MODELOWANIE CHARAKTERYSTYK RDZENI FERROMAGNETYCZNYCH

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MODELOWANIE CHARAKTERYSTYK RDZENI FERROMAGNETYCZNYCH"

Transkrypt

1 Krzysztof Górecki Akdemi orsk w Gdyni Klin Detk Pomorsk Wyższ Szkoł Nuk Stosownych w Gdyni ODELOWANIE CHARAKTERYSTYK RDZENI FERROAGNETYCZNYCH Artykuł dotyczy modelowni chrkterystyk rdzeni ferromgnetycznych. Opisno klsyczny model Jiles-Atherton rdzeni ferromgnetycznego orz jego wybrne modyfikcje. Przy wykorzystniu tych modeli wyznczono chrkterystyki mgnesowni rbitrlnie wybrnego rdzeni. Przedyskutowno zsdność poszczególnych modyfikcji klsycznego modelu orz pokzno potencjlne obszry ich zstosowni. Słow kluczowe: rdzenie ferromgnetyczne, modelownie, chrkterystyki mgnesowni. WPROWADZENIE Większość współczesnych ukłdów elektronicznych, np. przetwornice impulsowe i filtry, zwierją dłwiki lub trnsformtory, które są elementmi nieliniowymi. Nieliniowość tych elementów jest związn m.in. z nieliniowością chrkterystyki mgnesowni rdzeni zleżnej od mteriłu mgnetycznego [14]. Włściwości mteriłów mgnetycznych zleżą od ich struktury krystlicznej, któr decyduje o zkresie zstosowń tych mteriłów orz ksztłtuje ich krzywą mgnesowni B(H). Krzyw t opisuje zleżność indukcji pol mgnetycznego B od ntężeni pol mgnetycznego H i m postć pętli histerezy, obrzującej oddziływnie domen z zewnętrznym polem mgnetycznym. Przebieg pętli histerezy zleży od wielu czynników, tkich jk: rodzj mteriłu mgnetycznego, tempertur T, mplitud i skłdow stł ntężeni pol mgnetycznego H. Podstwowym prmetrem związnym z krzywą mgnesowni, opisującym włściwości mgnetyczne mteriłu, jest jego względn przeniklność mgnetyczn μ równ nchyleniu krzywej mgnesowni [1]. Kolejnym istotnym prmetrem związnym z pętlą histerezy jest pole koercji H C, które osiąg duże wrtości dl mteriłów mgnetycznych twrdych, co ozncz, że pętl histerezy jest szerok i strty energii n przemgnesownie rdzeni są duże. W przypdku mteriłów mgnetycznych miękkich występuje wąsk pętl histerezy [12]. Strty energii w procesie przemgnesowni rdzeni opisuje strtność [8]. Dodtkowo, w zleżności od mplitudy ntężeni pol mgnetycznego osiąg się różne rozmiry pętli histerezy, co ozncz, że typowo punkt prcy rdzeni porusz się po młej pętli histerezy, stnowiącej jedną z wielu znjdujących się wewnątrz wielkiej krzywej mgnesowni.

2 40 ZESZYTY NAUKOWE AKADEII ORSKIEJ W GDYNI, nr 75, grudzień 2012 Krzyw mgnesowni jest trudn do opisu mtemtycznego, dltego w literturze przedmiotu możn spotkć brdzo dużo pozycji poświęconych modelowniu pętli histerezy [7]. Często punktem wyjści do modelowni pętli histerezy jest model Jiles-Atherton [4]. W niniejszej prcy utorzy przeprowdzili nlizę oryginlnego modelu Jiles-Atherton [9] orz jego modyfikcji zproponownych przez innych utorów [3, 6, 9]. W rozdzile 1 opisno oryginlny model Jiles-Atherton (J-A), w rozdzile 2 wybrne modyfikcje tego modelu. W kolejnym opisno sposób implementcji tych modeli w progrmie SPICE, nstępnie porównno chrkterystyki mgnesowni rdzeni obliczone przy wykorzystniu modelu oryginlnego orz modeli zmodyfikownych. 1. KLASYCZNY ODEL JILESA-ATHERTONA odel Jiles-Atherton, zprezentowny w prcch [9, 10], stł się przedmiotem dyskusji orz rozwżń nukowych i ciągle stnowi punkt wyjści do formułowni nowych modeli rdzeni ferromgnetycznych [3, 4, 6]. Przy formułowniu rozwżnego modelu pętli histerezy wykorzystno równnie Lngevin, dokonując jego modyfikcji z uwzględnieniem istnieni domen ferromgnetycznych. W opisnym modelu zleżność indukcji B od mgnetyzcji i ntężeni pol mgnetycznego H wyrżono równniem: μ 0 przeniklność mgnetyczn próżni, B = µ ( H + ) (1) 0 mgnetyzcj zś n krzywej pierwotnego mgnesowni wyrżon jest wzorem: μ0 m ( H + α ) = s coth μ0 s mgnetyzcj nsyceni, m moment mgnetyczny, prmetr ksztłtu histerezy [9], α współczynnik chrkteryzujący pole mgnetyczne. m ( H + α ) (2) W zproponownym modelu po rz pierwszy uwzględniono istnienie krzywej pierwotnego mgnesowni wyrżonej zleżnością (2), opisującej stn równowgi termodynmicznej w rdzeniu [4].

