Ekonometryczne modele nieliniowe

Transkrypt

1 Ekonometryczne modele nieliniowe Wykład 10 Modele przełącznikowe Markowa

2 Literatura P.H.Franses, D. van Dijk (2000) Non-linear time series models in empirical finance, Cambridge University Press. R. Breuning, S. Najarian, A. Pagan (2003) Specification Testing of Markov Switching Models, Oxford Bulletin of Economics and Statistics 65. także: Breuning, Pagan (2001) Some Simple Methods for Assessing Markov Switching Models 2

3 Literatura Diebold, F.X., Lee, J.H., Weinbach, G. (1994) Regime switching with time-varying transition probabilities. In: Hargreaves, C.P. (Ed.), Non- Stationary Time Series Analysis and Cointegration. Cambridge University Press. M. Haas, S. Mittnik, M. Paolella (2004) A New Approach to Markov-Switching GARCH Models, Journal of Financial Econometrics 3

4 Testowanie modeli przełącznikowych Test ilorazu wiarygodności H0: model liniowy prawdziwy H1: model przełącznikowy prawdziwy LR = 2[log L log L ] 1 0 do testowania modeli zagnieżdżonych, także do testów restrykcji na parametry 4

5 Problem: Testowanie modeli przełącznikowych Parametry macierzy przejścia (ang. transition matrix) nieidentyfikowalne gdy H0 prawdziwa Statystyka LR nie ma standardowego rozkładu chi-kwadrat Rozwiązanie: empiryczny rozkład LR jako przybliżenie prawdziwego rozkładu 5

6 Testowanie modeli przełącznikowych Empiryczny rozkład LR: wygenerować sztuczne obserwacje zmiennej objaśnianej zgodne z modelem H0 oszacować modele H0 i H1 na nowych danych i policzyć statystykę LR (możliwe błędy oszacowań!) powtarzać poprzednie kroki wiele razy by otrzymać rozkład empiryczny LR 6

7 Przykład Metoda bootstrap: Di Sanzo (2009) wykorzystaj wystandaryzowane reszty z modelu H0 do generowania wartości zmiennej objaśnianej (bootstrap) 7

8 Testowanie modeli przełącznikowych B. Hansen 1992: wystandaryzowana statystyka sup-lr i podany rozkład asymptotyczny dla niej test liberalny - łatwo odrzuca hipotezą zerową wymaga wyliczeń funkcji wiarygodności dla różnych wartości parametrów modelu H1 8

9 Test Hansena Przykładowy model: Hipotezy: 9

10 Test Hansena c.d. Funkcja wiarygodności: Dla ustalonego alfa : Statystyka testowa z artykułu Di Sanzo (2009) 10

11 Garcia (1998) Oznaczenia: Statystyka testowa: 11

12 Garcia (1998) Grid search dla parametrów z macierzy przejścia, reszta parametrów szacowana Ogólny wynik: można stosować teorię dla statystyk suplm, suplr, supwald łatwo wyznaczyć wartości krytyczne dla podstawowych modeli przełącznikowych Markowa 12

13 Testowanie modeli przełącznikowych J.S. Cho, H. White (2007) Testing for regime switching, Econometrica, Vol. 75, Statystyka Quasi-LR do testowania modeli mieszaniny rozkładów i przełącznikowych Markowa M. Carrasco (2002) test modelu progowego może służyć do wykrywania modeli przełącznikowych M. Carrasco, L. Hu, W. Ploberger (2009) Optimal test for Markov Switching Parameters 13

14 Testowanie specyfikacji Breuning, Najarian, Pagan (2003): Czy specyfikacja modelu MS jest odpowiednia? Czy model został dobrze oszacowany? Czy drugi reżim to nie outliers? Porównanie: średnich i wariancji, innych parametrów, funkcji gęstości zmiennej objaśnianej, obliczonych na danych rzeczywistych i na danych symulowanych 14

15 Testowanie specyfikacji Porównanie parametrów Wariancje oszacowań - drugi element trudno policzyć (pierwszy UMM) Statystyka konserwatywna : H0: specyfikacja modelu prawidłowa 15

16 Rozszerzenie modeli przełącznikowych Modele ze zmiennymi parametrami macierzy przejścia (TVTP-MSR): Model regresji y t = x b t s + e t, ~ 2 N(0, σ t s t e t ) Macierz przejścia P = p p 11, t 12, t p p 21, t 22, t Model objaśniający prawdopodobieństwa przejścia: exp( xtd) p 11, t Pr( st = 1 st 1 = 1) =, p12, t = 1 p11, t 1+ exp( xtd) albo Pr( st = 1 st 1 = 1) = F( xtd), F( ) dystrybuanta rozkladu normalnego 16

17 Estymacja TVTP-MSR Możliwe zastosowanie metody EM dla ustalonych parametrów b i d obliczamy prawdopodobieństwo przebywania w stanie 1, 2 itd.. szukamy (metodą gradientową) nowych wartości parametrów b i d oraz wyliczamy logl (wg EM optymalizujemy logl, w praktyce tylko przesuwamy się w kierunku gradientu) powtarzamy poprzednie kroki do momentu znalezienia maksimum (lokalnego) 17

18 Modele MS-GARCH Ogólny zapis modelu MS-GARCH(1,1) Problem: wariancja warunkowa zależy od całej historii reżimów 18

19 Modele MS-GARCH Rozwiązanie 1 (Gray, 1996): Oblicz: można też podstawić (Klaassen, 2002) zamiast Podstaw do nowego równania wariancji: Wada: trudno wyprowadzić własności wariancji warunkowej, np. stacjonarność 19

20 Modele MS-GARCH Rozwiązanie 2, preferowane (Haas, Mittnik, Paloella, 2004): Wariancje jak w MSR: Definiujemy wektor wariancji: Równanie modelu GARCH(1,1): 20

21 Przykład - symulacja Źródło: Haas et al.. 21

22 Przykład 2 22

23 Przykład 2 c.d. Obserwacje w dwóch reżimach 23

24 Model MSR-GARCH Model MSR-GARCH(1,1) y t = x t b i + e t, e t ~ N (0, σ, ), 2 t i σ 2 t, i = a 0, i + a 1, i e 2 t 1 + a 2, i σ 2 t 1, i Estymacja: Metoda gradientowa: BFGS W każdym kroku obliczane prawdopodobieństwa reżimów + szeregi wariancji warunkowych Dużo wartości startowych, możliwe restrykcje na parametry 24

25 Przykład MS-GARCH********************************************** maxf beta e-006 bledy standardowe staystyka t e-005 macierz przejscia P parametry rownania wariancji e wariancja długookresowa 25