J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia element płn. Rch ogóln element płn można więc traktować jako sperpocję premiescenia liniowego (translacji), obrot wględem chwilowego biegna ora odkstałcenia (deformacji), które kolei można podielić na liniowe (objętościowe) i kątowe (postaciowe).
Odkstałcenia w prpadk dwwmiarowm Prędkość rch płn apisjem jako: i Do odkstałcenia liniowego element płn dochodi gd składowa prędkości mienia się w kiernk i/lb składowa prędkości v mienia się w kiernk (lewa strona rsnk). Prowadi to do prrost objętości element w casie dt o wartość: v dddt jv gdie wielkości w nawiasie są prędkościami odkstałcenia liniowego v
Do odkstałcenia postaciowego element płn dochodi gd składowa prędkości mienia się w kiernk i/lb składowa prędkości v mienia się w kiernk (prawa strona rsnk). Prowadi to do obrot ścianek element płn o kąt: dt v d α dt d β Miarą prędkości łącnego odkstałcenia postaciowego jest wrażenie: v Stwn obrót element płn można traktować jako smę dwóch odkstałceń postaciowch tak dobranch, że kąt pomięd bokami element poostają proste. Prędkość kątową takiego obrot można apisać jako: Ω v v
Odkstałcenia w prpadk trójwmiarowm Element płn wkonje rch ogóln łożon translacji prędkością 0 ora obrot wględem biegna O i deformacji. Na sktek obrot i deformacji lega mianie wektor r łącąc pnkt A biegnem. W ogólnm prpadk wektor ten donaje obrot i mian dłgości. Można napisać: ( r ) ( )dt d A 0 Pr ałożeni małej odległości pomięd pnktami O i A można różnicę ich prędkości rowinąć w sereg Talora i wiąć po wagę tlko pierws wra: A 0 0 A 0 0 A r0 ( ) r r ( r )...
cli: ( ) r t r A 0 0 δ gdie: jest tensorem prędkości wględnej pnkt A wględem biegna O 0 v v v w w w Gdie wektor prędkości ma postać: kw jv i
Tensor prędkości wględnej może bć predstawion jako sma dwóch tensorów: antsmetrcnego i smetrcnego. Tensor antsmetrcn opisje obrót element płn jako ciała stwnego. Jego wra są składowmi prędkości kątowej obrot ω. 0, ω, ω [ Ω ] ω,0, ω ω,ω,0 ω gdie: ω iω jω ω rot kω Poscególne składowe tensora wrażają się ależnościami: ω w v ω w ω v
Tensor smetrcn opisje deformację element płn i nosi nawę tensora prędkości deformacji:,, [ D],,,, gdie poscególne składowe wrażają się ależnościami: v v w v w w
Ostatecnie ogóln rch element płn można opisać następjącą ależnością: A [ D] r r 0 0 ω 0 Pierwse twierdenie Helmholta Prędkość dowolnego pnkt element płn składa się : -prędkości postępowej pnkt obranego a biegn -prędkości obrotowej wokół osi prechodącej pre biegn (wektor tej prędkości wnaca oś obrot) -prędkości deformacji element płn. W porównani analogicnm rchem ciała stwnego można stwierdić następjące różnice: -wór dla płn jest ważn tlko w bliskim otoceni biegna -w płnie dodatkowo wstępje prędkość deformacji Hermann von Helmholt 8-894
Prepłw wirowe W prrodie i w technice spotkam bardo licne prepłw dominowane pre rch wirow płn. Oto kilka prkładów: Ślad wirow a skrdłami samolot
Układ wirów generowan pre śrbę okrętową Ścieżka wirowa a obiektem Ślad wirow a okrętem >
Tornado nad morem> Tornado nad pstnią Wir powietrn w stratosfere >
Rowój tornado obserwowan pre radar dopplerowski
Jesienne listki jako nacniki prepłw wirowego Położenie Prepłw Prepłw wjściowe bewirow wirow < Rch wirow charakterje się obrotem elementów płn
Opis matematcn rch wirowego płn Wirowm nawam prepłw, w którm wsędie lb prawie wsędie (cli wjątkiem skońconej licb pnktów, linii i powierchni) rotacja pola prędkości jest różna od era. Wted każdem lb prawie każdem pnktowi prestreni można prpisać wektor wirowości: ω Ω rot Składowe wektora wirowości wrażają się ależnościami: Składowe wektora wirowości wrażają się ależnościami: v w Ω ω w Ω ω v Ω ω
Pre analogię do linii prąd można określić linie wirowe jako linie pola wektorowego wirowości, cli linie stcne w każdm pnkcie pola do wektorów wirowości. Równanie linii wirowej: d Ω d Ω d Ω Crklacja wektora prędkości jest definiowana jako: Γ C dr C ( d vd wd) S George Stokes 89-903 rot ds Twierdenie Stokesa: crklacja prędkości wdłż dowolnego kontr C jest równa strmieniowi wirowości pre dowolną powierchnię objętą tm kontrem.
Linie wirowe prechodące pre krwą nie będącą linią wirową tworą powierchnię wirową. Jeżeli ta krwa jest krwą amkniętą to powstaje rrka wirowa. Rrka wirowa o infinitemalnej średnic to włókno wirowe. Twierdenie Thomsona: w prepłwie idealnego płn barotropowego najdjącego się pod diałaniem potencjalnego pola sił masowch crklacja prędkości wdłż dowolnej amkniętej linii płnnej nie mienia się w casie Wiliam Thomson lord Kelvin 84-907 Drgie twierdenia Helmholta: w prepłwie idealnego płn barotropowego najdjącego się pod diałaniem potencjalnego pola sił masowch natężenie włókna wirowego nie mienia się wdłż jego dłgości i jest stałe w casie. Hermann von Helmholt 8-894
Wnioski: -włókno wirowe nie może anikać ani powstawać w płnie, -włókno wirowe może tworć krwą amkniętą, -włókno wirowe może się końcć na swobodnej powierchni lb na ścianach stwnch, -w rch wirowm biorą diał cał cas te same element płn.
W praktcnm modelowani prepłw można podielić na obsar o rch wirowm i obsar o rch bewirowm. Oba te obsar są wajemnie współależne. Obsar o rch wirowm może bć modelowan włóknami wirowmi. Istotne staje się wted wnacanie pola prędkości generowanego pre pole wirowości, cli operacja odwrotna do oblicania rotacji pola prędkości. Wór Biota-Savarta Jean Baptiste Biot 774-86 Feli Savart 79-84 Γ ds r dv 3 4 π r Γ 4π ds r r V 3 L