INTELIGENTNE STEROWANIE RUCHEM ROBOTA MANIPULACYJNEGO Z WIĘZAMI GEOMETRYCZNYMI
|
|
- Robert Olszewski
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 5 ISSN X INTELIGENTNE STEROWANIE RUCHEM ROBOTA MANIPULACYJNEGO Z WIĘZAMI GEOMETRYCZNYMI Piotr Gierlk 1 Mgdlen Mszyńsk 1b 1 Ktedr Mechniki Stosownej i Robotyki Politechnik Rzeszowsk pgierlk@prz.ed.pl b mgdw@prz.ed.pl Streszczenie W niniejszej prcy do rozwiązni problem sterowni rchem robot mniplcyjnego z nrzconymi więzmi holonomicznymi zstosowno inteligentny neronowo-rozmyty kłd sterowni. Celem tego kłd jest proksymcj nieliniowości dynmiki robot mniplcyjnego przeprowdzn po to by wygenerowć sterownie kompenscyjne. Ukłd sterowni zprojektowno tk by n bieżąco modyfikowł swoje włściwości przy zmiennych wrnkch prcy dwczłonowego robot mniplcyjnego. Bdni symlcyjne zostły przeprowdzone dl przypdk kiedy końcowy pnkt robot mniplcyjnego przemieszcz się po torze w ksztłcie okręg i wywier ncisk n powierzchnię kontkt. Słow klczowe: mnipltor logik rozmyt sieci neronowe INTELLIGENT CONTROL OF ROBOTIC MANIPULATOR MOVEMENT WITH GEOMETRICAL CONSTRAINTS Smmry In this pper to solve the problem of the control of the robotic mnipltor movement with holonomicl constrints the intelligent control system ws sed. This system is nderstood s hybrid controller being combintion of fzzy logic nd rtificil nerl network. The prpose of the nero-fzzy system is pproximtion of nonlinerity of the robotic mnipltor s dynmic to generte compensting control. Control system is designed is sch wy to modify their properties nder different operting conditions of two-link mnipltor. Simltion stdies were crried ot for the cse when the tip of the mnipltor moves long pth in the shpe of circle nd exerts pressre on the contct srfce. Keywords: mnipltor fzzy logic nerl network 1. WSTĘP Zgdnienie sterowni rchem robot mniplcyjnego z ogrniczenimi wynikjącymi z kontkt końcówki mnipltor z otoczeniem corz częściej znjdje prktyczne zstosownie w robotyzcji procesów przemysłowych [3 5]. W tkich przypdkch istotnego znczeni nbierją siły interkcji pomiędzy końcówką roboczą mnipltor i środowiskiem w którym dził robot. Siły te powstją w pnkcie styk końcówki robot z otoczeniem i są to siły normlne i styczne do tzw. powierzchni styk. W cel poprwnej relizcji proces sterowni siły interkcji normlne do powierzchni styk nleży kontrolowć. Jednocześnie odbyw się sterownie rchem końcówki mnipltor po powierzchni styk. Prowdzi to do tzw. sterowni hybrydowego pozycyjno-siłowego [4 5]. Roboty mniplcyjne są kłdmi o nieliniowym opisie dynmiki dodtkowo występje problem niepewności modelowni. W cel poprwnej relizcji proces sterowni tkim kłdem prwo sterowni powinno względnić kompenscję nieliniowości sterownego obiekt [4]. Współcześnie dostępne są nowoczesne techniki sterowni kłdmi nieliniowymi które bzją n teorii kłdów dptcyjnych [1 5 6] orz odpornych. Są one szczególnie przydtne w zgdnienich sterow- 19
