METODY NUMERYCZNE Wykłd 5. Cłkowie umeryze dr. iż. Ktrzy Zkrzewsk, pro. AGH Met.Numer. wykłd 5
Pl Wzór trpezów Złożoy wzór trpezów Metod ekstrpolji Rirdso Metod Romerg Metod Simpso wzór prol Metod Guss Met.Numer. wykłd 5
Cłkowie umeryze - ide d Y Cłkę moż przyliżyć sumą d S i i i i i+ X i i i Met.Numer. wykłd 5
Kwdrtury Newto-Cotes Kwdrtur Newto Cotes leży do metod z ustloymi węzłmi, poleg tym, że ukj jest iterpolow wielomiem p. Lgrge gdzie: 0... Wówzs łk z ukji może yć przyliż łką z ukji iterpolująej -tego stopi d d Met.Numer. wykłd 5
Met.Numer. wykłd 5 5 Wzór trpezów Zkłdmy = zyli 0 d 0 Szukmy współzyików 0 i 0 Zkłdmy, że prost, któr przyliż ukję przeodzi przez pukty, i,. Czyli: 0 0 0
Wzór trpezów d d pole trpezu Y X Met.Numer. wykłd 5 6
Przykłd : Wzór trpezów Prędkość rkiety w przedzile zsu od t =8 s do t =0 s jest opis wzorem: 0000 v t 000l 9. 8t 0000 00t Przy pomoy metody trpezów zjdź przemieszzeie rkiety w tym przedzile zsu zyli Δ=t -t Wyzz łąd względy odiesioy do wrtośi dokłdej g. true reltive error Met.Numer. wykłd 5 7
Wzór trpezów 0000 t 000 l 9. 8t 0000 00t 8 0000 8 000 l 9.88 0000 008 0000 0 000l 9.80 0000 000 s 0 77.7 90.67 s m / m / s s 77.7 0 8 90.67 868 m Met.Numer. wykłd 5 8
Wzór trpezów Wrtość dokłd 0000 000l 9.8t dt 8 0000 00t 0 06m Błąd względy: 06 868 t 00 7.959 % 06 Met.Numer. wykłd 5 9
Met.Numer. wykłd 5 0 Złożoy wzór trpezów Błąd, jk pokzuje poprzedi przykłd, jest zyt duży. Moż zpropoowć podził przedziłu łkowi segmetów, kżdy o długośi. d d d d d dl = X Y
Met.Numer. wykłd 5 d i i d d... d d d... ] [... Złożoy wzór trpezów
Przykłd : Złożoy wzór trpezów Prędkość rkiety w przedzile zsu od t =8 s do t =0 s jest opis wzorem: 0000 v t 000l 9. 8t 0000 00t Przy pomoy metody trpezów zjdź przemieszzeie rkiety w tym przedzile zsu zyli Δ=t -t przyjmują = Wyzz łąd względy odiesioy do wrtośi dokłdej true reltive error Met.Numer. wykłd 5
Złożoy wzór trpezów i i 0 8 = = 8 s = 0 s s 0 8 8 i i 0 8 9 0 77. 7 8. 75 90. 67 66 m Met.Numer. wykłd 5
Złożoy wzór trpezów wrtość dokłd wyosi: 0 8 0000 000l 9. 8t dt 0000 00t 06m Błąd względy to: 0666 t 00.85% 06 Met.Numer. wykłd 5
Złożoy wzór trpezów Δ E t % % t 868-807 7.96 --- 66-05.85 5. 5-9. 0.865.09-5.5 0.655 0.59 5 09 -.0 0.98 0.669 6 08 -.9 0.070 0.0908 7 078-6.8 0.5 0.058 8 07 -.9 0.65 0.0560 Met.Numer. wykłd 5 5
Aliz łędu dl wzoru trpezów Błąd ezwzględy metody z pojedyzym segmetem E t ", gdzie jest puktem w, Błąd w metodzie złożoej wielosegmetowej jest sumą łędów dl kżdego segmetu. Błąd pojedyzego segmetu wyosi: E ", " Met.Numer. wykłd 5 6
