Podstawy Automatyki. Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania.

Transkrypt

1 Politehik Gdńsk Wydził Elektrotehiki i Automtyki Ktedr Iżyierii Systemów Sterowi Podstwy Automtyki Lizy zesoloe Mteriły omoize do ćwizeń termi T5 Orowie: Kzimierz Duzikiewiz, dr h. iż. Mihł Grohowski, dr iż. Roert Piotrowski, dr iż. Tomsz Rutkowski, dr iż.

2 Wrowdzeie Powszehie używmy liz. Zmy lizy turle, łkowite, wymiere, rzezywiste. Te trzy osttie ziory z dziłimi dodwi i możei osidą włśiwośi, które klsyfikuą e do oiektów zwyh w mtemtye iłmi. Ns ił liz iteresuą między iymi ze względu możliwośi olizei ierwistków wielomiów. Weźmy rzykłdowo wielomi: x x 5x + ( ) 6 Jest to moizy (edyk rzy wyrzie o wyższe otędze) wielomi drugiego rzędu (dwók est wyższą otęgą wyrzów wielomiu). Dl tego rostego rzykłdu, y olizyć, kie wrtośi mą ierwistki tego wielomiu, zyli dl kih liz r zhodzi rówość: możemy skorzystć, ze zyh ze szkoły średie wzorów Viète y: ( x) ( x r )( x r ) x ( r + r ) ( x) () x + r r r + r Nietrudo stąd odć wrtośi ierwistków r orz r 3. I terz możliwe est rzedstwieie wielomiu w osti zyikowe: ( x) x 5x + 6 ( x )( x 3) W ogólym rzydku rzezywistego wielomiu drugiego rzędu: ( x) x + x + r r 6 5 () w którym wsółzyiki,, są dowolymi lizmi rzezywistymi i zkłdmy, że możemy rówież korzystą z wiedzy wyiesioe ze szkoły średie wyzzyć ierwistki rówi (). Wiemy, że rówie dowole koize roli z kierowią x x m ostć: y x d x x (3) ( ) ( ) e + w którym d określ szerokość i skierowie rmio roli e ioowe rzesuięie roli. Jeżeli ędziemy mogli wyrzić d,e,x w zleżośi od,, to ędzie to ozzło, że dowoly wielomi osti () moż rzedstwić wykresem ko rolę (3). Poiewż: y ( x) d( x x ) + e dx dx x + dx e + wię: d dx dx x + e e ( ) ( 4)

3 Stąd dowoly wielomi () może yć rzedstwioy ko rol: ( x) x + + Z zego łtwo uzyskć zy ze szkoły średie wyik ierwistki rówi () w osti: 4 ± x 4 Stmtąd też zmy odowiedź, że eżeli 4 m wrtość uemą, to ierwistki rówi wielomiowego (3) ie istieą. Dokłdie mówią, ie istieą ierwistki tego rówi w dziedziie liz rzezywistyh. Weźmy dl rzykłdu wielomi: ( x) x + 4 Rysuek. Iterret grfiz wielomiu ( x) x + 4 Jest to rol z kierowią x dl które ( ) 4 x igdy ie osiąg wrtośi miesze od te lizy. Formlie ierwistki rówi () tego wielomiu są de r, ± 4 ±. Lizymy e wrowdzą owy oiekt mtemtyzy - symol zwy edyką urooą określoy ko:. Wielomi ( ) lu (4) Możemy ztem dl tego drugiego rostego rzykłdu isć ostć zyikową rozwżego w im wielomiu ( x) ( x + )( x ) r, ± 4 i odć ± W te sosó zleźliśmy się lisko liz zywyh lizmi zesoloymi, które zlzły szerokie zstosowie w tehie. Lizy zesoloe ie są lizmi w zzeiu otozym, tkimi kih używmy w odzieyh rhukh lu omirh. Wszelko są oe iezmierie użyteze w tehie.

