Sterowanie wirnikiem łożyskowanym magnetycznie w obróbce powierzchni n-falowych

Transkrypt

1 Pomiry Automtyk Rootyk /5 Sterownie wirnikiem łożyskownym mgnetycznie w oróce powierzchni n-flowych Zdzisłw Gosiewski Arkdiusz Mystkowski * Przedstwiono wyniki dń n-flowego ruchu nieorcjącego się wirnik łożyskownego mgnetycznie. Pondto zostło przenlizowne i symulowne zchownie się wirnik dl regultorów zudownych według metod: przesuwni iegunów, LQR orz predykcyjnej, w szerokim zkresie prędkości orotowych wirnik od do tys. or/min. W osttnich ltch ktywne łożysk mgnetyczne są stosowne również w przemyśle jko nrzędzie oróki skrwniem dl uzyskni większych prędkości orotowych orz lepszej dynmiki skrwni [ 5]. Klsyczn szlifierk lu frezrk m mechnizm do wytczni orit kołowych. Jednk w niektórych przypdkch zchodzi potrze oróki powierzchni nieokrągłych, np. powierzchni o n-flowym przekroju nłożonym n koło. Funkcje nlityczne, tkie jk epicykloid lu hipocykloid, opisują tego typu n-flowe ority. k orók skrwniem może yć zrelizown z pomocą elektrowrzecion łożyskownych mgnetycznie, z możliwością progrmowego sterowni położeniem włk wrzecion, ez wprowdzni jkichkolwiek zmin w mechnizmie szlifierki lu frezrki. Niekołow orit włu wirnik z punktu widzeni systemu sterowni generuje zmienny punkt prcy łożysk, który jest zdną funkcją czsu i położeni kątowego. W związku z tym, że łożysk mgnetyczne są ukłdmi nieliniowymi, prmetry zlineryzownego modelu ukłdu otwrtego są silnie uzleżnione od przyjętego punktu prcy [6]. W [7] jest przedstwiony ukłd sterowni pojedynczą osią łożysk mgnetycznego z możliwością progrmowej zminy prmetrów punktu prcy. Ze wspomninych prc wynikją wnioski:. Dl uzyskni punktu prcy, w którym występujące siły elektromgnetyczne równowżą się, nleży nie tylko sterowć położeniem włk, le również prądem we wszystkich cewkch elektromgnesów. Wymg to pomiru zrówno przemieszczeni włk, jk i prądów płynących w cewkch * prof. dr h. inż. Zdzisłw Gosiewski, mgr inż. Arkdiusz Mystkowski Ktedr echniki Automtyzcji, Wydził Mechniczny, Politechnik Biłostock. Progrmowne przemieszczenie wirnik nie powinno przekrczć połowy szczeliny nominlnej łożysk mgnetycznego. Dl większych przemieszczeń prmetry ukłdu sterowni ulegją pogorszeniu. W tkim wypdku niezędne jest wprowdzenie do ukłdu czsochłonnych lgorytmów sterowni dptcyjnego relizownych przez mikroprocesor. Ruch po trjektorii w płszczyznch łożysk Do opisu dowolnego n-flowego ksztłtu orinej powierzchni w płszczyźnie ruchu nrzędzi stosuje się nstępujące równni prmetryczne [7]: r (r + R)/r. xs ( R r)cosj lrcos r j y ( R r)sinj lrsin rj s + ( ) + ( ) Korzystjąc z zleżności () orz zkłdjąc, że nrzędzie m przekrój kołowy o średnicy d orz że jego środek geometryczny jest położony wzdłuż linii pionu w odległości d/ od orinej powierzchni, równni prmetryczne trjektorii możn zpisć w nstępującej postci [7]: d d f xc xs ±, yc ys () ± f + f + () gdzie nchylenie linii pionu do orinej powierzchni jest określone zleżnością: sin j lsin r j f cos j lcos r j ( ) ( ) (3) Znki w równnich () opisujących proces frezowni są zleżne od kwdrntu orinej powierzchni, n której znjduje się nrzędzie. Zleżą również od tego, czy nrzędzie jest wewnątrz, czy n zewnątrz ority. 6

