Konstrukcje geometryczne - skrypt do zajęć.

Uiwersytet Wrocłwski Wydził Mtemtyki i Iformtyki Istytut Mtemtyczy secjlość: mtemtyk uczycielsk Aleksdr Mierzchł Kostrukcje geometrycze - skryt do zjęć. Prc mgistersk is od kierukiem dr h. Jck Świątkowskiego

Wrocłw 004 SPIS TREŚCI Str.. WSTĘP. ROZDZIAŁ I Metod lgericz w zdich kostrukcyjych. 4 Zdi 8. ROZDZIAŁ II Cił liczowe i rozszerzei kwdrtowe. 0 Zdi 7 4. ROZDZIAŁ III Pierwistki wielomiów stoi. Niekostruowlość. 9 Zdi 7 5. ROZDZIAŁ IV Liczy lgericze. 9 Zdi 5 6. ROZDZIAŁ V Liczy zesoloe kostruowle. 56 Zdi 6 7. ROZDZIAŁ VI Kostruowlość -kątów foremych. 6 Zdi 69

WSTĘP Prc zostł is odstwie wykłdu Kostrukcje geometrycze i elemety teorii Glois rowdzoego rzez dr h. Jck Świątkowskiego. Temtem skrytu jest ierwsz część wykłdu dotycząc kostrukcji geometryczych z omocą cyrkl i liijki. Studiując koleje rozdziły ozjemy sosoy rozstrzygi czy de zdie kostrukcyje jest wykole z omocą cyrkl i liijki. Skryt zwier m.i. odowiedzi słye z historii mtemtyki zdi kostrukcyje:. Zdie Aoloiusz kostrukcj okręgu styczego do dych trzech okręgów.. Kwdrtur koł kostrukcj kwdrtu o olu rówym olu dego koł.. Podwojeie sześciu kostrukcj krwędzi sześciu, którego ojętość jest dw rzy większ od ojętości dego sześciu. 4. Trysekcj kąt kostrukcj dzieląc dy kąt trzy rówe części. 5. Wielokąty foreme kostrukcj -kątów foremych dl dego. Do kżdego rozdziłu dołączo jest list zdń do smodzielego rozwiązi rzez studetów. Studiowie skrytu ie wymg osidi zwsowej wiedzy mtemtyczej, może oz zjomością licz zesoloych, dltego o uzuełieiu tej luki jest o rówież dostęy dl ucziów liceum iteresujących się mtemtyką.

ROZDZIAŁ I Metod lgericz w zdich kostrukcyjych. Metod lgericz srowdz zdie kostrukcyje do rolemu skostruowi jedego odcik. Musimy ztem wyzczyć długość tego odcik, stęie rzelizowć lgericzie liczę rówą tej długości i rozstrzygąć czy tki odciek jest kostruowly czy ie. Zoczmy zstosowie tej metody rzykłdch. Przykłd. Zjmijmy się rolemem kwdrtury koł, czyli kostrukcją kwdrtu o olu rówym olu dego koł. Zdie to srowdz się do skostruowiu odcik ędącego okiem szukego kwdrtu (oiewż mjąc dy ok kwdrtu umiemy skostruowć rzy omocy cyrkl i liijki kwdrt). Przyjmijmy, że de koło m romień długości. Ztem jego ole wyosi. Szuky ok kwdrtu zwijmy. Ztem ole kwdrtu jest rówe. Zdie mówi, że ol kwdrtu i koł są rówe, czyli. Wyliczjąc otrzymujemy, że ok kwdrtu m długość. Jeżeli odciek tej długości moż skostruowć to zdie kostrukcyje jest wykole, w rzeciwym rzie ie d się skostruowć kwdrtu o dych włsościch. Do tego czy odciek długości óźiej. jest kostruowly wrócimy Przykłd. W zdiu o odwojeiu sześciu mmy skostruowć krwędź sześciu, którego ojętość jest dw rzy większ od ojętości dego sześciu. Przyjmijmy, że dy sześci S m ok długości, szuky sześci S ok długości. Ztem ich ojętości są odowiedio rówe V S, S S V V. Z wruków zdi zisujemy rówość V S, czyli. Wyliczjąc otrzymujemy, że krwędź sześciu wyosi. Tk jk w rzykłdzie. o tym czy kostrukcj sześciu o dych włsościch jest wykol decyduje kostruowlość odcik długości. Do tego rolemu rówież wrócimy óźiej. 4

Sróujmy terz zleźć długości odcików, które moż skostruowć z omocą cyrkl i liijki wychodząc od dego odcik długości.. Odkłdjąc rostej k rzy odciek jedostkowy możemy skostruowć odciek o dowolej długości turlej k (rys. ). k rzy Rysuek. Kżdy dy odciek otrfimy odzielić m rówych części. Odciek kostruujemy w stęujący sosó (rys. ): zzczmy rostej odciek OA= i rzez ukt O rowdzimy dowolą ią rostą. N tej drugiej rostej odmierzmy dowoly odciek OC = c i kostruujemy OD = c. Łączymy ukty A i D i rzez ukt C rowdzimy rostą rówoległą do AD, któr rzetie rostą OA w ukcie B. Trójkąty OBC i OAD są odoe; stąd i OB. OB OB OC OA OD Rysuek Z uktów i wyik, że otrfimy skostruowć odciek o dowolej długości dodtiej wymierej (czyli długości ostci k/m). 5

. Mjąc dy odciek długości, możemy skostruowć odciek długości. N rostej odmierzmy OA= i AB= (rys.). Kreślimy okrąg, którego średicą jest Rysuek odciek OB, i rzez ukt A rowdzimy rostodłą do OB, któr rzetie okrąg w ukcie C. W trójkącie OBC kąt C jest rosty zgodie z twierdzeiem geometrii elemetrej, głoszącym, że kąt wisy w ółkole jest kątem rostym. Stąd wyik, że kąt OCA jest rówy kątowi ABC; trójkąty rostokąte OAC i CAB są odoe i mmy dl = AC, =, =. 4. Mjąc de odciki o długościch i możemy skostruowć odciki długości + i -. Ay skostruowć + (rys.4), rowdzimy rostą i iej z omocą cyrkl zzczmy koło sieie odległości OA= i AB=. W tkim rzie OB=+. Rysuek 4 Podoie dl otrzymi - (rys.5) zzczmy OB= AB=, le tym rzem AB odmierzmy w rzeciwym kieruku iż OA. Woec tego OA=-. 6

Rysuek 5 5. Mjąc de odciki o długościch i możemy skostruowć odciki długości i. Dl skostruowi (rys.6) odmierzmy OB= i OA= rmioch dowolego kąt O i oku OB odmierzmy OD=. Przez ukt D rowdzimy rostą rówoległą do AB, któr rzeci rostą OA w ukcie C. Rysuek 6 Z twierdzei Tles: OC, skąd wyliczjąc OC otrzymujemy OC. Kostrukcj jest okz rys.7, gdzie rost AD jest rówoległą do BC orowdzoą rzez ukt A. Z twierdzei Tles: otrzymujemy OD =. OD, skąd wyliczjąc OD 7

Rysuek 7 Ozczmy symolem K ziór wszystkich licz rzeczywistych djących się otrzymć z licz wymierych z omocą skończoej liczy oercji sumy, różicy, iloczyu, ilorzu orz ierwistk kwdrtowego. Czyli do zioru K leży. licz 7 7 8 Zuwżmy, że zgodie z szymi rozwżimi temt odcików kostruowlych ( rzy dym odciku jedostkowym ), dl dowolej liczy ze zioru K otrfimy skostruowć odciek długości wychodząc od odcik długości. Zstówmy się terz, czy moż skostruowć jeszcze jkieś ie liczy soz zioru K (wychodząc od odcik jedostkowego). W tym celu rozwżymy odoy rolem łszczyźie. Poszukjmy uktów, które otrfimy skostruowć mjąc de ukty (0,0) orz (,0). Przyjrzyjmy się rysukowi 8. y (0,K ) (K,K ) (0,0) (,0) (K,0) Rysuek 8 Niech K i K ędą liczmi ze zioru K. Wówczs ukt (K,K ) jest kostruowly z omocą cyrkl i liijki jko ukt rzecięci rostej rostodłej do osi rzechodzącej rzez ukt (K,0) i rostej rostodłej do osi y rzechodzącej rzez ukt (0, K ). Ztem 8

