Ekonometria. Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej

Transkrypt

1 Ekonometria Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 1 / 17

2 Agenda Test liniowych restrykcji 1 Test liniowych restrykcji Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 2 / 17

3 Agenda Test liniowych restrykcji 1 Test liniowych restrykcji Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 2 / 17

4 Agenda Test liniowych restrykcji 1 Test liniowych restrykcji Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 2 / 17

5 Agenda Test liniowych restrykcji 1 Test liniowych restrykcji Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 2 / 17

6 Outline Test liniowych restrykcji 1 Test liniowych restrykcji Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 3 / 17

7 Test Walda łączna istotność zmiennych Łączna istotność oszacowań parametrów może być weryfikowana przy pomocy testu Walda, tj.: Statystyka testowa: H 0 : β 1 = β 2 =... = β k = 0 (1) H 1 : j {1,...,k} β j 0 (2) F = R 2 /k (1 R 2 )/(n (k + 1)) (3) Statystyka testowa F ma rozkład F-Snedecora z r 1 = k oraz r 2 = n (k + 1) stopniami swobody. Jeżeli F > F r 1,r 2,α - to dorzucamy H 0 na rzecz H 1. Jeżeli F < F r 1,r 2,α -to nie ma podstaw do odrzucenia H 0 na rzecz H 1. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 4 / 17

8 Test Walda umożliwia przede wszystkim szersze testowanie restrykcji liniowych. H 0 : R β = q (4) Macierz restrykcji R jest wymiarów r (k + 1), gdzie r to liczba restrykcji. Restrykcje są zapisywane wierszowo, a test Walda pozwala na weryfikację koniunkcji wszystkich restrykcji. Statystyka testowa: F = (SSE( ˆβ) SSE( ˆβ R ))/r SSE( ˆβ)/(n (k + 1)) ma rozkład F-Snedecora z r 1 = r oraz r 2 = n (k + 1). SSE( ˆβ R ) - jest sumą kwadratów reszt modelu z restrykcjami; SSE( ˆβ) - jest sumą kwadratów reszt modelu bez restrykcji; Przykłady wykorzystania testu Walda: Weryfikowanie restrykcji ekonomicznych. Test pominiętych zmiennych. Wiarygodność wnioskowania zależy od potencjalnych problemów ze składnikiem losowym, tj. autokorelacji czy heteroskedastyczności! (5) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 5 / 17

9 Przykłady zapisu macierzowego w teście liniowych restrykcji Walda Przykład #1: test Walda na istotność zmiennych w modelu: R = oraz q = Przykład #2: załóżmy, że mamy cztery zmienne egzogeniczne oraz β 1 = β 3 2 β 2 = ν 3 β 1 + β 4 = γ. Wtedy: R = [ ] oraz q = [ 0 ν γ ] Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 6 / 17

10 Test Walda i odporny estymator kowariancji Częstym rozwiązaniem problemu autokorelacji lub heteroskeastyczności jest wykorzystanie odpornego estymatora kowariancji. Statystyka testu Walda nie będzie wiarygodna, jeżeli składnik losowy będzie wykazywał autokorelację lub heteroskedastyczność. Statystyka W uwzględniająca odporny estymator kowariancji: W = (Rβ q) ( R VR ) (Rβ q), (6) gdzie V to odporny estymator macierzy kowariancji, a R i q opisują r testowanych hipotez. Statystyka W ma rozkład χ 2 z r stopniami swobody. Zależność między statystykami F i W: F = 1 W, (7) r gdzie F ma rozkład F-Snedecora z r 1 = r oraz r 2 = n (k + 1). Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 7 / 17

11 Outline Test liniowych restrykcji 1 Test liniowych restrykcji Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 8 / 17

12 Stabilność oszacowań parametrów modeli ekonometrycznych jest zasadna zarówno w przypadku prognozowania jak i analizy strukturalnej. Testy statystyczne: test Chowa i QLR. Estymacja rekursywna (recursive estimation) lub na oknie o stałej liczbie obserwacji (rolling window estimation). Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 9 / 17

