Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl dem zmiennej x w punkcie (x 0, y 0 ) okre±lamy wzorem: (x f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) := lim h 0 h Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl dem zmiennej y w punkcie (x 0, y 0 ) okre±lamy wzorem: (x f(x 0, y 0 + h) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) := lim h 0 h Je»eli funkcja f(x, y) posiada pochodne cz stkowe w ka»dym punkcie zbioru otwartego D to funkcje (x, y), (x, y) nazywamy pochodnymi cz stkowymi pierwszego rz du funkcji f w zbiorze D y Uwaga 2 Pochodna cz stkowa (x, y) jest pochodn funkcji f(x, y), gdzie zmienna y traktowana jest jako staªa Analogicznie mo»na interpretowa pochodn cz stkow (x, y) : d (x, y) = d x [f(x, y) y=const)]; d (x, y) = y d y [f(x, y) x=const)] Zatem obliczanie pochodnych cz stkowych mo»na wykonywa z wykorzystaniem znanych reguª ró»- niczkowania Pami taj c,»e przy obliczaniu pochodnej cz stkowej wzgl dem x (symbol (x, y) lub f x (x, y)) nale»y uwa»a y za staªa, a przy obliczaniu pochodnej cz stkowej wzgl dem y (symbol (x, y) y lub f y (x, y)) nale»y uwa»a x za staªa Denicja 3 (ró»niczkowalno± funkcji w punkcie) Niech istniej pochodne cz stkowe (x 0, y 0 ), (x y 0, y 0 ) Wówczas mówimy,»e funkcja f(x, y) jest ró»niczkowalna w punkcie (x 0, y 0 ), gdy: lim (x,y) (x 0,y 0 ) f(x, y) f(x 0, y 0 ) (x 0, y 0 )(x x 0 ) (x y 0, y 0 )(y y 0 ) = 0 (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 Denicja 4 (ró»niczka funkcji trzech zmiennych) Niech funkcja f ma pochodne cz stkowe pierwszego rz du w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) Ró»niczk funkcji f w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) nazywamy wyra»enie: df(x 0, y 0, z 0 ) def = (x 0, y 0, z 0 )(x x 0 ) + y (x 0, y 0, z 0 )(y y 0 ) + z (x 0, y 0, z 0 )(z z 0 ) (1) Fakt 5 (zastosowanie ró»niczki do oblicze«przybli»onych) Niech funkcja f ma ci gªe pochodne cz stkowe pierwszego rz du w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) Wówczas f df co oznacza : f(x, y, z) f(x 0, y 0, z 0 ) + df(x 0, y 0, z 0 ) (2) 1

Fakt 6 (zastosowanie ró»niczki do szacowania bª dów pomiarów) Niech funkcja z = f(x, y, w) opisuje zale»no± pomi dzy wielko±ciami x, y, w, z, pochodne cz stkowe pierwszego rz du funkcji f s ci gªe Ponadto warto± x x 0 jest bezwzgl dnym bª dem pomiaru warto±ci x (odpowiednio y y 0, w w 0 to bª dy bezwzgl dne warto±ci y i w) Wówczas maksymalny bª d bezwzgl dny szacujemy nast puj co: z x x 0 + y y y 0 + z w w 0 (3) Fakt 7 (równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji) Niech funkcja z = f(x, y) ma ci gle pochodne cz stkowe pierwszego rz du w punkcie (x 0, y 0 ) Wówczas dowolny [ wektor normalny] pªaszczyzny stycznej do funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) jest postaci n = (x 0, y 0 ), (x y 0, y 0 ), 1, a równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) wyra»a si wzorem: ( z z 0 ) + (x 0, y 0 )(x x 0 ) + y (x 0, y 0 )(y y 0 ) = 0 (4) Denicja 8 Pochodnymi cz stkowymi rz du drugiego funkcji dwóch zmiennych f(x, y) oznaczamy symbolami 2 f, 2 f, 2 f, 2 f nazywamy pochodne cz stkowe jej pochodnych cz stkowych, 2 y y y 2 y tzn = ( ), 2 y = ( ), y y = ( ), y y = ( ) 2 y y U»ywamy nast puj cych oznacze«: 2 = f xx, y = f xy, y = f yx, y 2 = f yy Denicja 9 (pochodna kierunkowa) Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Wówczas pochodn kierunkow funkcji f w kierunku wektora jednostkowego(wersora) [v] = [v 1, v 2 ] okre±lamy wzorem: v (x 0, y 0 ) def f(x 0 + tv 1, y 0 + tv 2 ) f(x 0, y 0 ) = lim t 0 + t Denicja 10 Gradientem funkcji f(x, y) w punkcie (x 0, y 0 ) nazywamy wektor: [ gradf(x 0, y 0 ) def = (x 0, y 0 ), ] y (x 0, y 0 ) Twierdzenie 11 Je»eli funkcja f(x, y) ma w punkcie (x 0, y 0 ) ci gªe pochodne cz stkowe pierwszego rz du, to: v (x 0, y 0 ) = gradf(x 0, y 0 ) v = (x 0, y 0 )v 1 + y (x 0, y 0 )v 2 2

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Denicja 12 Mówimy,»e funkcja z=f(x,y) posiada w punkcie (x 0, y 0 ) maksimum (minimum) lokalne, je»eli istnieje otoczenie O punktu (x 0, y 0 ) takie,»e dla ka»dego punktu (x, y) O speªniona jest nierówno± : ( ) f(x, y) f(x 0, y 0 ) f(x, y) f(x 0, y 0 ) (5) Tak jak w rachunku funkcji jednej zmiennej minima i maksima lokalne funkcji dwóch zmiennych nazywamy ekstremami lokalnymi Twierdzenie 13 (warunek konieczny ekstremum funkcji dwóch zmiennych) Je»eli funkcja f(x, y) ma w punkcie (x 0, y 0 ) ekstremum lokalne oraz w punkcie tym istniej pochodne cz stkowe pierwszego rz du (x 0, y 0 ), (x y 0, y 0 ) to obie w tym punkcie s równe zeru, tzn zachodzi: (x 0, y 0 ) = 0, y (x 0, y 0 ) = 0 (6) Twierdzenie 14 Niech wyznacznik pochodnych cz stkowych drugiego rz du funkcji f, w punkcie (x 0, y 0 ) tzw wyznacznik Hessa (hesjan), oznaczymy przez = 2 : (x 2 = 2 0, y 0 ) 2 f (x y 0, y 0 ) 2 f (x y 0, y 0 ) 2 f (x y 2 0, y 0 ) Je»eli funkcja f(x, y) posiada pochodne cz stkowe rz du drugiego na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) oraz obie pochodne cz stkowe pierwszego rz du w tym punkcie s równe zeru (x 0, y 0 ) = 0, y (x 0, y 0 ) = 0 Wówczas: a) je±li 2 > 0 oraz 1 = 2 f 2 (x 0, y 0 ) > 0, to w punkcie (x 0, y 0 ) funkcja f ma wªa±ciwe minimum lokalne; b) je±li 2 > 0 oraz 1 < 0, to w punkcie (x 0, y 0 ) funkcja f ma wªa±ciwe maksimum lokalne; c) je»eli 2 < 0, to w punkcie(x 0, y 0 ) funkcja f nie ma ekstremum lokalnego d) je»eli 2 = 0 to badanie istnienia ekstremum w punkcie (x 0, y 0 ) przeprowadzamy innymi metodami Algorytm wyznaczania ekstremów funkcji dwóch zmiennych: 1 wyznaczamy dziedzin funkcji f; 2 obliczamy pochodne cz stkowe pierwszego rz du; { 3 wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f, tzn rozwi zujemy ukªad równa«(x 0, y 0 ) = 0, (x y 0, y 0 ) = 0, oznaczmy je przez (x 1, y 1 ),, (x n, y n ) -wybieramy tylko te które nale» do dziedziny; 3