2 Pomiry Automtyk Rootyk /5 Przyjęto, że podstwowy ruch kołowy wykonuje mechnizm szlifowni lu frezowni, ntomist ruch flowy relizuje zwieszenie mgnetyczne. Dltego też, trjektori nrzędzi ze względu n linię środkową (oś symetrii) łożysk mgnetycznego przyjmuje postć: xc xc ( R+ r± d/ )cos j, y y ( R+ r± d/ )sinj c c () Oczywistym jest, że ruchy wykonywne przez mechnizmy oróki skrwniem orz przez łożysk mgnetyczne powinny yć zsynchronizowne. Znk plus w równnich () odpowid fzie procesu oróki, gdy nrzędzie znjduje się n zewnątrz orinej powierzchni, ntomist znk minus gdy nrzędzie operuje wewnątrz orinej powierzchni. Zkłdmy ukłd współrzędnych Oxyz z początkiem pokrywjącym się ze środkiem msy wirnik orz osią z skierowną wzdłuż osi orotu, tk jk to przedstwi rys.. Przyjęto, że oś orotu pokryw się z linią środkową (osią symetrii) ou promieniowych łożysk mgnetycznych. Model modlny wirnik sztywnego Rozwżmy symetryczny wirnik sztywny poprzecznie zwieszony w dwóch ktywnych łożyskch mgnetycznych, tk jk to przedstwi rys.. Ruch wirnik możn opisć współrzędnymi modlnych [6, 7], tj. opisującymi trnslcyjny ruch środk msy, x, y, orz ruch rotcyjny (nchylenie włu),. N podstwie prw Newton wyprowdzmy równni ruchu trnslcyjnego: mx Fx + Fx (7) my Fy + Fy równni ruchu rotcyjnego zostły wyprowdzone z równń Euler i mją postć: I x WIz Fx + Fx (8) I WI F + F x z y y F siły elektromgnetyczne; indeksy (, ), ( x, y ) wskzują odpowiednio: włściwą płszczyznę łożyskową i włściwą oś w tej płszczyźnie, m ms,, odległości środk msy od płszczyzn łożyskowych, W prędkość kątow wirnik, I x I y, I z momenty ezwłdności odpowiednio względem osi: x, y, z; e mimośród środk msy reprezentujący niewywżenie sttyczne. Równni ruchu orcjącego się włk są rozprzężone dl geometrii włk opisnej jko: I x m (9) Rys.. Położenie włu wirnik względem linii środkowej łożysk;, odległości pomiędzy środkiem msy wirnik płszczyznmi łożyskowymi, c odległość nrzędzi od prwej płszczyzny łożyskowej, F xc sił skrwni, F x, F x siły rekcji łożysk Istnieje nieogrniczon licz rozwiązń dl ruchu włk w łożyskch mgnetycznych, umożliwijąc umiejscowienie środk nrzędzi w zprogrmownym punkcie. N przykłd, poprzez minimlizcję przemieszczeń zgodnie z -normą otrzymujemy nstępujący punkt prcy dl wlcowego ruchu włk: x x x c, y y y c (5) lu dl stożkowego ruchu (dl wrtości ezwzględnych,, c): x c x x ( + ) ( + ) c, c x c, (6) y ( + ) c y ( + ) c, y + + c y c + + Gdy wrunek (9) jest spełniony tylko w przyliżeniu, równni ruchu wirnik możn