Wytrzymałość Materiałów

Transkrypt

1 Wytrzymałość Materiałów Skręcanie prętów o przekrojach kołowych Siły przekrojowe, deformacja, naprężenia, warunki bezpieczeństwa i sztywności, sprężyny śrubowe. Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji dr hab. inż. Kinga Nalepka B2, III p., pok knalepka@agh.edu.pl tel

2 Siły przekrojowe - naprężenia da C Ścięcie pręta poddanego skręcaniu materiał sprężysto plastyczny - rozciąganie/ściskanie -ścinanie -skręcanie materiał kruchy F.P. Beer, Mechanicsof Materials -zginanie K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 2

3 Moment obrotowy zależności fizyczne M O Praca wykonana przez moment obrotowy [Nm] na kącie obrotu [rad]: moc [W=Nm/s]! prędkość kątowa [rad/s]!! moc [kw] " prędkość obrotowa [obr/min] # 10& 'W) * 2, rad 60 s 30 10&, # * 9550 # * N m N m s 1 s K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 3

4 Odkształcenie postaciowe R R ; ; Konfiguracja początkowa Konfiguracja końcowa ; : Odkształcenie postaciowe (?) Kąt o jaki zmieni się kąt zawarty pomiędzy dwoma włóknami materialnymi przechodzącymi przez wspólny punkt, które przed przyłożeniem obciążenia były wzajemnie prostopadłe. Prosty pręt pryzmatyczny o kołowym przekroju poprzecznym utwierdzony na jednym końcu (cała ścianka poprzeczna) obciążono na swobodnej ściance parą sił o momencie 9. Pomijamy siły masowe. Oś x wzdłuż osi pręta, a y i z stanowią osie główne centralne przekroju DE D F E D D E D HI F E D?G : : kąt skręcenia R : G > > >? = = K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 4

5 Naprężenie styczne Kąt skręcenia rośnie liniowo wraz z odległością od utwierdzenia: I L I H (4.1) Zgodnie z prawem Hooke a, naprężenie styczne jest proporcjonalne do odkształcenia postaciowego: G moduł sprężystości poprzecznej (moduł Kirchhoffa) TN L H (4.2) Naprężenie styczne jest skierowane prostopadle do promienia wodzącego rozważanego punktu i rośnie proporcjonalnie wraz z długością tego promienia 9 T HP Q R S H O P Q (4.2) Zgodnie z (4.1) oraz (4.2): 9 NL H O P Q L 9 NR 9 H, T 9 H NR S R S (4.3) K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 5 K K H UV P?

6 Warunek bezpieczeństwa T WXY Y R S H WXY Y -moment skręcający R S -biegunowy moment bezwładności. H WXY odległość krawędzi zewnętrznej przekroju od jego środka ciężkości. T WXY Y S Z[ 9, S R S H WXY c & c O c d przekrój kołowy UV D UV R \ R ],K^ 4,D^ 64 R S R \ R ],D^ S R S D 2 S,D& 16 przekrój pierścieniowy,d^,^ UV R S [ 9 -dopuszczalne naprężenie przy skręcaniu. S -wskaźnik wytrzymałości przekroju przy skręcaniu. Wskaźniki nie są addytywne UV D R S,aD^^b 32 S,aD^^b 16D K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 6

7 Warunek sztywności Kąt skręcenia rośnie liniowo wraz z odległością od utwierdzenia: : UV I L,L 9 NR S, Największy kąt skręcenia: L- jednostkowy kąt skręcenia I WXY I c 9c NR S Warunki sztywności I WXY 9 c NR S ZI hij L 9 NR S ZL hij gdzie: : ef -dopuszczalny kąt skręcenia (rad) g ef -dopuszczalny kąt skręcenia na jednostkę długości (rad/mm, rad/m) K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 7

8 Przykład obliczeń inżynierskich Dla pręta stalowego jak na rysunku sporządzić wykresy: momentu skręcającego (M x ), maksymalnych naprężeństycznych (τ max ) kąta skręcenia (ϕ). Dane: D= 100 mm, G=810 4 MPa d O & c d 0.2 m d 5 knm c d c O c & c O 0.3 m c O 0.65 m O 15 knm & 14 knm Szukane: Wykresy:M S, τ max, ϕ K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 8

9 Sprężyny śrubowe o małym skoku naprężenia, warunek bezpieczeństwa d h d m q O z y q o p s t ux s y m n > m UV m q D/2 m m o p n > r n > s t ux s t D q n n s y y n s UV m q r n > s t y n s r n > s t u > UV r n > s t u > Zv m k S dopuszczalne naprężenia styczne T. Machniewicz, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 9

10 Sprężyny śrubowe o małym skoku ugięcie (λ) Energia zmagazynowana w sprężynie (E) u t " D Praca wykonana nad sprężyną (L) M S M S u m : : m } ~ }s>" l długość drutu sprężyny (po rozwinięciu) n liczba zwoi, ux m } ~ s y m n > m } ~ p s t t y n > } ~ s y }s > " P L y n > t " ~ y λ λ z u n { { r n >t " ~ y u n {z T. Machniewicz, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 10