+ Analia Zespolona I, uupełnienie. Zasada argumentu. We wore na licbę er i biegunów mamy calkę formy f d. Zauważmy, e forma ta jest f różnicką d log f. Wprawdie funkcja log f jest niejednonacna, to jej różnicka już jest. Z definicji logarytmu mamy log f( = log f( +i arg f( i stąd d log f = d log f +id arg f. Całka pierwsego składnika po konture amkniętym nika, a całka drugiego jest równa pryrostowi argumentu f( wdłuż konturu. Stąd wór na licbę er i biegunów możemy interpretowaś jako Zasada argumentu. Niech f M(Ω będie różna od funkcji erowej i niech Ω będie obsarem spójnym. Jeżeli D Ω jest wartym obsarem bregiem takim, że D nie awiera er ani biegunów funkcji f, to różnica sumy krotności er funkcji f leżących w D i sumy rędów biegunów N p funkcji f leżących w D, jest równa mianie argumentu f( wdłuż D.. Problemy Cousina. Wiemy, że każdy wielomian w można predstawić jako ilocyn dwumianów ( a i, gdie a i jest pierwiastkiem w, ora stałej. Na stałą należy patreć jak na wielomian, który nigdie nie jest równy ero. Z drugiej strony, każda funkcja wymierna da się predstawić jako suma wielomianu i ułamków prostych. Zwróćmy uwagę, że w rokładie funkcji wymiernej na ułamki proste (wersja espolona α ij (x a i P (x Q(x = W (x + i k i j= α ij (x a i skladnik k i j= jest jest cęścia główną rowinięcia Laurenta wokół a i - poostałe składniki są holomorficne w a i i otoceniu. Zajmiemy się tera podobnymi rokładami dla funkcji holomorficnych i meromorficnych. Ponieważ będą występowały sumy i ilocyny nieskońcone, treba najpierw uupełnić nasą wiedę dotycącą prestreni funkcji analitycnych i meromorficnych... Zupełność prestreni funkcji analitycnych. Twierdenie Weierstrassa. Twierdenie (Weierstrass. Niech Ω będie obsarem w C, a D Ω wartym obsarem bregiem D. Jeżeli ciąg f n A(Ω jest bieżny jednostajnie na D, to jest też bieżny jednostajnie na D i granica jest funkcją holomorficną wewnątr D. Dowód: Niech f n f jednostajnie na D. Funkcja f n f m jest holomorficna w Ω, więc sup D f n ( f m ( jest osiągane na bregu D. Zatem (f n jest ciągiem Cauchy ego w metryce jednostajnej, więc bieżnym do funcji ciągłej f. Ocywiście f = f na D. Weźmy Int D. Z woru całkowego Cauchy ego i e bieżności jednostajnej (f n, f n ( = πi D f n (ζ dζ (ζ πi D Funkcja f jest więc, wewnątr D, adana worem f( = f(ζ πi D (ζ dζ, f(ζ dζ = f(. (ζ a atem (różnickowanie pod nakiem całki holomorficna. Korystając jesce ra woru całkowego (dla pochodnych dostajemy, że f (k n f (k niemal jednostajnie we wnętru D.
Wniosek. Jeżeli ciąg funkcji holomorficnych w Ω jest bieżny niemal jednostajnie do f, to funkcja f jest holomorficna w Ω i bieżność jest niemal jednostajna wra e wsystkimi pochodnymi. Z twierdenia o wartości średniej mamy nawet więcej: wystarcy bieżność w sensie całki np. Lebesgue a. Podsumowanie: ( Prestreń A(Ω jest upełna e wględu na bieżność niemal jednostajną. ( Zbieżność niemal jednostajna jest równoważna bieżności niemal jednostajnej e wsystkimi pochodnymi. Dla Ω = C funkcja holomorficna ma rowinięcie Taylora w ere, więc jest granicą niemal jednostajną wielomianów. Dla jednospójnego Ω mamy twierdenie Rungego. Twierdenie (Runge. Niech Ω będie obsarem jednospójnym i niech f A(Ω. Dla każdego bioru wartego K Ω i każdego ε > istnieje wielomian P taki, że sup f( P ( < ε. K Uwaga! Twierdenia Rungego nie należy mylić Twierdeniem Stone a. W twierdeniu Stone a (wersja dla funkcji o wartościach espolonych mamy prybliżanie funkcji ciągłych (więc i holomorficnych wielomianami, ale od i!.. Rokład na ułamki proste. Pierwsy problem Cousina. Ropatrmy najpierw taki