2 INTELIGENTNE STEROWANIE RUCHEM ROBOTA MANIPULACYJNEGO ni w przypdkch tkich jk nlizowny w niniejszym rtykle. W niniejszej prcy do rozwiązni problem sterowni rchem robot mniplcyjnego z nrzconymi więzmi holonomicznymi zstosowno inteligentny kłd sterowni rozminy jko sterownie hybrydowe będące połączeniem logiki rozmytej i sztcznych sieci neronowych. Celem kłd neronowo-rozmytego jest proksymcj nieliniowości dynmiki robot mniplcyjnego przeprowdzon po to by wygenerowć sterownie kompenscyjne. 2. OPIS DYNAMIKI OBIEKTU Obiektem sterowni jest dwczłonowy robot mniplcyjny którego schemt pokzno n rys.1. gdzie i to prmetry zleżne od geometrii i rozkłd ms kłd orz współczynników oporów rch 1 i 2 to momenty npędzjące człony d1 i d2 to zkłóceni λ mnożnik Lgrnge w tym przypdk to sił normln do powierzchni więzów. W zpisie mcierzowym równnie (5) m formę [7]: Mqq& Cqq'q' Fq'Gq t J qλ (6) Wprowdzenie więzów (3) zredkowło liczbę stopni swobody z 2 do 1 ztem rch mnipltor może być opisny przy pomocy rbitrlnie wybrnej zredkownej współrzędnej pozycji θ1=q1. Z przyjętych ogrniczeń wynik współrzędn zleżn tk że θ q γq q rccos 89 :; < 9 :; 9 9 ; < ; 9 q'2 q' 1 q& 2 q& 1 (7) Definije się jkobin rozszerzony L wiążący prędkości kłd nieogrniczonego i ogrniczonego w nstępjący sposób: q' Lθ'! 1 θ' (8)?A <?γ@ < Rys. 1. Mnipltor dwczłonowy z ogrniczeniem Kinemtyk mnipltor we współrzędnych xy opisn jest równniem: y x y kq l cosq l cosq l sinq l sinq (1) gdzie qq q to wektor współrzędnych ogólnionych robot l l to dłgości członów robot. Przyjęto że pnkt C mnipltor będzie porszł się po powierzchni opisnej równniem: hkx y R (2) Jest to równnie więzów holonomicznych nrzconych n końcówkę mnipltor które we współrzędnych ogólnionych m postć: hql l 2l l cosq q R (3) Jkobin związny z nrzconymi ogrniczenimi m formę: Jq hq q! hq hq q q 2l l sinq q 2l l sinq q (4) Dynmiczne równni rch tego robot możn przedstwić w postci nstępjącego równni: cosq q q& cosq q % q& sinq q q' q' (q' sinq q q' q' ) q' *cosq + cosq 2l l sinq q λ (5) 2l l sinq q W nlizownym przypdk L=[1 1] T. Podstwijąc zleżność γ(q1) i wzór (8) do równni dynmiki mnipltor (5) otrzymno: h θ& h! B1h θ' θ'! (θ' % B1h θ' ) θ' + cosθ rccosh! 2l l 1h λ (9) 2l l 1h gdzie h 89 :; 9 < :; 9 9. Mnożąc zleżność (9) przez L T ; < ; 9 i wykorzystjąc fkt że JL= zpisno L h θ& h L! B1h θ' θ' L! (θ' % B1h θ' ) θ' L + cosθ rccosh L L (1) w zpisie mcierzowym gdzie MDθ&VD θ'f GDF L (11) MD L h h % VD L! B1h θ' B1h θ' F L! (θ' GD L ) θ' + cosθ rccosh F L L. Powyższe równnie opisje rch po powierzchni styk przy czym nleży zwżyć że nie m w nim informcji o sile ncisk. 2
3 Piotr Gierlk Mgdlen Mszyńsk 3. STEROWANIE POZYCYJNO - SIŁOWE Celem sterowni hybrydowego pozycyjno-siłowego jest terz relizcj zdnej trjektorii θ1d(t) orz relizcj zdnej trjektorii siłowej λd(t). Zdefiniowno błąd ndążni e θ ogólniony błąd ndążni s błąd siły λg orz pomocniczy sygnł υ1 [7]: e A θ θ (12) s e'aλe A (13) λg λ λ (14) υ θ'λe A (15) gdzie Λ jest dodtnią stłą projektową. Równnie (1) wyrżone w tych zmiennych m formę L h υ's'l h! B1h θ' υ s % B1h θ' L! (θ' L ) θ' + cosθ rccosh L L (16) Zredkowną dynmikę mnipltor w fnkcji ogólnionego błęd ndążni przeksztłcono do postci: L h s' L h! B1h θ' sl fl % B1h θ' L (17) gdzie MDs' VD sl ff L f h υ'! B1h θ' υ h! (θ' % B1h θ' ) θ' + cosθ rccosh (18) W cel relizcji sterowni pozycyjno-siłowego przyjęto sterownie w postci: LM N ς fpk M LsJ Rλ K N λgsς (19) gdzie ς to sterownie odporne PD=KDLs to form sterowni PD gdzie KD to dodtnio określon mcierz wzmocnieni pozycyjnego N J Rλ K N λgs to sterownie w pętli sprzężeni siłowego gdzie KF to dodtnie wzmocnienie siłowe ntomist fp to fnkcj proksymjąc nieliniową zleżność (18) jest to sterownie kompenscyjne. Schemt zmkniętego kłd sterowni przedstwiono