Typy zadań kombinatorycznych:

Transkrypt

1 Typy zadań kombinatorycznych: I. Ustawianie wszystkich elementów zbioru w pewnej kolejności Przestawieniem nazywamy ustawienie elementów danego zbioru w pewnej kolejności. Liczba przestawień określa na ile sposobów możemy ustawić elementy zbioru w kolejce. Powiedzmy, że mamy zbiór A, który ma n elementów i chcemy wyznaczyć liczbę wszystkich możliwych ustawień tych elementów w kolejce. Musimy więc podjąć n wyborów dotyczących tego, jaki element ustawić na kolejnym miejscu. I wybór na pierwszym miejscu w kolejce możemy ustawić każdy z n elementów II wybór na drugim miejscu w kolejce możemy ustawić już tylko n-1 elementów (bo jeden został już wykorzystany) III wybór na trzecim miejscu w kolejce można ustawić już tylko n-2 elementy (bo 2 elementy są już wykorzystane), itd. (n-1)-wszy wybór na przedostatnim miejscu w tej kolejce możemy ustawić już tylko 2 elementy, n-ty wybór- na ostatnim miejscu możemy ustawić już tylko jeden element Zatem zgodnie z regułą mnożenia liczba możliwych wyborów kolejności to: n (n-1) (n-2) Na ile sposobów można ustawić w kolejce do kasy biletowej 5 osób? Mamy wyznaczyć liczbę wszystkich możliwych ustawień 5 osób w kolejce. Musimy więc podjąć 5 wyborów dotyczących tego, jaką osobę ustawić na kolejnym miejscu. I wybór na pierwszym miejscu w kolejce możemy ustawić każdą z 5 osób; II wybór na drugim miejscu w kolejce możemy ustawić już tylko 4 osoby (bo jedna osoba został już ustawiona) III wybór na trzecim miejscu w kolejce można ustawić już tylko 3 osoby (bo 2 już są wykorzystane), IV wybór na czwartym miejscu w tej kolejce możemy ustawić już tylko 2 osoby, 5-ty wybór- na ostatnim miejscu możemy ustawić już tylko jedną osobę. Zgodnie z regułą mnożenia liczba możliwych wyborów kolejności to: sposobów 2. Na ile sposobów można ustawić na półce 3 różne książki? Oznaczamy książki numerami: 1, 2, 3 i wypisujemy wszystkie możliwe ustawienia: 123, 132, 213, 231, 312, 321; jest ich 6. lub Stosujemy regułę mnożenia: 1-szą książkę możemy ustawić na 3 sposoby, drugą na 2 sposoby, trzecią na 1 sposób; zatem mamy sposobów 3. Na ile sposobów można rozdzielić 3różne czekolady pomiędzy 3 osoby? I osoba ma 3 możliwości otrzymania czekolady:. Załóżmy, że dostała 1

2 II osoba ma już tylko 2 możliwości; w tym przypadku: Załóżmy, że dostała III osoba pozostała tylko jedna czekolada jedna możliwość.. Wszystkich możliwości (sposobów) jest: ; zatem mamy 6 sposobów rozdzielenia tych czekolad pomiędzy 3 osoby. 4. Mamy 7 książek o różnokolorowych okładkach na półce. Ile jest możliwości ustawienia tych książek na półce? Mamy możliwości (zgodnie z regułą mnożenia) 5. Na ile sposobów można ustawić 8 zawodników na 8 pasach startowych bieżni? Wszystkich możliwości (sposobów) jest: 6. Ile jest możliwych kolejności w jakiej dobiegnie na metę 5 zawodników? Wszystkich możliwości (sposobów) jest: 7. Na ile sposobów można ustawić w kolejce do kasy biletowej 5 panów i 4 panie, jeżeli: a) panowie są dżentelmenami i przepuszczają panie przodem? b) panowie nie byli grzeczni i wepchnęli się przed panie? c) kolejność nie zależy od płci? Rozwiązanie a) Panie można ustawić w obrębie czterech pierwszych miejsc w kolejce na = 24 sposoby, panów natomiast na kolejnych pięciu miejscach na = 120 sposobów. Każde ustawienie pań może wystąpić z każdym ze 120 ustawień panów. Wyboru kolejności pań i panów dokonujemy niezależnie, więc (korzystając z reguły iloczynu) mamy = 2880 takich możliwych ustawień. b) Możliwych ustawień jest tyle samo. c) Ustawiamy w kolejce dziewięcioro ludzi niezależnie od płci, co można zrobić na czyli na aż sposobów. II. Wybieranie elementów ze zbioru elementowego Doświadczenie polega na k- krotnym wybieraniu pojedynczych elementów z pośród n elementów, jakie mamy do dyspozycji. Elementy wybierane są po kolei, a nie wszystkie na 2