ewo otrfimy skostruowć wszystkie ukty ze zioru K, czyli wszystkie ukty o ou wsółrzędych ze zioru K. Udowodimy terz stęujące twierdzeie. Twierdzeie. Mjąc de ukty (0,0) i (,0) ie moż skostruowć z omocą cyrkl i liijki żdych iych uktów iż ukty z K. Dowód N łszczyźie z omocą cyrkl i liijki możemy: A) orowdzić rostą rzez dw ukty, które są de lu urzedio skostruowe; B) orowdzić okrąg o środku orz romieiu dym lu urzedio skostruowym; C) wyzczyć ukty rzecięci dwóch rostych jk wyżej rostej i okręgu jk wyżej dwóch okręgów jk wyżej Przyjmijmy, że ukty z K orz odciki o długościch z K mmy już skostruowe. Srwdźmy, czy d się skostruowć jkiekolwiek ie ukty lu odciki. W tym celu uzsdimy oiższe stwierdzei. Stwierdzeie.. Prost wyzczo rzez dw ukty z K zdje się rówiem y c 0 o wsółczyikch,, c ze zioru K. Zjdźmy ogóle rówie rostej wyzczoej rzez ukty A,, B, (wsółrzęde uktów to liczy ze zioru K). Rówie rostej rzechodzącej rzez A i B. wyrż się wzorem y Stąd otrzymujemy (- )( - ) = (y- ) ( - ). Ztem rówie ogóle rostej jest ostci: y 0, gdzie wsółczyiki: =, =, c = ( ) + ( ) leżą do K (, leżą do K jko różice licz z K, 9

tomist c jko sum iloczyów liczy z K i różicy licz z K). Pokzliśmy więc, że stwierdzeie.. jest rwdziwe. Stwierdzeie.. Pukty rzecięci rostych zdych rówimi o wsółczyikch z K mją oie wsółrzęde w K. Ay to okzć musimy rozwiązć ukłd rówń c y c y, gdzie 0 c y, 0 c y są rówimi dych rostych. Ztem,,,,, c c leżą do zioru K jko wsółczyiki tych rostych orz 0 (roste ie są rówoległe ). Stosując wzory Crmer otrzymujemy rozwiązie: c c c c, c c c c y Liczy i y rzedstwiją się rzy omocy licz z K i oercji iloczyu, różicy orz ilorzu. Ztem oie wsółrzęde i y leżą do zioru K, co mieliśmy okzć. Stwierdzeie.. Odległość omiędzy dowolymi dwom uktmi z K jest liczą leżącą do K. Odległość dwóch uktów (, ), (, ) (gdzie,,,, leżą do K) wyrż się wzorem. Otrzymliśmy liczę wyrżoą rzez oercje sumy, różicy, iloczyu i ierwistk kwdrtowego liczch z K. Stąd wyik, że odległość jest liczą z K. Stwierdzeie..4 Okrąg o środku w ukcie z K orz o romieiu z K jest zdy rówiem o wsółczyikch leżących do K. 0

Ziszmy rówie okręgu o środku S = (,) i romieiu r (,, r leżą do K). Jest oo ostci y r. Rówowżie możemy je zisć jko y y r 0. Otrzymliśmy rówie okręgu, którego wsółrzęde wyrżoe są odowiedio rzez oercje sumy i różicy licz ze zioru K. Czyli wsółczyiki są tkże liczmi leżącymi do K. Stwierdzeie..5 Rozwiązi rówi kwdrtowego c 0 o wsółczyikch,, c ze zioru K też leżą do K. Rozwiązimi rówi kwdrtowego są liczy ostci 4c. Liczy te rzedstwiją się rzy omocy licz z K i oercji sumy, różicy, iloczyu, ilorzu orz ierwistk kwdrtowego. Ztem rozwiązi rówi leżą do K. Stwierdzeie..6 Pukty rzecięci okręgu y y c 0 orz rostej qy r 0, gdzie,, c,, q, r leżą do K, mją oie wsółrzęde z K, czyli leżą do K. By zleźć ukty rzecięci musimy rozwiązć ukłd rówń: y y c 0. qy r 0 Złóżmy, że q 0 (ozostłe rzydki d się roztrzyć logiczie). Wyzczmy y z drugiego rówi, czyli y q r q. Wstwijąc y do ierwszego rówi otrzymujemy: r r c 0 q q q q r r r, stąd c 0 i ostteczie dostjemy rówie r r r c 0 q. Otrzymliśmy rówie kwdrtowe o wsółczyikch z K (wsółczyiki owstły rzez oercje sumy, różicy, iloczyu i ilorzu liczch ze zioru K ). N mocy stwierdzei..5 rozwiązi tego rówi leżą do K. Wsółrzęd y uktu rzecięci też leży do K (jko różic licz z K). Ztem ukty rzecięci dego okręgu i rostej leżą do K. q q q q q q q q q

Stwierdzeie..7 Pukty rzecięci okręgów y y c 0 orz y qy r 0, gdzie,, c,, q, r to liczy ze zioru K, leżą do K. Szukmy uktów rzecięci dych okręgów rozwiązując ukłd rówń: y y y c 0. qy r 0 Odejmując rówi stromi otrzymujemy: qy c r 0 zdie srowdz się do rozwiązi ukłdu: qy c r y qy r 0 0.. Czyli sze Ze stwierdzei..6 wiemy, że rozwiązi ukłdu tej ostci leżą do K. Czyli ukt rzecięci dych okręgów leży do K. Uzsdijąc owyższe stwierdzei okzliśmy, że łszczyźie rzy dych uktch (0,0), (,0) z omocą cyrkl i liijki możemy skostruowć tylko ukty z K i odciki o długościch z K, co kończy dowód twierdzei.. W szych rozwżich możemy więc wyciągąć wiosek. Wiosek.4 Wychodząc od odcik długości ie moż z omocą cyrkl i liijki skostruowć żdego odcik o długości ie leżącej do zioru K. Wrowdźmy ztem defiicję. Defiicj.5 Ziór K zywmy ziorem licz kostruowlych. Do tej ory zjmowliśmy się zgdieimi kostruowlości odcików rzy dym odciku długości. W iektórych zdich kostrukcyjych mmy dych kilk iych

odcików lu kilk uktów. Wtedy jede z dych odcików możemy rzyjąć z jedostkowy. Zstówmy się jkie odciki lu ukty są wówczs kostruowle. Zdefiiujmy ziór licz kostruowlych z omocą zioru, do którego leżą odciki o dych długościch. Defiicj.6 Dy jest ziór licz A,, k. Ziorem licz kostruowlych z omocą zioru A zywmy ziór wszystkich licz jkie moż otrzymć z licz wymierych orz z licz,, k z omocą oercji sumy, różicy, iloczyu, ilorzu i ierwistk kwdrtowego. Ziór te ozczmy symolem K(A). Zuwżmy, że jeżeli liczy,, k są kostruowle to K(A) = K. Czyli żey otrzymć liczy soz zioru K rzyjmiej jed z licz,, k musi yć iekostruowl. Dl zioru K(A) rwdziwe są oiższe twierdzei. Twierdzeie.7 Mjąc de ukty (0,0), (,0) orz K(B), gdzie B,,,, możemy, k k skostruowć wyłączie ukty o ou wsółrzędych z K(B), czyli ukty ze zioru K(B)K(B). Twierdzeie.8 Z omocą odcików długości,,, moż skostruowć wyłączie odciki o k długościch leżących do K(A). Uzsdiei tych twierdzeń są logicze jk w rzydku zioru K, więc ie ędziemy ich już rzytczć. Podsumowując, metod lgericz ozwl m, ez zjdowi kokretych kostrukcji, rozstrzygć czy de zdie kostrukcyje d się wykoć z omocą cyrkl i liijki, czy ie. Kostruowle są odciki o długościch, gdzie leży do zioru licz

kostruowlych. Udowodiliśmy rówież, że są to jedye odciki djące się skostruowć rzy dym odciku jedostkowym. Żey otrzymć, odciki o długościch soz zioru K, musimy mieć, dych kilk iych odcików (ziór A) rzy czym rzyjmiej jede z ich musi yć iekostruowly. N koiec, osługując się metodą lgericzą, odowiedzmy soie czy wykole są kostrukcje dziesięciokąt foremego i okręgu styczego do dych trzech okręgów (tzw. zdie Aoloiusz). Przykłd.9 Kostrukcj dziesięciokąt foremego. Nrysujmy cyrklem łszczyźie dowoly okrąg. Przyjmijmy, że jego romień wyosi (rys.9). Rozwżmy rolem kostrukcji dziesięciokąt foremego wisego w te okrąg. Kostrukcj tego dziesięciokąt srowdz się do kostrukcji odcik czyli oku dziesięciokąt. Mjąc dy odciek moż skostruowć dziesięciokąt odmierzjąc od B B 7 6 6 A 6 C 6 7 7 A C Rysuek 9 dowolego uktu okręgu koleje cięciwy o długości ż do uzyski wszystkich dziesięciu wierzchołków dziesięciokąt. Woec tego, że odciku orty jest kąt środkowy 6, ozostłe dw kąty trójkąt OAB wyoszą o 7 ; dwusiecz kąt B dzieli trójkąt OAB dw trójkąty rówormiee, w których rmio mją długość. Promień koł zostje ztem odzieloy dw odciki i -. Woec tego, że trójkąt OAB jest odoy do trójkąt ABC, mmy. Z tej 5 roorcji otrzymujemy rówie 0, którego rozwiąziem jest (drugie rozwiązie odrzucmy oiewż długość oku ie może yć liczą ujemą). Długość jest liczą kostruowlą, oiewż wychodząc od odcik jedostkowego umiemy 4

skostruowć odciki długości:, 5, 5, 5 5,. Ztem kostrukcj dziesięciokąt foremego jest wykol. Przykłd.0 Zdie Aoloiusz oleg skostruowiu okręgu styczego do dych trzech okręgów (jk rysuku 0, gdzie ogruioy okrąg jest szukym okręgiem, który mmy skostruowć, ozostłe są de). Zjmijmy się rzydkiem w którym kostruowy okrąg jest styczy zewętrzie do trzech dych okręgów (ozostłe rzydki rozstrzyg się logiczie ). Rysuek 0 Oierzmy soie łszczyźie dw ukty jede iech ędzie uktem (0,0), drugi uktem (,0). Mmy de trzy okręgi o środkch r,, y,,, y, y i romieich r, r odowiedio. Ztem ziór dych licz jest ostci A, y,, y,, y, r, r r, 5