3 K. Górecki, K. Detk, odelownie chrkterystyk rdzeni ferromgnetycznych 41 odel Jiles-Atherton uwzględni tkże odwrclny proces mgnesowni wskzując, że wrtość cłkowitej mgnetyzcji w mterile ferromgnetycznym wynik z sumy mgnetyzcji odwrclnej rev i nieodwrclnej irr, przy czym odwrcln mgnetyzcj zdefiniown jest z pomocą zleżności: rev = c ) (3) ( irr Z kolei mgnetyzcj nieodwrcln irr, reprezentując strty energii spowodowne ruchem ścin domen, określon jest równniem: d irr = k δ α k stł wynikjąc z ruchu ścin domen, c stł sprężystości domeny, irr ( irr prmetr δ jest równy 1, gdy ntężenie pol mgnetycznego rośnie i 1, gdy ntężenie pol mgnetycznego mleje [13]. Przeksztłcjąc równni (2 4), otrzymno zleżność n cłkowitą mgnetyzcję, opisną równniem [10]: d 1 = 1+ c k δ ( ) μ 0 α ( ) c d + ) 1+ c Zletą modelu Jiles-Atherton jest prosty opis mtemtyczny orz niewielk liczb prmetrów, ntomist podstwową jego wdę stnowi wprowdzenie dekompozycji mgnetyzcji n skłdową odwrclną i nieodwrclną, któr nie m uzsdnieni fizycznego [4]. (4) (5) 2. ODYFIKACJE ODELU JILESA-ATHERTONA W literturze przedmiotu [3] sygnlizowny jest problem z estymcją włściwych wrtości prmetrów modelu J-A, niedokłdne odwzorownie brdziej złożonych cykli przemgnesowni, czy pominięcie prądów wirowych [4]. Problem ten zostł podjęty m.in. w prcy [11], gdzie nlizę przeprowdzono dl wrtości prmetrów modelu uzysknych z lgorytmu estymcji zproponownego w prcy [5]. Autorzy cytownej prcy wskzują, że dl mniejszych pętli histerezy, gdzie różnic pomiędzy wynikmi obliczeń i pomirów wzrst, przebiegi stją się niesymetryczne i dochodzi do niezmknięci krzywej mgnesowni. Wynik to ze wzrostu indukcji mgnetycznej B w rdzeniu i spdku ntężeni pol mgnetycznego H, które nie mją fizycznego uzsdnieni. Zproponown w prcy [11] modyfikcj modelu Jiles-Atherton sprowdz się do wprowdzeni korekty w zkresie niefizycznego przebiegu krzywej

4 42 ZESZYTY NAUKOWE AKADEII ORSKIEJ W GDYNI, nr 75, grudzień 2012 histerezy w obrębie jej zkończeń. odyfikcj t uniemożliwi wzrost mgnetyzcji odwrclnej podczs spdku ntężeni pol mgnetycznego i odwrotnie. W modelu z prcy [11] wprowdzono współczynnik sklujący zznczjąc, że wrtości tego współczynnik wyzncz się n podstwie itercji kilku przebiegów krzywej mgnesowni. odel zostł opisny z pomocą pięciu prmetrów modelu Jiles-Atherton, α, c, k, S, które przyjmują wrtości zleżne od rodzju mteriłu, z którego zostł wykonny rdzeń. Wrtość mgnetyzcji nieodwrclnej irr określn jest z dużej pętli histerezy i sklown w odniesieniu do mgnetyzcji nsyceni osiągnej przez mniejszą pętlę. Uwzględnijąc proces sklowni, równnie (4) przyjmuje postć [11]: d irr irr,turn ( H mx ) δ s irrl = (6) irr,l ( H mx ) δ s irr,turn mgnetyzcj nieodwrcln w punktch, w których zmieni się znk pochodnej db, mgnetyzcj nieodwrcln odczytn z wielkiej krzywej mgnesowni. irrl Uwzględnijąc równni (4 6) orz przyjmując, że mgnetyzcj odwrcln nie wpływ n niedoskonłość zmodyfikownego modelu Jiles-Atherton, omówionego w prcy [11], równnie mgnetyzcji cłkowitej przyjmuje postć: = turn L ( H ( H mx mx ) δ ) δ L mgnetyzcj wielkiej pętli histerezy, H mx mksymln wrtość ntężeni pol mgnetycznego, przy której dochodzi do zmknięci krzywej mgnesowni. Z kolei w prcy [2] zsugerowno, że wykorzystnie funkcji Brillouin do opisu pętli histerezy m większe uzsdnienie niż zstosownie funkcji Lngevin. Stwierdzono tu, że w polu mgnetycznym kżdy spin może być w jednym z 2J+1 stnów energetycznych. Koncepcj t zostł później tkże rozwinięt m.in. w prcy [3], gdzie wskzno, że cłkowit różniczk d/ rozkłd się n skłdową odwrclną d r / i nieodwrclną d irr / modulowną przez wprowdzony przez utor cytownej prcy współczynnik R(m) i wyrżono ją zleżnością: d s s L (7) d irr = R( m) β + (8) gdzie β reprezentuje odwrclny proces mgnesowni, ntomist R(m) jest funkcją zredukownej mgnetyzcji wyrżoną wzorem: 2 R ( m) = 1 (9) s

5 K. Górecki, K. Detk, odelownie chrkterystyk rdzeni ferromgnetycznych 43 Wykorzystując fundmentlne równnie Jiles-Atherton dne wzorem (4) i wprowdzjąc modyfikcję w zkresie określeni ntężeni pol mgnetycznego H dl modelu odwrclnego mgnesowni, otrzymno równnie: d irr e = δ d k δ k prmetr oryginlnego modelu J-A, H e efektywne pole mgnetyczne zdefiniowne zleżnością: = H + α (11) H e Z kolei δ określone zostło z pomocą równni: irr (10) δ = 0, 5 1+ sign ( irr ) (12) dt Nleży wspomnieć, że w literturze przedmiotu występuje niewiele opisów modelu Jiles-Atherton, uwzględnijących zjwisko smongrzewni. W prcy [6] zproponowno opis modelu J-A z uwzględnieniem tego zjwisk. Zproponowny model bzuje n izotermicznym modelu J-A, le obejmuje tkże temperturę Curie i smongrzewnie wynikjące ze strt energii w rdzeniu. Sformułownie elektrotermicznego modelu rdzeni, podobnie jk modeli elektrotermicznych innych elementów elektronicznych [16], wymgło sformułowni zleżności opisujących chrkterystyki izotermiczne rdzeni, uwzględnijących zminy tempertury, sformułowni modelu termicznego jko zleżności tempertury wnętrz rdzeni od wydzielnej w nim mocy orz zdefiniowni modelu mocy cieplnej. Indukcj w rdzeniu opisn jest wzorem: ( H + ) µ 0 gdy TR < TC B = (13) µ 0 H gdy TR TC T R tempertur rdzeni, T C tempertur Curie. Do opisu zleżności (H) wykorzystno równnie różniczkowe o postci [6]: d = + ( 1+ c) δ k 1 c + c d gdzie ozncz mgnetyzcję krzywej pierwotnego mgnesowni, c, k, δ mją ten sm sens co w oryginlnym modelu J-A. gnetyzcję krzywej pierwotnego mgnesowni obliczono z zleżności: = s H + α F (14) (15)

