4. Modele regresji progowej W badaniach empirycznych coraz większym zaineresowaniem cieszą się akie modele szeregów czasowych, kóre pozwalają na objaśnianie nieliniowych zależności między poszczególnymi zmiennymi. Zaineresowanie o wynika ze złożoności rzeczywisych zjawisk gospodarczych, kóre czasami nie dają objaśnić się w sposób liniowy. Zdarzają się syuacje, kiedy gospodarka wypada ze sanu równowagi, rynki finansowe z okresu prosperiy przechodzą w okres recesji, albo ceny akywów wykazują zwiększoną zmienność. W akich syuacjach relacje między niekórymi zmiennymi ekonomicznymi mogą sawać się silniejsze albo słabsze niż zwykle. Pewne mechanizmy mogą wedy oddziaływać na zmienne w sposób asymeryczny, o znaczy w sposób zależny od sanu w jakim znajduje się cały sysem. Jedną z grup modeli, kóra w szczególny sposób nadaje się do opisywania gospodarki w różnych jej sanach, są modele wieloreżimowe (ang. muli-regime models). Modele przełącznikowe (ang. swiching models), progowe (ang. hreshold models), modele łagodnego przejścia (ang. smooh ransiion models) i inne należące do ej grupy objaśniają zachowanie poszczególnych zmiennych ekonomicznych w skończonej liczbie reżimów (ong 99, Granger, eräsvira 993, Hamilon 989, eräsvira 994). W ym punkcie przedsawiono opracowaną przez Hansena (996, ) meodę specyfikacji i esymacji modelu regresji progowej (ang. hreshold regression). Zaprezenowano eż echnikę weryfikacji hipoezy, że prawdziwy model jes liniowy przeciw hipoezie, że model jes regresją progową. 4.. Oceny paramerów modelu W ogólnym przypadku model progowy opisujący zmienną y z jedną egzogeniczną
zmienną progową z i zmiennymi objaśniającymi x, x,, x k jes nieliniowym modelem ekonomerycznym posaci: y α ( + ε (4.) R k = r, + αr, ixi, I γ r < z γ r ) r = i= ε ~ iid(, σ ), gdzie γ, γ,, γ R- są usalonymi warościami progowymi dla zmiennej z, spełniającymi warunek: γ < γ <... < γ R. (4.) Funkcja I(q) idenyfikuje warość logiczną zdania q:, gdy zdanie q jes prawdziwe I ( q) =. (4.3), gdy zdanie q jes fałszywe W modelu (4.) wysępują paramery srukuralne α r,, α r,,, α r,k, gdzie r =,,..., R. Przy usalonym reżimie r model przyjmuje posać regresji liniowej: y α α α + ε = r, + r,x, +... + r, k xk,, (4.4) gdzie {,,..., N} oraz z spełnia nierówność γ r < z γ r. Dla dwóch reżimów równanie (4.) można zapisać nasępująco: y = α + α x + + α x I z γ + β + β x + + β x I z > γ + ε (,... k k, ) ( ) (,... k k, ) ( ) (4.5) czyli w zapisie macierzowym: y = x ( γ ) b + ε, (4.6) gdzie x (γ) jes wierszowym wekorem obserwacji zmiennych objaśniających posaci: x γ ) = [ I( z γ ) x I ( z γ ) x ]. (4.7) ( x oznacza wekor [ x, x, x P, ] a b jes wekorem paramerów srukuralnych: α α α β β... β b = [... k k ]. (4.8) W dalszym ekście sosuje się akże oznaczenia α = [ α α... ] i β = [ β β... ], czyli: α k β k
[ α β ] b =. (4.9) W modelu progowym z dwoma reżimami (4.5) wysępuje ylko jeden paramer progowy γ. Jeżeli warość ego parameru jes znana, a warości paramerów srukuralnych b modelu (4.5) nie są znane, o można je oszacować klasyczną meodą najmniejszych kwadraów według wzoru: bˆ - = [( X( γ ) X( γ )] X( γ ) y. (4.) Macierz X γ ) = [ x ( γ ) x ( γ )... x ( γ ) ] zawiera kolejne (w czasie) obserwacje wekora x (γ), ( N naomias y y y... y ] oznacza wekor obserwacji zmiennej objaśnianej. = [ N Kiedy warość progowa γ, dla kórej szacowane są warości paramerów modelu (4.5), nie jes znana a priori, zakłada się, że ocena ego parameru powinna minimalizować warość wariancji resz modelu progowego: N e ( γ ) = ˆ σ ( γ ) = N min. (4.) e (γ) oznacza uaj kwadra reszy modelu w momencie. Ponieważ przy esymacji paramerów modelu wykorzysywane jes co najwyżej N różnych obserwacji zmiennej progowej z (część obserwacji może mieć ę samą warość), o bez ograniczania ogólności rozważań można przyjąć, że ocena parameru progowego gdzie Γ = { z z..., },, z N γˆ Γ,. Najprosszym sposobem znalezienia oceny warości γ, kóra minimalizuje wariancję resz, jes oszacowanie paramerów b modelu dla warości γˆ przyjmujących kolejno każdą warość ze zbioru Г. Nasępnie należy wybrać aki szacunek γˆ i odpowiadające mu oszacowanie bˆ, dla kórych wariancja (4.) jes najmniejsza. akie oszacowania paramerów w modelu (4.5) ze zmiennymi sacjonarnymi są zgodne (Hansen 997). Analizę niesacjonarnych szeregów czasowych z efekem progowym przedsawiono między innymi w pracach Canera i Hansena () i Hansena i Seo (). 3
Zwykle isnieje porzeba oceny dokładności oszacowań wekora paramerów b i γ. W ym celu można wyznaczyć odpowiednie przedziały ufności według meody przedsawionej w pracy Hansena (997). Wykorzysano nasępującą saysykę ilorazu wiarygodności LR: σ ( γ ) ˆ σ ( γ ) LR ( γ ) = N, (4.) ˆ σ ( γ ) gdzie ˆ σ ( γ ) oznacza oszacowanie wariancji składnika losowego w modelu progowym (4.5), paramer progowy γ oszacowany jes zgodnie ze wzorem (4.), a σ γ ) oznacza oszacowanie wariancji dla modelu progowego, w kórym wyznaczono γ = γ. Waro zauważyć, że saysyka ilorazu wiarygodności LR (analogiczna do saysyki F opisanej w nasępnym punkcie) może służyć do esowania hipoezy zerowej, że γ = γ. Niech zmienna losowa ξ ma dysrybuanę zadaną wzorem: x / ( e ) gdy x > P( ξ x) =. (4.3) gdy x Hansen udowodnił, że rozkład saysyki LR(γ ) danej wzorem (4.) asympoycznie dąży do rozkładu zmiennej losowej ξ. Zaem można wyznaczyć aką warość kryyczną c(ω) dla zmiennej ξ, że zbiór: Γ( ω) = { γ R : LR( γ ) c( ω)} (4.4) jes asympoycznym przedziałem ufności dla parameru γ przy poziomie isoności równym ω. Może się zdarzyć, że dla danego poziomu isoności zbiór Г(ω) nie sanowi pojedynczego przedziału ylko jes sumą kilku rozłącznych przedziałów przedzielonych akimi obszarami, w kórych LR(γ)>c(ω). Rozwiązaniem problemu jes budowa konserwaywnego przedziału ufności dla parameru γ: ( Γ kons ( ω ) = γ, γ, (4.5) 4
gdzie: γ = minγ( ω), γ = maxγ( ω). (4.6) γ γ Możliwe jes akże odpowiednie zmodyfikowanie saysyki LR, ak by była ona bardziej odporna na heeroskedasyczność składnika losowego. Dość skomplikowany opis ej modyfikacji zosał przedsawiony w pracy Hansena (997). Rozkłady szacunków paramerów w wekorze b są sandardowe (asympoycznie normalne), kiedy warość parameru γ jes znana a priori. Jeśli a warość nie jes znana i rzeba ją oszacować, o w dalszym ciągu rozkłady szacunków paramerów wekora b są normalne. Przy założeniu, że efek progowy jes isony, można wykorzysać sandardowe esy, F, LM (mnożnika Lagrange a, ang. Lagrange Muliplier es), LR (ilorazu wiarygodności, ang. Likelihood Raio es) do esowania warunków nakładanych na paramery w wekorze b. Możliwe jes akże zbudowanie konserwaywnych przedziałów dla oszacowań paramerów w wekorze b w podobny sposób do budowy konserwaywnego przedziału isoności dla szacunku parameru γ (por. (4.5)). Dla różnych warości γ wybranych z pewnego przedziału Г(ω * ), skonsruowanego zgodnie ze wzorem (4.5), budowane są wedy przedziały ufności z poziomem isoności ω dla poszczególnych paramerów b. Nasępnie wybierane są z ych przedziałów najmniejsze i największe elemeny dla każdego parameru w wekorze b w celu wyznaczenia największych przedziałów ufności poszczególnych paramerów. Wyrażenie ω *, w odróżnieniu do ω, nie oznacza poziomu isoności lecz sanowi dodakowy paramer, wpływający na poziom konserwayzmu przedziału ufności przy wybranym poziomie isoności ω (Hansen 997). Według obliczeń Hansena opymalna warość ω * wynosi,8. 4.. esowanie liczby reżimów w modelu 5