ndl trktowć jko rozprzęgnięte. W tym wypdku możn zstosowć metodę sterowni dl pojedynczej osi łożysk mgnetycznego, przedstwioną w prcy [7], orz sprwdzić n etpie dń lortoryjnych wpływ efektu żyroskopowego n dynmikę systemu. Sterownie w ukłdzie ze sprzężeniem zwrotnym Do zudowni prw sterowni zostną wykorzystne nstępujące równni: Nleży zwrócić uwgę, że w drugim przypdku x / x c < i x /x c < orz nlogicznie dl osi y, co wskzuje, że ruch nrzędzi nie może przekroczyć szerokości szczeliny łożysk mgnetycznego. () 7

3 Pomiry Automtyk Rootyk /5 ( m+ Ix)/ mix ( m+ Ix)/ mix mr mr ntomist siły elektromgnetyczne otrzymno w wyniku lineryzcji ukłdu w punkcie prcy. Wszystkie ww. zmienne orz prmetry zostną opisne w kolejnych punktch. Równni dynmiki dl poszczególnych cewek elektromgnesów powinny yć sprzęgnięte z modelem () w celu zrelizowni npięciowego ukłdu sterowni. W rezultcie otrzymujemy model ukłdu otwrtego dl kżdej osi łożysk mgnetycznego [7]: inne prmetry mogą yć otrzymne przez porównnie równń () i (). Punkt prcy dl pojedynczej osi łożysk jest opisny nstępującymi prmetrmi: () które oznczją, że dl kżdej osi mierzymy przemieszczenie orz prądy w ou cewkch. W ukłdzie sterowni od wektor stnu prwo sterowni opisuje zleżność: ẋ Acx+ Bcu+ Fc, y Cx () A c n n n B n 3 n c n 5 n3 n n5 F F C c jest wektorem sterowni, ntomist F lw [ dr3 cos( r3wt ) + ( r + d) r cos( r wt)] + + c u Kx (3) u u uz+ U, u uz U x X x x X x i i + I i i I z z z jest wektorem stnu. Dl modelu, którego punkt prcy jest położony w środku osiowo symetrycznego łożysk mgnetycznego, mcierz wzmocnieni przyjmuje dorze znną postć, minowicie: k k ( kz + k3)/ ( kz k3)/ K k k k k k + k ( z 3)/ ( z 3)/ () Gdy punkt prcy x z jest usytuowny poz środkiem łożysk mgnetycznego, prwo sterowni możn przeksztłcić [7] do nstępującej dptcyjnej postci: (5) Dl uzyskni prw sterowni w postci () lu (5) nleży ukłd () podzielić n podukłdy powiązne z ruchem msy orz punktem prcy dl poszczególnych cewek. Przyjmijmy, że prw sterowni oprte n sterowniu od wektor stnu dl wyodręnionych podsystemów mją postć: U k k k X X I 3 u z k z i z (6) u z k z i z Różne metody sterowni możn zstosowć dl zrelizowni powyższych prw sterowni. W [7] zstosowno metodę wyznczni miejsc położeni iegunów dl uzyskni mcierzy wzmocnień regultor (6). Metod LQR jest przedstwion n przykłd w oprcowniu [8]. Sterownie predykcyjne W dlszej części oprcowni dl uzyskni mcierzy wzmocnieni () zostnie zstosown metod sterowni predykcyjnego o czsie skończonym [9]. Mcierz () zostnie nstępnie przeksztłcon dptcyjnie do postci (5). W tym celu zostnie zmieniony model ciągły w czsie () n odpowidjący mu model dyskretny: x(k+) Ax(k) + Bu(k) (7) y(k) Cx(k) Zestwijąc równni stnu dl kolejnych próek q >n, otrzymujemy model predykcyjny: u( k) q q x( k+ q) A x( k) + [ A B,..., AB, B] (8) u( k+ q ) u( k+ q ) Jesteśmy zinteresowni rozwiązniem, które minimlizuje ilość energii niezędnej do sterowni, które możn uzyskć z modelu predykcyjnego o czsie skończonym: u( k) q + q [ A B,..., AB, B] A x( k u( k+ q ) u( k+ q ) (9) [ ] + pseudoodwrotność mcierzy ojętej nwismi, q grnic predykcji. 8