6 44 ZESZYTY NAUKOWE AKADEII ORSKIEJ W GDYNI, nr 75, grudzień 2012 Funkcję F(x) zdefiniowno wzorem [6]: x x Fx ( ) = sgn(x) 1 0,9 exp 0,1 exp 2,5 25 gnetyzcj nsyceni jest uzleżnion od tempertury rdzeni zgodnie ze wzorem: S S 0 1 [ + ( T )] 0 (16) ( T ) = α T (17) R S0 mgnetyzcj nsyceni w temperturze odniesieni T 0, α temperturowy współczynnik zmin mgnetyzcji nsyceni. Strty w rdzeniu wynikjące z istnieni pętli histerezy określono z pomocą zleżności: αf αb m R 2 [ 1 D ( T Tm ) ] pv = A f B A, D, αf, αb, T m prmetry modelu, f częstotliwość, mplitud indukcji pol mgnetycznego. B m Energi elektryczn wydzielon w rdzeniu powoduje wzrost tempertury rdzeni. odel termiczny opisno z pomocą równni [15]: T R = T + t 0 Z' ( x ) p r (18) ( t x) dx (19) p r moc wydzieln w rdzeniu, Z czsow pochodn przejściow impedncji termicznej rdzeni, opisn wzorem [15, 16]: N t Z( t) = Rth 1 i exp (20) i= 1 τ thi R th rezystncj termiczn, τ thi i-t termiczn stł czsow związn ze współczynnikiem wgowym i, N liczb termicznych stłych czsowych w modelu. 3. IPLEENTACJA ODELI W PROGRAIE SPICE Opisne powyżej modele zostły zimplementowne w progrmie SPICE. Ze względów formlnych zleżności opisujące model Jiles-Atherton wrz z jego modyfikcjmi nie mogły zostć zpisne bezpośrednio w tym progrmie, dltego niezbędne było przygotownie odpowiedniej reprezentcji obwodowej tych modeli.

7 K. Górecki, K. Detk, odelownie chrkterystyk rdzeni ferromgnetycznych 45 N rysunku 1 przedstwiono reprezentcję obwodową modelu Jiles-Atherton. W modelu tym wrtość mgnetyzcji wyznczn jest w ukłdzie, stnowiącym równoległe połączenie kondenstor C o jednostkowej pojemności orz sterownego źródł prądowego G o wydjności odpowidjącej iloczynowi prwej stronie równni (5) i czsowej pochodnej ntężeni pol mgnetycznego. Dodtkowo, równolegle do sterownego źródł prądowego podłączono rezystor R, zpewnijący uzysknie skończonej rezystncji między kżdym węzłem ukłdu msą. B EB E E1 = C C h = = R C V d G EH V Rys.1. Reprezentcj obwodow modelu Jiles-Atherton Fig. 1. The network representtion of the Jiles-Atherton model Poz ukłdem służącym do wyznczeni mgnetyzcji występują w modelu ukłdy pomocnicze, zwierjące sterowne źródł npięciowe, służące do wyznczeni prmetrów, wpływjących n wrtość mgnetyzcji, tkich jk: indukcj mgnetyczn (EB), mgnetyzcj krzywej pierwotnego mgnesowni (E), ntężenie pol mgnetycznego (EH). Obwody zwierjące elementy E1, C, V d orz EH, C h, V umożliwiją wyznczenie czsowych pochodnych odpowiednio mgnetyzcji n krzywej pierwotnego mgnesowni orz ntężeni pol mgnetycznego. Reprezentcj obwodow modyfikcji modelu Jiles-Atherton [3] zostł przedstwion n rysunku 2. B H Zn Znx EB EH E EZn EZnx R G C R irr Girr C irr EH C h V EHe C he V e Eir1 C ir1 V dir 1 Rys. 2. Reprezentcj obwodow zmodyfikownego modelu Jiles-Atherton opisnego w prcy [3] Fig. 2. The network representtion of the modified Jiles-Atherton model described in [3]

8 46 ZESZYTY NAUKOWE AKADEII ORSKIEJ W GDYNI, nr 75, grudzień 2012 W modelu tym możn wyróżnić trzy grupy podukłdów. Pierwsz z nich, zwierjąc szeregowe połączenie sterownego źródł npięciowego, kondenstor orz źródł npięciowego o zerowej wydjności, umożliwi wyznczenie czsowych pochodnych ntężeni pol mgnetycznego /dt, ekwiwlentnego ntężeni pol mgnetycznego e /dt orz mgnetyzcji odwrclnej d irr /dt. Drug grup, zwierjąc równolegle połączone sterowne źródł prądowe, kondenstory i rezystory, umożliwi wyliczenie mgnetyzcji orz mgnetyzcji odwrclnej irr. Trzeci grup, zwierjąc sterowne źródł npięciowe, służy do wyliczni indukcji pol mgnetycznego B, mgnetyzcji z krzywej pierwotnego mgnesowni, ntężeni pol mgnetycznego H orz wrtości prmetru δ dnego równniem (13). Z kolei wyzncznie przebiegów krzywej mgnesowni z pomocą modelu opisnego w prcy [11] sprowdz się do itercji przebiegów pętli histerezy w odniesieniu do krzywej mgnesowni uzysknej z modelu Jiles-Atherton przedstwionego n rysunku 1, nstępnie określeniu wrtości współczynnik sklującego zgodnie z zleżnością (7). Reprezentcję obwodową elektrotermicznego modelu rdzeni ferromgnetycznego przedstwiono n rysunku 3. W modelu tym do wyznczeni mgnetyzcji wykorzystno dw równolegle połączone sterowne źródł prądowe G 1 i G 2 orz rezystor R 3 i kondenstor C 2. Podobnie jk w omówionym powyżej modelu Jiles- -Atherton orz modelu [3] wprowdzono ukłdy pomocnicze, służące do wyznczeni prmetrów związnych z procesem mgnesowni. Sterowne źródło npięciowe E 4 o wydjności odpowidjącej prwej stronie równni (15) opisuje mgnetyzcję n krzywej pierwotnego mgnesowni. Sterowne źródło npięciowe E 5 monitoruje indukcję pol mgnetycznego. Ukłd zwierjący sterowne źródło prądowe G p, dwójnik R th -C th orz źródło npięciowe V T stnowi model termiczny, w którym obliczn jest wrtość tempertury rdzeni T R. Wydjność sterownego źródł prądowego G p równ jest prwej stronie równni (18). Rys. 3. Reprezentcj obwodow modelu elektrotermicznego Fig. 3. The network representtion of the electrotherml model

9 K. Górecki, K. Detk, odelownie chrkterystyk rdzeni ferromgnetycznych 47 Bloki zwierjące sterowne źródł npięciowe, kondenstor orz niezleżne źródło npięciowe służą do wyznczni czsowych pochodnych mgnetyzcji n krzywej pierwotnego mgnesowni, indukcji pol mgnetycznego B orz ntężeni pol mgnetycznego H. 4. WYNIKI OBLICZEŃ Przy wykorzystniu wszystkich omówionych w rozdzile 3 modeli przeprowdzono nlizy stnów przejściowych, w których wyniku uzyskno chrkterystyki mgnesowni przedstwione n rysunkch 4 7. Dl wszystkich modeli zstosowno tkie sme wrtości prmetrów, wynoszące: s = 300 ka/m, = 50 A/m, α = 0, c = 0,4, k = 20 A/m, f = 10 khz, B m = 300 mt, D = 0,002 K 2, T m = 353 K, R th = 10 K/W, J = 1, β = 10 5, A = 10 5 W, α = 1,5, αb = 2,5, α = K 1. 0,4 0,3 odel elektrotermiczny 0,2 0,1 0-0,1-0,2-0,3 odel Jiles-Atherton odel z prcy [11] odel z prcy [3] -0, H [A/m] Rys. 4. Przebieg krzywych mgnesowni dl mplitudy sygnłu pobudzjącego równej 700 A/m Fig. 4. The mgnetiztion curves obtined t the mgnitude of the mgnetic force equl to 700 A/m Poszczególne chrkterystyki, prezentowne n rysunkch 4 6 odpowidją różnym wrtościom mplitudy sinusoidlnego przebiegu ntężeni pol mgnetycznego. Wynosi on kolejno 700 A/m (rys. 4), 20 A/m (rys. 5) orz 5 A/m (rys. 6). N rysunku 4 widoczn jest wielk pętl histerezy wygenerown przy wykorzystniu poszczególnych modeli rdzeni. Jk możn łtwo zuwżyć, chrkterystyki uzyskne z pomocą modelu Jiles-Atherton i modelu elektrotermicznego są prktycznie nierozróżnilne. Chrkterystyk uzyskn z wykorzystniem zmodyfikownego modelu z prcy [11] tylko niezncznie odbieg od wymienionych wyżej modeli, różnice między nimi są widoczne w zkresie dużych wrtości ntęże-

10 48 ZESZYTY NAUKOWE AKADEII ORSKIEJ W GDYNI, nr 75, grudzień 2012 ni pol mgnetycznego. Chrkterystyk uzyskn z pomocą modelu z prcy [3] istotnie odbieg od pozostłych chrkterystyk. Cechuje się on zncznie większą powierzchnią pętli histerezy orz wrtościmi pol koercji i indukcji remnencji, tkże mniejszą wrtością indukcji nsyceni w porównniu z pozostłymi modelmi. Pokzne n rysunkch 5 6 młe pętle histerezy wykzują podobny chrkter rozbieżności między wynikmi uzysknymi przy wykorzystniu poszczególnych modeli. Wrto jednk zuwżyć, że przy mplitudzie sygnłu pobudzjącego 20 A/m wrtość przeniklności mgnetycznej (równej nchyleniu krzywej mgnesowni) różni się pomiędzy poszczególnymi modelmi co njwyżej dwukrotnie. Z kolei w przypdku mplitudy ntężeni pol mgnetycznego równej 5 A/m, wrtość przeniklności mgnetycznej uzyskn z pomocą modelu z prcy [3] jest wielokrotnie mniejsz od wrtości tego prmetru uzysknej przy wykorzystniu pozostłych z rozwżnych modeli. Wrto zuwżyć, że stosując model z prcy [3], uzyskuje się inny ksztłt młej pętli histerezy niż w przypdku zstosowni pozostłych modeli, w szczególności zś inny chrkter m przebieg krzywej pierwotnego mgnesowni uzysknej z tego modelu. Obserwowne rozbieżności między wynikmi uzysknymi z pomocą modelu z prcy [3] i pozostłych rozwżnych modeli mogą świdczyć o tym, że pomimo stosowni identycznych oznczeń wrtości poszczególnych prmetrów tego modelu powinny mieć zmodyfikowne wrtości w stosunku do klsycznego modelu Jiles-Atherton. 0,04 0,03 odel elektrotermiczny B [T] 0,02 0,01 0,00-0,01-0,02 odel z prcy [11] -0,03 odel Jiles-Atherton odel z prcy [3] -0, H [A/m] Rys. 5. Przebieg krzywych mgnesowni dl mplitudy sygnłu pobudzjącego 20 A/m Fig. 5. The mgnetiztion curves obtined t the mgnitude of the mgnetic force equl to 20 A/m

11 K. Górecki, K. Detk, odelownie chrkterystyk rdzeni ferromgnetycznych 49 0,006 odel z prcy [11] 0,004 0,002 B [T] 0 odel Jiles-Atherton -0,002 odel z prcy [3] -0,004 odel elektrotermiczny -0, H [A/m] Rys. 6. Przebieg krzywych mgnesowni dl mplitudy pobudzeni 5 A/m Fig. 6. The mgnetiztion curves obtined t the mgnitude of the mgnetic force equl to 5 A/m W poprzednio rozptrywnych przykłdch przyjęto młą wrtość rezystncji termicznej w modelu elektrotermicznym, by prktycznie możn było pominąć zjwisko smongrzewni. Wpływ tego zjwisk n chrkterystykę mgnesowni rdzeni zilustrowno n rysunku 7, przedstwijącym krzywe mgnesowni uzyskne z pomocą modelu elektrotermicznego odpowidjącego różnym wrtościom rezystncji termicznej R th. B [T] 0,4 0,3 0,2 0,1 0-0,1 R th = 1 K/W R th = 10 K/W R th = 100 K/W R th = 1000 K/W -0,2-0,3-0, H [A/m] Rys. 7. Krzywe mgnesowni odpowidjące różnym wrtościom rezystncji termicznej Fig. 7. The mgnetiztion curves obtined for different vlues of the therml resistnce Jk możn zuwżyć, wrunki chłodzeni, których mirą jest rezystncj termiczn, istotnie wpływją n przebieg pętli histerezy. Przy wzroście wrtości rezystncji termicznej, któremu odpowid wzrost tempertury rdzeni, zobser-

12 50 ZESZYTY NAUKOWE AKADEII ORSKIEJ W GDYNI, nr 75, grudzień 2012 wowno spdek wrtości indukcji nsyceni, spdek powierzchni pętli histerezy orz spdek przeniklności mgnetycznej (równej nchyleniu krzywej mgnesowni). W skrjnym przypdku, gdy tempertur rdzeni przekroczy wrtość tempertury Curie, chrkterystyk mgnesowni stnie się linią prostą o nchyleniu równym przeniklności mgnetycznej próżni. PODSUOWANIE W prcy omówiono model rdzeni ferromgnetycznego oprcowny przez Jiles-Atherton orz trzy propozycje modyfikcji tego modelu, tkże zprezentowno sposób implementcji tych modeli w progrmie SPICE. Przedstwione w rozdzile 4 przebiegi B(H) wskzują, że modyfikcj polegjąc n wprowdzeniu współczynnik sklującego pozwl n uzysknie symetrycznych i zmkniętych pętli histerezy, tkże przy niskiej mplitudzie sygnłu pobudzjącego. Zobserwowno istotne rozbieżności między chrkterystykmi mgnesowni uzysknymi przy wykorzystniu modelu z prcy [3] pozostłymi modelmi. oże to oznczć, że zmodyfikowny opis modelu rdzeni wymg również zmodyfikownych wrtości prmetrów występujących w klsycznym modelu Jiles-Atherton i w modelu z prcy [3]. Klsyczny model Jiles-Atherton orz jego modyfikcje zwrte w prcch [3] i [11] w opisie krzywej mgnesowni wykorzystują jedynie prmetry chrkteryzujące proces mgnesowni, ntomist nie uwzględniją one zjwisk smongrzewni. Zjwisko to wzięto po uwgę przy formułowniu elektrotermicznego modelu cewki [6]. N podstwie tego modelu sformułowno elektrotermiczny model rdzeni. Oprócz opisu zjwisk mgnetycznych w modelu tym uwzględniono wpływ n chrkterystykę mgnesowni tkich czynników, jk: tempertur rdzeni, strty energii w rdzeniu orz smongrzewnie. Jk wykzły obliczeni, zjwisko smongrzewni istotnie wpływ n przebieg chrkterystyki B(H). W celu oceny przydtności rozwżnych modeli w prktyce inżynierskiej plnown jest weryfikcj doświdczln rozwżnych modeli dl różnych mteriłów mgnetycznych. Projekt zostł sfinnsowny ze środków Nrodowego Centrum Nuki przyznnych n podstwie decyzji numer DEC-2011/01/B/ST7/ LITERATURA 1. Blnkiewicz K., Wyzncznie podtności mgnetycznej χ prmgnetyków i dimgnetyków, Lbortorium fizyki I P, Politechnik Wrszwsk, ProgrmZjec/progrm_fog.pdf.

13 K. Górecki, K. Detk, odelownie chrkterystyk rdzeni ferromgnetycznych Boukhtche S., Azoui B., Félichi., A novel model for mgnetic hysteresis of silicon-ironsheets, Europen Physics Journl Applied Physics, Vol. 34, 2006, s Chwstek K., Frequency behviour of the modified Jiles-Atherton model, Physic B, Vol. 403, 2008, s Chwstek K., Prmetryczne bdnie fenomenologicznego modelu histerezy mgnetycznej, Prce Instytutu Elektrotechniki, 2011, z. 252, s Corn A., rchesi., rtini C., Ridell S., inimizing multimodl functions of continuous vrible with the simulted nneling lgorithm, AC Trnsctions on themticl Softwre, Vol. 31, 1995, s Górecki K., odelownie cewki z rdzeniem ferrytowym w progrmie SPICE z uwzględnieniem smongrzewni, Kwrtlnik Elektroniki i Telekomunikcji, Vol. 49, 2003, nr 3, s Górecki K., Detk K., Wpływ doboru rdzeni dłwik n nieizotermiczne chrkterystyki przetwornicy buck, Elektronik, 2011, nr 10, s Górecki K., Zrębski J., Detk K., teriły mgnetyczne wykorzystywne w przetwornicch dc-dc. XXXV iędzynrodow Konferencj z Podstw Elektrotechniki i Teorii Obwodów IC-SPETO 2012, Ustroń 2012, s Jiles D.C., Atherton D.L., Ferromgnetic Hysteresis, IEEE Trnsctions on gnetics, Vol. AG-19, 1983, No. 5, s Jiles D.C., Atherton D.L., Theory of ferromgnetic hysteresis, Journl of gnetism nd gnetic terils, Vol. 61, 1986, s Lederer D., Igrshi H., Kost A., Honm T., On the Prmetr Identifiction nd Appliction of the JA Hysteresis model for numericl modelling of mesured chrcteristic, IEEE Trnsctions on gnetics, Vol. 35, 1999, No. 3, s teri w polu mgnetycznym, iljevec D., Zidric B., Introducing domin flexing function in the Jiles-Atherton hysteresis model, Journl of gnetism nd gnetic terils, Vol. 320, 2008, s Wyzncznie chrkterystyk mgnesowni ferromgnetyków. Lbortorium Elektrotechniki Teoretycznej, Politechnik Częstochowsk, Częstochow 2004, histerez.doc. 15. Zrębski J., odelownie, symulcj i pomiry przebiegów elektrotermicznych w elementch półprzewodnikowych i ukłdch elektronicznych, Wydwnictwo WS w Gdyni, Gdyni Zrębski J., Włściwości cieplne elementów półprzewodnikowych i ukłdów elektronicznych, Wydwnictwo Tekst, Bydgoszcz ODELLING OF FERROAGNETIC CORES CHARACTERISTICS Summry This pper refers modelling of chrcteristics of ferromgnetic cores. The clssicl Jiles-Atherton model of the ferromgnetic core nd his selected modifictions re described. With the use of these models the mgnetizing chrcteristics of the rbitrrily selected core were clculted. The legitimcy of ech modifictions of the clssicl model is discussed nd potentil res of their use were showed. Keywords: ferromgnetic cores, modelling, mgnetiztion curves.

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ ADANIE ZAEŻNOŚCI PRZENIKANOŚCI MAGNETYCZNEJ FERRIMAGNETYKÓW OD TEMPERATURY 1. Teori Włściwości mgnetyczne sstncji chrkteryzje współczynnik przeniklności mgnetycznej. Dl próżni ten współczynnik jest równy

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE RÓWNANIA NASGRO DO OPISU KRZYWYCH PROPAGACYJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOWYCH

ZASTOSOWANIE RÓWNANIA NASGRO DO OPISU KRZYWYCH PROPAGACYJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOWYCH Sylwester KŁYSZ *, **, nn BIEŃ **, Pweł SZBRCKI ** ** Instytut Techniczny ojsk Lotniczych, rszw * Uniwersytet rmińsko-mzurski, Olsztyn ZSTOSONIE RÓNNI NSGRO DO OPISU KRZYYCH PROPGCYJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOYCH

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne z przedmiotu : Napędy Hydrauliczne i Pneumatyczne

Ćwiczenia laboratoryjne z przedmiotu : Napędy Hydrauliczne i Pneumatyczne Lbortorium nr 11 Temt: Elementy elektropneumtycznych ukłdów sterowni 1. Cel ćwiczeni: Opnownie umiejętności identyfikcji elementów elektropneumtycznych n podstwie osprzętu FESTO Didctic. W dużej ilości

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

KSZTAŁTOWANIE ŁUKOWO-KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW W UZĘBIENIU CZOŁOWYM NA FREZARCE CNC

KSZTAŁTOWANIE ŁUKOWO-KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW W UZĘBIENIU CZOŁOWYM NA FREZARCE CNC KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 8 nr Archiwum Technologii Mszyn i Automtyzcji 008 PIOTR FRĄCKOWIAK KSZTAŁTOWANIE ŁUKOWO-KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW W UZĘBIENIU CZOŁOWYM NA FREZARCE CNC W rtykule

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

WPŁYW WILGOTNOŚCI NA SZTYWNOŚCIOWE TŁUMIENIE DRGAŃ KONSTRUKCJI DREWNIANYCH

WPŁYW WILGOTNOŚCI NA SZTYWNOŚCIOWE TŁUMIENIE DRGAŃ KONSTRUKCJI DREWNIANYCH 95 ROCZNII INŻYNIERII BUDOWLANEJ ZESZYT 3/03 omisj Inżynierii Budowlnej Oddził Polskiej Akdemii Nuk w towicch WPŁYW WILGOTNOŚCI NA SZTYWNOŚCIOWE TŁUMIENIE DRGAŃ ONSTRUCJI DREWNIANYCH mil PAWLI, Zbigniew

Bardziej szczegółowo

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub

Bardziej szczegółowo

Aparatura sterująca i sygnalizacyjna Czujniki indukcyjne zbliżeniowe LSI

Aparatura sterująca i sygnalizacyjna Czujniki indukcyjne zbliżeniowe LSI Aprtur sterując i sygnlizcyjn Czujniki indukcyjne zbliżeniowe LSI Czujnik indukcyjny zbliżeniowy prcuje n zsdzie tłumionego oscyltor LC: jeżeli w obszr dziłni dostnie się metl, to z ukłdu zostje pobrn

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Opis i analiza metod pomiaru prędkości kątowej. Prądnice tachometryczne.

Opis i analiza metod pomiaru prędkości kątowej. Prądnice tachometryczne. Opis i nliz metod pomiru prędkości kątowej. Prądnice tcometryczne. Prądnice tcometryczne są to młe prądnice elektryczne, któryc npięcie wyjściowe zwier informcję o prędkości obrotowej, w niektóryc przypdkc

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R E-14

Ć W I C Z E N I E N R E-14 INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA ELEKTRYCZNOŚCI I MAGNETYZMU Ć W I C Z E N I E N R E-14 WYZNACZANIE SZYBKOŚCI WYJŚCIOWEJ ELEKTRONÓW

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie analizy widmowej sygnału ultradwikowego do okrelenia gruboci cienkich warstw

Zastosowanie analizy widmowej sygnału ultradwikowego do okrelenia gruboci cienkich warstw AMME 1 1th JUBILEE INTERNATIONAL SC IENTIFIC CONFERENCE Zstosownie nlizy widmowej sygnłu ultrdwikowego do okreleni gruboci cienkich wrstw A. Kruk Wydził Metlurgii i Inynierii Mteriłowej, Akdemi Górniczo-Hutnicz

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

Fizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule

Fizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule Fizyk Kurs przygotowwczy n studi inżynierskie mgr Kmil Hule Dzień 3 Lbortorium Pomir dlczego mierzymy? Pomir jest nieodłączną częścią nuki. Stopień znjomości rzeczy często wiąże się ze sposobem ich pomiru.

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

POWŁOKI ELEKTROISKROWE WC-CO MODYFIKOWANE WIĄZKĄ LASEROWĄ. 88 Powłoki elektroiskrowe WC-Co modyfikowane wiązką laserową. Wstęp

POWŁOKI ELEKTROISKROWE WC-CO MODYFIKOWANE WIĄZKĄ LASEROWĄ. 88 Powłoki elektroiskrowe WC-Co modyfikowane wiązką laserową. Wstęp Rdek N.,* Szlpko J.** *Ktedr Inżynierii Eksplotcji Politechnik Świętokrzysk, Kielce, Polsk **Khmelnitckij Uniwersytet Nrodowy, Khmelnitckij, Ukrin Wstęp 88 POWŁOKI ELEKTROISKROWE WC-CO MODYFIKOWANE WIĄZKĄ

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Fizykalne problemy zastosowań nadprzewodników wysokotemperaturowych w elektro-energetyce

Fizykalne problemy zastosowań nadprzewodników wysokotemperaturowych w elektro-energetyce Jcek SOSNOWSKI Instytut Elektrotechniki, Wrszw Fizyklne problemy zstosowń ndprzewodników wysokotemperturowych w elektro-energetyce Streszczenie. Przedyskutowno perspektywy i fizyklne problemy wykorzystni

Bardziej szczegółowo

EUROELEKTRA Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok szkolny 2014/2015 Zadania dla grupy elektronicznej na zawody II stopnia

EUROELEKTRA Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok szkolny 2014/2015 Zadania dla grupy elektronicznej na zawody II stopnia EOELEKTA Ogólnopolsk Olimpid Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej ok szkolny 204/205 Zdni dl grupy elektronicznej n zwody stopni Zdnie Dl diody półprzewodnikowej, której przeieg chrkterystyki prądowo-npięciowej

Bardziej szczegółowo

Numer yczne wyznaczanie wytr zymałości opakowań z tektury falistej

Numer yczne wyznaczanie wytr zymałości opakowań z tektury falistej Numer yczne wyzncznie wytr zymłości opkowń z tektury flistej Cz. 2. Bdni eksper ymentlne i nlizy numer yczne opkowń ppierowych Numericl Strength Estimte of Corrugted Bord Pckges Prt 2. Experimentl Tests

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik nr 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: POKL.05.02.01 00../..

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń

Bardziej szczegółowo

LASER TREATMENT WITH PREHEATING OF CAST IRON ELEMENTS

LASER TREATMENT WITH PREHEATING OF CAST IRON ELEMENTS Grzegorz KINAL Politechnik Poznńsk, Instytut Mszyn Rooczych i Pojzdów Smochodowych ul. Piotrowo 3, 60-965 Poznń (Polnd) e-mil: office_wmmv@put.poznn.pl LASER TREATMENT WITH PREHEATING OF CAST IRON ELEMENTS

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wirnikiem łożyskowanym magnetycznie w obróbce powierzchni n-falowych

Sterowanie wirnikiem łożyskowanym magnetycznie w obróbce powierzchni n-falowych Pomiry Automtyk Rootyk /5 Sterownie wirnikiem łożyskownym mgnetycznie w oróce powierzchni n-flowych Zdzisłw Gosiewski Arkdiusz Mystkowski * Przedstwiono wyniki dń n-flowego ruchu nieorcjącego się wirnik

Bardziej szczegółowo

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Foli Univ. Agric. Stetin. 2007, Oeconomic 254 (47), 117 122 Jolnt KONDRATOWICZ-POZORSKA ROLA KLIENTA W ZRÓWNOWAŻONYM ROZWOJU FIRMY ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED

Bardziej szczegółowo

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH Michł PAWŁOWSKI 1 1. WSTĘP Corz większy rozwój przemysłu energetycznego, w tym siłowni witrowych stwi corz większe wymgni woec producentów przekłdni zętych jeśli

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH Ochron przeciwwybuchow Michł Świerżewski WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH 1. Widomości ogólne Zgodnie z postnowienimi rozporządzeni Ministr Sprw Wewnętrznych

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ANALIZY CZASOWO-CZĘSTOTLIWOŚCIOWEJ W DIAGNOZOWANIU LOKALNYCH USZKODZEŃ PRZEKŁADNI ZĘBATYCH

ZASTOSOWANIE ANALIZY CZASOWO-CZĘSTOTLIWOŚCIOWEJ W DIAGNOZOWANIU LOKALNYCH USZKODZEŃ PRZEKŁADNI ZĘBATYCH Szybkobieżne Pojzdy Gąsienicowe (14) nr 1, 2001 Andrzej WILK Henryk MADEJ Bogusłw ŁAZARZ ZASTOSOWANIE ANALIZY CZASOWO-CZĘSTOTLIWOŚCIOWEJ W DIAGNOZOWANIU LOKALNYCH USZKODZEŃ PRZEKŁADNI ZĘBATYCH Streszczenie:

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie stałych kwasowości p-nitrofenolu i glicyny metodą pehametryczną

Wyznaczanie stałych kwasowości p-nitrofenolu i glicyny metodą pehametryczną Wyzncznie stłych kwsowości p-nitrofenolu i glicyny metodą pehmetryczną 1 Wyzncznie stłych kwsowości p-nitrofenolu i glicyny metodą pehmetryczną 1. Cel ćwiczeni Celem pomirów jest ilościowe schrkteryzownie

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze do ćwiczeń z przedmiotu: Ogrzewnictwo, wentylacja i klimatyzacja II. Klimatyzacja

Materiały pomocnicze do ćwiczeń z przedmiotu: Ogrzewnictwo, wentylacja i klimatyzacja II. Klimatyzacja Mteriły pomocnicze do ćwiczeń z przedmiotu: Orzewnictwo, wentylcj i klimtyzcj II. Klimtyzcj Rozdził 1 Podstwowe włsności powietrz jko nośnik ciepł mr inż. Anieszk Sdłowsk-Słę Mteriły pomocnicze do klimtyzcji.

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL Złącznik nr 5 Krt oceny merytorycznej Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu innowcyjnego testującego skłdnego w trybie konkursowym w rmch PO KL NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKA TEKSTURY WYBRANYCH MIKSÓW TŁUSZCZOWYCH. Ewa Jakubczyk, Ewa Gondek, Karolina Samborska

CHARAKTERYSTYKA TEKSTURY WYBRANYCH MIKSÓW TŁUSZCZOWYCH. Ewa Jakubczyk, Ewa Gondek, Karolina Samborska Zeszyty Problemowe Postępów Nuk Rolniczych nr 579, 214, 17 26 CHRKTERYSTYK TEKSTURY WYBRNYCH MIKSÓW TŁUSZCZOWYCH Ew Jkubczyk, Ew Gondek, Krolin Smborsk Szkoł Główn Gospodrstw Wiejskiego w Wrszwie Streszczenie.

Bardziej szczegółowo

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Wyrównanie sieci niwelacyjnej 1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE WYBRANYCH RÓWNAŃ KONSTYTUTYWNYCH STOPÓW Z PAMIĘCIĄ KSZTAŁTU

PORÓWNANIE WYBRANYCH RÓWNAŃ KONSTYTUTYWNYCH STOPÓW Z PAMIĘCIĄ KSZTAŁTU ODELOWNIE INŻYNIERKIE INN 1896-771X 3,. 37-44, Gliwice 6 PORÓWNNIE WYBRNYCH RÓWNŃ KONTYTUTYWNYCH TOPÓW Z PIĘCIĄ KZTŁTU KRZYZTOF BIEREG Ktedr Wyokich Npięć i prtów Elekt., Politechnik Gdńk trezczenie. W

Bardziej szczegółowo

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH DECYZJE nr 1 czerwiec 2004 37 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Krzysztof Jjug Akdemi Ekonomiczn we Wrocłwiu Wprowdzenie modele teorii finnsów Teori finnsów, zwn również ekonomią finnsową, jest jednym

Bardziej szczegółowo

Materiały szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA. Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB

Materiały szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA. Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB Mteriły szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB 1. Wprowdzenie Drgnimi nzywne są procesy, w których chrkterystyczne dl nich wielkości fizyczne

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Układ elektrohydrauliczny do badania siłowników teleskopowych i tłokowych

Układ elektrohydrauliczny do badania siłowników teleskopowych i tłokowych TDUSZ KRT TOMSZ PRZKŁD Ukłd elektrohydruliczny do bdni siłowników teleskopowych i tłokowych Wprowdzenie Polsk Norm PN-72/M-73202 Npędy i sterowni hydruliczne. Cylindry hydruliczne. Ogólne wymgni i bdni

Bardziej szczegółowo

POMIAR MODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI STALI PRZEZ POMIAR WYDŁUŻENIA DRUTU

POMIAR MODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI STALI PRZEZ POMIAR WYDŁUŻENIA DRUTU POMIAR MODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI STALI PRZEZ POMIAR WYDŁUŻENIA DRUTU I. Cel ćwiczeni: zpoznnie z teorią odksztłceń sprężystych cił stłych orz z prwem Hooke.Wyzncznie modułu sprężystości (modułu Young) metodą

Bardziej szczegółowo

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA INFRASTRUKTURY 1) z dnia 16 grudnia 2004 r.