W lieraurze ekonomicznej preferowane są modele, kóre opisują rzeczywisość w sposób wysarczająco dokładny a jednocześnie prosy. Jeżeli ekonomeryczny model liniowy objaśnia zachowanie pewnej zmiennej równie dobrze jak model nieliniowy, o do dalszej analizy zwykle wybierany jes model liniowy z uwagi na swą prosoę i ławość inerpreacji wyników. Dlaego w procesie weryfikacji modelu progowego ważne jes sprawdzenie, czy model en dokładniej opisuje zachowanie zmiennej objaśnianej niż sandardowy model liniowy: y = + αx, + + αk xk, α... + ε, (4.) o znaczy model pozbawiony efeku progowego. Weryfikacja isnienia efeku progowego polega na sprawdzeniu, czy model progowy (4.5) isonie różni się od modelu liniowego (4.), o znaczy czy warości paramerów modelu progowego różnią się między reżimami. Hansen (997) przedsawił meodę weryfikacji isoności modelu progowego zarówno w syuacji, gdy warość parameru progowego jes znana jak i kiedy nie jes znana. Mimo, że prezenowana procedura służy do esowania isoności dwóch reżimów w modelu progowym, o w analogiczny sposób może być esowana większa liczba reżimów (np. Gonzalo, Piarakis ). W celu weryfikacji hipoezy o wysępowaniu efeku progowego sprawdzane jes prawdopodobieńswo, że w modelu (4.5) zachodzi warunek α=β, oznaczający, że paramery modelu nie różnią się isonie między reżimami. esowana jes hipoeza zerowa H : α = β (4.3) wobec hipoezy alernaywnej H : α β. (4.4) 6
Jeśli znana jes a priori warość parameru progowego γ=γ, o można w celu weryfikacji hipoezy zerowej posłużyć się klasycznymi esami saysycznymi: F, LM, czy LR. Saysyki F, LM i LR mają wedy asympoyczne rozkłady χ. Na przykład warość saysyki F obliczana jes według wzoru: [ ~ F γ ) = N σ ˆ σ ( γ )] ˆ σ ( ), (4.5) ( γ gdzie ˆ σ ( γ ) dane jes wzorem (4.), ~σ sanowi oszacowanie wariancji składnika losowego modelu liniowego (4.): ~ N σ = ( y ~ α + ~ α x +... + ~ α x ), (4.6) N =, k k, a ~ α ~ α,..., ~, αk są oszacowaniami paramerów α, α,..., αk modelu (4.), orzymanymi przy pomocy meody najmniejszych kwadraów. Jeśli nie jes znana warość parameru γ, o rzeba ją oszacować meodą przedsawioną w podpunkcie 4.. ego rozdziału. Paramer γ jes jednak wedy nieidenyfikowalny przy założeniu hipoezy zerowej. Oznacza o, że nie można określić warości parameru γ (może być ona dowolna), gdy paramery modelu regresji są idenyczne w obu reżimach. Przy założeniu hipoezy zerowej saysyki F, LM i LR nie dążą w ym przypadku asympoycznie do sandardowych rozkładów (np. Davies 977, 987, Andrews 993, Andrews i Ploberger 994). Zgodnie z meodą Hansena (997) można jednak wykorzysać saysykę analogiczną do ej zadanej wzorem (4.5) oraz odpowiednio obliczone warości kryyczne do zweryfikowania hipoezy H względem H. Niech zbiór Г * sanowi podzbiór zbioru Г, z kórego usunięo m elemenów (na przykład 5%) o największych warościach i m elemenów o najmniejszych warościach (Andrews 993, Hansen 996). W modelu (4.5) z odpowiednio dobraną warością parameru Andrews (993) i Hansen (996) sugerują odrzucenie % do 3% skrajnych obserwacji ze zbioru Г w celu zwiększenia mocy esów analogicznych do przedsawionego. 7