problem (Pierwsy problem Cousina: Niech Ω będie obsarem w C i (a i ciągiem różnych punktów w Ω, be punktu skupienia w Ω. Cy istnieje funkcja meromorficna w Ω biegunami w (a i (i tylko tam, o adanych cęściach głównych n i P i ( = c k,i ( a i k k= rowinięć Laurenta. Poytywną odpowiedź daje twierdenie Mittag-Lefflera..3. Dowód twierdenia Mittag-Lefflera. Dowód: Dowód preprowadimy w prypadku Ω = C. Dla dowolnego obsary dowód jest ideowo taki sam, ale technicnie nacnie bardiej skomplikowany. Prypadek ciągu skońconego jest trywialny: wystarcy wiąć sumę P i. Niech więc (a i będie ciągiem nieskońconym. Możemy też ałożyć, że a i+ a i ora a =. W odróżnieniu od prypadku ciągu skońconego, suma P i może być robieżna, będiemy więc jej składniki renormaliować wielomianami by otrymać sereg bieżny. Funkcja P i jest holomorficna poa a i, więc w kole a i ma rowinięcie Taylora. Istnieje atem wielomian W i taki, że sup W i ( P i ( < a i i. Pokażemy, że sereg (P i W i jest bieżny niemal jednostajnie w C \ (a i. Niech K C \ (a i będie biorem wartym. Ponieważ a i, to istnieje N takie, że dla i > N i biór K jest awarty w kole a i, więc dla i > N sup W i ( P i ( < K i. Stąd jednostajna bieżność seregu. Onacmy f( = i (P i( W i (. Z twierdenia Weierstrassa o upełności prestreni funkcji holomorficnych f jest funkcją holomorficną poa ciągiem (a i. Dla każdego a i funkcja f k i (P i W i jest holomorficna w a i, więc cęść główna rowinięcia Laurenta funkcji f w a i jest równa P i.
Wniosek (Rokład Mittag-Lefflera. Każdą funkcję meromorficną f M(C można predstawić w postaci sumy f = g + i (P i W i, gdie P i są cęściami głównym rowinięć f, W i są wielomianami a g funkcją całkowitą. Dowód: Uporądkujmy bieguny f według rosnącego modułu i niech P i będie cęścią główną rowinięcia w a i. Punkt = możemy unać a regularny, bo jeśli f ma biegun w =, to astąpimy f funkcją f P, gdie P jest cęścią główną rowinięcia Laurenta w ere. Z dowodu twierdenia Mittag Lefflera istnieją wielomiany W i takie, że sereg i (P i W i jest bieżny i że funkcja g = f i (P i W i jest całkowita..4. Prykłady. Prykład. Niech f( =. Jest to funkcja meromorficna biegunami drugiego (sin rędu w punktach = nπ, n Z. Cęścią główną rowinięcia Laurenta w nπ jest ( nπ. Suma cęści głównych jest bieżna, więc g( = n Z jest funkcją meromorficną ( nπ cęściami głównym rowinięć Laurenta takimi samymi jak dla funkcji f. Funkcja f g jest atem całkowita i okresowa o okresie π. Weźmy = x + iy, gdie x [, π]. Dla n =,, 3,... mamy nπ = y + (x nπ π(n a dla n =,, 3,... Stąd g( m m nπ n π. nπ + Pierwsy składnik dąży do era pry y,więc m+ (n π. lim g( y (n π m m+ jako resta sumy seregu bieżnego. Z drugiej strony, sin = sin x + sinh y, więc sin ora f( g(, y y jednostajnie e wględu na x [, π]. f g jest więc funkcją całkowitą, ograniconą, atem stałą równą ero. (sin = n Z ( nπ. ( Prykład. Funkcja meromorficna f( = ctg ma bieguny w punktach = nπ cęściami głównymi. Sereg cęści głównych jest robieżny, ale można go renormaliować (opróc n = wielomianami stopnia erowego nπ. nπ Funkcja g( = ctg n Z\{} 3 ( nπ + nπ