4 w ka»dym z punktów krytycznych obliczamy Hesjan 2 oraz warto± 1 ; 5 sprawdzamy, który z punktów a) d) Twierdzenia 14 zachodzi Algorytm wyznaczania ekstremów globalnych funkcji dwóch zmiennych w obszarze domkni tym: 1 Wyznaczamy punkty krytyczne na istnienie ekstremów lokalnych wewn trz obszaru otwartego; 2 Wyznaczamy szukamy punktów, w których funkcja mo»e mie ekstrema warunkowe W tym celu skªadamy funkcj dwóch zmiennych z funkcj okre±laj c brzeg obszaru (brzeg nale»y podzieli na sum cz ±ci, które mo»na opisa równaniami y = ϕ(x) lub x = ψ(y)) 3 Porównujemy warto±ci funkcji w powy»szych punktach i ustalamy warto± najmniejsz i najwi ksz w tym obszarze domkni tym 4

Zadania na wiczenia 1 Wyznacz dziedziny naturalne funkcji: (a) f(x, y) = x 2 y 3 x sin y; (b) f(x, y, z) = x 5 y 10 x 3 ln z + y 2 e x ; (c) f(x, y) = x2 sin x+y 3 1 ; (d) f(x, y) = ln(4x + yx); x 2 +y 2 9 (e) f(x, y) = arcsin x; (f) f(x, y) = 2x y 2 y 2 2 Na podstawie denicji oblicz pochodne cz stkowe pierwszego rz du podanych funkcji w punkcie (0, 0) : (a) f(x, y) = { x 2 + y 2 dla xy = 0 0 dla xy 0; ; (b) f(x, y) = 3 x 3 y 3 3 Oblicz pochodne cz stkowe pierwszego rz du podanych funkcji (z wykorzystaniem reguª ró»- niczkowania): (a) f(x, y) = x 2 y 3 x sin y; (b) f(x, y, z) = x 5 y 10 x 3 sin z + y 2 e z ; (c) f(x, y) = x y ; (d) f(x, y) = (ln x) sin y ; (e) f(x, y, z) = (2x + 3z) yz ; (f) f(x, y, z) = xy z ; (g) f(x, y) = ln sin(x 2y); (h) f(x, y) = (1 + xy) y ; (i) f(x, y) = ye x+xy ; (j) f(x, y) = ln(x + x 2 + y 2 ); (k) f(x, y) = (x + y) ln 2 (1 x y); (l) f(x, y) = x ln y (m) f(x, y) = e 3x arctg(xy); (n) f(x, y) = arcsin 5+2xy ln x ; x 2 y 2 x 2 +y 2 ; (o) f(x, y) = (xy 2 + 1) arctg 2 (y x); (p) f(x, y, z) = xy(4x + 3z) yz ; 4 Oblicz pochodne cz stkowe drugiego rz du podanych funkcji: (a) f(x, y) = 1 2 ln(x2 + y 2 ); (b) f(x, y) = arctg x+y ; 1 xy (c) f(x, y) = sin xy; (d) f(x, y) = x sin(x + y) + y cos(x + y); (e) f(x, y, z) = e xyz ; (f) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 5 Wyka»,»e: (a) funkcja z(x, y) = x ln y z speªnia równanie x + y z = z ; x y 2 (b) funkcja u(x, y) = x y speªnia równanie x u + 1 u = 2u; y ln x y (c) funkcja w(x, y, z) = ln(x 3 + y 3 + z 3 3xyz) speªnia równanie w + w + w = 3 y z 6 Zbadaj ró»niczkowalno± { funkcji f(x, y) w punkcie (0, 0) : y 3 x 3 dla (x, y) (0, 0) x (a) f(x, y) = 2 +2y 2 0 dla (x, y) = (0, 0); ; (b) f(x, y) = 3 xy x+y+z 7 Napisz ró»niczk zupeªn podanych funkcji: x (a) f(x, y) = ; (b) f(x, y) = ln tg(x + y); x 2 +y2 (c) f(x, y) = ln x 2 + y 2 ; w (x 0, y 0 ) = ( 4, 3) (d) f(x, y) = x sin(x + z) + z cos(x + y); (e) f(x, y, z) = (xy) z ; (f) f(x, y) = cos x2 +y 2 x 3 +y 3 8 Napisz równanie pªaszczyzny stycznej do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: (a) f(x, y) = x 2 + xy + y 2, P 0 = (0, 1, z 0 ); (b) f(x, y) = sin x + cos(x + y), P 0 = ( π, π, z 6 6 0); (c) f(x, y) = x2 2 y2, P 0 = (2, 1, z 0 ); (d) f(x, y) = y ln(2 + x 2 y y 2 ), P 0 = (2, 1, z 0 ) 5

