Wykład 10: Gawitacja cz. 1. d inż. Zbiniew Szklaski szkla@ah.edu.pl http://laye.uci.ah.edu.pl/z.szklaski/
Doa do pawa powszechneo ciążenia Ruch obitalny planet wokół Słońca jak i dlaczeo? Reulane, wieloletnie pomiay Tycho Bahe (1546-61) Pawa Keplea Badania powodów uchu planet Galileusz zasada bezwładności. Newton (164-176): uch ciała może zmienić tylko siła Z II i III pawa Keplea Słońce jest źódłem sił adialnych 1/ Newton postulował powszechność tej siły wszystkie ciała pzyciąają się wzajemnie. 0.04.017 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Siły centalne F C ˆ C F C Dla oddziaływań awitacyjnych C Gm 1 m Dla oddziaływań elektostatycznych C k q 1 q q 1 q 4 o Nm dzie G = 6,67 10-11 k Nm dzie k 8,99 10 9 C 0.04.017 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
pole awitacyjne pole elektostatyczne ładunku ujemneo Oddziaływanie awitacyjne jest dużo słabsze niż elektostatyczne Dla dwóch elektonów Pzyciąanie awitacyjne Odpychanie elektostatyczne 1 4,17 10 4 0.04.017 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 4
Pawa Keplea (1571-160) I. Wszystkie planety kążą po elipsach. W onisku elipsy znajduje się Słońce. II. Pola zakeślane pzez wekto wodzący (od Słońca) w jednakowych odstępach czasu są ówne. Zakeślane pole: 1 1 da ( d ) da dt tzw. pędkość polowa 1 d dt dt v 1 L m vdt L m v d +d 0.04.017 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 5
da dt L m jeżeli nie działają siły zewnętzne: L const d A dt const Pędkość polowa jest stała! 0.04.017 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 6
III Kwadaty okesów obieów óżnych planet dookoła Słońca są popocjonalne do sześcianów dużych półosi elipsy. Powodem uchu po obicie jest siła dośodkowa jest nią siła awitacji: M 1 m 1 m GMm m T GM 4 T T 4 GM T const T T 1 1 0.04.017 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 7
Einstein a awitacja w Newtona oddziaływania awitacyjne zachodzą w sposób natychmiastowy co jest spzeczne z postulatem Einsteina o niemożności pzesyłania synałów z szybkością większą niż szybkość światła. w Oólnej Teoii Wzlędności awitacja jest konsekwencją zakzywienia czasopzestzeni pzez obiekty mające masę/ eneię. 0.04.017 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 8
Wielkości chaakteyzujące pole awitacyjne W Siła awitacji Natężenie pola Eneia potencjalna: M m F G ˆ F M G ˆ m Obliczmy pacę wykonaną pzez siłę awitacji pzy pzesunięciu ciała z : F d GMm 1 d GMm M GMm GMm m F 1 1 GMm 0.04.017 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 9
Aby nie zmieniać eneii kinetycznej, ciało jest pzesuwane z pzez siłę zewnętzną F z skieowaną pzeciwnie do siły awitacji. Zatem W GMm W z E p Ep Ep Wz Ep Skoo W F d E p więc: 0 F stąd de d Dla pzypadku D można zapisać: F dzie iˆ E p x ˆj y W kˆ z z GMm p F E E p F p GMm E iˆ x p ad E ˆj E p y m M p F z F kˆ E z p 0.04.017 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 10
Potencjał awitacyjny E p GMm V df E p m GM V E p mv skoo E p F mv m V zatem czyli adv oaz popzednio F ad E p 08.04.017 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 11
Pawo Gaussa Stumień pola wektooweo o natężeniu pzechodzący pzez powiezchnię S W Dla powiezchni złożonej S W S W c i zamkniętej i lub oólnie dla powiezchni w pzypadku jak na ysunku c W ds 0 W S L S b S P W 0.04.017 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 1
Całkowity stumień pola wektooweo, pzechodzący pzez dowolną powiezchnię zamkniętą jest popocjonalny do źódła teo pola zamknięteo wewnątz tej wybanej powiezchni Dla pola awitacyjneo: Całkowity stumień pola awitacyjneo pzechodzący pzez dowolną powiezchnię zamkniętą (tzw. powiezchnię Gaussa), jest popocjonalny do masy będącej źódłem teo pola masy, któa jest zamknięta wewnątz powiezchni Gaussa. 4G M dzie ds czyli ostatecznie ds 4GM 0.04.017 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 1
PRZYKŁADY: Masa punktowa: ds Powiezchnia Gaussa M S ds S ds 0 cos180 S ds ds Skoo: S ds 4 4GM G M Stąd pawo powszechneo ciążenia F m G Mm 0.04.017 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka
Sfeyczny ozkład masy masa M ozłożona na sfeze o pomieniu R R ęstość powiezchniowa M masy: 4R M 1. ozpatujemy piewszy obsza > R Na podstawie pawa Gaussa 4GM S ds dzie M jest masą powłoki zawatej wewnątz powiezchni Gaussa. 4 GM G 4R M GM 4 G 0.04.017 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 15
. Dla duieo obszau < R 0 ds 0 S dyż żadna masa nie jest zawata wewnątz wybanej powiezchni Gaussa. R M 0.04.017 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 16
Objętościowy ozkład masy kula o pomieniu R i masie M. 1. piewszy obsza > R (cała masa kuli zawata jest wewnątz powiezchni Gaussa). R M 4GM ds 4GM S 4 GM Można stąd obliczyć potencjał i eneię potencjalną masy póbnej m znajdującej się w odlełości od źódła pola awitacyjneo M. GMm V d E p 0.04.017 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 17
. dla < R tylko część masy kuli zawata jest wewnątz powiezchni Gaussa. R Na podstawie pawa Gaussa: 4GM ' ds ' 4GM 4 M M ' GM Obliczmy M : ' ' M M M M M ' M ' V V 4 4 R Dla obu obszaów otzymujemy ten sam wynik dy = R Podobnie jak popzednio: R GM R stąd V d E p GMm R GM R 0.04.017 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 18
0.04.017 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 19
Inny pzykład zastosowania pawa Gaussa. W jednoodnej kuli o pomieniu R, wykonanej z mateiału o ęstości 1, wykonano kuliste wydążenie o pomieniu =⅓ R pzyleające do powiezchni kuli. Wydążenie wypełniono mateiałem o ęstości = ½ 1 Kozystając z pawa Gaussa oblicz natężenie pola awitacyjneo w punkcie P, odlełości R od powiezchni kuli. Zób ysunek z zaznaczeniem wybanych powiezchni Gaussa. GR1 7 =R+R =R+⅓R P 0.04.017 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 0
Uczeń cukienika upiekł makowiec w kształcie badzo, badzo dłuieo, idealneo walca - niestety z zakalcem. Gęstość teo makowca o pomieniu R można opisać w uposzczeniu funkcją = A(1-/R), dzie A - stała makowcowa. Z jaką siłą pzyciąa ten makowiec punktowy pączek o masie m umieszczony w odlełości R od osi makowca? R R 0.04.017 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 1