4 Defii lizy zesoloe Lizą zesoloą zywmy rę uorządkową (,) Zisuemy to: liz rzezywistyh i. (,) (5) Mówimy, że liz zesolo skłd się z dwóh zęśi: zęśi rzezywiste (relis) i zęśi urooe (imgilis). Piszemy: Re Im { z} { z} Dl tk określoe lizy zesoloe defiiue się oęie rówośi orz odstwowe dziłi rytmetyze. Podmy terz tylko defiie rówośi liz zesoloyh, tomist defiie dziłń okżemy dl różyh osti liz zesoloyh. Zomość liz zesoloyh ozwl odć odstwowe twierdzeie lgery, które wykorzystliśmy w zsdzie w rozwżyh wyże rostyh rzykłdh, oszukuą dl wielomiu stoi drugiego dwóh ierwistków rówie wielomiowego osti (). Podstwowe twierdzeie lgery Kżde wielomiowe rówie -tego rzędu osid dokłdie ierwistków zesoloyh. Pode twierdzeie, est iezmierie silym rzędziem lgerizym. Mówi oo, że kżdy wielomi osti: moż zwsze rzedstwić w osti: i ( x) x + x + K + i x + K+ x + i x ( x) ( x r )( x r ) K ( x r )( x r ) ( x r ) gdzie lizy r i są ierwistkmi rówi wielomiowego -tego rzędu, ędąymi lizmi rzezywistymi lu zesoloymi. i i i i Podstwy liz zesoloyh Dwie lizy zesoloe (, ) i (, ) są rówe wtedy i tylko wtedy, gdy: i (6) Postć defiiy liz zesoloyh est w rktye olizeiowe wykorzystyw rzdko. W olizeih korzyst się z iyh osti zisu liz zesoloyh. Te ostie to: ostć lgeriz, trygoometryz i wykłdiz.

5 Postć lgeriz lizy zesoloe Dl zdefiiowi osti lgerize lizy zesoloe wykorzystuę się symol określoy wzorem (4). Lizę zesoloą w osti lgerize rzedstwi się stęuąo: + (7) Dwie lizy zesoloe + i zywmy lizmi zesoloymi srzężoymi. Lizy zesoloe srzężoe mą, k widć, idetyze zęśi rzezywiste i rzeiwe zęśi urooe. Podmy terz defiie odstwowyh dziłń dl liz zesoloyh w oti lgerize: dodwie i odemowie ± + ± + ± + ± (8) ( ) ( ) ( ) ( ) możeie dzieleie ( + )( + ) ( ) + ( ) + (9) + ( + )( ) ( + ) + ( ) ; () + ( + )( ) + Korzystą z tyh defiii moż udowodić zhodzeie zstęuąyh zleżośi: dl wrtośi srzężoe sumy i różiy liz zesoloyh: ± () ( ) ± dl wrtośi srzężoe ilozyu liz zesoloyh: () ( ) dl wrtośi srzężoe ilorzu liz zesoloyh: ; (3) dl wrtośi srzężoe lizy srzężoe: ( ) (4) Postć trygoometryz lizy zesoloe Lizy rzezywiste mą swoą iterretę geometryzą - kżde lizie rzezywiste odowid ukt osi lizowe. Rówież lizy zesoloe osidą swoą iterretę geometryzą - kżde lizie zesoloe odowid ukt tk zwe łszzyźie zesoloe. Ukłd wsółrzędyh te łszzyźie tworzą dwie osie: oś oziom zęśi rzezywiste lizy, ozz Re (Relis), zyw osią rzezywistą i oś ioow zęśi urooe lizy, ozz Im (Imgilis), zyw osią urooą. Wsółrzędymi uktu łszzyźie zesoloe, odowidąego lizie zesoloe + są: osi Re

