Przykład. Wyznaczyć linię ugięcia osi belki z uwzględnieniem wpływu ściskania. Przedstawić wykresy sił przekrojowych, wyznaczyć reakcje podpór oraz ekstremalne naprężenia normalne w belce. Obliczenia wykonać dla dwóch wartości siły ściskającej i porównać z wynikami otrzymanymi w przypadku nieuwzględnienia wpływu ściskania. P l [m] E 5GPa a. [m] b.4 [m] q Przekrój prostokątny: b b mm h b 6mm b b h b b b h b I y I W y y 54cm 4 6 W y 8cm h b b b I z I z.5cm 4 h b b b W z 6 W z 9cm b b h b 8cm P q.5 a [kn/m] EI z EI EI 7.675 [knm ] knm Równanie funkcji obciążenia poprzecznego: q ( x) qφ( x b) qφ( x a b) 4 q ( x).5.5 x Równanie funkcji momentu zginającego od obciążenia poprzecznego: M ( x) qa ( l b.5a) x q ( x b) Φ( x b) q ( x b a) Φ( x b a) l M ( x).5.5.5 x
Siła krytyczna: α l w αlm π EI z P kr P kr 68.kN l w M pocz for π EI y l w 7kN Zadanie rozwiązano dla trzech wybranych wartości siły ściskającej: k M M k return Ekstremalne naprężenia przy założeniu zasady zesztywnienia M l k M max max M pocz M max.5 N p (przypadek nieuwzględnienia wpływu siły ściskającej) N p kn N p kn M max knm MPa max W max 7MPa z N p 5 N p kn N p kn M max knm 9MPa F max b W max 6MPa z N p 5 N p kn N p kn M max knm 8MPa F max b W max 5MPa z Rozwiązanie uzyskiwane w dwóch etapach: a) zamiana problemu brzegowego na problem początkowy, b) rozwiązanie problemu początkowego v load( xv) D( xw) score( xw) v v w w w 4 N p w EI w w q ( x) EI S sbval( v l Dloadscore) S.4.54 war_pocz S S Z rkfixed( war_pocz l D) wartości startowe poszukiwanych warunków początkowych wektor warunków początkowych (znane wartości i lokalizacja nieznanych wartości) układ równań różniczkowych rzędu pierwszego (równanie różniczkowe rzędu IV sprowadzone do układu równań różniczkowych rzędu I) wektor przedstawiający warunki brzegowe na drugim końcu, wektor podlega minimalizacji dlatego elementy zapisane są jako różnice między wartością obliczoną a zadaną warunkiem brzegowym funkcja sprowadzająca problem brzegowy do problemu początkowego wektor warunków początkowych funkcja rozwiązująca problem początkowy, (parametry funkcji: wektor warunków początkowych, początek przedziału, koniec przedziału, liczba podprzedziałów, wektor przedstawiający układ równań różniczkowych)
v D( xw) score( xw) load( xv) w w w 4 N p w EI w w v v q ( x) EI S sbval( v l Dloadscore) S.49.6 war_pocz S S Z rkfixed( war_pocz l D) v D( xw) score( xw) load( xv) w w w 4 N p w EI w w v v q ( x) EI S sbval( v l Dloadscore) S..7 war_pocz S S Z rkfixed( war_pocz l D)
i w [m] Z i Z i Z i. Maksymalne ugięcie belki:.5.4.96 max Z max Z max Z.4.5.5 Z i Z i Z i [m] [m] [m] x [m] Czy deformacja jest akceptowalna? Sprawdzenie założeń o małych pochodnych funkcji ugięcia. W przypadku "największej deformacji" (dla siły N p ): fi Z fi.8deg fi.49 Z l atan( fi).49 fi.47.4 mianownik we wzorze na krzywiznę (wartość największa) ~=. [m] odniesienie rzędu maksymalnego ugięcia do normowych warunków użytkowalności (warunki te na pewno spełniają założenie o małych przemieszczeniach) Moment zginający: M EI Z 4 M EI Z 4 M EI Z 4 M [knm] M i M i M i.5.5 Z i Z i Z i x [m] maxm.5 [knm] maxm.5 [knm] maxm.4 [knm] 4
Siła poprzeczna: Q EIZ 5 Q EIZ 5 Q EI Z 5 4 Q i Q Q i Q i 4.5.5 Z i Z i Z i x [m] minq.5 max max Q max max Q minq. max max Q minq.96 Wartości maksymalnych naprężeń ściskających oraz wartości naprężeń bez uwzględnienia deformacji belki: N p kn maxm knm max_ W z max_ 7MPa max 7MPa N p kn maxm knm max_ W z max_ 58MPa max 6MPa N p kn maxm knm max_ W z max_ 58MPa max 5MPa Wyznaczenie reakcji (dla przypadku z siłą N p ) H N p H 5 fi.49 sin( atan( fi) ).49 atan( fi).49 cos( atan( fi) ).999 Q.8 Q.7 Q N p fi R p R p.5 Q N p fi R k R k.5 (moduły kątów ugięcia nad podporami takie same z uwagi na symetrię obciążenia i warunków podparcia ) Sprawdzenie równowagi układu (suma rzutów na kierunek pionowy) P R p R k 9.9 4 5
Wyznaczenie reakcji (dla przypadku z siła N p ) H N p H 5 fi Z fi.6 atan( fi).6 sin( atan( fi) ).6 cos( atan( fi) ). Q.959 Q.959 Q N p fi R p R p.5 Q N p fi R k R k.5 (moduły kątów ugięcia nad podporami takie same z uwagi na symetrię obciążenia i warunków podparcia ) Sprawdzenie równowagi układu (suma rzutów na kierunek pionowy) P R p R k 4.784 4 6