9 Korzystaj c z ró»niczki funkcji oblicz przybli»one warto±ci podanych wyra»e«: (a) 1, 07 3,97 ; (b) 1, 04 2 + 3, 01 2 ; (c) arctg 1,02 ; (d) ln(0, 0,95 093 + 0, 99 3 ); (e) sin 29 o sin 46 o, zakªadaj c,»e π = 3142; (f) (sin 2 1, 55 + 8e 0,015 ) 5 ; (g) cos 2, 36 arctan 0, 97 3 2,05 1,03 ; (h) 098 4 2 1,05 3 10 Dany jest sto»ek o wysoko±ci h = 10 cm oraz promieniu podstawy R = 5cm Jak zmieni si obj to± sto»ka, gdy wysoko± wzro±nie o 2 mm a promie«zmaleje o 2 mm? 11 Promie«podstawy sto»ka wynosi R = 10, 2 ± 0, 2cm, a tworz ca l = 44, 6 ± 0, 1 cm Znajd¹ obj to± sto»ka, oraz okre±l jaki popeªniamy maksymalny bª d bezwzgl dny oraz wzgl dny przy obliczaniu tej obj to±ci 12 Okre±l maksymalny bª d wzgl dny jaki po popeªnimy obliczaj c opór przewodnika ze wzoru R = E, gdzie napi cie na ko«cach przewodnika wynosi E = 100±2V, a nat»enie I = 10±0, 1A I 13 Oblicz gradient podanej funkcji w podanym punkcie: (a) f(x, y) = 5x 2 y 3xy 3 + y 4, (x 0, y 0 ) = (1, 2); (b) f(x, y) = sin (π ) x 2 + y 2 (x 0, y 0 ) = (3, 4); (c) f(x, y, z) = xy3 z 2 (x 0, y 0, z 0 ) = ( 2, 1, 3) 14 Oblicz pochodn kierunkow podanej funkcji w punkcie (x 0, y 0 ) i okre±lonym kierunku (gdzie α to k t jaki tworzy wektor v z osi Ox): (a) f(x, y) = y 2 + ln(xy), (x 0, y 0 ) = (2, 1), v = [1, 1] (b) f(x, y) = x 2 y, (x 0, y 0 ) = (5, 1), w kierunku punktu (x 1, y 1 ) = ( 1, 2); (c) f(x, y) = ln(e x + e y ), (x 0, y 0 ) = (1, 1), α = 45 o ; (d) f(x, y) = 3x 4 + xy + y 3, (x 0, y 0 ) = (1, 2), α = 135 o ; (e) f(x, y) = xy, (x 0, y 0 ) = (1, 1), w kierunku wektora najszybszego wzrostu 15 Znajd¹ wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji dwóch zmiennych: (a) f(x, y) = (x 2) 2 + 2y 2 ; (b) f(x, y) = x 4 + 4xy 2y 2 ; (c) f(x, y) = 4x 2 y + 24xy + y 2 + 32y 6; (d) f(x, y) = x 4 +y 4 2x 2 +4xy 2y 2 ; (e) f(x, y) = x 2 + y 2 2x 4 xy 2y + 8; (f) f(x, y) = e x 2 (x + y 2 ); (g) f(x, y) = xy + 50 + 20, x, y > 0; (h) f(x, y) = ln(y + 2x) 3x x y 2y3 ; (i) f(x, y) = 2 x 1 + 3 y + 5 ; (j) f(x, y) = e (x2 +y 2 +2x) ; (k) f(x, y) = x 2 + y 2 2 ln x 18 ln y, x, y > 0; 16 Wyznacz najwi ksz warto± funkcji f(x, y) = x 2 + y 2 24 ln(x + y) w trójk cie domkni tym ograniczonym prostymi x = 0, y = 2, x + y = 8 17 Wyznacz najwi ksz warto± funkcji f(x, y) = x 2 y w obszarze domkni tym ograniczonym krzywymi y = e 2x, y = e x, y = e x 2 18 Z dªugiego prostok tnego pªata blachy o szeroko±ci 42cm nale»y skonstruowa otwart od góry rynn o przekroju trapezu równoramiennego Jak szeroko± powinno mie dno rynny oraz pod jakim k tem b d wygi te ramiona przekroju, aby rynna mogªa pomie±ci jak najwi ksza ilo± wody? 3 6