4 Pomiry Automtyk Rootyk /5 Mcierz wzmocnieni () możn trktowć jko podmcierz zudowną z pierwszych r wierszy mcierzy[a q B,..., AB, B] + AB q, gdzie r jest liczą wejść. W celu otrzymni zerowego uchyu w stnie ustlonym, nleży pondto w ukłdzie zstosowć dodtkową pętlę z częścią cłkującą. Sterownie w ukłdzie ze sprzężeniem do przodu W celu wyeliminowni uchyu regulcji możemy kompensowć wpływ zkłóceń z wyprzedzeniem poprzez odpowiednią korektę sterowni. rnsmitncj otwrtego ukłdu sterowni jest nstępując: X(s) G UX (s)u(s)+g FX (s)f (s) () () Zewnętrzne zkłóceni możemy wyeliminowć poprzez przyjęcie prw sterowni jko superpozycję sterowni ze sprzężeniem zwrotnym U f i sterowni ze sprzężeniem do przodu U : U U f + U () Do zprojektowni sterowni ze sprzężeniem zwrotnym (6) możemy użyć metody przesuwni iegunów. Dl wyznczonych iegunów p, p, i p 3 otwrtego podukłdu III, otrzymujemy: n( p+ p+ p3)+ ppp3 k nn 5 n+ nn3+ pp + pp 3+ pp 3 k (3) nn W dziedzinie czsu mmy: () Poniewż F (t) jest znną funkcją czsu, sterownie ze sprzężeniem do przodu jest również znną funkcją czsu. Korzystjąc ze wzoru n F (t), dostjemy: G G UX FX nn 5 ( s) ( s n)( s+ n) + nn3s s + n ( s) ( s n)( s+ n) + nn 3 s U ( ) k n p p p / n df () t () t n nn dt nn 5 5 F () t U () t A cos( r wt + j ) + A cos( rwt + j ) d lr3 w A3 n + r 3 w, nn 5( + + c) ( r+ d) lr w A n + r w, nn 5( + + c) r3 w r w tgj3, tgj. n n (5) Wyniki dń doświdczlnych i symulcyjnych Orin powierzchni jest opisn przez skrócone -flowe epicykloidy o nstępujących prmetrch orinej powierzchni: R,8 m, r, m, l,. Średnic nrzędzi: d, m, wymiry włk:,8 m,,55 m, c,7 m. Zrówno trjektori środk nrzędzi, jk i ruch włk w łożyskch mgnetycznych nie zkreślją sinusoidlną trjektorię, kżd z czterech fl mjących miejsce podczs ruchu w rmch jednej ority jest przedstwion n rys.. y (m) x -5,5,5 -,5 - strt -,5 -,5 - -,5,5,5 (m) x -5 Rys.. rjektori środk włk w płszczyźnie lewego łożysk mgnetycznego podczs skrwni n. oricie N rys. 3 jest przedstwion odpowiedź ukłdu zmkniętego z regultorem zprojektownym metodą przesuwni iegunów n impulsową zminę jednego z sygnłów wejściowych (npięcie u x ). X (m) x W rev/s W rev/s -,,,6,8,,,,6,8, Rys. 3. Odpowiedź impulsow ukłdu zmkniętego z regultorem zprojektownym z pomocą metody rozmieszczeni iegunów dl dwóch prędkości wirnik x 9