Niech szuky okrąg S m środek (,y) i romień r. Przyomijmy, że okręgi są stycze zewętrzie wtedy i tylko wtedy, gdy odległość ich środków jest rów sumie ich romiei. Ziszmy te wruek dl szego S i dych trzech okręgów. Otrzymujemy ukłd rówń: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( r r y y r r y y r r y y Oliczmy, y, r i srwdźmy czy leżą do K(A). Po uorządkowiu wsółczyików mmy: d r c r y y d r c r y y d r c r y y Wsółczyiki w ukłdzie leżą do K(A). Odejmując od ierwszego rówi trzecie otrzymmy: ) ( ) ( ) ( ) ( d d r c c y. Ziszmy je w ostci: q r y m, gdzie m,,, q leżą do K(A). Podoie odejmując trzecie rówie od drugiego otrzymmy: q r y m, gdzie wsółczyiki leżą do K(A). Otrzymujemy rówowży ukłd rówń: d r c r y y q r y m q r y m Potrktujmy r jko rmetr i rozwiążmy ukłd rówń liiowych: q r y m q r y m Zjmijmy się rzydkiem w którym środki okręgów ie leżą jedej rostej. Wtedy wyzczik główy owyższego ukłdu jest iezerowy, czyli 0 m m. Ztem rozwiąziem ukłdu jest : r t s m m q r q r m m q r q r, odoie r t s y. 6

Wsółczyiki s, s, t, t leżą do K(A). Podstwijąc rozwiązi i y do trzeciego rówi otrzymujemy: s tr s tr s t r s t r r cr d Po uorządkowiu dostjemy rówie w ostci: Pr Qr S 0, gdzie P,Q,S leżą do K(A). Stąd, jest liczą ze zioru K(A). Podoie jk s tr i Q Q PS r 4 P y s t r. Czyli szuky okrąg jest kostruowly. 7

ZADANIA Zd... Mjąc dy odciek jedostkowy, skostruuj odciki o długościch:,,,,, 5, 7, 8. Oisz schemtyczie, z omocą 5 7 rysuków, ety wykoywi tych kostrukcji. Zd... Mjąc de ukty (0, 0) i (, 0) skostruuj ukty,, 5, 5 7. Zd... Dy jest odciek długości. Skostruuj kwdrt, dl którego sum owodu i ol wyosi 4. Zd..4. Skostruuj trójkąt rówormiey mjąc dy jego owód orz wysokość h. Zd..5. De są odciki skostruuj odciki o stęujących długościch:,, c, d, e, f. Bez osługiwi się odcikiem jedostkowym, c, c, df c,, c, d c d d f,, c d, c,, 4 4 4 4 4 5, 4 cd, 4, cd,, 7,. Zd..6. De są odciki i. Skostruuj dw odciki () których sum jest rów, zś iloczy jest rówy ; () których różic jest rów, zś iloczy jest rówy. Zd..7. De są ukty A i B których wsółrzęde są liczmi kostruowlymi. Uzsdij, że jeżeli O jest oczątkiem ukłdu wsółrzędych, to stęujące liczy () długość odcik AB; () cosius kąt AOB; (c) ole trójkąt AOB; są liczmi kostruowlymi. Zd..8. Dy jest kąt, którego cosius jest liczą kostruowlą. Uzsdij, że stęujące liczy są liczmi kostruowlymi: () () si cos (c) długość cięciwy okręgu jedostkowego ortej kącie środkowym ; 8

Zd..9. Większy z oków dego rostokąt odziel kostrukcyjie tkie dwie części, tk, y sum ól kwdrtów zudowych tych dwóch częścich ył rów olu tego rostokąt. Zd..0. Podj kostrukcję złotego odziłu dego odcik. Przyomijmy, że ukt C odcik AB dzieli go w złotym stosuku, jeśli AC : CB AB : AC. Wskzówk: rzyjmijmy, że dy odciek m długość,dokoj lgericzych wyliczeń i szkicuj wyikjącą z ich kostrukcję. Zd... () Uzsdij oliczjąc kąty i zjdując omocicze trójkąty rówormiee, że jeśli w ięciokącie foremym orowdzimy dwie rzecijące się rzekąte, to kżdej z ich otrzymmy odciek rówy okowi tego ięciokąt. () Udowodij, że ukt rzecięci dwóch rzekątych w ięciokącie foremym dzieli kżdą z ich w złotym stosuku. (c) Podj kostrukcję ięciokąt foremego ortą kostrukcji złotego odziłu odcik. Zd... () Uzsdij, że jeśli c jest cięciwą w okręgu jedostkowym ortą kącie środkowym dw rzy miejszym iż cięciw c, to c 4 c. () Wyrowdź idukcyjie wzór długość oku -kąt orz -kąt foremego wisego w okrąg jedostkowy. Uzsdij, że długość t jest dl kżdego kostruowlą. Czy moż yło sodziewć się tego ez oliczeń? N liczą Zd... Posługując się metodą lgericzą uzsdij, że stęujące kostrukcje są wykole z omocą cyrkl i liijki: () kostrukcj kwdrtu o olu rówym olu dego trójkąt (kwdrtur trójkąt); () kostrukcj koł o olu rówym sumie ól dwóch dych kół (koło uzjemy z de, jeśli de są jego środek orz romień): (c) odził dego trójkąt dwie części o rówych olch z omocą rostej rówoległej do wyrej odstwy. Ustl ozczei rzyjmując jede z dych odcików z jedostkowy. Srowdź rolem do yti o kostruowlość ewego ojedyczego odcik. Wyliczjąc długość tego odcik uzsdij, że jest o możliwy do skostruowi. Zd..4. De są ukty (0, 0) orz (, 0). Wylicz lgericzie, że kostrukcj okręgu styczego do okręgu y i rzechodzącego rzez ukty A(, ) i B(, ) jest 9

wykol. Wskzówk: wylicz, że wsółrzęde środk orz romień szukego okręgu są liczmi kostruowlymi. ROZDZIAŁ II Cił liczowe i rozszerzei kwdrtowe. Defiicj. Ciłem liczowym L zywmy dowoly ziór licz zesoloych zmkięty ze względu dziłi dodwi, odejmowi, możei i dzielei (rzez liczy róże od zer). Podto zkłdmy, że 0 i leżą do L. Defiicj t ozcz, że jkiekolwiek dziłi wymiere zstosowe do dwóch lu więcej elemetów cił, dją liczę tegoż cił. Ay stwierdzić czy dy ziór L jest ciłem liczowym wystrczy więc srwdzić czy sełioe są oiższe wruki: () 0 L, L () jeśli, L, to L, L, () jeśli L, to L (4) jeśli L i 0, to L. stwierdzeie. Zuwżmy, że z owyższej chrkteryzcji cił liczowego wyik oiższe Stwierdzeie. Kżde ciło liczowe L zwier wszystkie liczy wymiere. Dowód Wiemy, że 0 i są elemetmi cił L. Poiewż L jest zmkięty dziłie dodwi, to +, (+)+, też leżą do L. Ztem ziór licz turlych,,, zwier się w L. Z wruku () wyik, że elemety rzeciwe do elemetów cił L też leżą do L. Pokzliśmy już, że elemetmi cił L są liczy turle, więc mocy () liczy do ich rzeciwe, czyli,,, leżą do L. Ztem 0

ziór licz cłkowitych,,,, 0,,,, zwier się w L. Pozostje m jeszcze uzsdić, że ziór licz wymierych zwier się w L. Liczy wymiere defiiujemy jko ułmki ieskrcle ostci q, gdzie i q są cłkowite. Poiewż ciło L jest zmkięte oercję dzielei, więc ilorzy q elemetów, q z cił L leżą do L. Ztem ziór licz wymierych zwier się w L. Pmiętmy, że liczy wymiere, liczy rzeczywiste i liczy zesoloe tworzą cił. Przyjrzyjmy się terz rzykłdowi iego zioru tworzącego ciło liczowe. Przykłd. Dy mmy ziór Q : :, Q. Srwdźmy, czy tk zdefiiowy ziór jest ciłem liczowym. W tym celu zoczmy czy sełioe są wruki ()-(4). () 0 jest elemetem Q oiewż rzedstwi się w ostci, gdzie i są zermi. Podoie leży do () Weźmy dw elemety zioru Q dl i 0. Q orz c d (,, c, d Q ). Srwdźmy, czy ich sum i iloczy leżą do Q. Dl sumy c d, gdzie c, q d są mmy ostć c d q wymiere, więc sum leży do Q. Ntomist iloczy c d c d d c q rzedstwi się w ostci, gdzie c d q d c są wymiere, więc iloczy rówież leży do Q. () Elemet rzeciwy, q są wymiere leży do, ostci q Q., gdzie