6 zęść rzezywist lizy zesoloe osi Im zęść uroo te lizy. Zilustrowe to zostło rys.. Odiek zywy est zsem wskzem. Rysuek te okzue, że lizę zesoloą moż określić rzez dwie ie wielkośi: długość odik orz kąt ki tworzy te odiek z osią Re. Zą wrtośi zęśi rzezywiste i urooe lizy zesoloe możemy olizyć: długość odik, którą ędziemy ozzli lu Mod i zywli modułem lizy zesoloe: + Mod (5) kąt omiędzy osią Re odikiem odmierzy rzeiwie do ruhu wskzówek zegr, który ędziemy ozzli ϕ lu Arg i zywli rgumetem lizy zesoloe: ϕ Arg rtg (6) gdzie: rtg ( ) - fuk odwrot do fuki tg ( ) Moż okzć, że zhodzą stęuąe zleżośi: Mod Mod Im Arg Arg (7) + ϕ tg ϕ Re Rysuek. Iterret geometryz lizy zesoloe Z Rysuku wyik, że: osϕ siϕ Możemy ztem lizę zesoloą zisć w osti: osϕ + siϕ ( osϕ + siϕ) (8) Te zis zywmy ostią trygoometryzą lizy zesoloe.

7 Z fktu, że fuke sius i osius są fukmi okresowymi o okresie π wyik, iż wrtość rgumetu lizy zesoloe ie est określo edozzie. Położeie uktu odowidąego łszzyźie zesoloe lizie ie ulegie zmiie, gdy do wrtośi ϕ dodmy edą z liz πk, gdzie k, ±, ±, Zwykle ogrizmy się edk do rzedziłu [, π) lu (-π, π]. W tym osttim rzydku określoą wrtość rgumetu zywmy wrtośią główą rgumetu. Ilustr określi rgumetu dl rzedziłu [, π) lu (-π, π] zostł rzedstwio Rysuku 3. Im Im [,π) Re (-π, π] Re Rysuek 3. Sosó określi rgumetu lizy zesoloe dl rzedziłów [, π) i (-π, π] Biorą owyższe od uwgę możemy isć: Arg ϕ + π k, k, ±, ±,... (9) gdzie ϕ est edym z rgumetów lizy określoym. dl edego z odyh wyże rzedziłów Wrto też odć iterretę geometryzą liz zesoloyh srzężoyh. Zostło to zroioe Rysuku 4. Z rysuku tego wyik, że: moduły liz zesoloyh srzężoyh są soie rówe: Mod Mod rgumety liz zesoloyh srzężoyh mą wrtośi rzeiwe: Arg - Arg zyli Jezeli osϕ + siϕ to osϕ siϕ ( ) ( )

8 Im + ϕ tg ϕ Re -ϕ tg( - ϕ ) Rysuek 4. Iterret geometryz liz zesoloyh srzężoyh Postć trygoometryz liz zesoloyh umożliwi odie rostyh reguł związyh z możeiem i dzieleiem liz zesoloyh. Weźmy dwie lizy zesoloe: ( osϕ + siϕ ) i ( osϕ + siϕ ), wówzs możeie i dzieleie tyh liz możemy rzerowdzić korzystą z wzorów: możeie: ( os ϕ + siϕ ) ( os ϕ + siϕ ) ( os( ϕ + ϕ ) + si( ϕ + ϕ ) () dzieleie: ( osϕ + siϕ ) ( osϕ + siϕ ) ( os( ϕ ϕ ) + si( ϕ ϕ ); () Z owyższyh wzorów wyiką stęuąe reguły: Moduł ilozyu dwóh liz zesoloyh est rówy ilozyowi modułów tyh liz, zś rgumet tego ilozyu est rówy sumie rgumetów tyh liz. Moduł ilorzu dwóh liz zesoloyh est rówy ilorzowi modułów tyh liz, zś rgumet tego ilorzu est rówy różiy rgumetów tyh liz.