n rys. 2. Rys. 2. Schemt zmkniętego kłd sterowni pozycyjnosiłowego Kompenstor jest zrelizowny w formie kłd neronowo-rozmytego. Zgodnie z twierdzeniem mówiącym o dokłdności proksymcji nieliniowej fnkcji modelem neronowo-rozmytym [1] wrz ze wzrostem stopni złożoności model (liczby regł liczby zbiorów rozmytych) rośnie jego możliwość do dokłdnego odwzorowni. Jednk w przypdk większej liczby wejść model neronowo-rozmytego występje problem eksplozji rozwiązń. Aby niknąć tego typ zjwisk wprowdzono strktrlne sterownie neronowo-rozmyte poprzez zstąpienie model złożonego modelmi prostymi. Tkie podejście prszcz problem projektowni wprowdz nową strktrę sterowni neronowo-rozmytego i przyspiesz proces obliczeniowy [9]. Elementy wektor sterowni kompensjącego nieliniowości robot mniplcyjnego zpisno jko: gdzie: f TU g g g % f TU g ( g ) g * (2) g hυ' g 1h θ'υ g % ( θ' (21) g ( h % υ' g ) 1h θ'υ g * ) θ' + cosθ rccosh 4. NEURONOWO-ROZMYTY KOMPENSATOR NIELINIOWOŚCI ROBOTA W cel proksymcji nieliniowości robot mniplcyjnego zstosowno kłd neronowo-rozmyty który nleży do podzbior kłdów z logiką rozmytą. W przyjętym wrincie kłd dptcji podlegją prmetry konklzji bzy regł model Sgeno przy złożonych stłych prmetrch fnkcji przynleżności wejści µ XYZ (złożono w przesłnkch bzy regł równomierne rozmieszczenie fnkcji przynleżności w przestrzeni rozwżń). Do proksymcji nieliniowości zstosowno model rozmyty w postci bzy regł: R [ :IF^x A [`AND^x T A [`THEN^yF yf f` (22) 21
4 INTELIGENTNE STEROWANIE RUCHEM ROBOTA MANIPULACYJNEGO gdzie A [g jest zbiorem rozmytym w U g ir x x x x T ku j12 N to liczb regł. Model rozmyty z opercją rozmywni typ singleton z bzą regł (21) rozmytą implikcją typ (MIN) metodą wyostrzni typ CA możn opisć zleżnością [81]: fx n [yf [ p n (23) [ gdzie [ ozncz stopień ktywności regły R [. [ q go µ XYZ x (24) x ku ir yf kvir to odpowiednio wejście do model rozmytego i wyjście ostre z model. Jeżeli wybierze się fnkcje przynleżności µ XYZ w postci krzywych gssowskich które są wyrżone wzorem: µ XYZ x g e :r 9^s ZY Y : ZY`9 (25) gdzie r [g jest prmetrem określjącym odwrotność szerokości krzywej gssowskiej c [g jest jej środkiem to wówczs wyjście z model rozmytego możn zpisć w formie: syntezy sterowni neronowego możliwi poprwną prcę kłd sterowni w wynik dziłni pętli wewnętrznej z regltorem PD do moment ż sieć zcznie się czyć. Ozncz to iż nie jest wymgny wstępny proces czeni wg sieci wgi sieci są estymowne w czsie rzeczywistym. N podstwie równni (3) proksymowne elementy g f wektor f zpisno w postci równni (32) jko: po rozpisni otrzymno g~ g xwz TU δx (32) δ x g~ g xwx δ wx wx y x δ y x (32) gdzie m to liczb regł rozmytych. W wynik tkiego podejści otrzymno sześć prostych modeli neronoworozmytych kżdy o dwóch sygnłch wejściowych. N rys. 3 pokzno przykłdowe elementy wektor f (g1 g2 g3). Tkie jęcie zncznie łtwi syntezę model neronowo-rozmytego. n fx q e:r ZY n 9^s Y : ZY`9 go yf [ t e :r9^s (26) n ZY Y : ZY`9 Ntomist stopień ktywności regły wyznczono n podstwie zleżności (24): 9^s Y : ZY`9 [ q e :r ZY go (27) W dlszych rozwżnich do proksymcji zleżności fnkcyjnych występjących w konklzjch bzy regł model Tkgi-Sgeno zostnie zstosown sieć neronow. W tym cel przyjęto we wzorze (23) yf [ w [ jko wgi sieci neronowej i wówczs model neronoworozmyty zpisno w postci równni: fpx Tr n [w [ p n (28) [ gdzie