Kombinatoryka. Karolina Lewalska 23 marca 2017

Kombiatoryka Karolia Lewalska 23 marca 2017 Zadaie 1 Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych? Ile istieje liczb sześciocyfrowych takich, w których cyfra setek to sześć? 9 10 10 10 10 10 Pierwszą cyfrę możemy wybrać a 9 sposobów, poieważ liczba ie może zaczyać się od zera, każdą astępą wybieramy a 10 sposobów. 9 10 10 10 1 10 = 900000 Istieje 900000 liczb aturalych sześciocyfrowych. 9 10 10 10 10 10 Pierwszą cyfrę możemy wybrać a 9 sposobówi, poieważ liczba ie może zaczyać się od zera, cyfrą setek jest 6, czyli tylko jeda możliwoć, a kwszystkie pozostałe wybieramy a 10 sposobów. 9 10 10 10 1 10 = 90000 Istieje 90000 liczb aturalych sześciocyfrowych spełiających poday waruek. Zadaie 2 Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych o ie powtarzających się cyfrach? Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych o ie powtarzających 1

się cyfrach takich, w których cyfra setek to 6? 9 9 8 7 6 5 Pierwszą cyfrę możemy wybrać a 9 możliwości, poieważ liczba ie może zaczyać się od zera, drugą cyfrę wybieramy rówież a 9 sposobów, poieważ ie możemy wybrać cyfry z pierwszego miejsca, ale możemy zero, trzecią cyfrę wybieramy a 8 sposobów, bo ie możemy wybrać dwóch które już zostały wybrae i każdą astępą aalogiczie. 9 9 8 7 6 5 = 136080 Istieje 136080 liczb aturalych sześciocyfrowych spełiających poday waruek. 9 9 8 7 1 15 Pierwszą cyfrę możemy wybrać a 9 możliwości, poieważ liczba ie może zaczyać się od zera, drugą cyfrę wybieramy rówież a 9 sposobów, poieważ ie możemy wybrać cyfry z pierwszego miejsca, ale możemy zero, cyfra setek to 6, czyli tylko jeda możliwość, trzecią cyfrę wybieramy a 8 sposobów, bo ie możemy wybrać dwóch które już zostały wybrae i każdą astępą aalogiczie. 9 9 8 7 1 5 = 22680 Istieje 22680 liczb aturalych sześciocyfrowych spełiających podae waruki. Zadaie 3 Ile liczb trzycyfrowych zawiera 3 lub 7? 2

9 10 10 Najpierw liczymy ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych (aalogiczie jak w Zad1.. 9 10 10 = 900 7 8 8 Następie liczymy ile jest liczb ie zawierających ai 3 ai 7. Pierwszą cyfrę wybieramy a 7 sposobów, bo be 0, 3 i 7, a pozostałe a 8, bo bez 3 i 7. 7 8 8 = 448 900 448 = 452 Od wszystkich mozliwych liczb trzycyfrowych odejmujemy te co ie zawirają ai 3 ai 7. W te sposób otrzymujemy liczbę liczb zawierających 3 lub 7. Istieją 452 liczby trzycyfrowe zawierające 3 lub 7. Zadaie 4 Ile liczb czterocyfrowych zawiera 0, 3 lub 7? 9 10 10 10 Najpierw liczymy ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych (aalogiczie jak w Zad1.. 9 10 10 10 = 900 7 7 7 7 Następie liczymy ile jest liczb ie zawierających ai 0 ai 3 ai 7. Każdą liczbę wybieramy a 7 sposobów, bo bez 0, 3 i 7. 7 7 7 7 = 2401 9000 2401 = 6599 Od wszystkich mozliwych liczb trzycyfrowych odejmujemy te co ie zawirają ai 3 ai 7. W te sposób otrzymujemy liczbę liczb zawierających 3 lub 7. Istieje 6599 liczb czterocyfrowych zawierających 0, 3 lub 7. 3

Zadaie 5 Grupa zajomych przyszła do ciastkari, w której było osiem rodzajów ciastek. Każdy kupił jedo ciastko. Z ilu osób składa się grupa jeśli wiadomo, że mogło być 512 różych możliwości wyboru? -liczba osób 8 8 8 8 }{{} Były 63 osoby. Każda osoba ma 8 możliwości wyboru ciastka. 8 = 512 = 3 Zadaie 6 W kawiari, do której przyszło siedem osób było dziesięć gatuków ciastek. Każdy kupił jedo ciastko, przy czym każdy kupił ciastko iego rodzaju. Na ile sposobów moża było kupić ciastka? 10 9 8 7 6 5 4 Pierwsza osoba ma 10 możliwości wyboru ciastka, druga już tylko 9, bo ie może wybrać tego ciastka co wybrała pierwsza, każda astępa aalogiczie. Moża było kupić ciastka a 10*9*8*7*6*5*4 sposobów. Zadaie 7 Na ile różych sposobów moża ustawić 24 osoby w szereg tak, by a dae trzy osoby stały obok siebie b dae dwie osoby ie stały obok siebie c między daymi dwiema osobami stały dokładie 4 ie osoby? a 3 2 1 = 3! Najpierw policzymy a ile sposobów 3 osoby mogą zająć 3 miejsca. Pierwsza ma do wyboru 3, druga 2, a trzecia już tylko 1 miejsce. 4