(4) Elemet odwroty o usuięciu iewymierości z miowik jest ostci q gdzie, q są wymiere, więc tkże leży do Q. Wruki ()-(4) są sełioe, ztem ziór Q jest ciłem liczowym. Przykłd. m stęujące uogólieie. Przyjmijmy z de ciło liczowe F. Weźmy dodti elemet cił F tki, że ie leży do F. Dl tkich F i rwdziwy jest oiższy lemt. Lemt.4 Ziór F y :, y F : jest ciłem liczowym. Dowód Tk jk w rzykłdzie. srwdzmy, czy ziór sełi wruki ()-(4). Wruki ()-() omijmy (uzsdi się je tk smo jk w rzykłdzie.), roztrzmy jedyie wruek (4). Elemet odwroty możymy rzez, otrzymujemy wtedy ostć y y y y. Poiewż, y, F, to rówież liczy, y y leżą do F. Pozostje jeszcze srwdzić, czy y 0. Gdyy y 0, to y, czyli y, le wtedy yły elemetem F, wrew wcześiejszemu złożeiu. Ztem y ie może yć zerem. Ziór F sełi wruki ()-(4), więc jest ciłem liczowym. Dl tk zdefiiowego cił F możemy wrowdzić defiicję. Defiicj.5 Ciło ostci F zywmy rozszerzeiem kwdrtowym cił F.

N mocy defiicji.5 ziór Q zdefiiowy w rzykłdzie. możemy zwć rozszerzeiem kwdrtowym cił licz wymierych o. W zgdieiu kostruowlości licz ojęcie rozszerzei kwdrtowego dje m owy rgumet w rozstrzygiu czy d licz jest kostruowl, czy ie jest. Świdczy o tym oiższe twierdzeie. Twierdzeie.6 Licz jest kostruowl wtedy i tylko wtedy, gdy istieje ciąg rozszerzeń kwdrtowych Q F F F F F F. 0 tki, że leży do Dowód Złóżmy, że F. Wówczs jest ostci c, gdzie,, c F. Postęując odoie z liczmi,, c i z dlszymi liczmi dostiemy ostteczie wyrżeie rzedstwijące z omocą licz wymierych orz oercji sumy, różicy, iloczyu, ilorzu i ierwistk kwdrtowego. Stąd jest kostruowl. Złóżmy, że jest kostruowl. Wtedy wyrż się z omocą licz wymierych orz oercji sumy, różicy, iloczyu, ilorzu i ierwistk kwdrtowego. Wykoywie owyższych dziłń wymierych ie wyrowdz s oz ciło. Ntomist wykoywie oercji ierwistk kwdrtowego (o ile wyrowdz oz dotychczsowe ciło) srowdz się do rzejści do większego cił, ędącego rozszerzeiem kwdrtowym orzediego cił. Stąd istieje ciąg rozszerzeń dl liczy. Oie imlikcje zchodzą, więc twierdzeie jest rwdziwe. W kolejych rzykłdch zjdziemy ciągi rozszerzeń kwdrtowych dl dych licz kostruowlych. Przykłd.7 D jest licz. Szukmy rozszerzeń kwdrtowych dl liczy. Jko F 0 rzyjmujemy Q. Srwdźmy czy leży do Q.

Złóżmy, że jest wymier. Wtedy dl mmy,, co rówowżie możemy zisć jko. Podosząc oustroie do kwdrtu otrzymujemy 6 4 4. Przeksztłcmy rówie do ostci 6 4. Dostliśmy rzedstwieie 6 w ostci ilorzu licz wymierych. Wtedy 6 tkże jest liczą wymierą, srzeczość z iewymierością liczy 6. Czyli ie leży do F 0. Rozszerzmy więc F Q 0 o liczę. Otrzymujemy rozszerzeie F Q. Srwdźmy terz czy leży do F. Gdyy ył elemetem F, to oiewż F jest ciłem odwrotość liczy rów też leżły do F, tk jk i licz. Wtedy też licz leżły do F. Gdyy leżł do F, to yły ostci, gdzie, są wymiere czyli. Podosząc oustroie do kwdrtu otrzymujemy, czyli ukłd 0 owiie mieć wymiere rozwiązie. Z drugiego rówi wyik, że 0 lu 0. Podstwijąc 0 lu 0 do ierwszego rówi dochodzimy do srzeczości. Ztem ukłd ie m rozwiązi, więc ie może leżeć do F, tk jk i licz. Szukmy iego rozszerzei do którego ędzie leżeć. Rozszerzmy Q, otrzymujemy F. Zuwżmy, że leży do F F o liczę F jko ilorz licz z F (licz leży do F, więc tym rdziej do F, licz jest liczą ostci, gdzie, leżą do F, stąd tkże leży do F ). Zleźliśmy ciło F do którego leży d licz. Ztem ciąg rozszerzeń kwdrtowych liczy jest ostci Q F0 F F. 4

Przykłd.8 Dl liczy q szukmy ciągu rozszerzeń kwdrtowych. Tk jk orzedio z F 0 rzyjmujemy Q. Przerowdzjąc logicze rozumowie jk w rzykłdzie.7 okzujemy, że q ie jest wymier. Rozszerzmy więc F Q 0 o otrzymujemy rozszerzeie F Q. Srwdźmy czy q leży do F. Gdyy q leżło do cił F, to licz q też. Wtedy yły ostci, gdzie, są wymiere, czyli. Podosząc oustroie do kwdrtu otrzymujemy, czyli ukłd owiie mieć wymiere rozwiązie. Z drugiego rówi wyzczmy i wstwimy do ierwszego rówi. Stąd otrzymujemy rówie 4 i rzeksztłcmy je do ostci 0. Podstwimy t do rówi 4 0, wtedy jest oo ostci t t 0. Oliczjąc wyróżik otrzymego trójmiu kwdrtowego stwierdzmy, że tkie rówie ie m rozwiązń rzeczywistych, więc tym rdziej wymierych. Ztem licz ie leży do F, odoie jk q. Rozszerzmy terz ciło F Q o liczę. Otrzymujemy F F. Zuwżmy, że licz q leży do F jko sum licz z F. Zleźliśmy więc ciło F, którego elemetem jest q. Stąd ciąg rozszerzeń kwdrtowych liczy q jest ostci F0 F F. Wróćmy terz do zgdiei odwojei sześciu z rzykłdu.. Do zdecydowi czy to zdie jest wykole z omocą cyrkl i liijki rkuje m wiedzy temt kostruowlości liczy. Udowodijmy ztem oiższe twierdzeie. Twierdzeie.9 ie jest liczą kostruowlą. 5

Dowód Przede wszystkim ie jest liczą wymierą (dowód tego fktu zostwimy jko ćwiczeie). Złóżmy więc ie wrost, że jest kostruowly. Wówczs istieje ciąg rozszerzeń kwdrtowych Q F F F F 0 tki, że leży do F. Złóżmy odto, że do F jest ierwszym ciłem w tym ciągu zwierjącym (czyli ie leży F ). Przyjmijmy, że F F, gdzie leży do F i ie leży do F. Możemy więc zisć, że y dl ewych,y z F. Podosząc oustroie do trzeciej otęgi otrzymujemy y y y y. Zuwżmy, że wsółczyik y y musi yć rówy zero, o w rzeciwym wydku y i leżły do F wrew złożeiu. Ztem y y 0 orz y y y. Weźmy liczę y. Poiewż y ie jest zerem (gdyy y ył zerem to yły elemetem F wrew złożeiu), więc liczy y i y są róże. Oliczjąc y otrzymujemy y y y 0 y i y. Pokzliśmy ztem, że. Prowdzi to ezośredio do srzeczości. Istieje owiem tylko jed licz rzeczywist ędąc ierwistkiem trzeciego stoi z liczy, ozostłe ierwistki są zesoloe; ierwistek y jest, oczywiście, liczą rzeczywistą, oiewż liczy, y, są rzeczywiste. Ztem ie jest liczą kostruowlą. Udowodiliśmy owyżej, że licz jest iekostruowl, skąd wioskujemy o ierozwiązlości odwojei sześciu z omocą cyrkl i liijki. 6