nr=12. Przyjmjąc oznczenie: δ [ x [ p (29) [ n model neronowo-rozmyty zpisno w zwięzłej postci: fpx Tr W TU δx (3) gdzie W TU wx wx wx y. Prwo czeni wg konklzji bzy regł kłd neronowo-rozmytego wyznczono stosjąc teorię stbilności Lpnow [2]. Przyjęto lgorytm czeni wg sieci w postci: Wz' TU F { δls kf { Ls Wz TU (31) gdzie k} jest wielkością projektową F { to mcierz współczynników wzmocnień dptcji. Tkie jęcie Rys. 3. Schemt kłd neronowo-rozmytego z dptcją konklzji bzy regł 5. WYNIKI TESTU NUMERYCZNEGO NEURONOWO- ROZMYTEGO ALGORYTMU STEROWANIA Przeprowdzono testy nmeryczne zproponownego neronowo-rozmytego lgorytm sterowni rchem robot mniplcyjnego z nrzconymi więzmi holonomicznymi. Testy zostły zrelizowne w środowisk obliczeniowym Mtlb/Simlink. Kżdy element g g wektor sterowni kompensjącego nieliniowości zwier dwie zmienne wejściowe. Do proksymcji modelem neronowo-rozmytym przestrzeń rozwżń kżdej z tych zmiennych wejściowych podzielono n 3 zbiory rozmyte opisne gssowskimi fnkcjmi przynleżności w wynik czego otrzymno bzę regł złożoną z 9 regł dl kżdej fnkcji g g. Złożono równomierny podził przestrzeni wejściowej. W prezentownej symlcji złożono wzmocnieni sterowń KD=dig{11} L=1 KF=1. Mcierz wzmocnień dptcji konklzji bzy regł model neronoworozmytego Fw=.2. Uzyskne w symlcji przebiegi sygnłów sterowni przedstwiono n rys
5 Piotr Gierlk Mgdlen Mszyńsk j [Nm] f(x) nr [Nm] f nr1 -.4 f nr2 -.8 Rys. 4. Przebiegi sygnłów sterowni: cłkowite kompenscyjne Sterownie cłkowite generowne jest w tki sposób by relizowć zdną trjektorię rch orz zpewnić żądny docisk końcówki mnipltor do powierzchni styk. W początkowej fzie człony mnipltor są nierchome nrst ntomist wywierny ncisk n powierzchnię styk co jest spowodowne przez sterownie N przedstwione n rys.5b..4.2 K D1 L 1 s 1 K D2 L 2 s F F1 -.8 K Dj L j s j [Nm] Fj [Nm] Rys. 5. Przebiegi sygnłów sterowni neronowo-rozmytego: PD siłowe Pozostłe skłdniki sterowni mją brdzo młe wrtości które są potrzebne jedynie do zrównowżeni momentów pochodzących od sił grwitcji. Nie m ntomist potrzeby porszni członów gdyż zdn prędkość rch jest n początk równ zer. Wobec tego brdzo młe są wrtości błędów ndążni n których bzje regltor PD. Około 1 [s] człony zczynją się porszć tk by relizowć zdną trjektorię rch i wówczs wzrst zncząco sterownie PD. Nstępnie dzięki postępowi dptcji ocen wg konklzji bzy regł kłd neronowo-rozmytego rośnie rol sterowni kompenscyjnego. N rys. 6 przedstwiono przebiegi błędów ndążni. Jk wynik z wykresów błędy są njwiększe w początkowej fzie rch ndążnego nstępnie są zmniejszne i w wynik dptcji kłd sterowni pozostją ogrniczone. e θ1 [rd] e. θ1 [rd/s] Rys. 6. Błędy ndążni ƒ 'ƒ. N rys. 7 przedstwiono wybrne przebiegi ocen wg konklzji bzy regł kłd neronowo-rozmytego. Oceny wg konklzji podlegją njszybszej dptcji w początkowej fzie rch nstępnie dążą do wrtości stlonych..2 W nf (2) Rys. 7. Wybrne wrtości wg kłd neronowo-rozmytego W nf (3) N rys. 8 zmieszczono przebiegi zrelizownej siły ncisk czyli trjektorię siłową (rys. 8 orz błąd ndążni z trjektorią siłową (rys λ [N] λ ~ [N] Rys. 8. Trjektori siłow: zrelizown trjektori siłow błąd ndążni z trjektorią siłową 23