A B C }{{} 21 }{{} A B C 21 Następie musimy sprawdzić a ile sposobów możemy ustawić trójkę wewątrz szeregu. Pierwsza opcja- A stoi a pierwszym miejscu, ostatia opcja- A stoi a 22 miejscu. Stąd cała trójka może się ustawić wewątrz szeregu a 22 sposoby. 3! 22 21! = 3! 22! Musimy jeszcze ustawić pozostałe 21 osób. Jest możliwe a 21! sposóbów. b 24! Możliwości ustawieia w szereg 24 osób. 2! 23! Liczymy ile jest możliwości ustawieia 24 osób, tak aby dae dwie stały obok siebie (aalogiczie jak w pukcie a 24! (2! 23! Od wszystkich możliwości odejmujemy te które ie pasują. Zadaie 8 W grupie liczącej 6 chłopców i 4 dziewczęta rozlosowao 5 biletów do teatru. Na ile sposobów moża rozlosować bilety? Na ile sposobów moża je rozlosować tak, aby co ajmiej dwa przypadły dziewczętom? ( 10 5 ( ( 4 6 2 3 + ( 4 3 ( 6 2 + ( 4 4 ( 6 1 ( ( ( ( ( ( 4 6 4 6 4 6 + + 2 3 3 2 4 1 Ze wszystkich 10 osób wybieramy 5, które dostaą bilety. ( 10 = 10! 5 5! 5! = 252 Rozpatrujemy 3 opcje: bilety dostaja 2 dziewczyki i 3 chłopców lub 3 dziewczyki i 2 chłopców lub 4 dziewczyki i 1 chłopiec. = 4! 2! 2! 6! 3! 3! + 4! 3! 1! 6! 2! 4! + 4! 4! 0! 6! 1! 5! = 186 5

Zadaie 9 Zaa jest zabawka dla dzieci, składająca się z dwuastu sześcieych klocków z aklejoymi a ściakach fragmetami obrazków. Na ile sposobów moża ułożyć te klocki w prostokąt (trzy rzędy po cztery klocki w rzędzie? 12! 12 klocków umieszczamy w 12 miejscach a 12! sposobów. 6 12 Z każdego klocka wybieramy jedą ściakę, więc mamy po 6 możliwości. 4 12 Każdy klocek możemy obrócić a 4 sposoby. 12! 6 12 3 12 Zadaie 10 W turieju szachowym bierze udział 26 zawodików. W pierwszym etapie każdy zawodik gra z każdym. Ile di trzeba przezaczyć a te etap, jeżeli każdego dia może zostać rozegraych 25 partii? ( 26 2 = 26 25 24! = 13 25 Aby policzyć liczbę partii, musimy policzyć ile par da się utworzyć z 26 2! 24! uczestików. Iymi słowy, sprawdzamy a ile sposobów z 26 osób możemy wybrać 2. 13 25 = 13 25 Na te etap trzeba przezaczyć 13 di. Zadaie 11 Zebrało się 20 szachistów z kraju A i 15 i z kraju B. Mają do dyspozycji 9 szachowic. Na ile różych sposobów moża dobrać szachistów do rozegraia pierwszej partii, jeli przeciwicy muszą pochodzić z różych krajów? ( 20 9 Z kraju A wybieramy 9 zawodików. 6

( 15 9 Z kraju B wybieramy 9 zawodików. 9! Każdego zawodika z wybraych 9 z kraju A łączymy z jedym z wybraych z kraju B. (Pierwszy z A ma do wyboru dziewiąciu z B, drugi ośmiu, itd Zadaie 12 ( 20 9 ( 15 9 Trzeba wytypować delegację zlożoą z trzech dziewcząt i dwóch chłopców. Ile takich delegacji moża utworzyć, jeli w klasie jest 18 dziewcząt i 12 chłopców? ( 18 3 ( 18 3 ( 12 2 Zadaie 13 9! Wybieramy 3 dziewczyki. Do dziewczyek dobieramy 2 chłopców. Ile jest fukcji ze zbioru {1, 2, 3} w zbiór {1, 2, 3, 4}, które a są różowartościowe b ie są różowartościowe a f(1 4 opcje f(2 3 opcje f(3 2 opcje Fukcja ma być różowartościowa, więc f(2 ie może przyjąć wartości f(1, a f(3 ie może przyjąć wartości f(2 i f(1. 4 3 2 = 24 b 4 3 24 Liczymy ile jest wszystkich możliwych fukcji i odejmujemy te różowartościowe (z podpuktu a. 7