9 Możemy to też zisć: orz Mod Arg Mod Arg Mod Mod Arg + Arg Mod Mod Arg - Arg ; () (3) Postć trygoometryz liz zesoloyh umożliwi w rosty sosó zdowć otęgi i ierwistki liz zesoloyh dl turlyh wykłdików. Weźmy lizę zesoloą ( osϕ + siϕ). Potęgowie te lizy w rzydku turlego wykłdik est rówozze z -krotym możeiem te lizy rzez ią smą. Otrzymmy ztem wzór: os ϕ + si ϕ (4) ( ) zyli rzy otęgowiu oowiązue reguł: Moduł otęgi lizy zesoloe o wykłdiku turlym rów się -te otędze modułu te lizy, zś rgumet - ilozyowi i rgumetu te lizy. Pierwistkiem stoi lizy zesoloe zywmy lizę zesoloą w sełiąą rówie: w ; - turle (5) Jk olizyć lizę w sełiąą to rówie? Ozzmy rzez ϕ edą z wrtośi rgumetu lizy,. wrtość główą. Ztem Arg ϕ + πk, k, ±, ±,... Argumetem lizy w est Arg w Argw, zś e modułem w w. Porówuą moduły i rgumety liz orz w otrzymmy stęuąe zleżośi olizeie ierwistk -tego stoi lizy zesoloe : w, ϕ πk Argw + ; - tur l e (6) gdzie k,,, K,. Przymuą z k wymieioe wyże wrtośi otrzymmy dl rgumetu lizy zesoloe w (ierwistk lizy zesoloe, gdy ) - różyh wrtośi, dl któryh w ozz z kżdym rzem orz to ią lizę zesoloą. Dl iyh wrtośi łkowityh k (które omięliśmy) otrzymliyśmy owtrząe się uż ołożei uktu odowidąego lizie w łszzyźie liz zesoloyh. Poiewż moduł lizy w określoy est edozzie, otrzymmy w rezultie ko wrtość ierwistk -tego stoi lizy zesoloe różyh liz zesoloyh o module i rgumeth określoyh wzormi (6). Postć wykłdiz lizy zesoloe Postć wykłdiz lizy zesoloe est zsdizo rostszą formą osti trygoometryze. Wykorzystywe są rówież w te osti zisu lizy zesoloe e moduł i rgumet. Wykorzystue się rzy tym stęuąe fkty:

10 fuk fuk si α est sumą szeregu: siα os α est sumą szeregu: osα α α α α (7)! 3! 5! 7! 4 6 α α α (8)! 4! 6! fuk e α est sumą szeregu: α α α α α α α α e (9)!! 3! 4! 5! 6! 7! gdzie:! - symol wyrżei określoego dl liz łkowityh ( ) w stęuąy sosó:!,! 3... ( ) e - stł mtemtyz zyw stłą Euler, oliz z wzoru (9) o odstwieiu α, zyli: e !! 3! 4! 5! 6! 7! α - kąt ody w rdih. Polizmy wrtość wyrżei e korzystą z zleżośi (9): k k e ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ !! 3! 4! 5! 6! 7! ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ osϕ +! 4! 6!! 3! 5! 7! si ϕ (3) Rówość (3) osi zwę rówi Euler. Korzystą z ie możemy lizę zesoloą zisć w osti: e (3) Tką ostć zisu lizy zesoloe zywmy ostią wykłdizą. Postć wykłdiz liz zesoloyh, odoie k ostć trygoometryz, umożliwi odie rostyh reguł związyh z możeiem i dzieleiem liz zesoloyh. Weźmy dwie lizy zesoloe: e i e, wówzs możeie i dzieleie tyh liz możemy rzerowdzić korzystą z wzorów: możeie: ( ϕ+ ϕ ) e e (3) e

11 dzieleie: e ( ϕ ϕ ) e ; e (33) Słusze ozostą reguły dotyząe modułu i rgumetu ilozyu i ilorzu ode dl osti trygoometryze. Korzystą z osti wykłdize możemy rzeisć wzory otęgowie i ierwistkowie liz zesoloyh: ( e ) e (34) e e πk ϕ +, k,,, K, ; - tur l e (35) Kilk fktów zkońzeie. Z defiii otrzymuemy: 3 4 L (36) Ciąg,,,, K est iągiem okresowym o okresie 4, oiewż k widć x Dl liz zesoloyh srzężoyh zhodzi: { } ϕ { } siϕ + Re os (37) Im (38) (39) Jezeli e : e (4) 3. Bezośredią kosekweą rówi Euler est twierdzeie De Moivre : ( os ϕ + siϕ) os( ϕ) + si( ϕ) (4) gdzie może yć dowolą lizą rzezywistą.