Rozkłady statystyk z próby

Podobne dokumenty
Rozkłady statystyk z próby. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 10: Rozkłady statystyk z próby. Przedziały ufnoci.

Rozkłady statystyk z próby Twierdzenia graniczne

Rozkłady statystyk z próby. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2: Rozkłady statystyk z próby. Przedziały ufnoci

Podstawowe pojęcia. Próba losowa. Badanie próby losowej

1 Dwuwymiarowa zmienna losowa

PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).

1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wnioskowanie statystyczne. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Statystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste

Parametryczne Testy Istotności

Rozkład χ 2 = + 2π 2. Niech zmienna losowa x ma rozkład normalnyn(x; µ,σ). Znajdziemy rozkład zmiennej:

χ 2 = + 2π 2 Niech zmienna losowa x ma rozkład normalnyn(x; µ,σ). Znajdziemy rozkład zmiennej: σ

Porównanie dwu populacji

Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby.

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Statystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8

t - kwantyl rozkładu t-studenta rzędu p o f stopniach swobody

Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA

Statystyka Wzory I. Analiza struktury

Podstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności

Statystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X

Wnioskowanie statystyczne dr Alicja Szuman

Estymacja przedziałowa

Estymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Estymacja parametrów populacji

θx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,

STATYSTYKA. Seminarium Chemia Analityczna. Dr hab. inż. Piotr Konieczka.

1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów

Miary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.

3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej

Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7

Estymacja to wnioskowanie statystyczne koncentrujące się wokół oszacowania wartości specyficznych parametrów populacji.

16 Przedziały ufności

1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o

Wykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja

Estymacja przedziałowa:

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności

Plan wykładu. Analiza danych Wykład 1: Statystyka opisowa. Literatura. Podstawowe pojęcia

Metody Statystyczne II

Testy statystyczne teoria

Lista 6. Estymacja punktowa

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Folia Pomer. Univ. Technol. Stetin. 2009, Oeconomica 275 (57),

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Wykład 10 Wnioskowanie o proporcjach

WYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

Testy dotyczące wartości oczekiwanej (1 próbka).

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

Twierdzenia graniczne:

Miary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

Materiały do wykładu 4 ze Statystyki

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)

Statystyczny opis danych - parametry

PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

Elementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)

STATYSTYKA. Seminarium Chemia Analityczna. Dr inż. Piotr Konieczka.

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych

STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka. Katarzyna Chudy Laskowska

LABORATORIUM METROLOGII

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Inżynierska

Analiza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora

MIANO ROZTWORU TITRANTA. Analiza statystyczna wyników oznaczeń

ANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,

Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12

POLITECHNIKA OPOLSKA

ZMIENNA LOSOWA I JEJ PARAMETRY -powtórzenie

STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15

2.1. Studium przypadku 1

Metoda łączona. Wykład 7 Dwie niezależne próby. Standardowy błąd dla różnicy dwóch średnich. Metoda zwykła (niełączona)

Wykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

STATYSTYKA. Seminarium Chemia Analityczna III rok. Dr inż. Piotr Konieczka

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n

Liczebnośd (w tys.) n

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

1. Błąd średni pomiaru. Leica DISTO

Wprowadzenie do laboratorium 1

STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś

Transkrypt:

METODY PROBABILISTYCZE I STATYSTYKA WYKŁAD 0: ROZKŁADY STATYSTYK Z PRÓBY. PRZEDZIAŁY UFOŚCI. Rozkłady tatytyk z róby Statytyką azyway zieą loową, będącą fkcją zieych loowych,,..., taowiących róbę. Statytyka jako ziea loowa oiada ewie rozkład, który azyway rozkłade tatytyki z róby. Zależy o rzede wzytki od rozkład olacji, z której ochodzi róba oraz od liczebości róby. Małgorzata Krętowka Wydział Iforatyki Politechika Białotocka Ze względ a liczebość róby rozkłady tatytyk dzieliy a dokłade - rozkłady rawdoodobieńtwa wyzaczoe dla dowolej liczby atralej, będącej liczebością róby. Są oe wykorzytywae dla ałych rób. graicze - rozkład rawdoodobieńtwa tatytyki, który otrzyje ię rzy założei ieograiczeie dżej róby,. ie a jedej, określoej wartości od której zajey róbę za dżą. W iektórych rzyadkach rozkład dokłady jż dla >30 iewiele różi ię od rozkład graiczego, w iych rzyadkach otrzebjey >00. Rozkład średiej arytetyczej z róby x x i i. Cecha w olacji geeralej a rozkład,, zae. Z olacji tej obieray róbę -eleetową,,...,. Średia arytetycza z róby a rozkład:, fx 0,,0. redia arytetycza Rozkład średiej arytetyczej z róby w raktyce wykorzytjey zieą tadaryzowaą: x która a rozkład 0,.. Cecha w olacji a rozkład,, iezae, 30 Dokojey rzekztałceia zwaego tdetyzacją: t x i ziea t a rozkład i t Stdeta z - toiai wobody. Liczba toi wobody jet araetre rozkład t-stdeta; jet oa rówa liczbie iezależych oberwacji określających tatytykę t. Ze względ a zależość: i liczba iezależych oberwacji w ty rzyadk jet rówa -. x i x 0 x