6 INTELIGENTNE STEROWANIE RUCHEM ROBOTA MANIPULACYJNEGO Oscylcje błęd wynikją z niedokłdności dziłni zrówno sterowni siłowego jk i relizcji rch ndążnego co powodje niejednostjny docisk końcówki mnipltor do powierzchni styk. 6. WNIOSKI W niniejszym rtykle przenlizowno jedną z nowoczesnych technik sterowni kłdmi nieliniowymi czyli metodę bzjącą n kłdch neronoworozmytych. Są one szczególnie przydtne w zgdnienich sterowni w przypdkch tkich jk nlizowny w niniejszym rtykle. Celem kłd neronoworozmytego był proksymcj nieliniowości dynmiki robot mniplcyjnego przeprowdzn po to by wygenerowć sterownie kompenscyjne. W kłdzie dptowne były konklzje bzy regł model neronowo-rozmytego przy stłych prmetrch przesłnek (środków i szerokości fnkcji Gss złożono ich równomierny podził w przestrzeni rozwżń. Skteczność zprojektownego neronowo-rozmytego lgorytm sterowni zostł potwierdzon wynikmi bdń symlcyjnych. Potwierdzją one słszność przyjętej metody sterowni. Zproponowny sposób sterowni nieliniowym obiektem jkim jest robot mniplcyjny stnowi nrzędzie wykorzystjące informcję neronowo-rozmytą w sposób brdzo efektywny. Litertr 1. Chen S. Billings A.: Nerl networks for nonliner dynmic system modeling nd identifiction. Int. J. Control 1996 Vol. 56 No. 2 p Giergiel J. Hendzel Z. Zylski W.: Modelownie i sterownie mobilnych robotów kołowych. Wrszw: PWN Gierlk P.: Hybrid position/force control in robotised mchining. Solid Stte Phenomen Trns Tech Pblictions 214 Vol. 21 p Gierlk P.: Hybrid position/force control of the SCORBOT-ER 4pc mnipltor with nerl compenstion of nonlinerities. Berlin Heidelberg: Springer-Verlg 212. In: L. Rtkowski et l. (Eds.): ICAISC 212 Prt II LNCS 7268 p Gierlk P.: Zstosownie dptcyjnego hybrydowego pozycyjno-siłowego sterowni mnipltorem w zrobotyzownej obróbce mechnicznej. Modelownie Inżynierskie 213 nr 46 t. 15 s Kmr N. Pnwr V. Skvnm N. Shrm S.P. Borm J.-H.: Nerl network bsed hybrid force/position control for robot mnipltors. Int. J. Precis. Eng. Mnf. 211 Vol. 12 No. 3 p Lewis F.L. Jgnnthn S. Yesildirek A.: Control of robot mnipltors nd nonliner systems. London: Tylor & Frncis Hendzel Z. Mszyńsk M.: Adptive fzzy control of wheeled mobile robot. Int. J. of Applied Mechnics nd Engineering 212 Vol. 17 No 3 p Hornik K. Stinchcombe M. White H.: Mltilyer feedforwrd networks re niversl pproximtions. Nerl Networks 1989 Vol. 2 p Mszyńsk M: Neronowo-rozmyte systemy sterowni mobilnym robotem kołowym. Rozprw doktorsk
Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoGrażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH
Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Bardziej szczegółowoKSZTAŁTOWANIE ŁUKOWO-KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW W UZĘBIENIU CZOŁOWYM NA FREZARCE CNC
KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 8 nr Archiwum Technologii Mszyn i Automtyzcji 008 PIOTR FRĄCKOWIAK KSZTAŁTOWANIE ŁUKOWO-KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW W UZĘBIENIU CZOŁOWYM NA FREZARCE CNC W rtykule
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew
Bardziej szczegółowoPropozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
Bardziej szczegółowoZastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych
Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoWyrównanie sieci niwelacyjnej
1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowousuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoOznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew Pbisek Adm Wostko Wprowdzenie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoO RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI
ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoTemat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Bardziej szczegółowo2. Tensometria mechaniczna
. Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
Bardziej szczegółowoDZIAŁ 2. Figury geometryczne
1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoModelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich
Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt
Bardziej szczegółowo3. Rozkład macierzy według wartości szczególnych
Rozkłd mcierzy wedłg wrtości szczególnych Wprowdzenie Przypomnimy podstwowe zleżności związne z zstosowniem metody nmnieszych kwdrtów do proksymci fnkci dyskretne Podstwowe równnie m nstępącą postć: +
Bardziej szczegółowoWymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK
I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie
Bardziej szczegółowoAdaptacja slajdów do wykładów. Introduction to Robotics (ES159) Advanced Introduction to Robotics (ES259)
Adptcj sljdów do wykłdów Introduction to Robotics (ES59 Advnced Introduction to Robotics (ES59 utor oryginłu: Robert Wood źródło: www.roboticscoursewre.org Podręczniki Polski odpowiednik: M. Spong, M.
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń
Bardziej szczegółowoIntegralność konstrukcji
1 Integrlność konstrukcji Wykłd Nr 5 PROJEKTOWANIE W CELU UNIKNIĘCIA ZMĘCZENIOWEGO Wydził Inżynierii Mechnicznej i Robotyki Ktedr Wytrzymłości, Zmęczeni Mteriłów i Konstrukcji http://zwmik.imir.gh.edu.pl/dydktyk/imir/index.htm
Bardziej szczegółowoBADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ
ADANIE ZAEŻNOŚCI PRZENIKANOŚCI MAGNETYCZNEJ FERRIMAGNETYKÓW OD TEMPERATURY 1. Teori Włściwości mgnetyczne sstncji chrkteryzje współczynnik przeniklności mgnetycznej. Dl próżni ten współczynnik jest równy
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO
I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i
Bardziej szczegółowoProsta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie
Konstrkcje Elementy Mteriły Prost metod sprwdzni fndmentów ze względ n przebicie Prof dr b inż Micł Knff, Szkoł Główn Gospodrstw Wiejskiego w Wrszwie, dr inż Piotr Knyzik, Politecnik Wrszwsk 1 Wprowdzenie
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zadań z dynamicznego ruchu płaskiego część I 9
ozwiązywnie zdń z dyniczneo ruchu płskieo część I 9 Wprowdzenie ozwiązywnie zdń w oprciu o dyniczne równni ruchu (D pole n uwolnieniu z więzów kżdeo z cił w sposób znny ze sttyki. Wrunki równowi są zbliżone
Bardziej szczegółowof(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE RÓWNANIA NASGRO DO OPISU KRZYWYCH PROPAGACYJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOWYCH
Sylwester KŁYSZ *, **, nn BIEŃ **, Pweł SZBRCKI ** ** Instytut Techniczny ojsk Lotniczych, rszw * Uniwersytet rmińsko-mzurski, Olsztyn ZSTOSONIE RÓNNI NSGRO DO OPISU KRZYYCH PROPGCYJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOYCH
Bardziej szczegółowoSzczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy
Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni
Bardziej szczegółowo2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012
mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU
Bardziej szczegółowoMetoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).