Aliz łędu dl wzoru trpezów Podoie: E i i i " i, i i i " i dl : E ", " Met.Numer. wykłd 5 7
Aliz łędu dl wzoru trpezów Cłkowity łąd w metodzie złożoej jest sumą łędów pojedyzy segmetów: E t E i i " i " i i i Wyrżeie i " i jest przyliżoą średią wrtośią drugiej poodej w przedzile E t Met.Numer. wykłd 5 8
Aliz łędu dl wzoru trpezów Poiższ tli dl łki 0 8 0000 000l 9. 8t dt 0000 00t przedstwi wyiki w ukji lizy segmetów. Widć, że gdy liz segmetów jest podwj, łąd E t zmiejsz się w przyliżeiu zterokrotie. Vlue E % % t t 66-05.85 5. -5.5 0.655 0.59 8 07 -.9 0.65 0.0560 6 065 -. 0.09 0.000 Met.Numer. wykłd 5 9
Cłkowie metodą Romerg Metod Romerg jest rozszerzeiem metody trpezów i dje lepsze przyliżeie łki poprzez zsdizą redukję łędu true error Met.Numer. wykłd 5 0
Ekstrpolj Rirdso Błąd E t true error w -segmetowym wzorze trpezów wyosi E t C gdzie C jest współzyikiem proporjolośi Stąd: E TV t wrtość dokłd true vlue wrtość przyliżo p. wylizo ze wzoru trpezów pproimte vlue Met.Numer. wykłd 5
Ekstrpolj Rirdso Moż pokzć, że C TV gdy segmet zostje zmiejszoy o połowę Ze wzorów: C C TV TV otrzymujemy: TV Met.Numer. wykłd 5
Przykłd : Ekstrpolj Rirdso Prędkość rkiety w przedzile zsu od t =8 s do t =0 s jest opis wzorem: 0000 v t 000l 9. 8t 0000 00t Przy pomoy ekstrpolji Rirdso zjdź przemieszzeie rkiety w tym przedzile zsu zyli Δ=t -t Wyzz łąd względy odiesioy do wrtośi dokłdej true reltive error Przyjąć = Met.Numer. wykłd 5
Tel wyików ze złożoego wzoru trpezów do =8 segmetów Δ E t % % 868-807 7.96 --- 66-05.85 5. 5-9. 0.865.09-5.5 0.655 0.59 5 09 -.0 0.98 0.669 6 08 -.9 0.070 0.0908 7 078-6.8 0.5 0.058 8 07 -.9 0.65 0.0560 t Met.Numer. wykłd 5
Ekstrpolj Rirdso 66m m TV dl = TV 66 06m Met.Numer. wykłd 5 5
Ekstrpolj Rirdso Wrtość dokłd to: 0 0000 000l 9. 8t dt 8 0000 00t 06 m Stąd Et 0606 m Met.Numer. wykłd 5 6
Ekstrpolj Rirdso Błąd względy 0606 t 00 0.0090% 06 Porówie wyików z metodą złożoą trpezów. 8 Δ m wzór trpezów 868 66 07 % Δ m % t wzór trpezów 7.96.85 0.655 0.65 ekstrpolj Rirdso -- 065 06 06 t ekstrpolj Rirdso -- 0.066 0.0090 0.0000 Met.Numer. wykłd 5 7
Metod Romerg Cłkowie metodą Romerg stosuje te sm wzór o ekstrpolj Rirdso. Jedkże, metod Romerg jest to lgorytm rekureyjy. Przypomijmy: TV Moż zpisć R Wrtość dokłd TV jest zstąpio przez wyik łkowi metodą Rirdso R Zk jest zstąpioy przez zk rówośi. Met.Numer. wykłd 5 8
Metod Romerg Estymow wrtość dokłd wyosi: C Met.Numer. wykłd 5 9 TV gdzie C jest wrtośią łędu przyliżei Nstęp wrtość łki podwjją lizę segmetów wyosi: R Estymow wrtość dokłd wyosi terz: TV R R TV 5 R C R R R R R