Zadaie 14 Ile jest fukcji f ze zbioru {x, y, z} w zbiór {1,..., }? Ile sporód ich spełia waruek f(x = 3? Ile spełia waruek f(x f(z? = 3 f(x, f(y i f(z mają opcji. 1 = 2 f(x ma tylko jedą opcję, a f(y i f(z mają opcji. ( 1 = 2 ( 1 f(x, f(y mają opcji, a f(z ma -1 opcji, bo ie może mieć tej samej wartości co f(x. Zadaie 15 Ile jest fukcji f ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5} w zbiór {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? Ile sporód ich spełia waruek f(2 f(4? Ile spełia waruek f(2 = f(4 = 3? 7 7 7 7 7 = 7 5 Każdemu elemetowi z pierwszego zbioru możemy przyporządkować jede z 7 z drugiego zbioru. 7 7 7 6 7 = 6 7 4 f(4 może przyjąć jedą z 6 wartości (bo ie może przyjąć tej samej co f(2, a wszystkie pozostałe mają po 7 możliwości. 7 1 7 1 7 = 7 3 f(2 i f(4 mają tylko jedą możliwość, a pozostałe po 7. Zadaie 16 Ile jest fukcji różowartościowych f ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5} w zbiór {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? Ile sporód ich spełia waruek f(2 = 2? Ile spełia waruek f(2 f(2? 7 6 5 4 3 f(1 ma 7 możliwości, f(2 ma 6 (ie może mieć tej samej co f(1, itd. 7 1 5 4 3 f(1 ma 7 możliwości, f(2=2, więc ma jedą możliwość, f(3 ma 5 (bo bez wartości f(1 i 2, itd. 8

Rozpatrujemy dwa przypadki. 6 5 5 4 3 1 f(1 2, więc ma 6 możliwości, f(2 ma 5, bo bez 2 i bez wartości f(1, f(3 też ma 5 możliwości, bo bez wartości f(1 i f(2, ale z możliwą 2, f(4 ma 4 możliwości, a f(5 ma 3 możliwości. 1 6 5 4 3 2 f(1=2, więc ma jedą możliwość, f(2 ma 6, bo bez 2, f(3 ma 5, itd. Zadaie 17 Na ile sposobów moża rozsadzić: a 3 osoby a 3-osobowej karuzeli; b 4 osoby a 4-osobowej karuzeli; c osób a -osobowej karuzeli? 6 5 5 4 3 + 6 5 4 3 = 2160 UWAGA: dwa rozsadzeia uważamy za róże, jeżeli jeda osoba ma z co ajmiej jedej stroy iego sąsiada. a A C B 2 1 = 2! Osoba A siada a karuzeli jako pierwsza. Nie ma zaczeia a którym miejscu usiądzie, poieważ gdy karuzela się obróci to A zajdzie się w iym miejscu. Jako druga siada B, ma do wyboru dwa miesjca (za A albo przed A. C ma do wyboru już tylko jedo miejsce. 9

b 3 2 1 = 3! Osoba A siada a karuzeli jako pierwsza. Nie ma zaczeia a którym miejscu usiądzie, poieważ gdy karuzela się obróci to A zajdzie się w iym miejscu. Jako druga siada B, ma do wyboru 3 miesjca. C ma do wyboru 2 miejsca, a D już tylko jedo. c ( 1! Miejsce pierwszej osoby ie ma zaczeia. Druga ma do wyboru wszystkie pozostałe, czyli -1, a każda astępa ma do wyboru o jedo miej. Zadaie 18 Na ile sposobów moża podzielić grupę 8-osobową a dwie grupy: 5-osobową i 3-osobową? Na ile sposobów moża podzielić tę grupę a dwie grupy 4- osobowe? (kolejość grup i uporządkowaie osób w grupie ie ma zaczeia ( ( 8 5 3 3 ( ( 8 4 4 4 = ( 8 5 = ( 8 4 Z ośmiu osób wybieramy 5 do pierwszej grupy i z pozostałych trzech wybieramy 3 do drugiej grupy. Z ośmiu osób wybieramy 4 do pierwszej grupy i z pozostałych trzech wybieramy 4 do drugiej grupy. Zauważmy jedak, że w te sposób policzylimy za dużo wyborów, bo gdy do jedej grupy weźmiemy osoby A, B, C i D, a do drugiej W, X, Y i Z, to to to jest te sam wybór, gdybyśmy do pierwszej grupy wzięli osby W, X, Y i Z, a do drugiej A, B, C i D. ( 8 4 2! Musimy więc policzyć ile razy powtórzylimy te wybory. Są dwie grupy więc mogą się oe ustawić w różych kolejociach a 2! sposobów. 10