Metod sił jest sposoem rozwiązywni ukłdów sttycznie niewyznczlnych, czyli ukłdów o ndliczowych więzch (zewnętrznych i wewnętrznych). Sprowdz się on do rozwiązni ukłdu sttycznie wyznczlnego (ukłd potwowy
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych Macierze rzadkie
wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Ukłdy równń liniowych Mcierze rzdkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Pln zjęć. Zdnie rozwiązni ukłdu równń liniowych..
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne
Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):
Bardziej szczegółowoSterowanie wirnikiem łożyskowanym magnetycznie w obróbce powierzchni n-falowych
Pomiry Automtyk Rootyk /5 Sterownie wirnikiem łożyskownym mgnetycznie w oróce powierzchni n-flowych Zdzisłw Gosiewski Arkdiusz Mystkowski * Przedstwiono wyniki dń n-flowego ruchu nieorcjącego się wirnik
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa
Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1
Bardziej szczegółowoRedukcja układów sił działających na bryły sztywne
1 Redukcj ukłdów sił dziłjących n bryły sztywne W zdnich tego rozdziłu wykorzystuje się zsdy redukcji ukłdów sił wykłdne w rmch mechniki ogólnej i powtórzone w tomie 1 podręcznik. Zdnie 1 Zredukowć ukłd
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Bardziej szczegółowoWPŁYW WILGOTNOŚCI NA SZTYWNOŚCIOWE TŁUMIENIE DRGAŃ KONSTRUKCJI DREWNIANYCH
95 ROCZNII INŻYNIERII BUDOWLANEJ ZESZYT 3/03 omisj Inżynierii Budowlnej Oddził Polskiej Akdemii Nuk w towicch WPŁYW WILGOTNOŚCI NA SZTYWNOŚCIOWE TŁUMIENIE DRGAŃ ONSTRUCJI DREWNIANYCH mil PAWLI, Zbigniew
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi
Bardziej szczegółowoSumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
Bardziej szczegółowoSTYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI
STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. I poziom podstawowy
Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile. LICZBY RZECZYWISTE Kl. I poziom podstwowy podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx
Bardziej szczegółowoMateriały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy
Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE Ib ZAKRES PODSTAWOWY
. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje liczbę do odpowiedniego zbioru liczb stosuje cechy podzielności
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1 (1p). Ile wynosi 0,5% kwoty 120 mln zł? A. 6 mln zł B. 6 tys. zł C. 600 tys. zł D. 60 tys. zł
TRZECI SEMESTR LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRACA KONTROLNA Z MATEMATYKI ROZSZERZONEJ O TEMACIE: Liczby rzeczywiste i wyrżeni lgebriczne Niniejsz prc kontroln skłd się z zdń zmkniętych ( zdń)
Bardziej szczegółowoAkademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej
Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU oprcowny n podstwie: Wewnątrzszkolnego Systemu Ocenini w II Liceum Ogólnoksztłcącym im. M. Konopnickiej
Bardziej szczegółowoLegenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny
Dr Glin Criow Legend Optymlizcj wielopoziomow Inne typy brmek logicznych System funkcjonlnie pełny Optymlizcj ukłdów wielopoziomowych Ukłdy wielopoziomowe ukłdy zwierjące więcej niż dw poziomy logiczne.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Bardziej szczegółowoZałącznik nr 3 do PSO z matematyki
Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoUkład elektrohydrauliczny do badania siłowników teleskopowych i tłokowych
TDUSZ KRT TOMSZ PRZKŁD Ukłd elektrohydruliczny do bdni siłowników teleskopowych i tłokowych Wprowdzenie Polsk Norm PN-72/M-73202 Npędy i sterowni hydruliczne. Cylindry hydruliczne. Ogólne wymgni i bdni
Bardziej szczegółowoROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY
FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Foli Univ. Agric. Stetin. 2007, Oeconomic 254 (47), 117 122 Jolnt KONDRATOWICZ-POZORSKA ROLA KLIENTA W ZRÓWNOWAŻONYM ROZWOJU FIRMY ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Bardziej szczegółowoTemat 1. Afiniczne odwzorowanie płaszczyzny na płaszczyznę. Karol Bator. GGiIŚ, II rok, niestac. grupa 1
Temt Afiniczne odwzorownie płszczyzny n płszczyznę Krol Btor GGiIŚ, II rok, niestc. grp SPRAWOZDANIE DANE FORMALNO-PRAWNE:. Zleceniodwc: Akdemi Górniczo-Htnicz Wydził Geozdezji Górniczej i Inżynierii Środowisk.
