9. PRZYPADEK OGÓLNY - RUCH W UKŁADZIE NIEINERCJALNYM

Transkrypt

1 9. PRZYPADEK OGÓLNY - RUCH W UKŁADZIE NIEINERCJALNYM Co to są kłady inercjalne i nieinercjalne? Układ inercjalny wyróŝnia się tym, Ŝe jeśli ciało w nim spoczywa lb porsza się rchem jednostajnym prostoliniowym, to wynika stąd jednoznacznie, Ŝe nie podlega ono działani Ŝadnej siły. Inaczej jest w kładzie nieinercjalnym (np. na karzeli): jeśli siedzimy na obracającej się karzeli (a zatem jesteśmy w spoczynk względem tego kład nieinercjalnego), to na pewno działa na nas siła (w tym wypadk tzw. siła dośrodkowa). Przykłady kładów inercjalnych: - stojąca łódka na jeziorze lb płynąca ze stałą prędkością na rzece, - stojący atobs, - pociąg jadący 100 km/h (ze stała prędkością) i po prostoliniowym odcink torów. Przykłady kładów nieinercjalnych: - atobs gwałtownie skręcający lb hamjący, - kręcąca się karzela, - motocykl krąŝący w tzw. "beczce śmierci". Wszystkie kłady inercjalne porszają się względem siebie tylko ze stałą prędkością. UŜywając pojęcia kład inercjalnego, moŝna sformłować bardzo waŝną zasadę fizyki; jest to zasada względności Galilesza: Prawa przyrody (fizyki) mają taką samą postać we wszystkich kładach inercjalnych. Co natomiast odczjemy, gdy jesteśmy związani z kładem nieinercjalnym? Odczjemy, Ŝe działają na nas jakieś siły (np. przy gwałtownym hamowani atobs rzci nas do przod, zaś na ostrym zakręcie rzci nas na ścianę boczną). Siły, które odczjemy w takiej sytacji nazywamy siłami pozornymi. RozwaŜmy teraz biedronkę siedzącą na obracającej się tarczy (np. na płycie gramofonowej); co więcej obracająca się płyta znajdje się w wagonie kolejowym (gramofon przyklejony jest do podłogi wagon): 40

2 ω r a 0 wagon Widok z góry na rszający wagon, w którym znajdje się obracająca się tarcza, a na niej biedronka (zaznaczona krzyŝykiem) Sytację tą moŝemy sprowadzić do następjącego schemat: biedronka związana jest z obracającym się kładem odniesienia x, y, z (dla proszczenia rozwaŝań, kład ten obraca się wokół osi z ); prędkość kątowa tego obrot wynosi ω. Jak wspomniano, omawiana obracająca się płyta znajdje się w pociąg, który na początk stoi, ale potem będzie rszał (z przyspieszeniem a o ). A zatem kład odniesienia x, y, z nie tylko się obraca, ale jeszcze będzie noszony; dla prostoty załóŝmy, Ŝe kiernek noszenia (a zatem i przyspieszenie a o ) jest prostopadły do osi z. Oczywiście kład x, y, z jest kładem nieinercjalnym. Ten złoŝony rch biedronki, obserwować będziemy z peron, z którego właśnie pociąg odjeŝdŝa. Z peronem wiąŝemy inercjalny kład odniesienia x, y, z. Całość sytacja przedstawiona jest schematycznie na poniŝszym rysnk. z kład inercjalny ω z kład nieinercjalny a 0 x y y x Dwa kłady odniesienia, Ŝyte do opis rch biedronki Wprowadzimy kolejno róŝne składniki przyspieszenia, które wystąpią w rch biedronki. W ten sposób jasno pokaŝemy ich pochodzenie. A więc rozwaŝmy następjące kolejne sytacje: a) Pociąg stoi (mógłby teŝ porszać się rchem jednostajnym prostoliniowym), płyta gramofonowa takŝe się nie obraca. Biedronka nie porsza się względem płyty (ma przyklejone nóŝki do płyty). Związek między przyspieszeniami zarejestrowanymi w ob kładach jest następjący: 41