Zadaie 19 Na ile sposobów moża 5 par sporód 10 osób? ( 10 2 ( 8 2 ( 6 2 ( 4 2 ( 2 2 5! Z 10 osób wybieramy 2, z pozostałych koleje dwie itd. Wszystko dzielimy przez liczbę możliwych ustawień pięciu par (aalogiczie jak w Zad.18 Zadaie 20 Komedat policji ma do dyspozycji 15 policjatów. Na ile sposobów może sporód tych policjatów utworzyć cztery patrole dwuosobowe? Na ile sposobów może utworzyć dwa patrole dwuosobowe i trzy trzyosobowe? ( 15 2 ( 13 2 ( 11 2 ( 9 2 4! ( 15 2 ( 13 2 ( 11 3 ( 8 3 ( 5 3 2! 3! Aalogiczie jak w poprzedich zadaiach, z 15 policjatów wybieramy 2, z pozostałych 2 itd. Wszystko dzielimy przez liczbę możliwych ustawień czterech par. Aalogiczie jak w poprzedich zadaiach, z 15 policjatów wybieramy 2, z pozostałych 2 lub 3 (tak aby utworzyć grupy podae w zadaiu. Wszystko dzielimy przez liczbę możliwych ustawień 2 par i 3 grup. Zadaie 21 Na ile sposobów moża podzeilić grupę 30-osobową a 7 grup: trzy 4-osobowe, dwie 3-osobowe, jedą 7-osobową oraz jedą 5-osobową? ( 30 4 ( 26 4 ( 22 4 ( 18 3 ( 15 3 ( 12 7 ( 5 5 3! 2! 1! 1! Aalogiczie jak w poprzedich zadaiach, z 30 osób wybieramy odpowiedie grupy i dzielimy przez liczbę ich możliwych ustawień. 11

Zadaie 22 Dzieci bawią się klockami a których wyrzeźbioe są litery. Układają klocki jede obok drugiego. Ile różych słów mogą utworzyć (wykorzystując wszystkie klocki, gdy układaka składa się z liter słowa: a MARCHEW b ANALFABETA c MATEMATYKA d KONSTANTYNOPOLITAŃCZYKIEWICZÓWNA a MARCHEW 7! W wyrazie MARCHEW mamy do dyspozycji 7 różych liter. Możemy je ustawić a 7! sposobów. b ( ANALFABETA 10 4 6! W wyrazie ANALFABETA mamy 10 liter, z czego 4 to A. Wybieramy ajpierw 4 miejsca a A, a astępie ustawiamy pozostałe litery. c ( MATEMATYKA ( ( 10 3 7 2 5 2 3! W wyrazie MATEMATYKA mamy 10 liter, z czego 3 to A, 2 to M i 2 to T. Wybieramy ajpierw 4 miejsca a A, 2 miejsca a M, 2 a T, a astępie ustawiamy pozostałe litery. d KONSTANTYNOPALITAŃCZYKIEWICZÓWNA 32 litery: 4xN, 3xA, 3xI, 3xO, 3xT, 2xC, 2xK, 2xW, 2xY, 2xZ, 1xE, 1xL, 1xŃ, 1xÓ, 1xP, 1xS ( 32 4 ( 28 3 Zadaie 23 ( 25 3 ( 22 3 ( 19 3 ( 16 2 ( 14 2 ( 12 2 ( 10 2 ( 8 6! 2 Wykazać, że wśród dowolych 12 liczb zajdują się dwie, których różica jest podziela przez 11. Liczymy reszty z dzieleia przez 11 wszystkich dwuastu liczb. Umieszczamy liczby w szufladkach w zależości od reszty. Mamy więc 11 szufladek. Z zasady szufladkowej, w jedej szufladce (s muszą zaleźć się co 12

ajmiej dwie liczby postaci a = 11k + s i b = 11t + s. a b = 11k + s (11t + s = 11k + 11t liczba podziela przez 11 Zadaie 24 Niech A będzie ustaloym dziesięcioelemetowym podzbiorem zbioru {1, 2, 3,..., 50}. Wykazać, że w zbiorze A istieją dwa róże pięcioelemetowe pozdbiory takie, że sumy elemetów każdego z ich są rówe. ( 10 5 Liczymy ile jest możliwych 5- elemetówych podzbiorów. l{x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 } = B A 15 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 240 Z tego wyika, że mamy 226 możliwych sum. Wszystkie podzbiory umieszczamy w szufladkach w zależoci od sumy elemetów. Skoro rozkładamy 252 podzbiory w 226 szufladkach, to w jedej szufladce muszą zaleźć się co ajmiej 2 podzbiory. Zadaie 25 Ile liczb całkowitych ze zbioru {1, 2, 3,..., 1000} dzieli się przez 7 lub 13? D 7 = 1000 = 142 Liczymy ile w tym zbiorze jest liczb 7 podzielych przez 7. D 13 = 1000 = 76 Liczymy ile jest liczb podzielych 13 D 7 D 13 = D 91 = 1000 91 Zadaie 26 przez 13. = 10 Niektóre liczby są podziele zarówo przez 9 i przez 13, zatem policzylimy je dwukrotie, więc musimy je odjąć. D 7 D 13 = 142 + 76 10 = 208 Ile liczb całkowitych z przedziału od 0 do 349 ie jest podzielych ai przez 4 ai przez 7? 13