Rozkład średiej arytetyczej z róby 3. Cecha w olacji a rozkład dowoly, iezae, >30. Dla dżych rób zakładay, że. Korzytay ze tatytyki: x która a rozkład 0,. Rozkład wariacji z róby. Cecha a w olacji geeralej rozkład, ;, - iezae; 30 Etyatore araetr jet wariacja z róby która a rozkład chi-kwadrat z - toiai wobody. χ i x i która a rozkład chi-kwadrat z - toiai wobody.. Cecha a w olacji geeralej rozkład, ;, - iezae; > 30 Etyatore araetr jet wariacja z róby. a Korzytay z rozkład graiczego: b Korzytay z rozkład :, k k χ χ k- Statytyka a rozkład 0,, Statytyka a rozkład 0, Rozkład rocet rawdoodobieńtwa, wkaźika trktry Cecha a w olacji geeralej rozkład dwktowy, - rawdoodobieńtwo kce, > 00 Etyatore rawdoodobieńtwa jet: gdzie - liczość róby, - liczba kceów w róbie ˆ gdzie - liczo róby, - liczba kceów w róbie ˆ, ˆ Statytyka a rozkład 0, Rozkład różicy dwóch średich. Badae olacje geerale ają rozkłady orale, i, ;, - zae, róby ą iezależe. Badae olacje geerale ają rozkłady orale, i, ;, - iezae, róby ą iezależe, 30, 30, ;, - iezae, róby iezale e, 30, 30 tatytyka t a rozkład t Stdeta z - toiai wobody. 3. Badae olacje geerale ają rozkłady dowole;, - iezae, róby ą iezależe, > 30, > 30. t,

Rozkład iloraz wariacji Rozkład różicy dwóch wkaźików trktry Badae olacje geerale ają rozkłady orale, i, ;,,, - iezae;, - liczebości róby obraej z olacji I i II Badaa cecha a w dwóch olacjach rozkład dwktowy z rawdoodobieńtwe kce odowiedio,. ˆ F ˆ ˆ i i x i x i iech ˆ ˆ ˆ ˆ, gdzie - etyator wariacji z róby obraej z olacji I ; - etyator wariacji z róby obraej z olacji II ; Statytyka F a rozkład F Sedecora z - i - toiai wobody Etyacja rzedziałowa Wółczyik fości Etyacja rzedziałowa olega a kotrowai rzedział liczbowego, który z góry określoy - bliki jedości - rawdoodobieńtwe będzie zawierał iezaą wartość zacowaego araetr θ. Przedział te oi azwę rzedział fości: P {g θ < θ < g θ } - gdzie θ - etyator araetr θ, g θ - doly kraiec rzedział fości g θ - góry kraiec rzedział fości - - rawdoodobieńtwo tzw. wółczyik fości Utaloe z góry rawdoodobieńtwo - azyway wółczyikie fości Iterretacja wółczyika fości: rzy wielokroty obierai rób -eleetowych i wyzaczai a ich odtawie fkcji g θ oraz g θ średio w - 00% rzyadków otrzyalibyśy rzedziały okrywające iezaą wartość araetr θ,, w 00% rzyadków - rzedziały ie okrywające tej wartości. Z regły za - rzyjjey: 0.9; 0.95, 0.99 Dłgość rzedział fości: g θ - g θ > i dłgość rzedział iejza ty ozacowaie bardziej recyzyje Makyaly błąd zack: g θ - g θ /.