Metod Romerg Ogóle wyrżeie w metodzie Romerg k, j k, j k, j k, j, k k Wskźik k reprezetuje rząd ekstrpolji k= odpowid wrtośiom uzyskym ze wzoru trpezów k= odpowid wrtośiom uzyskym z łędem O Wskźik j reprezetuje dokłdość; j+ dje łkę wyzzoą dokłdiej iż j Met.Numer. wykłd 5 0
Metod Romerg Przykłd : Prędkość rkiety w przedzile zsu od t =8 s do t =0 s jest opis wzorem: 0000 v t 000l 9. 8t 0000 00t Przy pomoy wzoru Romerg zjdź przemieszzeie rkiety w tym przedzile zsu zyli Δ=t -t Wyzz łąd względy odiesioy do wrtośi dokłdej true reltive error Przyjąć =,,, 8 Met.Numer. wykłd 5
Tel wyików ze złożoego wzoru trpezów do =8 segmetów Δ E t % % 868-807 7.96 --- 66-05.85 5. 5-9. 0.865.09-5.5 0.655 0.59 5 09 -.0 0.98 0.669 6 08 -.9 0.070 0.0908 7 078-6.8 0.5 0.058 8 07 -.9 0.65 0.0560 t Met.Numer. wykłd 5
Metod Romerg N podstwie teli odzytujemy: 868 66,,, 07, W pierwszym przyliżeiu k=: k, j k, j k, j k, j, k k,,,, 66 66 868 Met.Numer. wykłd 5
Metod Romerg Podoie,,,, k, j, k, j k, j k, j, k k,,,, 66 07 07 06 06 Met.Numer. wykłd 5
Metod Romerg W drugim przyliżeiu k=, k, j k, j k, j k, j, k k,,,, 5 06 065 06 5 06,,,, 5 06 06 06 5 06 Met.Numer. wykłd 5 5
Metod Romerg Dl trzeiego rzędu k=,,,, 6, 06 0606 6 06m Met.Numer. wykłd 5 6
Metod Romerg Rząd Rząd Rząd -segmet -segmet -segmet 8-segmet 868 6 07 065 06 06 06 06 06 Poprwioe wrtośi łki metodą Romerg Met.Numer. wykłd 5 7
Metod Simpso Metod trpezów ył oprt przyliżeiu ukji podłkowej wielomiem stopi pierwszego. W metodzie Simpso wykorzystuje się wielomiy stopi drugiego, jest to tzw. metod prol. d d gdzie: 0 Met.Numer. wykłd 5 8
Met.Numer. wykłd 5 9 X Y Metod Simpso Rówie proli dl puktów:,,,,, 0 0 0
0 Metod Simpso Wyzzoe współzyiki ukji to: Met.Numer. wykłd 5 0
Met.Numer. wykłd 5 Metod Simpso d d 0 0 0 Wówzs:
Met.Numer. wykłd 5 Metod Simpso d 6 Co dje: d wzór prol
Met.Numer. wykłd 5 Metod Simpso w wersji złożoej... d 6 0 0... 6... 0 -... d d d 0 d d......... 6 6 i i...,,, i
Met.Numer. wykłd 5 Metod Simpso... d 6 0... 6... 6 6
Met.Numer. wykłd 5 5 Metod Simpso d...... 0 }]...... 0 eve i i i odd i i i 0 eve i i i odd i i i
Metod Simpso liz łędu Wrtośi przyliżoe przykłdu stosują regułę / Simpso z wielom segmetmi Wrtość przyliżo E t Є t 6 8 0 065.7 06.6 06.0 06.5 06..8 0.0 0.06 0.0 0.00 0.096% 0.007% 0.0005% 0.000% 0.0000% Met.Numer. wykłd 5 6
Metod Simpso liz łędu Błąd dl jedego segmetu E t, 880 5 Błąd w metodzie wielosegmetowej E E 5 5 0, 880 90 5 5, 880 90 0 E i i 880 5 i i 5 90 i, i i i Met.Numer. wykłd 5 7