D 4 = 349 + 1 = 87 + 1 = 88 Liczymy ile w zbiorze {1, 2,..., 349} 4 jest liczb podzielych przez 4 i dodajemy 1, bo 0 też jest podziele przez 4. D 7 = 349 7 + 1 = 49 + 1 = 50 Liczymy ile w zbiorze {1, 2,..., 349} jest liczb podzielych przez 7 i dodajemy 1, bo 0 też jest podziele przez 7. D 4 D 7 = D 28 = 349 28 + 1 = 12 + 1 = 13 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 4 i 7. D 4 D 7 = 88 + 50 13 = 125 350 125 = 225 Od wszystkich 350 liczb ze zbioru odejmujemy te podziele porzez 4 lub 7. Zadaie 27 Ile liczb całkowitych z przedziału od 0 do 538 jest podzielych przez 5 lub 7 lub 9? D 5 = 538 + 1 = 108 Liczymy ile w tym zbiorze jest liczb 5 podzielych przez 5. D 7 = 538 + 1 = 77 Liczymy ile jest liczb podzielych 5 D 9 = 538 9 przez 7. + 1 = 60 Liczymy ile jest liczb podzielych przez 9. +1 = 16 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 5 i 7. +1 = 12 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 5 i 9. + 1 = 9 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 7 i 9. Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 5, 7 i 9. D 5 D 7 = D 35 = 538 35 D 5 D 9 = D 45 = 538 45 D 7 D 9 = D 63 = 538 63 D 5 D 7 D 9 = D 315 = 538 315 + 1 = 2 D 5 D 7 D 9 = 108 + 77 + 60 16 12 9 + 2 = 210 14

Zadaie 28 Ile liczb aturalych ze zbioru {21, 22, 23,..., 2000} jest podzielych przez 9, 11, 13 lub 15? 15

{21,..., 2000} = {1,..., 2000} {1,..., 20} Zauważmy, że poday zbiór ie zaczya się od 1, jest więc różicą dwóch zbiorów. D 9 = 2000 20 = 222 2 = 220 Liczymy ile w tym zbiorze jest 9 9 liczb podzielych przez 9. D 11 = 2000 20 = 181 1 = 180 Liczymy ile w tym zbiorze jest 11 11 liczb podzielych przez 11. D 13 = 2000 20 = 153 1 = 152 Liczymy ile w tym zbiorze jest 13 13 liczb podzielych przez 13. D 15 = 2000 20 = 133 1 = 132 Liczymy ile w tym zbiorze jest 15 15 liczb podzielych przez 15. D 9 D 11 = D 99 = 2000 20 = 20 Liczymy ile jest liczb podziel- 99 99 D 9 D 13 = D 117 = 2000 117 20 117 D 9 D 15 = D 45 = 2000 20 45 45 D 11 D 13 = D 143 = 2000 143 20 143 D 11 D 15 = D 165 = 2000 165 20 165 D 13 D 15 = D 195 = 2000 195 20 195 D 9 D 11 D 13 = D 1287 = 2000 1287 1 D 9 D 11 D 15 = D 495 = 2000 495 ych zarówo przez 9 i 11. = 17 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 9 i 13. = 44 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 9 i 15 (UWAGA 9 i 15 ie są względie pierwsze, więc bieżemy ajmiejszą wspólą wielokrotość. = 13 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 11 i 13. = 12 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 11 i 15. = 10 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 13 i 15. Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 9, 11 i 13. = 4 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 9, 11 i 15 (9 i 15 ie są względie pierwsze!. 20 1287 = 20 495 D 9 D 13 D 15 = D 585 = 2000 20 = 3 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 9, 13 i 15. 585 585 D 11 D 13 D 15 = D 2145 = 2000 20 = Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 11, 13 i 15. 2145 2145 0 D 9 D 11 D 13 D 15 = D 6435 = 2000 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 9, 11, 13 i 6435 20 = 0 6435 15. D 9 D 11 D 13 D 15 = 220+180+152+132 (20+17+44+13+12+10+(1+4+3+0 0 = 576 16