3 raz. Wyróżniamy dwa rodzaje zadań, w zależności od tego, czy po wybraniu danego elementu może on być użyty jeszcze raz i wybrany ponownie (z powtórzeniami), czy też raz wybrany element nie może być wybrany ponownie (bez powtórzeń). 1. Wybrane elementy nie mogą się powtarzać i koleność wyranych elementów jest istotna Tworzenie wyrazowych ciągów utworzonych z różnych elementów elementowego zbioru dla. Liczba wszystkich możliwości wyboru: ( ), ( )- Bez powtórzeń oznacza, że żaden element tworzonego ciągu nie może się powtarzać; np. w przypadku losowania kolejnych elementów ciągu, element wylosowany nie wraca do puli (losowanie bez zwracania). Wybieramy kolejno k elementów spośród n, które mamy do dyspozycji. Wybrany element nie wraca do pozostałych i zatem nie może być wybrany ponownie. Musimy więc podjąć k decyzji: I decyzja - na pierwszym miejscu możemy ustawić dowolny z n elementów, II decyzja - na drugim miejscu możemy ustawić dowolny z n-1 elementów, itd. k- ta decyzja - na ostatnim miejscu możemy ustawić dowolny z n-k elementów. Na podstawie reguły mnożenia wszystkich możliwych ustawień k elementów wybieranych spośród n elementów (jeśli wybierane elementy nie mogą się powtarzać) jest: ( ), ( )- 1. Pewien kod tworzymy z 3 liter wybranych spośród następujących liter: przy czym litery nie mogą się powtarzać. Ile jest takich kodów? Tworzymy 3 elementowe ciągi ze zbioru 8 elementowego (wybieramy 3 spośród 8 liter; ). Na I miejscu można wpisać jedną z 8 liter, na II miejscu jedną z pozostałych 7 liter, na III miejscu jedną z pozostałych 6 liter. Mamy zatem: takich kodów 2. Z cyfr wybieramy dwie cyfry i tworzymy z nich liczbę 2 cyfrową. Ile można utworzyć takich liczb? Tworzymy 2 elementowe ciągi ze zbioru 5 elementowego (wybieramy 2 spośród 5 cyfr; ). 3

4 Cyfrę jedności można wybrać spośród 5 cyfr na 5 sposobów; załóżmy, że wybrano 1. Cyfrę dziesiątek można wybrać z 4 pozostałych cyfr: 2, 3, 4, 5 cztery sposoby. Wszystkich możliwości jest: 3. Spośród 25 zawodników zostanie wybranych 3 medalistów. Jaka jest liczba możliwych wyników? Tworzymy 3 elementowe ciągi ze zbioru 25 elementowego (wybieramy 3 spośród 25 zawodników; ). Wszystkich możliwości jest: 4. Pewien kod jest czterocyfrowy i składa się z cyfr 1 do 9, przy czym żadna cyra nie może się powtarzać. Ile jest takich kodów? Tworzymy 4 elementowe ciągi ze zbioru 9 elementowego (wybieramy 4 spośród 9 cyfr; ). Liczba elementów zbioru, z którego losujemy wynosi 9 (cyfry 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 bez 0). Liczba elementów ciągu wynosi 4 kod zawiera 4 cyfry; Wszystkich możliwości jest: 5. W sali lekcyjnej jest 30 miejsc. Na ile sposobów 5 uczniów może zająć miejsca, jeżeli każdy z nich siada gdzie chce? Rozwiązanie. Wszystkich możliwych rozmieszczeń będzie dokładnie: 2. Wybrane elementy mogą się powtarzać i koleność wyranych elementów jest istotna Tworzenie wyrazowych ciągów utworzonych z elementów elementowego zbioru. Liczba wszystkich możliwości wyboru: ( ) Wybieramy kolejno k elementów spośród n, które mamy do dyspozycji. Za każdym razem wybrany element wraca do pozostałych i może być wybrany ponownie. Zatem musimy podjąć k decyzji: I decyzja - na pierwszym miejscu możemy ustawić dowolny z n elementów, II decyzja - na drugim miejscu możemy ustawić znowu dowolny z n elementów, itd. k- ta decyzja - na ostatnim miejscu możemy ustawić dowolny z n elementów. Na podstawie reguły 4

5 mnożenia wszystkich możliwych ustawień k elementów wybieranych spośród n elementów (jeśli wybierane elementy mogą się powtarzać) jest: 1. Ile różnych liczb 4-cyfrowych można utworzyć z cyfr 6, 7, 8? Tworzymy 4 elementowe ciągi ze zbioru 3 elementowego (wybieramy 4 spośród 3 cyfr; ) i cyfry muszą się powtarzać. Cyfrę jedności można wybrać z cyfr 6, 7, 8 na 3 sposoby są 3 możliwości, Cyfrę dziesiątek można wybrać spośród cyfr 6, 7, 8 są więc też 3 możliwości (cyfry mogą się powtarzać), Cyfrę setek można wybrać spośród cyfr 6, 7, 8, są więc też 3 możliwości, Cyfrę tysięcy można wybrać spośród cyfr 6, 7, 8, są więc też 3 możliwości. Wszystkich możliwości jest: 2. Ile jest wszystkich liczb 3 cyfrowych, w których zapisie występują tylko cyfry 1 i 2? Tworzymy 3 elementowe ciągi ze zbioru 2 elementowego (wybieramy 3 spośród 2 cyfr; ) i cyfry muszą się powtarzać. Na każdej pozycji mogą być 2 cyfry: 1, 2. Każdą z 3 cyfr można wybrać na 2 sposoby; zatem jest takich liczb Oto one: * Ile jest wszystkich liczb 3-cyfrowych, w których zapisie występują tylko cyfry 1, 2, 3, 4, 5 i cyfry mogą się powtórzać? Tworzymy 3 elementowe ciągi ze zbioru 5 elementowego (wybieramy 3 spośród 5 cyfr; ) i cyfry muszą się powtarzać. Na każdej pozycji mogą występować cyfry: 1, 2, 3, 4, 5 pięć cyfr. takich liczb 4. Ile pięcioliterowych kodów można utworzyć z liter jeśli ltery mogą się powtórzać? Tworzymy 5 elementowe ciągi ze zbioru 8 elementowego (wybieramy 5 spośród 8 liter; ). Takich kodów jest : 5