Metod Simpso liz łędu Cłkowity łąd E i t E i i i 5 90 i i 5 90 5 i i 90 E t 90 5 5 i i średi wrtość poodej Met.Numer. wykłd 5 8
Metod Guss Cłkę metodą kwdrtury Guss przedstwi wzór: d stłe współzyiki Pukty i, w który określmy wrtość ukji podłkowej ie są ustloe jk poprzedio gri przedziłu zyli i, le są priori dowolie rozmieszzoe w przedzile <,>. Met.Numer. wykłd 5 9
Met.Numer. wykłd 5 50 Metod Guss. 0 d d 0 0 0 Niewidome,,, zjduje się zkłdją, że ukj podłkow spełi wruek:
Met.Numer. wykłd 5 5 Metod Guss 0 0 d 0 d d d 0 0 z jedej stroy z drugiej stroy
Met.Numer. wykłd 5 5 Metod Guss 0 0
Met.Numer. wykłd 5 5 Metod Guss Rozwiązują ukłd rówń: otrzymujemy dl metody dwupuktowej:
Met.Numer. wykłd 5 5 Metod Guss d W dwu-puktowej metodzie Guss, łk ukji wyrż się wzorem:....... d Uogóliją dl puktów:
Metod Guss W -puktowej metodzie Guss, współzyiki i orz rgumety i są stelryzowe dl łek w gri od - do g d i i g i współzyiki rgumety ukji =.000000000 =.000000000 = 0.555555556 = 0.888888889 = 0.555555556 = 0.78585 = 0.65555 = 0.65555 = 0.78585 = -0.5775069 = 0.5775069 = -0.77596669 = 0.000000000 = 0.77596669 = -0.866 = -0.9980 = 0.9980 = 0.866 Met.Numer. wykłd 5 55
Metod Guss współzyiki rgumety ukji 5 = 0.696885 = 0.7868670 = 0.568888889 = 0.7868670 5 = 0.696885 6 = 0.79 = 0.607657 = 0.67995 = 0.67995 5 = 0.607657 6 = 0.79 = -0.9067986 = -0.58690 = 0.000000000 = 0.58690 5 = 0.9067986 = -0.9695 = -0.660986 = -0.869860 = 0.869860 5 = 0.660986 6 = 0.9695 Met.Numer. wykłd 5 56
Jeżeli de są w tli dl Metod Guss g d d? to jk olizmy Grie łkowi, leży zmieić, Nie mt Dl, t Dl t, Wyik stąd, że: m Met.Numer. wykłd 5 57
Met.Numer. wykłd 5 58 Stąd: t dt d Osttezie: dt t d Metod Guss
Przykłd 5: Metod Guss Prędkość rkiety w przedzile zsu od t =8 s do t =0 s jest opis wzorem: 0000 v t 000l 9. 8t 0000 00t Przy pomoy dwu-puktowej metody Guss zjdź przemieszzeie rkiety w tym przedzile zsu zyli Δ=t - t Wyzz łąd względy odiesioy do wrtośi dokłdej true reltive error Met.Numer. wykłd 5 59
Metod Guss Njpierw zmieimy grie łkowi z [8,0] [-,] 0 t dt 0 8 0 8 8 9 d 0 8 d Nstępie odzytujemy z tli dl = 000000000. 0. 5775069. 000000000 0. 5775069 Met.Numer. wykłd 5 60
Metod Guss Korzystmy ze wzoru kwdrtury Guss 9d 9 9 0. 57750 9 0. 57750 9. 695 5. 5085 96. 87 708. 8 058. m Met.Numer. wykłd 5 6
Metod Guss Skorzystliśmy z tego, że: 0000. 695 000l 9. 8. 695 0000 00. 695 96.87 0000 5. 5085 000l 9. 8 5. 5085 0000 00 5. 5085 708.8 Met.Numer. wykłd 5 6
Metod Guss Błąd ezwzględy true error E t E t 06. 058..9000 m Błąd względy, t 06. 058. t 00% 06. 0.06% Met.Numer. wykłd 5 6