Zadaie 29 Ile liczb aturalych ze zbioru {99, 100, 101,..., 3456} ie jest podzielych ai przez 6 ai przez 7 ai przez 9? {99,..., 3456} = {1,..., 3456} {1,..., 98} Zauważmy, że poday zbiór ie zaczya się od 1, jest więc różicą dwóch zbiorów. D 6 = 3456 98 = 576 16 = 560 Liczymy ile w tym zbiorze jest 6 6 liczb podzielych przez 6. D 7 = 3456 98 = 493 14 = 479 Liczymy ile w tym zbiorze jest 7 7 liczb podzielych przez 7. D 9 = 3456 98 = 384 10 = 374 Liczymy ile w tym zbiorze jest 9 9 liczb podzielych przez 9. D 6 D 7 = D 42 = 3456 98 = 80 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 6 i 7. 42 42 D 6 D 9 = D 18 = 3456 98 = 187 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 6 i 9 (6 i 9 18 18 ie są wględie pierwsze!. D 7 D 9 = D 63 = 3456 98 = 53 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 7 i 9. 63 63 D 6 D 7 D 9 = D 126 = 3456 98 = 27 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 6, 7 i 126 126 9. D 6 D 7 D 9 = 560 + 479 + 374 (80 + 187 + 53 + 27 = 1120 3456 98 = 3358 Liczymy ile jest elemtów z zbiorze. 3358 1120 = 2238 Następie odejmujemy te które ie pasują. Zadaie 30 Ile liczb całkowitych z przedziału {444,..., 4444} ie jest podzielych ai przez 6 ai przez 8 ai przez 9? 17

{444,..., 4444} = {1,..., 4444} {1,..., 443} Zauważmy, że poday zbiór ie zaczya się od 1, jest więc różicą dwóch zbiorów. D 6 = 4444 443 = 740 73 = 667 Liczymy ile w tym zbiorze jest 6 6 liczb podzielych przez 6. D 8 = 4444 443 = 555 55 = 500 Liczymy ile w tym zbiorze jest 8 8 liczb podzielych przez 8. D 9 = 4444 443 = 493 49 = 444 Liczymy ile w tym zbiorze jest 9 9 liczb podzielych przez 9. D 6 D 8 = D 24 = 4444 443 = 167 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 6 i 8 (6 i 8 24 24 ie są wzgledie pierwsze!. D 6 D 9 = D 18 = 4444 443 18 18 = 222 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 6 i 9 (6 i 9 ie są wględie pierwsze!. D 8 D 9 = D 72 = 4444 443 = 55 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 7 i 9. 72 72 D 6 D 8 D 9 = D 72 = 4444 443 = 55 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 6, 8 i 72 72 9. D 6 D 8 D 9 = 667 + 500 + 444 (167 + 222 + 55 + 55 = 1022 4444 443 = 4001 Liczymy ile jest elemtów z zbiorze. 4001 1022 = 2979 Następie odejmujemy te które ie pasują. Zadaie 31 W kolejce do kia stoi osób (kolejość ie zmieia się. Osoby te wpuszczae są do kia w k grupach, z których każda składa się z jedej lub więcej osób. Na ile sposobów moża utworzyć tych k grup? 18

( 1 k 1 Będziemy rozdzielać grupy parierkami. Gdy w kolejce stoi osób, możemy postawić barierkę w -1 miejscach (przy dwóch osobach tylko w jedym: między pierwszą, a drugą; przy trzech osobach w dwóch miejscach: między pierwszą a drugą i między drugą a trzecią; itd.. Żeby podzielić kolejkę a k grup potrzebujemy k-1 barierek. Zatem z -1 możliwych miejsc między ludźmi wybieramy k-1 a barierki. Zadaie 32 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 9, gdzie x i jest dodatią liczbą całkowitą? ( ( 9 1 6 1 = 8 5 9 jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 6 grup jak w poprzedim zadaiu. Każda grupa odpowiada wartości x i. Zadaie 33 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 9, gdzie x i jest ieujemą liczbą całkowitą? y i = x i + 1 x i 0 y i 0 + 1 = 1 Zwróćmy uwagę a to, że x i jest luczbą ieujemą, a ie dodatią. Zatem, gdy jakieś x i = 0 musimy postawić dwie barierki w tym samym miejscu. Nie możemy tak zrobić, więc zamieiamy ieujeme x i a dodatie y i x 1 + 1 + x 2 + 1 + x 3 + 1 + x 4 + 1 + x 5 + 1 + x 6 + 1 = 9 + 6 y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 = 15 19

( ( 15 1 6 1 = 14 5 Liczymy liczbę rozwiązań owego rówaia aalogiczie jak w poprzedim zadaiu. 15 jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 6 grup. Każda grupa odpowiada wartości y i. Liczby rozwiązań pierwszego i drugiego rówaia są rówe. Zadaie 34 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 31, gdzie x 1 1, x 2 2, x 3 3, x 4 4, x 5 5, x 6 6 to liczby całkowite? y 1 = x 1 y 2 = x 2 1 y 3 = x 3 2 y 4 = x 4 3 y 5 = x 5 4 y 6 = x 6 5 Zamieiamy wszytskie x i a y i 1. x 1 + x 2 1 + x 3 2 + x 4 3 + x 5 4 + x 6 5 = 31 15 y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 = 16 ( ( 16 1 6 1 = 16 5 Liczymy liczbę rozwiązań owego rówaia aalogiczie jak w poprzedich zadaiach. 16 jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 6 grup. Każda grupa odpowiada wartości y i. Liczby rozwiązań pierwszego i drugiego rówaia są rówe. Zadaie 35 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 31, gdzie x 1 > 7, x 2 3, x 3 > 4, x 4 3, x 5 0, x 6 > 6 to liczby całkowite? 20

x 1 > 7 x 1 6 x 3 > 4 x 3 5 x 6 > 6 x 6 7 Zamieiamy wszystkie ierówości moce a słabe. y 1 = x 1 + 7 y 2 = x 2 2 y 3 = x 3 4 y 4 = x 4 + 4 y 5 = x 5 + 1 y 6 = x 6 6 Zamieiamy wszytskie x i a y i 1. x 1 + 7 + x 2 2 + x 3 4 + x 4 + 4 + x 5 + 1 + x 6 6 = 31 y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 = 31 ( ( 31 1 6 1 = 30 5 Liczymy liczbę rozwiązań owego rówaia aalogiczie jak w poprzedich zadaiach. 31 jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 6 grup. Zadaie 36 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 31, gdzie x 1 3, x 2 = 2, x 3 3, x 4 > 4, x 5 > 5, x 6 = 6 to liczby całkowite? x 4 > 4 x 4 5 x 5 > 5 x 5 4 Zamieiamy wszystkie ierówości moce a słabe. x 2 = 2 x 6 = 6 y 1 = x 1 2 y 3 = x 3 + 4 y 4 = x 4 4 y 5 = x 5 + 5 Podstawiamy zae wartości i w te sposób otrzymujemy rówaie z tylko 4 iewiadomymi. x 1 + 2 + x 3 + x 4 + x 5 + 6 = 31 x 1 + x 3 + x 4 + x 5 = 31 8 = 23 Zamieiamy wszytskie x i a y i 1. x 1 2 + x 3 + 4 + x 4 4 + x 5 + 5 = 23 + 3 21

y 1 + y 3 + y 4 + y 5 = 26 ( ( 26 1 4 1 = 25 3 Liczymy liczbę rozwiązań owego rówaia aalogiczie jak w poprzedich zadaiach. 26 jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 4 grupy (według owego rówaia. Zadaie 37 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 = 17, gdzie x 1 4, x 2 = 3, x 3 > 2, x 4 = 1, x 5 5, x 6 > 1, x 7 > 2 to liczby całkowite? x 3 > 2 x 3 3 x 6 > 1 x 6 0 x 7 > 2 x 7 1 Zamieiamy wszystkie ierówości moce a słabe. x 2 = 3 x 4 = 1 y 1 = x 1 3 y 3 = x 3 2 y 5 = x 5 4 y 6 = x 6 + 1 y 7 = x 7 + 2 Podstawiamy zae wartości i w te sposób otrzymujemy rówaie z tylko 6 iewiadomymi. x 1 + 3 + x 3 + 1 + x 5 + x 6 + x 7 = 17 x 1 + x 3 + x 5 + x 6 + x 7 = 17 4 = 13 Zamieiamy wszytskie x i a y i 1. x 1 3 + x 3 2 + x 5 4 + x 6 + 1 + x 7 + 2 = 13 6 y 1 + y 3 + y 5 + y 6 + y 7 = 7 ( ( 7 1 5 1 = 6 4 Liczymy liczbę rozwiązań owego rówaia aalogiczie jak w poprzedich zadaiach. 7 jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 5 grup (według owego rówaia. 22