Przedziały fości dla wartości oczekiwaej średiej Bdowa rzedział fości dla wartości średiej oczekiwaej µe rozkład olacji zależy od: ty rozkład cechy w olacji geeralej zajoości wariacji odchyleia tadardowego wielkości róby PU dla wartości średiej - Model Założeia: róba loowa obraa z olacji o rozkładzie, ; jet zae; Cel: bdowa rzedział fości dla rzy wółczyik fości -. Bdowa rzedział fości: Etyatore araetr jet średia arytetycza z róby : śr, która a rozkład,. Stadaryzjąc otrzyjey tatytykę U: U która a rozkład 0,. PU dla wartości średiej - Model - / / - 0 Rozklad tatytyki U - 0, P { < U < } P < < Przedział fości dla wartości średiej: P < < PU dla wartości średiej - Model Założeia: róba loowa obraa z olacji o rozkładzie, ; jet iezae; liczość róby ała 30 Cel: bdowa rzedział fości dla rzy wółczyik fości -. Bdowa rzedział fości: Przy iezay araetrze odtawą bdowy tet itotości dla wartości średiej jet tatytyka t o rozkładzie t-stdeta z - toiai wobody: t gdzie i x i

PU dla wartości średiej - Model Rozklad t-stdeta - / / -t 0 t P { t < t < t } P t < < t Przedział fości dla wartości średiej: P t < < t PU dla wartości średiej - Model 3 Założeia: róba loowa obraa z olacji o dowoly rozkładzie; jet iezae; liczość róby dża > 30 Cel: : bdowa rzedział fości dla rzy wółczyik fości -. Bdowa rzedział fości: Dla dżych rób rozkład t-stdeta oża rzybliżyć rozkłade oraly oraz. Wówcza rzedział fości jet aalogiczy jak w Model : P < < PU dla wariacji - Model PU dla wariacji - Model Założeia: olacja geerala a rozkład,, - iezae; liczość róby 30 Cel: bdowa rzedział fości dla rzy wółczyik fości - Bdowa rzedział fości: Etyatore araetr jet wariacja z róby. Bdowę rzedział fości orzey a tatytyce: χ która a rozkład chi-kwadrat z - toiai wobody. Rozklad chi-kwadrat / / - 0 c c Przedział fości dla wariacji: P c { < χ < } P c c P c < < c < < c

PU dla wariacji - Model PU dla rawdoodobieńtwa Założeia: olacja geerala a rozkład,, - iezae; liczość róby >30 Cel: bdowa rzedział fości dla rzy wółczyik fości - Bdowa rzedział fości: Gdy dyojey dżą róbą rzedział fości dla odchyleie tadardowego bdjey a odtawie graiczego rozkład tatytyki. Odchyleie tadardowe a wówcza rozkład, Stadaryzjąc otrzyjey tatytykę U: U która a rozkład 0,. PU dla rawdoodobieńtwa PU dla wkaźika trktry PU dla rocet PU dla frakcji Założeia: Liczba eleetów w róbie >00 Cel: bdowa rzedział fości dla frakcji rocet eleetów oiadających wyróżioą cechę w olacji geeralej Bdowa rzedział fości: Etyatore rawdoodobieńtwa w olacji geeralej jet wkaźik trktry w róbie W/, gdzie jet liczbą jedotek w róbie oiadających wyróżioą cechę, atoiat jet liczebością róby. Dla dżych rób wkaźik W a rozkład, PU dla rawdoodobieńtwa PU dla rawdoodobieńtwa 3 Dokojąc tadaryzacji etyatora W otrzyjey tatytykę: W U która a rozkład 0,. - / / Rozklad tatytyki U - 0, P { < U < } P < < Po rzekztałceiach otrzyjey: P < < Dla dżych rób ożey założyć, że /, tąd rzedział fości dla rawdoodobieńtwa rzyjje otać: P < < - 0

Zagadieie iialej liczebości róby Z regły z olacji geeralej obiera ię tylko jedą -eleetową róbę zbyt dża róba > zbyt dże kozty, oóźieia cza aalizy wyików zbyt ała róba > ie zaewia żądaej dokładości i wiarygodości wiokowaia Aby wyzaczyć iialą liczebości róby ależy talić: ozio wółczyika fości taleie akyalego błęd zack dłgości rzedział fości iezbęda liczebość róby rzy zacowai średiej w olacji Przykład Model I - zae odchyleie tadardowe olacji < < Dłgość rzedział > akyaly błąd zack Zakładając wartość akyalego błęd zack d oraz ozio wółczyika itotości - otrzyjey iialą liczebość róby: dł d d iezbęda liczebość róby rzy zacowai rawdoodobieńtwa < < Dłgość rzedział > akyaly błąd zack dł d Zakładając wartość akyalego błęd zack d oraz ozio wółczyika itotości - otrzyjey iialą liczebość róby: d