ZADANIA Zd.. () Uzsdij, że 5 ie jest liczą wymierą, orz że ziór licz ostci 5 gdzie i są wymiere, jest ciłem. () Dl licz ( ) 5 orz q ( ) 5 rzedstw ich sumę, różię, iloczy i ilorz w ostci 5 gdzie, Q. Zd.. Uzsdij, że ierwistki kwdrtowe z licz 5,, orz ie leżą do cił Q. Zd.. Ozczmy rzez F ciło Q, zś rzez k liczę. 7

() Niech k i q k ędą liczmi z rozszerzei kwdrtowego F k. Przedstw sumę, różicę, iloczy i ilorz licz i q w ostci () Czy licz 6 Zd..4 Niech k, gdzie i są liczmi z cił F. leży do cił k F? F Q i F F ędą rozszerzeimi kwdrtowymi. Zjdź ostć ogólą elemetów z cił F. Zró to smo dl F Q i F F. Zd..5 Niech F ędzie ciłem licz ostci q 4, gdzie i q wyrżją się jko dl i wymierych. Przedstw w tej ostci liczę 4 4 leżącą do tego cił. Zd..6 Zjdź ciągi rozszerzeń kwdrtowych dl stęujących licz kostruowlych:,, 6, 4. Zd..7 () Uzsdij, że ziór K wszystkich licz kostruowlych jest ciłem. () Uzsdij, że ciło K licz kostruowlych ie osid żdego rozszerzei kwdrtowego. Zd..8 Uzsdij, że jest liczą iewymierą. A jk ędzie z ierwistkmi wyższych stoi. Zd..9 Udowodij twierdzeie greckiego mtemtyk Tejtet z IV w...e. mówiące, że dl turlych licz jest wymier tylko wtedy gdy jest kwdrtem liczy turlej. A jk ędzie z ierwistkmi wyższych stoi? Zd..0 Zstosuj rozumowie oze wykłdzie do uzsdiei, że kostrukcj otrojei sześciu jest iewykol. Dl jkich turlych kostrukcj -krotego owiększei sześciu jest wykol, dl jkich ie? Zd.. Rozstrzygij dl jkich turlych,, wykol jest kostrukcj sześciu o ojętości rówej ojętości rostodłościu o krwędzich,,. Zd.. Zdj, czy zwsze wykol jest rzy omocy cyrkl i liijki kostrukcj odcik, którego długość rów jest średiej. rytmetyczej,. geometryczej, c. hrmoiczej, d. kwdrtowej z długości,, c dych trzech odcików. 8

Zd.. Dy jest odciek orz dw rzy dłuższy odciek d. Czy moż z omocą cyrkl i liijki skostruowć tkie odciki i c, że długości,, c, d tworzą ciąg geometryczy? 9

ROZDZIAŁ III Pierwistki wielomiów stoi. Niekostruowlość. Fkt, że jest liczą iekostruowlą moż uogólić ie ierwistki rówń stoi. Twierdzeie. Jeśli wielomi 0 o wymierych wsółczyikch ie m wymierych ierwistków, to kżdy jego (rzeczywisty) ierwistek jest liczą iekostruowlą. Zuwżmy, że złożeie o osidiu rzez wielomi ierwistków wymierych jest kluczowe. Jeśli wielomi m wymiery ierwistek, to możemy go rzedstwić w ostci W P, gdzie P jest trójmiem kwdrtowym o wymierych wsółczyikch. Z rozdziłu ierwszego wiemy, że jeżeli tki trójmi m ierwistki, to są oe kostruowle. Czyli gdy jede z ierwistków wielomiu stoi jest wymiery, to ozostłe ierwistki (o ile istieją) są kostruowle. Zim rzejdziemy do dowodu twierdzei. uzsdijmy rwdziwość omociczych lemtów. Lemt. (wzór Viete ) Jeśli,, są różymi ierwistkmi wielomiu W 0, to. Dowód Jeśli,, są różymi ierwistkmi W 0, to zchodzą oiższe rówości 0

Porówując wsółczyiki rzy otrzymujemy, stąd. Lemt. W m dw róże ierwistki, to licz Jeżeli wielomi 0 wyzczo rzez wzór Viete też jest ierwistkiem tego wielomiu. Dowód Skoro W m ierwistki,, to dzieli się o rzez iloczy Wówczs wielomi W m ostć W wielomiu.. Ztem ierwistek jest trzecim ierwistkiem wielomiu W. Z lemtu. te trzeci ierwistek sełi wzór Viete y, więc moż go yło wyzczyć z tego wzoru. Terz możemy rzystąić do dowodu zsdiczego twierdzei. Dowód twierdzei. Złóżmy, że rzyjmiej jede ierwistek jest kostruowly. Dl kżdego kostruowlego ierwistk rozwżmy jkrótszy możliwy ciąg rozszerzeń kwdrtowych Q F0 F F k, gdzie leży do F k. Rozwżmy te z kostruowlych ierwistków, którego owyższy ciąg jest jkrótszy. Wtedy leży do ierwistków ie leży do k F. Złóżmy, że F F w k k F k orz żde z, gdzie w leży do F k. Wtedy jest ostci y w, gdzie, y leżą do F k. Licz jest ierwistkiem wielomiu, więc sełi rówie Oliczjąc, otrzymujemy rówie w ostci y w y w y w 0. 0 y w y w y y y w 0 0.

Wyrżei w wisch zstąmy odowiedio rzez A i B, otrzymujemy wtedy rówość A B w 0. Ztem A B 0. Srwdźmy terz, że licz y w też jest ierwistkiem wielomiu. W tym celu oliczmy wrtość wielomiu dl, mmy więc y w y w y w A B w 0 (oiewż wyliczyliśmy 0 już, że A B 0 ). Ztem jest różym od ierwistkiem wielomi. N mocy lemtu. możemy wyzczyć trzeci ierwistek ze wzoru Viete y, czyli. Wyliczjąc otrzymujemy y w y w. Wtedy jest elemetem F k (o,, leżą do F k ), co jest srzecze z wcześiejszym złożeiem. Ztem kżdy ierwistek jest liczą iekostruowlą. Zuwżmy, że z owyższego twierdzei wyik tkże iekostruowlość liczy. Poiewż wielomi, którego jedyym rzeczywistym ierwistkiem jest, ie m ierwistków wymierych. W rozstrzygiu czy dy wielomi o wsółczyikch cłkowitych osid wymiere ierwistki rzydty ędzie stęujący lemt. Lemt.4 W Jeśli wielomi 0 o cłkowitych wsółczyikch m ierwistek wymiery wyrżoy w ostci ieskrclej jko, to dzieli q 0 i q dzieli. Dowód q jest ierwistkiem wielomiu W, więc zchodzi rówość 0. Możąc oustroie rzez q 0 q q q otrzymujemy q q q 0, co możemy zisć rówowżie jko 0

q q 0q. Prw stro rówości jest odziel rzez q, więc lew też dzieli się rzez q. Poiewż i q są względie ierwsze, to q dzieli. Podoie otrzymujemy q q q jk wyżej stwierdzmy, że 0 dzieli się rzez.. Stosując rozumowie 0 Zoczmy jk dził sze kryterium rzykłdzie. Przykłd.5 Mmy wielomi W 8 6. N odstwie lemtu.4, jeśli q jest ierwistkiem, to i 8 q,,,,,,, 4 4 8 8 q, czyli,, q,,,, 4, 4, 8,8., więc Srwdźmy, czy którś z otecjlych licz wymierych jest ierwistkiem. W tym celu oliczmy wrtości W W W W W W W W 8 6 0 8 6 0 6 0 8 8 6 0 8 8 6 0 4 8 64 4 8 6 0 4 W dl kżdej z tych licz: 8 64 4 8 47 6 0 8 8 5 8 64 7 6 0 8 8 5 8 64 Żd licz ze zioru,,,,,,, ie jest ierwistkiem wielomiu. Ztem W ie m wymierych ierwistków. 4 4 8 8 Terz jesteśmy leżycie rzygotowi do rozwżei strożytych zgdień trysekcji kąt i zudowi siedmiokąt foremego.