6 5. W sklepie są 3 rodzaje czekolad Na ile sposobów mogą wybrać te czekolady 2 osoby? Tworzymy 2 elementowe ciągi ze zbioru 3 elementowego (wybieramy 2 spośród 3 czekolad; ) Mamy zatem możliwości wyboru. Zobacz drzewko tego doświadczenia: ( ) ( ) Zatem mają 9 możliwości wyboru : 6. Ile stacjonarnych numerów telefonicznych jest dostępnych w poznańskiej centrali? Wszystkie numery są dziewięciocyfrowe i zaczynają się numerem kierunkowym 61. Rozwiązanie Ponieważ dwie pierwsze cyfry są już ustalone 61, pozostało nam do rozważenia siedem pozostałych pozycji. Cyfry mogą się na nich powtarzać, a kolejność występowania cyfr w numerze też jest istotna. Wybieramy zatem jedną z 10 cyfr na III miejsce, jedną z 10 na IV miejsce itd. aż jedną z 10 cyfr wybierzemy na ostatnim IX miejscu. Wyborów kolejnych cyfr dokonujemy niezależnie, zatem jest ich tyle, ile siedmioelementowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru dziesięcioelementowego, czyli: 6

7 3. Wybrane elementy nie mogą się powtarzać i koleność wyranych elementów nie jest istotna ( ) Tworzenie elementowych podzbiorów zbioru elementowego zbioru ( ). Wybieramy kolejno k elementów spośród n, które mamy do dyspozycji, ale raz wybrane elementy nie mogą zostać użyte ponownie. Zatem musimy podjąć k decyzji: I decyzja - na pierwszym miejscu możemy ustawić dowolny z n elementów, II decyzja - na drugim miejscu możemy ustawić znowu dowolny z pozostałych n-1 elementów, itd. (za każdym razem mamy do dyspozycji o 1 element mniej niż poprzednio) k- ta decyzja - na ostatnim miejscu możemy ustawić dowolny z pozostałych n-k+1 elementów. Zatem na podstawie reguły mnożenia liczba wszystkich możliwości wyboru wynosi * ( ), ( )-+ Ale kolejność wyboru nie jest istotna, zatem otrzymany wynik musimy podzielić przez ilość ustawień tych elementów wobec siebie (patrz zadania poniżej). 1. Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników? 1-ego gracza możemy wybrać na 10 sposobów; 2-ego na 9 sposobów. Ale kolejność wyboru nie jest istotna, więc przykładowo para ( Jan; Adam) i (Adam, Jan) to ta sama para. Zatem otrzymany wynik musimy podzielić przez 2 (ilość ustawień tych osób wobec siebie). Mamy więc: 2. Na ile sposobów można wybrać trzech graczy spośród 10 zawodników? 1-ego gracza możemy wybrać na 10 sposobów; 2-ego na 9 sposobów,; 3-ego na 8 sposobów. Ale kolejność wyboru nie jest istotna, zatem otrzymany wynik musimy podzielić przez 6 (ilość ustawień tych osób wobec siebie : ). Mamy więc: 3. Na ile sposobów można wybrać spośród 6 osób delegację 3 osobową? 1-szą osobę można wybrać spośród 6 osób 6 możliwości, 7

8 2-gą osobę możemy wybrać spośród 5 pozostałych osób 5 możliwości, 3-cią osobę można wybrać spośród 4 pozostałych osób 4 możliwości. Osoby można wybrać na sposobów. Ponieważ kolejność wybieranych osób nie jest istotna, wszystkich możliwości jest: 4. Na ile sposobów można z grupy 20 osób ( ) wybrać delegację składającą się z: a) 2 osób; : b) 3 osób : c) 4 osób; : 5. Klasa liczy 25 osób. Na ile sposobów można wybrać 3-osobową delegację spośród uczniów tej klasy. Rozwiązanie. Ważne są dwie rzeczy: nie jest istotna kolejność, w jakiej dokonujemy wyboru uczniów i uczeń może zostać wybrany do delegacji tylko raz. Nie jest istotna kolejność elementów, jakie wybierzemy, i żaden nie może być wybrany dwukrotnie. Wobec tego wystarczy zastosować wzór na liczbę możliwych wyborów 3 elementów spośród 25: Mamy zatem: 8