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA INFRASTRUKTURY 1) z dnia 16 grudnia 2004 r. Typ/orgn wydjący Rozporządzenie/Minister Infrstruktury Tytuł w sprwie szczegółowych wrunków i trybu wydwni zezwoleń n przejzdy pojzdów nienormtywnych Skrócony opis pojzdy nienormtywne Dt wydni 16 grudni

Bardziej szczegółowo

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Nottki do temtu Metody poszukiwni rozwiązń ednokryterilnych problemów decyzynych metody dl zgdnień liniowego progrmowni mtemtycznego Liniowe

Bardziej szczegółowo

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym

Bardziej szczegółowo

Anna Malarska. statystyczna analiza danych. wspomagana programem SPSS

Anna Malarska. statystyczna analiza danych. wspomagana programem SPSS Ann Mlrsk sttystyczn nliz dnych wspomgn progrmem SPSS SPSS Polsk Krków 2005 Sttystyczn nliz dnych wspomgn progrmem SPSS 1.2 Grficzne formy prezentcji dnych 1.2.1 Wykres słupkowy, histogrm Częstości relizcji

Bardziej szczegółowo

Modelowanie sił skrawania występujących przy obróbce gniazd zaworowych

Modelowanie sił skrawania występujących przy obróbce gniazd zaworowych Scentfc Journls Mrtme Unversty of Szczecn Zeszyty ukowe Akdem Morsk w Szczecne 29, 7(89) pp. 63 67 29, 7(89) s. 63 67 Modelowne sł skrwn występujących przy obróbce gnzd zworowych Cuttng forces modelng

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna 1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,

Bardziej szczegółowo

Uszczelnienie przepływowe w maszyn przepływowych oraz sposób diagnozowania uszczelnienia przepływowego zwłaszcza w maszyn przepływowych

Uszczelnienie przepływowe w maszyn przepływowych oraz sposób diagnozowania uszczelnienia przepływowego zwłaszcza w maszyn przepływowych Uszczelnienie przepływowe w mszyn przepływowych orz sposób dignozowni uszczelnieni przepływowego zwłszcz w mszyn przepływowych Przedmiotem wynlzku jest uszczelnienie przepływowe mszyn przepływowych orz

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży

Bardziej szczegółowo

WSTĘP CHARAKTERYSTYKA WZORNICTWA

WSTĘP CHARAKTERYSTYKA WZORNICTWA Annls of Wrsw University of Life Sciences SGGW Forestry nd Wood Technology No 74, 2011: 199-205 (Ann. WULS-SGGW, Forestry nd Wood Technology 74, 2011 Chrkterystyk ozdobnych drewninych posdzek w Muzeum

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne: W progrmie operuje się n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni. Interpretcj tej instrukcji jest nstępując: zmiennej znjdującej się z lewej strony instrukcji podstwieni

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GRANULOMETRYCZNEJ SUROWCÓW I PRODUKTÓW

ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GRANULOMETRYCZNEJ SUROWCÓW I PRODUKTÓW 1 ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GANULOMETYCZNEJ SUOWCÓW I PODUKTÓW 1. Cel zkres ćwczen Celem ćwczen jest opnowne przez studentów metody oceny mterłu sypkego pod względem loścowej zwrtośc frkcj

Bardziej szczegółowo

Charakterystyka składu strukturalno-grupowego olejów napędowych i średnich frakcji naftowych z zastosowaniem GC/MS

Charakterystyka składu strukturalno-grupowego olejów napędowych i średnich frakcji naftowych z zastosowaniem GC/MS NAFTA-GAZ lipiec 2012 ROK LXVIII Xymen Mzur-Bdur, Michł Krsodomski Instytut Nfty i Gzu, Krków Chrkterystyk skłdu strukturlno-grupowego olejów npędowych i średnich frkcji nftowych z zstosowniem GC/MS Wstęp

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3. Dobór mikrosilnika prądu stałego do układu pozycjonującego

Ćwiczenie 3. Dobór mikrosilnika prądu stałego do układu pozycjonującego - projektownie Ćwiczenie 3 Dobór ikrosilnik prądu stłego do ukłdu pozycjonującego Instrukcj Człowiek - njlepsz inwestycj Projekt współfinnsowny przez Unię Europejską w rch Europejskiego Funduszu Społecznego

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie Konstrkcje Elementy Mteriły Prost metod sprwdzni fndmentów ze względ n przebicie Prof dr b inż Micł Knff, Szkoł Główn Gospodrstw Wiejskiego w Wrszwie, dr inż Piotr Knyzik, Politecnik Wrszwsk 1 Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA WNIOSEK:. NUMER KONKURSU 2/POKL/8.1.1/2010 TYTUŁ PROJEKTU:... SUMA KONTROLNA

Bardziej szczegółowo

Projektowanie żelbetowych kominów przemysłowych wieloprzewodowych

Projektowanie żelbetowych kominów przemysłowych wieloprzewodowych Budownitwo i Arhitektur 3 (2008) 71-80 Projektownie żelbetowyh kominów przemysłowyh wieloprzewodowyh Mrt Słowik 1, Młgorzt Dobrowolsk 2, Krzysztof Borzęki 2 1 Ktedr Konstrukji Budowlnyh, Wydził Inżynierii

Bardziej szczegółowo

Utworzenie optymalnej bazy wzorców w dziedzinie pomiaru parametrów impedancji zespolonych

Utworzenie optymalnej bazy wzorców w dziedzinie pomiaru parametrów impedancji zespolonych Pomiry Automtyk Rootyk 1/27 Utworzenie optymlnej zy wzorców w dziedzinie pomiru prmetrów impedncji zespolonych Michł Surdu Aleksnder Lmeko Antoni Trłowski Roert Rzepkowski W prcy przedstwiono rozwiąznie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

SPLYDRO pompa ciepła powietrze / woda typu split

SPLYDRO pompa ciepła powietrze / woda typu split Inteligentne połączenie inwerterowej pompy ciepł przeznczonej do ogrzewni i chłodzeni z wieżą hydruliczną Hydro Tower SPLYDRO pomp ciepł powietrze / wod typu split ROZWIĄZANIE NA MIARĘ PRZYSZŁOŚCI - POŁĄCZENIE

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne

Bardziej szczegółowo

2. Funktory TTL cz.2

2. Funktory TTL cz.2 2. Funktory TTL z.2 1.2 Funktory z otwrtym kolektorem (O.. open olletor) ysunek poniżej przedstwi odnośny frgment płyty zołowej modelu. Shemt wewnętrzny pojedynzej rmki NAND z otwrtym kolektorem (O..)

Bardziej szczegółowo