Bardziej szczegółowoNauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka
Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE CHARAKTERYSTYK RDZENI FERROMAGNETYCZNYCH
Krzysztof Górecki Akdemi orsk w Gdyni Klin Detk Pomorsk Wyższ Szkoł Nuk Stosownych w Gdyni ODELOWANIE CHARAKTERYSTYK RDZENI FERROAGNETYCZNYCH Artykuł dotyczy modelowni chrkterystyk rdzeni ferromgnetycznych.
Bardziej szczegółowoĆwiczenia laboratoryjne z przedmiotu : Napędy Hydrauliczne i Pneumatyczne
Lbortorium nr 11 Temt: Elementy elektropneumtycznych ukłdów sterowni 1. Cel ćwiczeni: Opnownie umiejętności identyfikcji elementów elektropneumtycznych n podstwie osprzętu FESTO Didctic. W dużej ilości
Bardziej szczegółowoTEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE)
1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 1 1. 1. TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE) Płyt jest to ukłd ogrniczony dwom płszczyznmi o młej krzywiźnie. Odległość między powierzchnimi ogrniczjącymi tę wysokość płyty
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania obiektowego
1/3 Podstwy progrmowni oiektowego emil: m.tedzki@p.edu.pl stron: http://rgorn.p.ilystok.pl/~tedzki/ Mrek Tędzki Wymgni wstępne: Wskzn yły znjomość podstw progrmowni strukturlnego (w dowolnym języku). Temty
Bardziej szczegółowoMETODYKA OCENY WŁAŚCIWOŚCI SYSTEMU IDENTYFIKACJI PARAMETRYCZNEJ OBIEKTU BALISTYCZNEGO
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 151-156, Gliwice 2006 METODYKA OCENY WŁAŚCIWOŚCI SYSTEMU IDENTYFIKACJI PARAMETRYCZNEJ OBIEKTU BALISTYCZNEGO JÓZEF GACEK LESZEK BARANOWSKI Instytut Elektromechniki,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM
WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymgni edukcyjne z mtemtyki LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Kls II Poniżej przedstwiony zostł podził wymgń edukcyjnych n poszczególne oceny. Wiedz i umiejętności konieczne do opnowni (K) to zgdnieni, które są
Bardziej szczegółowoPrace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014)
Prce Koł Mt. Uniw. Ped. w Krk. 1 014), 1-5 edgogicznego w Krkowie PKoło Mtemtyków Uniwersytetu Prce Koł Mtemtyków Uniwersytetu Pedgogicznego w Krkowie 014) Bet Gwron 1 Kwdrtury Newton Cotes Streszczenie.
Bardziej szczegółowoWszystkim życzę Wesołych Świąt :-)
Poniższe zdni pochodzą ze zbiorów: ) J. Rutkowski, Algebr bstrkcyjn w zdnich b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zdń z lgebry Do kolokwium proszę też przejrzeć zdni z ćwiczeń. Wszystkim życzę Wesołych
Bardziej szczegółowoZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 424 PRACE INSTYTUTU KULTURY FIZYCZNEJ NR 22 2005
ZEZYTY NAUKOWE UNIWERYTETU ZCZECIŃKIEGO NR 424 PRACE INTYTUTU KULTURY FIZYCZNEJ NR 22 2005 MARIA MAKRI PRAWNOŚĆ FIZYCZNA I AKTYWNOŚĆ RUCHOWA KOBIET W WIEKU 20 60 LAT 1. Wstęp Dobr sprwność fizyczn jest
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoAlgebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna
lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci
Bardziej szczegółowoPodstawy Techniki Cyfrowej Układy komutacyjne
Podstwy Techniki Cyfrowej Ukłdy komutcyjne Ukłdy kombincyjne, umożliwijące przełącznie (komutcję) sygnłów cyfrowych, nzyw się ukłdmi ukłdmi komutcyjnymi. Do podstwowych ukłdów komutcyjnych zlicz się multipleksery
Bardziej szczegółowoWYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:
YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1
FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 1. SUMY ALGEBRAICZNE rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowo