stotośc poprzez uporządkowae wartośc ( )... ( ). Przykł ad. Nec będze strukturą progową z 3. Wtedy ( ) poeważ wśród czterec możlwośc: () () () () są dwe śceżk krytycze dla elemetu perwszego maowce () (). Symetrycze ( ) (3). Przykł ad 3. Nec x) x ( x C ). Wtedy ( x3 3 ( ) Zeszyty Naukowe AMW

7 Mary ezawodoścowej strukturalej stotośc elemetów poeważ wśród czterec możlwośc: () () () () są trzy śceżk krytycze dla elemetu perwszego () () (). Dla elemetu drugego ( ) 4 poeważ wśród czterec możlwośc: () () () () jest tylko jeda śceżka krytycza dla elemetu drugego maowce (). Symetrycze ( 3). 4 Zauważmy że elemet perwszy jest wyraźe bardzej stoty ż elemet drug czy trzec. Jest to zgode z oczekwaam poeważ elemet perwszy jest połączoy szeregowo z resztą systemu. STRUKTURALNE UPORZĄDKOWANE ZDARZEŃ BAZOWYCH W DRZEWACH ZDARZEŃ W poprzedej częśc określlśmy strukturalą stotość elemetów w strukturac koeretyc. Podobą marę stotośc dla zdarzeń bazowyc możemy zdefować dla drzew zdarzeń. Mara ta jest ezależa od prawdopodobeństw zdarzeń bazowyc. Nec y gdy wystąp zdarzee oraz y w przecwym przypadku. Wektor y ( y y... y ) jest wektorem rezultatów zdarzeń bazowyc. Określmy fukcję ψ ( y) : gdy zajdze zdarzee szczytowe w przecwym przypadku. Załóżmy że żade ze zdarzeń bazowyc e jest pasywe. Jeżel zdarzee bazowe odpowada uszkodzeu elemetu a zdarzee szczytowe uszkodzeu systemu wtedy y odpowada x gdze x ozacza że elemet jest zdaty. Fukcja ψ (y) odpowada zatem ( x) gdze jest fukcją struktury. 3 (66) 6 43

8 Agata Załęska-Foral Podobe jak dla struktur koeretyc także dla drzewa uszkodzeń rozpatrujemy stotość zdarzeń bazowyc. Nec () ozacza lczbę cęć krytyczyc dla elemetu. stotość zdarzea w drzewe zdarzeń określa wzór ( ) ( ) : ( ) () gdze ozacza lczbę zdarzeń bazowyc w daym drzewe zdarzeń. Nec Y ( Y Y... Y ) będze losowym wektorem rezultatów zdarzeń bazowyc. Aby wylczyć () załóżmy że Y... są statystycze ezależe oraz E ( Y ) E( Y ). Wtedy ( ) E[ ψ ( Y) ψ ( Y)]. () NEZAWODNOŚCOWA STOTNOŚĆ ELEMENTÓW Do tej pory rozpatrywalśmy mary dla któryc ocea stotośc operała sę tylko a zajomośc struktury systemu. Do określea ezawodoścowej stotośc każdego elemetu potrzeba jest e tylko zajomość struktury systemu ale także ezawodośc poszczególyc jej elemetów. Załóżmy że system jego elemety są zdefowae przez bare zmee losowe. Nec X... będą ezależym zmeym losowym takm że: oraz X P elemet jest zdaty w ustaloej cwl elemet jest ezdaty w ustaloej cwl k k [ X k]: r ( r ) dla k ;... t t gdze r ozacza ezawodość elemetu. Wtedy P X ] r E( X ). (3) [ 44 Zeszyty Naukowe AMW

9 Mary ezawodoścowej strukturalej stotośc elemetów Wyka stąd że ezawodość systemu moża wyzaczyć tylko wówczas gdy zamy łączy rozkład wektora X ( X... X ) określającego sta elemetów systemu oraz strukturę systemu. Maowce P [ ( X) ] E( ( X)). (4) W przypadku gdy elemety są ezależe (tz. ezależe są składowe wektora X opsujące sta poszczególyc elemetów) ezawodość systemu możemy przedstawć jako fukcję ezawodośc jego elemetów czyl (r) (5) gdze (r) ozacza ezawodość struktury. Jeżel używać zapsu (r). r... r r będzemy Z prawa dekompozycj struktury [] wyka możlwość zapsaa ezawodośc struktury w postac: ( r ) r( r) + ( r ) ( r) dla.... (6) Brbaum (969) jako perwszy wprowadzł ezawodoścową stotość elemetów. Mara ta wyraża sę wzorem [5]: ( r) [ ( r)] ( ) :.... (7) r [ r ] W przypadku gdy ezae są ezawodośc elemetów otrzymujemy wzór opsujący stotość strukturalą: ( r) ( ) r r... r.... Czasam wygodej jest stosować uormowaą marę stotośc ezawodoścowej dla zboru elemetów: ( ) ( ) ( j) S j... 3 (66) 6 45

10 Agata Załęska-Foral Rówoważą defcją stotośc ezawodoścowej jest lub precyzyjej ( ) : ( r) ( r) (8) () E[ ( X ) ( X) ] :. (9) Dla systemu koeretego w którym ezawodość każdego elemetu jest lczbą ależącą do przedzału ( ) stotość ezawodoścowa elemetu róweż zawera sę w przedzale ( ). Z (9) wyka że [ ( X) ( ) ]. ( ) P X () Rzeczywśce r) ( r) E[ ( X) ( X) ] ( X) ( X) ( ) ( P[ ]. Ze wzoru () woskujemy że () moża terpretować jako prawdopodobeństwo przebywaa systemu w takm stae w który jest o esprawy jeśl elemet jest esprawy. Przykł ad 4. Załóżmy że ezawodośc elemetów zostały uporządkowae w sposób emalejący czyl r r... r. ) System o strukturze szeregowej: Jeżel (r ) to r ( ) r j j ( r) r oraz ( ) ()... ( ) zatem elemet o ajmejszej ezawodośc jest ajstotejszy dla całego systemu. 46 Zeszyty Naukowe AMW

11 Mary ezawodoścowej strukturalej stotośc elemetów ) System o strukturze rówoległej: Jeżel ( r ) C r to ( r) ( ) ( r ) r j j oraz ( ) ()... ( ) a zatem elemet o ajwększej ezawodośc jest dla całego systemu ajstotejszy. 3) System progowy z 3 : Dla z 3 ( r ) r r + r r3 + r r3 r r r3. Zatem ( ) r + r r3 r ( ) r r 3 + r3 r 3 ( 3) r + r. r r Jeżel r dla 3 to ( 3) () () czyl elemet o ajwyższej ezawodośc jest ajstotejszy dla całego systemu. Jeżel r dla 3 to ( ) () (3) czyl elemet o ajższej ezawodośc jest dla tego systemu ajstotejszy. 4) Ogóle dla systemu progowego k z (system uszkadza sę jeśl co ajmej k elemetów jest uszkodzoyc) mamy x x x x ( r) r Lr ( r ) L( r ) x: x + x x > k x x x x ( ) r Lr ( r ) L( r ) r x: x x + x x > k a stotość strukturala: 3 (66) 6 47

12 Agata Załęska-Foral ( )! ( ) k ( k )!( k)!. 5) System o strukturze ( x) ( x C x ) x3 dla którego ( r) [( rr )( r3)] lub ( r ) r r + r3r r r3. Zatem ( ) r r r3 ( ) r r r3 ( 3) r r. Jeżel r dla 3 to ( 3) () (). Jeżel (3) jest róweż ajwększa. r dla 3 to Ze wzoru (8) wyka że () e zależy od ezawodośc elemetu tz. zawode ezawode elemety mają taką samą stotość. Dlatego też Rab Czerkesow w 98 roku wprowadzl marę określającą wpływ daego elemetu a ezawodość całego systemu: ( ) r ( ).... R Cz Łatwo zauważyć że dla systemów o elemetac carakteryzującyc sę wysoką ezawodoścą ( r ) mara ta ma praktycze take samo zaczee jak (). Bardzej aturale wydaje sę zatem wprowadzee astępującej defcj: RCz ( ) ( r ) ( ).... m wększą ezawodość ma elemet tym mejszy wpływ a zawodość systemu. Marę krytyczej stotośc wprowadzł w 975 roku Lambert: L ( r ) ( ) ( ). ( r) 48 Zeszyty Naukowe AMW

13 Mary ezawodoścowej strukturalej stotośc elemetów Mara ta jak wdać róż sę od sę od R Cz () tylko stałym możkem [ ( r)]. W 97 roku Vesely a w 975 roku Fussell wprowadzl marę stotośc ezawodoścowej: V F ( r) ( ) ( r) gdze ( r) jest prawdopodobeństwem uszkodzea systemu jeśl wszystke elemety mmalego cęca zawerającego elemet są uszkodzoe. e mary stotośc ezawodoścowej zapropoował Natvg ( ). Wszystke operają sę a de że ajstotejszym elemetem systemu jest te którego uszkodzee z ajwększym prawdopodobeństwem zmejsza czas uszkodzea systemu. Mary stotośc Natvga zostały uogóloe a systemy aprawale. Jedakże wzory aaltycze moża otrzymać tylko dla bardzo prostyc systemów aprawalyc. Dla systemów złożoyc musmy korzystać z metod statystyczyc. WNOSK Mary ezawodoścowej stotośc elemetów zostały wprowadzoe dla prostyc systemów dla któryc aaltyczy sposób wylczea () e staow problemu. Natomast dla systemów bardzo złożoyc lub dla przypadków bardzej realstyczyc (zależe aprawale elemety czasy zdatośc elemetów emające rozkładu wykładczego) e moża c stosować. Mara Brbauma () stała sę jedak puktem wyjśca dla przyszłyc poszukwań bardzej dogodyc defcj stotośc ezawodoścowej elemetów systemów. Mary stotośc elemetów opsae w pracy zostały wprowadzoe dla systemów eaprawalyc z ezależym elemetam. Metody aaltycze są oparte a zasadze wyzaczaa mmalyc cęć. W przypadku systemów rzeczywstyc z aprawalym zależym elemetam metody aaltycze są praktycze emożlwe do zastosowaa. 3 (66) 6 49

14 Agata Załęska-Foral BBLOGRAFA [] Barlow R. E. Prosca F. mportace of system compoets ad fault tree evets Stoc. Proc. Appl. 975 No 3 pp [] Barlow R. E. Prosca F. Matematcal Teory of Relablty Jo Wley & Sos New York 965. [3] Barlow R. E. Prosca F. Statstcal Teory of Relablty ad Lfe Testg Jo Wley & Sos New York 97. [4] Bobrowsk D. Modele metody aaltycze w teor ezawodośc Warszawa 985. [5] Kowaleko. N. Kuzecow N. J. Pegg P. A. Matematcal Teory of Relablty of Tme Depedet Systems wt Practcal Applcatos Jo Wley & Sos Ltd. Eglad 997. [6] Załęska-Foral A. Kostruowae badae probablstyczyc model ezawodośc eodawalyc złożoyc obektów tecczyc rozprawa doktorska Gdya 998. [7] Załęska-Foral A. Structural ad relablty mportace of compoets of te systems 3rd Safety ad Relablty teratoal Coferece KONBN 3 Gdya May Vol. pp. 7. ABSTRACT Te paper defes ad determes te structural mportace of te compoets for te systems of varous structures. t also defes te relablty mportace of te compoets for some structures of systems ad te evet tree mportace of te basc evets. Some llustratg examples are preseted. Recezet prof. dr ab. Krzysztof S. Kołowrock 5 Zeszyty Naukowe AMW