Zadaie 38 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 = 99, gdzie x 1 2, x 2 > 5, x 3 3, x 4 = 4, x 5 > 5, x 6 1, x 7 = 1 to liczby całkowite? x 2 > 5 x 2 4 x 5 > 5 x 5 6 x 4 = 4 x 7 = 1 Zamieiamy wszystkie ierówości moce a słabe. Podstawiamy zae wartości i w te sposób otrzymujemy rówaie z tylko 6 iewiadomymi. x 1 + x 2 + x 3 + 4 + x 5 + x 6 1 = 99 y 1 = x 1 1 y 2 = x 2 + 5 y 3 = x 3 2 y 5 = x 5 5 y 6 = x 6 + 2 x 1 + x 2 + x 3 + x 5 + x 6 = 99 3 = 96 Zamieiamy wszytskie x i a y i 1. x 1 1 + x 2 + 5 + x 3 2 + x 5 5 + x 6 + 2 = 96 1 y 1 + y 2 + y 3 + y 5 + y 6 = 95 ( ( 95 1 5 1 = 94 4 Liczymy liczbę rozwiązań owego rówaia aalogiczie jak w poprzedich zadaiach. 95 jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 5 grup (według owego rówaia. Zadaie 39 Stosując każdą z podaych metod, pokazać, że ( 2 + 0 ( 2 + 1 ( 2 +... + 2 a Zastosować rozwiięcie wyrażeia (1 + x 2 23 ( 2 = ( 2

b Rozważyć wybór osób ze zbioru 2 osób, który składa się z mężczyz i kobiet. c Zliczyć ajkrótsze drogi w odpowiediej kracie. b Sposób 1: ( 2 Wybieramy osób z 2 osób. Sposób 2: Wybór osób liczymy w zależoci od liczby wybraych kobiet. ( ( ( 0( 1 1.(..( ( ( 0 + Rozpatrujemy wszystkie przypadki. Zaczyamy od sytuacji, w której wybrao 0 kobiet i mężczyz, dalej wybrao 1 kobietę i -1 mężczyz i tak dalej, aż do wyboru kobiet i 0 mężczyz. ( ( ( ( ( ( + + + = 1 1 1 1 0 ( ( ( ( ( ( = + + + = 0 0 1 1 ( 2 ( 2 ( 2 = + + + 0 1 Ostateczie: ( ( 2 = 2 ( 0 + 2 ( 1 + 2 ( 2 +... + 2 Zadaie 40 Pokazać, że: a ( ( k = k b ( ( ( +1 k = k k 1 c k ( ( k = 1 k 1 d ( ( ( ( +k 1 k 1 = k 1 0 k 1 + k 1 ( 1 k 2 + + ( k 24 ( 1 k 1 0

e ( ( ( ( 1 + 2 2 + 3 3 + + = 2 1 f ( ( ( ( ( ( 0( k + 1 1 k 1 + 2 2 k 2 + + k ( k 0 = 2 k ( k a W lososwaiu brało udział osób. K z ich otrzyma agrody. Na ile sposobów moża wyłoić zwycięzcę? Sposób 1: ( k Sposób 2: ( k Ostateczie: ( ( k = k. Z osób wybieramy k osób, które otrzymają agrody. Z osób wybieramy -k osób, które ie otzrymają agrodód. b Na pierwszym roku matematyki jest studetów zwykłych i jede starosta. Studeci piszą kolokwium z logiki w dwóch turach. W pierwszej turze może pisać k studetów. Na ile sposobów moża wybrać studetów piszących wcześiej? Sposób 1: ( +1 k Z +1 studetów wybieramy k studetów, którzy będą pisali w pierwszej turze. Sposób 2: Wybór ( studetów w zależoci od obecości starosty. k Najpierw rozpatrujemy wybór k studetów bez starosty. ( k 1 Ostateczie: ( ( ( +1 k = k + k 1. Następie wybór k studetów ze starostą. Starosta a pewo został wybray, więc dobieramy k-1 zwykłych studetów. c Sporód osób wybieramy drużyę k osób, składającą się z jedego kapitaa i zawodików. Na ile sposobów możemy to zrobić? 25

Sposób ( 1: k k Z osób wybieramy k osób do drużyy. Z wybraych osób wybieramy jedą, która będzie kapitaem. Sposób 2: ( 1 k 1 Ostateczie: k ( ( k = 1 k 1. Najpierw z osób wybieramy jedą, która będzie kapitaem, a stępie z pozostałych wybieramy k-1 zawodików. f studetów uzyskało z ćwiczeń z aalizy 51 puktów potrzebych do zaliczeia przedmiotu. k z ich było ambitych i przyszło a egzami. Wszyscy otrzymali lepsze ocey- 4 albo 5. Na ile sposobów mogli zostać oceiei studeci? Sposób 1: Liczymy ( ( według oce 0 k ( 1 ( k 1.(..( k 0 Sposób 2: ( k Rozpatrujemy wszystkie możliwe przypadki. Po kolei: ikt ie dostał 5, wszyscy, którzy przyszli dostali 4; jeda osoba dostała 5, reszta która przyszła dostała 4; itd aż do sytuacji, w której wszyscy, którzy przyszli, dostali 5, ikt ie dostał 4. Wybieramy k ambitych studetów. 2 k Każdy z ich ma dwie możliwoci ocey. Ostateczie: ( ( ( ( ( ( ( 0( k + 1 1 k 1 + 2 2 k 2 ( + + k k 0 = 2 k k 26