5 Pomiry Automtyk Rootyk /5 Odpowiedź ukłdu zmkniętego (przemieszczenie x ) n wejściowy impuls npięciowy u x, dl dwóch prędkości W or/s orz or/s dl ukłdu z regultorem LQG, zostł pokzn n rys.. X (m) x W rev/s W rev/s - -,,,6,8,,,,6,8, Rys.. Odpowiedź impulsow ukłdu zmkniętego z regultorem LQG dl dwóch różnych prędkości orotowych wirnik Odpowiedź ukłdu zmkniętego (przemieszczenie x ) n impulsową zminę jednego z sygnłów wejściowych (npięcie u x ) dl regultor predykcyjnego przedstwi rys. 5 dl poziomu predykcji q 5. X (m) x -5 3,5 3,5,5,5 -,5,,,6,8,,,,6,8, Z pomirów dl różnej prędkości nrzędzi i różnych mplitud wynik, że im mniejsz mplitud fl (l) tym lepsze pokrywnie się trjektorii relizownych przez włek. Podsumownie W rev/s W rev/s Rys. 5. Odpowiedź impulsow ukłdu zmkniętego z regultorem predykcyjnym dl dwóch prędkości wirnik, W or/s (krótszy czs regulcji) orz W or/s Przeprowdzone dni eksperymentlne pokzły wpływ msy wirnik, sił odśrodkowych spowodownych ruchem wirnik wzdłuż trjektorii, psm ukłdu zmkniętego orz wzmocnieni (stłej czsowej) w pę- tli z częścią cłkującą n ksztłt i mplitudę mierzonej trjektorii. Ogólnie mówiąc, zdn trjektori jest lepiej odtwrzn dl powolnego ruchu nrzędzi wzdłuż trjektorii, większego wzmocnieni w części cłkującej, mniejszego ociążeni łożysk mgnetycznego orz dl szerszego psm ukłdu zmkniętego. Regultor predykcyjny zużyw njmniej energii n sterownie, le jego jkość nie jest tk dor jk regultor LQR orz regultor zudownego metodą przesuwni iegunów. Czs regulcji jest dłuższy, przeregulownie większe w ukłdzie z predykcyjnym regultorem w porównniu z pozostłymi dwom rozwżnymi rozwiąznimi. Jkość regulcji zmniejsz się wrz ze skróceniem horyzontu predykcji. Biliogrfi. R. Siegwrt, R. Lrsonneur nd A. rxler, Design nd Performnce of High Speed Milling Spindle in Digitlly Controlled Active Mgnetic Berings, Proc. nd Interntionl Symp. on Mgnetic Berings, okyo, Jpn, pp. 97, 99.. M. Kim,. Higuchi,. Mizuno nd H. Hr, Appliction of Mgnetic Bering Spindle to Non-Circulr Fine Boring, Proc. 6th Interntionl Symp. on Mgnetic Berings, Cmridge, MA 998, pp A. Shimd, Y. Horiuchi nd K. Shmoto, A Study of Active Mgnetic Berings for Mchine ool s High Speed Spindle, Proc. 7th Interntionl Symp. on Mgnetic Berings, Zurich, Switzerlnd, pp S. Strssurger nd R. Nordmnn, Dignosis nd Optimiztion of the Internl Grinding Process y Mens of n AMB High Speed Spindle, Proc. 7th Interntionl Symp. on Mgnetic Berings, Zurich, Switzerlnd, pp M. Muller nd W.L. Weingertner, Process Monitoring for Mchine ool Spindle with Mgnetic Berings, Proc. 7th Interntionl Symp. on Mgnetic Berings, Zurich, Switzerlnd, pp Z. Gosiewski, K. Flkowski nd J.. Swicki, Introduction to Smrt Mgnetic Berings Design, Proc. 7th Interntionl Symp. on Mgnetic Berings, Zurich, Switzerlnd, pp Z. Gosiewski, J.. Swicki nd K.R. Bischof, Control of Mgnetic Bering Spindles During n-wved Mchining. Proc. ASME Design Engineering echnicl Conferences, Septemer 9, Pittsurgh PA. 8. MALAB, Control System oolox he User s Guide, he MthWorks Inc M.Q. Phn, J-N. Jung, Predictive Controllers for Feedck Stilistion, Journl of Guidnce, Control nd Dynmics, Vol., No 5, 998, pp