Przykłd.6 Udowodimy jierw, że trysekcj kąt z omocą smego cyrkl i liijki jest ogół iemożliw. Są oczywiście kąty jk. 90º i 80º, dl których moż rzerowdzić trysekcję. Mmy tomist wykzć, że ie moż dokoć trysekcji z omocą ostęowi, które dłoy się zstosowć do kżdego kąt. Dl dowodu wystrczy odć jede tylko kąt, który ie d się odzielić trzy rówe części, oiewż ogól metod kostrukcji owi stosowć się do kżdego oszczególego rzydku. Woec tego udowodimy, że trysekcj kąt 60º jest iewykol. Nsze zdie srowdz się okzi, że ie d się skostruowć kąt 0º. (lu Zuwżmy, że kostruowlość dowolego kąt α zleży od tego, czy licz si, lu tg ) jest kostruowl. Mjąc dy kąt możemy skostruowć liczy rzeieg w stęujący sosó (rys.). cos cos i si. Kostrukcj t Rysuek N jedym rmieiu kąt odkłdmy odciek jedostkowy o końcch w wierzchołku O i ukcie A. Prowdzimy rostą rostodł do drugiego rmiei kąt i rzechodzącą rzez ukt A. Otrzymliśmy trójkąt rostokąty OAB, w którym długości rzyrostokątych są odowiedio rówe liczom cos i si. si Mjąc dy odciek długości Rysuek cos otrfimy skostruowć odciek si (oiewż cos ). Kostruując trójkąt rostokąty jk rysuku otrzymujemy rówież kostrukcję kąt. 4

Podoie okzuje się rówowżość kostrukcji kąt kostruowlości liczy si lu tg. Ztem w szym rzydku musimy okzć, że licz cos0º ie leży do K. N odstwie rostego wzoru trygoometryczego cos 4 cos cos otrzymujemy związek omiędzy cosiusmi kątów i. Zstosujemy te wzór do 0. Otrzymujemy, że cos 60 4 cos 0 cos 0. Podstwijąc cos 0 i wrtość cos 60 otrzymujemy rówie trzeciego stoi ostci: 8 6 0. N mocy twierdzei. wystrczy tylko udowodić, że rówie to ie m ierwistk wymierego. Fkt te okzliśmy w rzykłdzie.5. Ztem kżde rozwiązie tego rówi jest liczą iekostruowlą, w szczególości iekostruowly. Zdie trysekcji dowolego kąt jest więc iewykole. cos, więc i kąt 0º, jest Z owyższego rzykłdu możemy wywioskowć, że kostrukcj kąt 40º rówież jest iewykol. Gdyy dło się skostruowć kąt 40º, to rowdząc dwusieczą mieliyśmy kostrukcję kąt 0º, wiemy, że kąt 0º jest iekostruowly. Idąc dlej możemy stwierdzić, że ie d się skostruowć 9-kąt foremego (oiewż 60º:9=40º). Zstówmy się terz d możliwością zudowi 7-kąt foremego. Przykłd.7 Rozwżmy zgdieie wyzczei oku 7-kąt foremego wisego w koło jedostkowe. Njrostszy sosó odejści do tego zgdiei oleg zstosowiu licz zesoloych. N łszczyźie zesoloej wierzchołki 7-kąt foremego oisują się jko ierwistki rówi 7 () z 0. Wiemy, że ierwistek siódmego stoi z jedości dy jest wzorem z cos i si 7 7, gdzie kąt 7 jest kątem środkowym ortym oku 7-kąt. Ztem kostrukcj 7-kąt foremego jest rówowż kostrukcji kąt 7, czyli liczy cos 7. Wiemy rówież, że z, więc z cos 7. Kostrukcj siedmiokąt srowdz się do kostrukcji z z liczy. Jedym z ierwistków () jest z, ozostłe są ierwistkmi rówi 5

7 z 6 5 4 () z z z z z z 0, z które otrzymujemy z rówi () dzieląc rzez czyik z. Dzieląc rówie () rzez z otrzymujemy rówie () z z z 0 z z z Stosując roste rzeksztłcei lgericze możemy zisć rówie () w ostci (4) z z z z 0 z z z z Podstwijąc do (4) z otrzymujemy 0. z Czyli jest ierwistkiem wielomiu W rozstrzygąć, czy wielomi. Wystrczy ztem W m ierwistki wymiere. Z lemtu.4 wiemy, że jedyymi możliwymi ierwistkmi wymierymi są liczy i. Oliczjąc W i W stwierdzmy, że wielomi W ie m ierwistków wymierych i mocy twierdzei. kżdy jego ierwistek jest iekostruowly. Jeżeli licz cos 7 jest iekostruowl, to cos 7 foremego. też, więc możemy stwierdzić, że ie istieje kostrukcj 7-kąt N koiec rozstrzygijmy wykolość oiższej kostrukcji. Przykłd.8 Srwdźmy kostruowlość trójkąt rostokątego, którego jed rzyrostokąt i dwusiecz ouszczo tą rzyrostokątą mją długość (rys.). Rysuek 6

Zuwżmy, że do kostrukcji tego trójkąt wystrczy skostruowć drugą rzyrostokątą. Niech dwusiecz dzieli rzyrostokątą długości w stosuku. Stosując twierdzeie Pitgors otrzymujemy długość rówą orz długość rzeciwrostokątej c rówą. Z włsości dwusieczej wiemy, że rwdziw jest stęując rówość Podstwijąc z i c wyliczoe wcześiej wrtości dostjemy rówie c.. Wykoując koleje rzeksztłcei ostteczie otrzymujemy rówie 6 ostci 4 4 0. Podstwmy do rówi, stąd mmy ostć 4 4 0. Kostruowlość liczy jest rówowż kostruowlości liczy. Zdjmy ztem czy wielomi 4 4, którego jest ierwistkiem, m ierwistki wymiere. Z lemtu.4 wiemy, że jedyymi możliwymi ierwistkmi wymierymi są liczy ze zioru,,,,, 4 4. Oliczjąc wrtości wielomiu dl kżdej z tych licz stwierdzmy, że wielomi ie m ierwistków wymierych. Ztem mocy twierdzei. kżdy jego ierwistek jest iekostruowly (w szczególości ). Z iekostruowlości liczy wyik iekostruowlość liczy, więc rówież ie istieje kostrukcj trójkąt rostokątego sełijącego wruki zdi. 7

ZADANIA Zd.. Zdj, czy stęujące wielomiy mją ierwistki wymiere: () 4 ; () ; (c) 4 4 ; 4 (d) 8 4 8. A czy mj ierwistki kostruowle? Zd.. Czy mjąc dy odciek jedostkowy moż skostruowć sześci, dl którego sum ol owierzchi i ojętości wyosi: () 5; ()? Jeśli tk, to czy moż skostruowć wszystkie sześciy o tej włsości? Zd.. Czy odciek długości 4 moż kostrukcyjie odzielić trzy odciki, z których dw ędą jedkowe, i to w tki sosó y rostodłości zudowy tych odcikch mił ojętość rówą? Zd..4 Czy jest kostruowly trójkąt rówormiey, którego rmię m długość 5, romień koł wisego w te trójkąt długość? Rozwiąż to zdie stęującymi etmi: () Ozcz rzez d ołowę odstwy tego trójkąt i uzsdij, że dl skostruowi tego trójkąt otrze i wystrcz skostruowć odciek d. () Dl zleziei wielomiu, którego ierwistkiem jest d rzyrówj do sieie wyrżei kwdrt ol trójkąt uzyske ze wzorów P r orz 8

P c, gdzie jest ołową owodu trójkąt,,, c są długościmi jego oków, zś r jest romieiem okręgu wisego. (c) Zjdź wymiery ierwistek q uzyskego wielomiu czwrtego stoi, rzekoj się, że ie jest o rówy d, odziel wielomi rzez owy wielomi stoi. q i zdj Zd..5 Czy jest kostruowly trójkąt rówormiey, którego dwusiecze mją długości, i? Rozwiąż to zdie w stęujących krokch: () Ozcz rzez ołowę kąt rzy odstwie tego trójkąt i uzsdij, że do skostruowi trójkąt otrze i wystrcz skostruowć odciek długości si. () Wyrź długość odstwy AB trójkąt w termich kąt rzy omocy fukcji tges zstosowej do trójkąt rostokątego owstłego z rozcięci szego trójkąt dwusieczą suszczoą z wierzchołk rzeciwległego do odstwy. (c) Wyrź długość odstwy AB iczej, korzystjąc z twierdzei siusów zstosowego do oków AB i AD trójkąt ABD, gdzie D jest drugim końcem dwusieczej suszczoej z wierzchołk A. (d) Przyrówj do sieie wyrżei AB otrzyme w uktch. i c. Wszystkie wystęujące fukcje trygoometrycze wyrź w termich zleżość do tkiej ostci, w której wielomiu trzeciego stoi. (e) Zdj otrzymy wielomi. si. Dorowdź si okzuje się yć ierwistkiem ewego Zd..6 Czy jest wykoly z omocą cyrkl i liijki odził dowolego kąt 4, 5, 6, 7, 8, 9 rówych części? Zd..7 Czy moż skostruowć cyrklem i liijką kąty 5, 0, 5, 5, 40, 75, 85? Zd..8 Uzsdij metodą ie wrost, że jeśli jest liczą iekostruowl, to rówież iekostruowle są stęujące liczy:,,,,,. Czy licz też musi yć liczą iekostruowlą? 9