13 pozwala na statystyczną identyfikację zmiany strukturalnej parametrów. Punktem wyjściowym w teście Chowa jest wybór punktu załamania strukturalnego, a więc momentu w czasie, po którym nastąpiła zmiana strukturalna. Przed załamaniem strukturalnym y t = β 0,1 + β 1,1x 1t β k,1 x kt + ε t (8) Po załamaniu strukturalnym y t = β 0,2 + β 1,2x 1t β k,2 x kt + η t (9) Zestaw hipotez: Statystyka testowa: H 0 : 1 (1,..,k) β i = β i,1 = β i,2 (10) H 1 : 1 (1,..,k) β i,1 β i,2 (11) F = SSE SSE1 SSE2/(k + 1) (SSE 1 + SSE 2)/(n 2(k + 1)) (12) gdzie SSE to suma kwadratów reszt w całej próbie, a SSE 1 oraz SSE 1 w pierwszej oraz drugiej podróbie. Statystyka F ma rozkład F-snedecora z k + 1 oraz n 2(k + 1) stopniami swobody. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 10 / 17

14 Test liniowych restrykcji pozwala rozwiązać problem, gdy nieznany jest dokładny punkt załamania strukturalnego. Rozważana postać regresji: y t = k β ix jt + i=0 k δ iβ ix jti t(τ) + ε t (13) gdzie I t(τ) to zmienna zero-jedynkowa przyjmująca wartość 1 gdy t τ i=0 Jako punkt załamania strukturalnego rozważany jest każdy punkt τ należący do sensownego przedziału, np. 70% środkowych obserwacji. Dla każdego punktu τ obliczana jest statystyka testowa F i dalsze wnioskowanie opiera się na schemacie analogicznym do testu Chowa. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 11 / 17

15 Outline Test liniowych restrykcji 1 Test liniowych restrykcji Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 12 / 17

16 Zasady prognozowania punktowego: Zasada prognozowania według wartości oczekiwanej. Zasada prognozowania według największego prawdopodobieństwa. Zasada prognozowania według mediany. Zasada prognozowania minimalizującego oczekiwaną stratę. Model przydatny do prognozowania: Charakteryzuje się stabilnymi w czasie oszacowaniami. Posiada znane realizacje wartości zmiennych objaśniających. Zostać pozytywnie zweryfikowany, tj. własności składnika losowego nie powinny budzić zastrzeżeń. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 13 / 17

17 Prognoza punktowa opiera się o: oszacowania wektora ( ˆβ) oraz realizację zmiennych objaśniających (X τ ): y P τ = X τ ˆβ (14) Błąd prognozy ex ante wynika z niepewności oszacowań parametrów strukturalnych (błąd estymacji) oraz błędu struktury stochastyczne: = S 1 + Xτ T (X T X) 1 Xτ T (15) S P τ gdzie S to estymator odchylenia standardowego składnika losowego. Średni względny błąd prognozy: ν τ = S P τ y P τ (16) Prognoza przedziałowa opiera się zarówno o prognozę punktową jak i błąd prognozy: P { } yτ P t αsτ P < yτ P < yτ P + t αsτ P = 1 α (17) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 14 / 17

18 Outline Test liniowych restrykcji 1 Test liniowych restrykcji Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 15 / 17

19 W przeciwieństwie do błędu prognozy ex ante, błąd prognozy ex post pozwala na ocenę trafności prognoz w porównaniu do zrealizowanych wartości zmiennej y. Podobnie jest w przypadku mierników dopasowania modelu do danych błąd prognozy ex post nie powinnien być nadrzędnym kryterium w wyborze modelu ekonometrycznego. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 16 / 17

20 Średni błąd predykcji ME (mean error): ME = 1 n n (y τ y P τ ) (18) Średni absolutny błąd predykcji MAE (mean absolute error): MAE = 1 n Błąd średniokwadratowy predykcji MSE (mean square error): MSE = 1 n i=1 n i=1 n i=1 y τ y P τ (19) (y τ y P τ )2 (20) Pierwiastek błędu średniokwadratowy predykcji RMSE (root mean square error): RMSE = 1 n n i=1 (y τ y P τ )2 (21) Średni procentowy błąd prognozy MAPE(mean absolute percentage error) MAPE = 1 n n i=1 yτ yp τ y τ (22) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 17 / 17