Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych

Transkrypt

1 Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej problemy te opisane s za pomoc równa«eliptycznych równa«o postaci ( ) 2 x + 2 ϕ(x, y) = S(x, y). (9.1) 2 y 2 Przykªadowe zastosowania równania (9.1) to: (i) Równanie Poissona w elektrostatyce: w tym przypadku ϕ jest potencjaªem elektrostatycznym, a S funkcj ¹ródªa, okre±lon przez rozkªad ªadunku S = ϱ/ε 0. (ii) Równanie opisuj ce stacjonarny przepªyw ciepªa: w tym przypadku ϕ = T = temperatura, a S jest szybko±ci ogrzewania lub chªodzenia. Warunki brzegowe dla problemu opisanego równaniem (9.1) zadajemy na brzegach obszaru D okre±lono±ci ϕ(x, y). Mo»na zada dodatkowe warunki brzegowe na dowolnej krzywej C wewn trz obszaru D. Dla wygody dalszych rozwa»a«wybieramy D jako jednostkowy kwadrat na pªaszczy¹nie xy (Rys. 9.1).

2 2 Rozdziaª 9. Równania eliptyczne \ & 5\V Rys Obszar D i kontur C. [ ' Problemy wªasne: równanie Schr dingera niezale»ne od czasu Równanie to ma posta ( ) h2 2 2m x + 2 ψ(x, y) + U(x, y)ψ = Eψ(x, y). (9.2) 2 y 2 W tym przypadku warunki brzegowe zadane s w postaci Dirichleta. Równanie (9.2) mo»e by rozwi zywane podobnie do równania (9.1). W zwi zku z tym skoncentrujemy si teraz nad metodami numerycznymi rozwi zania równania (9.1). Nale»y jedynie zauwa»y,»e w równaniu Schr dingera wyst puje dodatkowa niewiadoma: warto± wªasna E, któr znajdujemy np. z warunków brzegowych na funkcj falow. 9.2 Dyskretyzacja równania h. Na pªaszczy¹nie x y wprowadzamy jednorodn sie w zªów o staªej sieci

3 Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 3 \ 1 \ \ L 5\V K [ \ [ L [ [ 1 Rys Sie w zªów w kwadracie jednostkowym na pªaszczy¹nie x y. W zªy sieci (x i, y j ): x i = ih, gdzie i = 0, 1,..., N, y j = jh, gdzie j = 0, 1,..., N. Ponadto deniujemy oraz ϕ ij df = ϕ(xi, y j ) (9.3) S ij df = S(xi, y j ). (9.4) Stosujemy trójpunktowe przybli»enie drugiej pochodnej w ka»dym kierunku i otrzymujemy posta ró»nicow równania (9.1) ( ϕi+1,j 2ϕ ij + ϕ i 1,j h 2 + ϕ ) i,j+1 2ϕ ij + ϕ i,j+1 = S h 2 ij. (9.5) 9.3 Jednowymiarowe równanie Poissona d2 ϕ = S(x). (9.6) dx2

4 4 Rozdziaª 9. Równania eliptyczne Równanie (9.6) po dyskretyzacji ϕ i 1 2ϕ i + ϕ i+1 = h 2 S i (9.7) stanowi ukªad równa«liniowych na niewiadome ϕ i. 9.4 Metoda macierzowa Zaªó»my,»e zadane warunki brzegowe dla ukªadu równa«(9.7) maj posta ϕ 0 = c 0, ϕ N = c N. (9.8) Wtedy ukªad równa«(9.7) mo»na zapisa w postaci macierzowej AΦ = C, (9.9) gdzie Φ i C s (N + 1)-elementowymi macierzami jednokolumnowymi Φ = ϕ 0 ϕ 1. ϕ N 1 ϕ N c 0 h 2 S 1 C =. h 2 S N 1 c N A jest macierz kwadratow (N + 1) (N + 1) o postaci A = (9.10) (9.11) (9.12) W ten sposób problem (9.7)zostaª zredukowany do zagadnienia rozwi zywania ukªadu równa«liniowych o ogólnej postaci (9.9). Ukªady takie mo»na rozwi zywa korzystaj c z tego,»e odpowiedne macierze A s rzadkie, tzn. wi kszo± ich elementów jest równa zero. Np. w przypadku jednowymiarowym jest to macierz trójprzek tniowa (9.12), dla której istniej bardzo efektywne metody numeryczne.

5 Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Metoda relaksacyjna Metoda ta bazuje na iteracyjnej procedurze rozwi zywania problemu brzegowego. Rozwi zujemy równanie (9.7) ze wzgl du na ϕ i i otrzymujemy ϕ i = 1 2 (ϕ i 1 + ϕ i+1 + h 2 S i ) (9.13) Je»eli warto±ci ϕ i 1 oraz ϕ i+1 s znane, to wzór (9.13) mo»na interpretowa jako algorytm poprawiania przybli»e«dla ϕ i bazuj cy na s siednich w zªach sieci. Oznaczamy przez ϕ (s) i warto±ci zmiennej zale»nej w s-tym kroku iteracyjnym. Wtedy ϕ (s+1) i = 1 2 [ϕ(s) i 1 + ϕ (s) i+1 + h 2 S i ] (9.14) Rozwi zanie startowe ϕ (0) i mo»e by wybrane w sposób dowolny. Procedura iteracyjna z u»yciem wzoru (9.14) jest nazywana metod GaussaSeidla Przyspieszenie zbie»no±ci iteracji Zmierzanie warto±ci ϕ (s) i otrzymanych w kolejnych krokach iteracji do warto±ci poprawnych mo»e by potraktowane jako pewien zyczny proces relaksacji. Szybko± zbie»no±ci procedury iteracyjnej (szybko± relaksacji) mo»na zmieni wprowadzaj c parametr relaksacji ω. Wtedy w ka»dym kroku iteracji ϕ (s+1) i = (1 ω)ϕ (s) i + ω 2 [ϕ(s) i 1 + ϕ (s) i+1 + h 2 S i ]. (9.15) Warto± parametru relaksacji ω wybieramy metod prób i bª dów tak, aby uzyska najwi ksz szybko± zbie»no±ci procedury iteracyjnej. W przypadku jednowymiarowym mo»na pokaza,»e optymalne warto±ci parametru relaksacji s zawarte w przedziale 0 < ω < 2. (9.16) 9.6 Metoda relaksacyjna dla problemów dwuwymiarowych Dla dwóch zmiennych niezale»nych równanie ró»nicowe ma posta 4ϕ ij ϕ i+1,j ϕ i 1,j ϕ i,j+1 ϕ i,j 1 = h 2 S ij. (9.17)

6 6 Rozdziaª 9. Równania eliptyczne Rozwi zujemy je ze wzgl du na ϕ ij i otrzymujemy ϕ ij = 1 4 (ϕ i+1,j + ϕ i,j+1 + ϕ i 1,j + ϕ i,j 1 + h 2 S ij ), (9.18) Stosujemy uogólniony schemat iteracyjny (9.15) ϕ (s+1) ij = (1 ω)ϕ (s) ij + ωψ (s) ij, (9.19) gdzie ψ (s) ij = 1 ( (s) ϕ i+1,j + ϕ (s) i 1,j + ϕ (s) i,j+1 + ϕ (s) ) i,j 1 + h 2 S ij (9.20) 4 Rachunki wedªug schematu (9.20) wykonujemy dla ka»dego w zªa sieci na pªaszczy¹nie x y.