ROZDZIAŁ IV Liczy lgericze. Nsze dlsze rozwżi mją celu dostrczeie m owych rgumetów w rozstrzygiu kostruowlości licz. Wrz z rozwojem teorii uzsdimy między iymi twierdzeie 4.. Twierdzeie 4. Jeśli wielomi W() o wsółczyikch wymierych jest ierozkłdly d Q, to zczy ie d się rzedstwić jko iloczy W()=P()Q() wielomiów o wsółczyikch wymierych stoi większych lu rówych, i jeśli stoień W() ie jest otęgą liczy, to wszystkie ierwistki wielomiu W() są iekostruowle. T wiedz rzyd m się też w rozdzile VI do rozstrzygi kostruowlości wielokątów foremych. Zuwżmy, że w rzydku wielomiów stoi ierozkłdlość d Q jest tym smym co ieosidie wymierego ierwistk. Poiewż rozkłd wielomiu stoi musi mieć ostć W cd e, gdzie,, c, d, e są wymiere. Jest to rówowże temu, że licz e d jest wymierym ierwistkiem W(). Dl wielomiów 40

wyższych stoi włsość t ie zchodzi. Istieją owiem wielomiy, które ie osidją wymierego ierwistk omimo to są rozkłdle (. wielomi iątego stoi może się rozłożyć iloczy wielomiów stoi dw i trzy, z którego żde ie osid wymierego ierwistk). W twierdzeiu 4. istote jest złożeie o stoiu wielomiu. Dl k wielomiów stoi łtwo możemy odć kotrrzykłdy to twierdzeie (. wielomi 4 jest ierozkłdly d Q, le jego ierwistek 4 jest kostruowly). Zczijmy od zdefiiowi licz lgericzych. Defiicj 4. Liczą lgericzą zywmy liczę u, któr jest ierwistkiem wielomiu 0 W dowolego stoi o wymierych wsółczyikch. Zuwżmy, że rówie dorze licz lgericz u jest ierwistkiem wielomiu o wsółczyikch cłkowitych. N rzykłd jeśli u sełi rówie u u 9 0, to 7 4 4 możąc oustroie rzez 8 dostiemy rówie u 5u 8 0. Dl stwierdzei, że wsółczyiki wielomiu ozczeie: Q W. Dowoly wielomi z wielomiem zerującym u. W są wymiere wrowdźmy Q, którego ierwistkiem jest u ędziemy też zywć Przyjrzyjmy się terz rzykłdom licz lgericzych. Przykłd 4. Liczy wymiere q są lgericze jko ierwistki wielomiów W q W Q., Pierwistki q z licz wymierych q sełiją rówie q 0, więc są lgericze. Uzsdijmy, że licz jest lgericz. W tym celu oszukjmy wielomiu Q W, którego jest ierwistkiem. Rówość możemy zisć rówowżie jko, odosząc oustroie do kwdrtu i 4

orządkując otrzymujemy rówie 0. Ztem licz jest ierwistkiem W, czyli jest lgericz. Wielomi miimly liczy lgericzej. Zuwżmy, że d licz lgericz u jest ierwistkiem wielu różych wielomiów z Q. N rzykłd licz jest ierwistkiem wielomiu le jest tkże ierwistkiem wielomiów W 4, 4 ( )( ) W, W, W, itd. Zuwżmy, że możąc rzez dowoly wielomi z Q możemy otrzymć wielomi z ierwistkiem jest. Czyli jest ierwistkiem wielomiu z stoi większego od. Wrowdźmy ztem defiicję. Q dowolie dużego stoi, którego Q dowolie dużego Defiicj 4.4 Wielomiem miimlym liczy lgericzej u zywmy dowoly wielomi z Q zerujący u jmiejszego stoi wśród wielomiów zerujących u. Dl wielomiów miimlych zchodzą oiższe twierdzei. Twierdzeie 4.5 Wielomi miimly liczy lgericzej u jest jedozczie wyzczoy z dokłdością do możei rzez liczę wymierą. Dowód P i Złóżmy, że istieją dw wielomiy miimle liczy u: 0 0 Q (ie tkie, że jede jest iloczyem drugiego rzez liczę wymierą). Możąc Q rzez otrzymujemy wielomi miimly 4

Q. 0 Wsółczyiki rzy jwyższej otędze w wielomich P i Q są rówe, więc odejmując je od sieie otrzymmy iezerowy wielomi iższego stoi S P Q. Zuwżmy, że licz u też jest ierwistkiem S, oiewż P u Qu 0 i P u Q u Pu Qu 0 S u, skąd. Czyli zleźliśmy wielomi iższego stoi iż P Q, którego ierwistkiem jest licz u. Dje to srzeczość z złożeiem, że P i Q są miimle. Ztem wielomi miimly jest jedozczy z dokłdością do możei rzez liczę wymierą. Twierdzeie 4.6 Wielomi miimly W liczy lgericzej u jest ierozkłdly d Q. Dowód Złóżmy, że wielomiów iższego stoi ierwistkiem W jest rozkłdly. Możemy więc rzedstwić go w ostci iloczyu W, to W u Pu P u 0 P, P Q, czyli W P P. Poiewż u jest. Ztem zchodzi jed z stęujących rówości P u 0 lu P u 0. Otrzymliśmy więc wielomi iższego stoi iż którego u jest ierwistkiem. Co jest srzecze z miimlością wielomiu wielomi W jest ierozkłdly. W, W. Stąd Twierdzeie 4.7 Dl dej liczy lgericzej u, kżdy wielomi Q ierwistek jest odziely rzez wielomi miimly W liczy u. V mjący u jko Dowód V Podzielmy V rzez W, otrzymując yć może resztę, czyli W P R. Wiemy, że P i R Q orz, że stoień stoi W R jest iższy od. Gdyy reszt R ie ył wielomiem zerowym, to yły wielomiem 4

iższego stoi iż R W mjącym u z ierwistek, oiewż Vu Wu 0 więc rówież u Vu Wu Pu 0. Ztem R jest wielomiem zerowym, co ozcz, że V dzieli się rzez W. Twierdzeie 4.8 Wielomi Q wszystkich swoich ierwistków. W ierozkłdly d Q jest wielomiem miimlym dl Dowód Złóżmy, że ierwistk u. Niech więc mocy twierdzei 4.7, W ie jest wielomiem miimlym dl ewego swojego Z ędzie wielomiem miimlym tego ierwistk. Wtedy, W dzieli się rzez Z, czyli W Z P, gdzie P Q. Otrzymliśmy rozkłd wielomiu W wrew twierdzeiu 4.6. Ztem W jest miimly dl kżdego ierwistk. Z ojęciem wielomiu miimlego wiąże się oiższ defiicj. Defiicj 4.9 Stoiem liczy lgericzej u zywmy stoień jej wielomiu miimlego. Przyjrzyjmy się iektórym rzykłdom licz lgericzych stoi, i. Przykłd 4.0 Liczy wymiere, jko jedye, są liczmi lgericzymi stoi. Niewymiere ierwistki q z licz wymierych są liczmi lgericzymi drugiego stoi. Poiewż wielomi q, ierozkłdly d Q, jest wielomiem miimlym q. Istieją jeszcze ie liczy stoi, ich ełą chrkteryzcję zostwimy jko ćwiczeie. Pierwistki wielomiów stoi z Q ie mjących ierwistków wymierych (czyli iekostruowle ierwistki wielomiów stoi ) są liczmi 44

lgericzymi stoi, o ich wielomiem miimlym jest owyższy ierozkłdly d Q wielomi stoi. Rozszerzeie cił licz wymierych o liczę lgericzą. W rozdzile II rozszerzliśmy dowole ciło liczowe o ierwistek kwdrtowy tzw. rozszerzeie kwdrtowe. Podoie możemy rozszerzyć ciło licz wymierych o dowolą liczę lgericzą. Zdefiiujmy ztem tkie rozszerzeie. Defiicj 4. Rozszerzeiem cił Q o liczę lgericzą u zywmy jmiejsze możliwe ciło liczowe zwierjące Q orz liczę u. Ozczmy je Q u. Dl tk zdefiiowego rozszerzei Q u rwdziwe jest stęujące twierdzeie. Twierdzeie 4. () Jeżeli u jest liczą lgericzą stoi k, to ciło gdzie q 0, q,, k rzedstwieie w ostci (). k q0 qu qu q k u, Q u skłd się z licz ostci q są wymiere. Podto, kżd licz z cił u Q m jedozcze Dowód Licz u leży do Q u, więc tkże liczy ostci () leżą do Q u. Ay rzekoć się, że liczy te tworzą ciło wystrczy srwdzić, że ich sumy, różice, iloczyy i ilorzy też mją ostć (). Dl sumy i różicy dowód jest łtwy więc go omijmy. Iloczy okżemy rzykłdzie liczy lgericzej u, ędącej ierwistkiem wielomiu Dl kżdego iego wielomiu możemy rzerowdzić logiczy dowód. Rozwżmy ztem liczy iloczy i jest ostci q i 0 qu qu 0 u u V. z cił Q u. Wtedy q q u q q q u q q u q Wu 4 qu 0 0 0 0 0 0. 45