3 a = a'= 0 b) Jak wyŝej, lecz płyta obraca się rchem obrotowym, ze stałą prędkością kątową ω (biedronka jest dalej nierchoma względem płyty). Związek między przyspieszeniami w ob kładach: a = a ( a' = 0) gdzie: a = ω 2 r lb w pełnej postaci wektorowej: a dośr = ω x (ω x r ). c) Teraz zawaŝmy, Ŝe płyta niekoniecznie msi obracać się ze stałą prędkością kątową, a zatem oprócz chwilowej wartości ω występje teŝ jakaś wartość przyspieszenia kątowego ε (płyta porsza się rchem obrotowym przyspieszonym). Wtedy: gdzie: a = ε x r. a = a + a ( a' = 0) d) Teraz załóŝmy, Ŝe biedronka moŝe się porszać po obracającej się płycie (odkleiliśmy jej nóŝki od powierzchni płyty i moŝe ona chodzić po niej bez poślizg ). ZałóŜmy, Ŝe biedronka porsza się wzdłŝ promienia płyty od środka na zewnątrz ze stałą prędkością v (zawaŝmy, Ŝe teraz porsza się takŝe względem kład nieinercjalnego x, y, z ). W rch tym będzie napotykała na coraz większe prędkości liniowe płyty, co "zarzca ją" w bok patrz rysnek. Jeśli mimo to biedronka porsza się wzdłŝ promienia płyty, to znaczy, Ŝe podlega pewnem przyspieszeni; nazywa się ono przyspieszeniem iolisa (a ). Mamy teraz w smie: a = a + a + a ( a' = 0) Wyprowadza się, Ŝe przyspieszenie to wynosi: a = 2 ω v' gdzie v jest chwilową prędkością biedronki względem obracającej się płyty, lb ogólniej względem kład nieinercjalnego x, y, z. 42

4 y a v x v ω Pochodzenie przyspieszenia iolisa a ω e) Biedronka moŝe porszać się po powierzchn płyty w dowolny sposób, a nie tylko rchem jednostajnym prostoliniowym wzdłŝ promienia, jak załoŝono w pnkcie powyŝej. MoŜe po prost porszać się względem płyty (a zatem względem kład nieinercjalnego x, y, z ) z dowolnym przyspieszeniem a. Ostatecznie dostaniemy: a = a + a + a + a' ( a' 0) d) Z kolei załóŝmy, Ŝe pociąg przyspiesza (z przyspieszeniem a o względem peron; jest to równocześnie przyspieszenie z jakim kład nieinercjalny x, y, z jest noszony względem kład inercjalnego x, y, z ). Przyspieszenie a o dodaje się oczywiście do przyspieszeń biedronki rejestrowanych w kładzie inercjalnym (platforma peron). Mamy zatem: = a + a + a + a' + a ( a' 0) a (68) 0 PODSUMOWANIE Zróbmy małe podsmowanie. ZawaŜmy przede wszystkim, Ŝe biedronka nie porszając się (a zatem będąc przyklejona do płyty) dozna smy przyspieszeń a + a + a o. Są to przyspieszenia niezaleŝne od rch biedronki względem kład x, y, z. Ich smę nazywamy przyspieszeniem noszenia (a ): a = a + a + a (69) 0 A zatem Równ. 68 moŝe być przepisane: a = a' + a a (70) + Jeśli teraz wyrazimy przyspieszenie ciała (biedronki) względem kład nieinercjalnego (x, y, z ): 43

5 a' = a - a - a (71) to moŝemy napisać wyraŝenie na siłę rejestrowaną w tymŝe kładzie: lb: m a' = ma - ma - ma (72) F' = F + F F (73) + (gdzie: F = ma ; F= ma; F = - ma ; F = - ma ) F oraz F są siłami bezwładności, które zaobserwjemy jako siły pozorne w kładzie x, y, z. Dlatego pozorne, bo nie są one efektem działania jakiejś siły fizycznej, którą moglibyśmy wskazać (siłami fizycznymi są np. siła grawitacyjna czy elektrostatyczna). Ich występowanie jest przejawem nieinercjalności kład x, y, z. Natomiast siła F, rejestrowana w kładzie inercjalnym x, y, z, msi być siłą rzeczywistą, mającą fizyczne pochodzenie. Dodajmy jako ciekawostkę, Ŝe siła iolisa powodje odchylenia bieg rzek oraz wiatrów na Ziemi (Ziemia obraca się ze stałą prędkością kątową wokół własnej osi). W ten sposób rzeki i wiatry przemieszczające się w kiernk połdnikowym doznają odchylenia na wschód lb na zachód (w zaleŝności od zwrot ich prędkości). ZawaŜmy, Ŝe Równ. 73 pozwala nam stwierdzić, Ŝe: Równania mechaniki w nieinercjalnych kładach odniesienia są takie same jak w kładach inercjalnych pod warnkiem, Ŝe do sił rzeczywistych (F) dodamy siły bezwładności (F i F ) Zbierzmy na koniec, jeszcze raz wzory na przyspieszenia pochodzące od sił bezwładności: *) F' = F + F F + gdzie: F = ma ; F= ma; F = - ma ; F = - ma, zaś *) a = a + a + a0 natomiast poszczególne przyspieszenia to: a = 2 ω x v a = ω x (ω x r ), a = ε x r a o to przyspieszenie w rch postępowym kład nieinercjalnego (x, y, z ) względem kład inercjalnego (x, y, z) (w naszym przykładzie pociąg względem peron). Podsmjmy: 44

6 Wystąpienie sił bezwładności jest oznaką, Ŝe kład jest nieinercjalny. 45