γ, ak by wariancja składnika losowego ˆ σ ( γ ) była najmniejsza, warość saysyki F(γ) jes największa. Do dalszej analizy wykorzysywana jes zaem nasępująca saysyka: F sup = sup F( γ ), (4.7) γ Γ* gdzie wyrażenie F(γ) dane jes wzorem (4.5). Saysyka F sup nie ma asympoycznego sandardowego rozkładu (na przykład χ ), dlaego do obliczenia warości kryycznych z rozkładu empirycznego ej saysyki wykorzysywana jes nasępująca procedura boosrap (Hansen 996, 997, Horowiz ): ) Losowane jes N niezależnych liczb u z rozkładu N(,) oraz zdefiniowany zosaje wekor obserwacji zmiennej objaśnianej y u u...u ] złożony z ych liczb. * = [ N ) Szacowane są paramery b i γ modelu (4.5) za pomocą wzoru (4.) oraz wzoru (4.), w kórym wekor y zamieniono na y *, czyli: bˆ [ γ γ ] γ - * = ( X( ) X( ) X( ) y. 3) Ocena wariancji składnika losowego ˆ σ * ( γ ) w ym oszacowanym modelu obliczana jes na podsawie wzoru (4.). Służy ona do obliczenia saysyki ~ * * * σ σˆ ( γ ) F sup = N, (4.8) * ˆ σ ( γ ) gdzie wariancja * ~σ obliczana jes według wzoru (4.6). * F sup : 4) Wielokronie (na przykład razy) powarzane są kroki do 3, ak by można było orzymać empiryczny rozkład saysyki * F sup przy założeniu prawdziwości hipoezy zerowej. Rozkład empiryczny sanowi przybliżenie asympoycznego rozkładu saysyki F sup. 5) W zbiorze policzonych saysyk * F sup sprawdzany jes udział ych warości * F sup, kóre są większe od policzonej saysyki F sup. W en sposób obliczony zosaje poziom isoności saysyki F sup. Jeśli w zbiorze policzonych saysyk * F sup mniej 8
niż 5% przekracza warość F sup, o na poziomie isoności,5 są podsawy do odrzucenia hipoezy zerowej H na korzyść hipoezy alernaywnej H. Można wedy wnioskować, że model progowy jes właściwym modelem do opisu zmiennej y. W podobny sposób do przedsawionego powyżej może być esowana hipoeza zerowa za pomocą esów mnożnika Lagrange a i ilorazu wiarygodności. Wedy eż należy wykorzysać empiryczne rozkłady ych saysyk, obliczone za pomocą meody boosrap (np. Hansen 996). W syuacji, gdy model ekonomeryczny opisuje zależności między zmiennymi z rynków finansowych częso nie spełnione pozosaje założenie o sałej wariancji składnika losowego (wysępuje heeroskedasyczność składnika losowego). Zmiany wariancji inerpreowane mogą być wedy jako miara napływu nowych informacji na rynki finansowe i objaśniane są zwykle za pomocą modeli klasy ARCH, modeli zmienności sochasycznej (ang. sochasic volailiy models) i innych. Do esowania efeku progowego w modelach regresji, w kórych wariancja składnika losowego prawdopodobnie nie jes sała, zamias saysyki F można sosować nasępującą saysykę Walda: [ R( M( γ ) V( γ ) M( γ ) ) R ] ( Rbˆ ) W ( γ ) = ( Rbˆ), (4.9) gdzie ( γ ) = X( γ ) M X( γ ), V( γ ) X( γ ) Σ( γ ) X( γ ) = i R = [ I I] k k. Macierz I o macierz jednoskowa, a macierz Σ(γ) o kwadraowa macierz, w kórej na głównej przekąnej znajdują się kolejne kwadray resz e (γ) oszacowanego modelu progowego, a pozosałe elemeny macierzy równe są. Warość saysyki W(γ) podobnie jak saysyki F(γ) zależy od warości γ. Gdy warość parameru γ szacowana jes razem z innymi paramerami modelu, o do badania efeku progowego wykorzysywana jes nasępująca saysyka, analogiczna do F sup : 9
W sup = supw ( γ ). (4.) γ Γ* Do wyznaczenia warości kryycznych (lub granicznych poziomów isoności) dla saysyki W sup służy procedura boosrap, podobna do ej przedsawionej powyżej. Różnica polega na zasąpieniu warości u przez warości iloczynów oznaczają uaj kolejne reszy oszacowanego modelu. u e (=,..., N) w wekorze y*. Warości e