Podzielmy wielomi W rzez A, B, C, D, E są wymiere, wielomi C D E. Wykorzystując fkt, że V u 0 W u V. Stąd W V A B C D E, otrzymujemy, że Vu Au Bu Cu Du E E Du Cu to szuk ostć () iloczyu licz., gdzie jest resztą z dzielei W rzez V, gdzie E, D, C są wymiere. Jest Zmist ilorzu wystrczy terz rozwżyć odwrotość liczy mjącej ostć (). Posłużymy się tym smym rzykłdem liczy u (o wielomiie miimlym V ). Dl liczy u u szukmy ostci A Bu Cu tkiej, że Bu Cu u u A. 4 Wyliczjąc iloczy mmy C Bu B C Au A Bu A Cu. 4 Dzielimy wielomi C C B B C A A B A V. Otrzymujemy ostć W rzez V C C B B A A B C A C B W R B A A B C A C B wiemy, że R u 0. O reszcie. Wystrczy więc zleźć tkie wymiere wsółczyiki A, B, C, że sełioy jest ukłd B A 0 B A C 0. A C B 0 Rozwiązując owyższy ukłd rówń liiowych, dostjemy A, B 9, C. Ztem licz u u jest rów 9 u u i jest to szuk ostć (). W logiczy sosó możemy dorowdzić do ostci () odwrotość kżdej liczy z Q u. Ay okzć jedozczość rzedstwiei w ostci (), złóżmy ie wrost, że licz z Q u m dw róże rzedstwiei k q0 qu q k u i k 0 u k u. Odejmując je stromi otrzymujemy rówie k u q q u q u 0 P, którego u jest ierwistkiem. Wówczs 0 0 k k iezerowy wielomi P stoi miejszego od k zeruje liczę u, wrew temu, że 46

wielomi miimly tej liczy m stoień k. Ztem rzedstwieie w ostci () jest jedozcze. Pokzując, że ziór q 0 k : 0, k q u q u q, q, q Q, gdzie stoień u wyosi k, jest ciłem orz, że kżd licz z cił rzedstwieie w ostci (), udowodiliśmy twierdzeie 4.. Q u m jedozcze Zuwżmy, że dzięki temu twierdzeiu ie musimy rozwżć rdziej skomlikowych ostci licz. Poiewż do Q u jest ciłem więc. licz u u 5 u 4 leży u 7 Q u i woec tego dje się rzedstwić w ostci wielomiowej z twierdzei 4.. Bz i stoień rozszerzei. Do tej ory ozliśmy rozszerzeie kwdrtowe cił F (czyli rozszerzeie dowolego cił o ierwistek kwdrtowy ) orz rozszerzeie cił licz wymierych o liczę lgericzą. Zdefiiujmy terz ogólie ojęcie rozszerzei. Defiicj 4. Rozszerzeiem cił K zywmy dowole ciło L zwierjące ciło K. Rozszerzoe ciło L ędziemy trktowć jko rzestrzeń wektorową dl której sklrmi ędą elemety cił K. Możemy wtedy mówić o komicjch liiowych, gdzie wsółczyiki,, leżą do K, wektory,, leżą do L. Możemy też mówić o wymirze L jko rzestrzei wektorowej z ciłem sklrów k. Rozszerzeie zywmy skończoym, jeśli wsomiy wymir L jest skończoy. Rozszerzei z jkimi ędziemy się sotykć w tej rcy ędą z reguły rozszerzeimi skończoymi. Dl kżdego skończoego rozszerzei możemy wskzć zę. Defiicj 4.4 47

Bzą skończoego rozszerzei L cił K zywmy dowoly ukłd licz l,,l z cił L tki, że kżd licz leżąc do L rzedstwi się jedozczie jko komicj liiow l l, gdzie,, są elemetmi K. Przyjrzyjmy się zom zych m rozszerzeń. Przykłd 4.5 Jko zę rozszerzei kwdrtowego F F F rzyjąć ukłd licz,, oiewż kżdy elemet rozszerzei, cił F moż F m ostć komicji liiowej q, gdzie i q leżą do F. Pokżmy jeszcze, ze rzedstwieie to jest jedozcze. Złóżmy, że licz m dw róże rzedstwiei q i q (zchodzi rzyjmiej jede z rzydków, q q ), gdzie, q,, q leżą do F. Odejmując je. Jeżeli q q to wtedy tkże, stromi otrzymmy q q 0 złożyliśmy, że rzedstwiei liczy są róże. Weźmy więc q q, wówczs możemy wyzczyć z rówi, czyli, le wtedy q q leży do F wrew złożeiu. Ztem ostć q jest jedozcz. Dl rozszerzei o liczę lgericzą u stoi k cił licz wymierych jko zę moż rzyjąć ukłd, k u, u,, u, oiewż kżd licz z u Q m jedozczą ostć q q u q k u, gdzie q0,, q k są wymiere. k 0 Uzsdieie jedozczości tego rzedstwiei yło rzerowdzoe w dowodzie twierdzei 4., więc je omijmy. Zuwżmy, że w owyższych rzykłdch rozszerzeń możemy wskzć rówież ie zy (., są zą dl F ). Te rzyjęte rzez s są jrdziej turle. Zdefiiujmy terz ojęcie stoi rozszerzei. Defiicj 4.6 48

Stoiem rozszerzei L cił K zywmy wymir L jko rzestrzei liiowej względem cił K lu rówowżie, liczę elemetów w dowolej zie rozszerzei. Stoień te ozczmy symolem L : K. : F N odstwie owyższej defiicji dl rozszerzeń z rzykłdu 4.5 mmy F (dw elemety w zie rozszerzei kwdrtowego), Q u Q k elemetów w zie). Dl : (k Q u stoień rozszerzei jest rówy stoiowi liczy lgericzej u. W iektórych rzydkch z rozszerzei m ieskończeie wiele elemetów, wtedy stoień rozszerzei wyosi,. Q R :. Terz jesteśmy już rzygotowi do udowodiei stęujących twierdzeń. Twierdzeie 4.7 Jeśli M jest rozszerzeiem L, L jest rozszerzeiem cił K to M : K M : L L : K. Dowód Złóżmy, że rozszerzei K L i M L są skończoe. Niech M : L, L K k :, orz iech m,,m ędą zą rozszerzei M, k l,,l zą rozszerzei L. Pokżemy, że ziór iloczyów m gdzie i,, j,, k, tworzy zę rozszerzei M cił K. Weźmy l i j dowoly elemet y cił M. Skoro m,,m jest zą rozszerzei M cił L, to y m m, gdzie,, leżą do L. Przedstwmy terz kżdy z wsółczyików i jko komicję liiową zy l,,l l l, gdzie k rozszerzei L. Czyli i i ik k i,, i i,, ik leżą do K. Ostteczie otrzymujemy ostć y l klkm l klkm ijm i l j i j,,,, k Jest to komicj liiow dowolego elemetu z M. Przedstwieie to jest jedozcze (wyik z jedozczości rzedstwień w zch rozszerzeń L i K). Ztem rozszerzeie M cił K m zę złożoą z k elemetów, czyli M : K M : L L : K.. 49

Jeżeli stoień któregoś z rozszerzeń M, L, K jest ieskończoy to twierdzeie 4.7 dlej jest rwdziwe. Tylko wtedy w dowodzie używ się ieskończoych z. Twierdzeie 4.8 Jeśli L jest skończoym rozszerzeiem cił Q, to kżd licz leżąc do L jest liczą lgericzą. Podto stoień jest dzielikiem stoi rozszerzei L : Q. Dowód Niech L Q :, orz iech leży do L. Rozwżmy ukłd licz,,,, z L. Potrktujmy te liczy jk wektory w rzestrzei wektorowej L d ciłem sklrów Q. Tych wektorów jest +, czyli więcej iż wymir L d Q. Ztem ukłd,,,, jest liiowo zleży, więc istieją liczy wymiere,,, 0, ie wszystkie rówe zero, tkie że komicj liiow 0 jest rów 0. Licz jest ierwistkiem wielomiu W Q że jej stoień dzieli 0, czyli jest lgericz. Pokżmy jeszcze, Q L :. W tym celu rozwżmy trzy cił Q Q L twierdzei 4.7 mmy, że L : Q L : Q Q : Q. Wiemy, że. N mocy Q : Q jest rówe stoiowi liczy. Poiewż rw stro rówości dzieli się rzez stoień, więc L : Q też musi dzielić się rzez stoień liczy. Z owyższych twierdzeń wyik wiosek. Wiosek 4.9 Kżd licz kostruowl jest liczą lgericzą, odto jej stoień jest zwsze otęgą liczy. Licz lgericz, której stoień ie jest otęgą liczy, ie jest kostruowl. Dowód Niech ędzie liczą kostruowlą. Mmy więc dy ciąg rozszerzeń kwdrtowych Q F 0 F F Fm, gdzie dl kżdego i zchodzi F i F i i, 50