jest funkcją całkowitą, a różnickując wyra po wyraie widimy (Prykład, że jej pochodna jest równa ero. Jest to atem funkcja stała w ere równa ero, ctg = + ( nπ +. ( nπ n Z\{}.5. Rokład na cynniki pierwse. Drugi problem Cousina. Niech Ω będie obsarem w C i (a i ciągiem różnych punktów w Ω, be punktu skupienia w Ω. Niech (p i będie ciągiem licb naturalnych. Drugi problem Cousina: cy istnieje funkcja holomorficna w Ω taka, że w punktach a i (i tylko tam ma era krotności p i. Poytywną odpowiedź daje twierdenie Weierstrassa, ale najpierw trochę o ilocynach nieskońconych..6. Ilocyny nieskońcone. Ilocyn nieskońcony n= ( + c n naywamy bieżnym, jeżeli wsystkie jego cynniki są różne od era i ciąg ilocynów cęściowych P n = n k= ( + c k jest bieżny do granicy P. Pisemy P = n= ( + c n. Stwierdenie. Ilocyn n= ( + c n jest bieżny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki dobór gałęi logarytmu, że sereg n= log( + c n jest bieżny. Dowód: Jeżeli sereg n= log( + c n jest bieżny do S, to ciąg exp( n k= log( + c k = n k= ( + c k jest bieżny do e S. Jeżeli ilocyn nieskońcony jest bieżny, to P n = n k= ( + c k P i możemy wybrać (i wybieramy gałąź logarytmu tak, by log P n był bieżny do log P. Kładiemy log(+c = log P, gałąź log(+c dobieramy tak, by log(+c +log(+c = log P i.t.d. Dostajemy n k= log( + c k = log P n n log P. Ze stwierdenia wynika, że warynkiem koniecnym bieżności ilocynu jest bieżność do era ciągu (c n. Jeżeli c n, to dla dużych n mamy sacowanie log( + c n c n. Istotnie, niech w. Z definicji logarytmu (jesteśmy na gałęi głównej logarytmu log( + w = +w ζ dζ = w + tw dt i stąd log( + w w dt w. w Zatem e bieżności seregu n= c n wynika bieżność bewględna seregu n= log(+ c n..7. Dowód twierdenia Weierstrassa. Dowód: Z twierdenia Mittag-Lefflera istnieje funkcja meromorficna h M(Ω taka, że w a i ma biegun pierwsego rędu residuum p i. Definiujemy nową funkcję H( = h(ζdζ, gdie droga całkowania łący ustalony punkt. Funkcja H jest niejednonacną funkcją, holomorficną poa (a i. Ponieważ residua funkcji h w punktach (a i są licbami naturalnymi, wartości H( na różnych gałęiach różnią się o wielokrotność πi. Zatem funkcja f( = e H( jest jednonacną funkcją holomorficną poa (a i i jest tam różna od era. 4
Co się dieje w punkcie a i? Mamy w otoceniu a i, h( = p i a i + g i (, gdie g i jest holomorficna w otoceniu a i. Całka więc p i ζ a i dζ = p i (log( a i log( a i = p i log a i a i, f( = exp(p i log a i a i exp G i ( = ( a i p i ( a i p i exp G i(, gdie G i ( = g(. Funkcja ( a i p exp G i( jest różna od era w a i i i holomorficna w otoceniu a i, więc f ma w a i ero rędu p i. Niech Ω = C. Konstruując h jak w dowodie twierdenia Mittag-Lefflera mamy h( = i Onacając pre R i całkę W i warunkiem R i ( =, mamy f( = ( pi W i (. (3 a i (( ai i= a i pi e Ri(. (4 Wniosek 3. Każda funkcja meromorficna f M(C jest iloraem funkcji całkowitych. Dowód: Niech (b i będą biegunami funkcji f a (q i ich rędami. Z twierdenia Weierstrassa istnieje funkcja całkowita h erami rędu q i w b i. Funkcja g = fh jest funkcją całkowitą, atem f = g jest iloraem funkcji całkowitych. h Wniosek 4. Niech Ω będie obsarem w C. Istnieje funkcja f A(Ω nie mająca predłużenia analitycnego poa Ω. Dowód: Wybiermy ciąg a i Ω taki, by nie miał on punktów skupienia w Ω, ale żeby każdy punkt bregu Ω był jego punktem skupienia. Z twierdenia Weierstrassa istnieje funkcja holomorficna w Ω erami w punktach a i. Gdyby funkcja f miała predłużenie analitycne f, to pewien punkt b Ω byłby w diedinie holomorficności f. Punkt ten byłby też punktem skupienia er f, atem f byłaby równa tożsamościowo eru. Jeżeli f A(Ω nia ma predłużenia holomorficnego poa Ω, to mówimy że Ω jest obsarem holomorficności funkcji f. Ostatni wniosek można więc sformułować tak: każdy obsar w C jest obsarem holomorficności pewnej funkcji..8. Prykład. Funkcja f( = sin jest funkcją całkowitą erami w a n = nπ, n Z \ {} i każde ero ma krotność jeden. Jak w dowodie twierdenia Weierstrassa konstruujemy ( funkcję całkowitą g( erami jak w funkcji f. W rokładie (4 wybiermy =, więc pn an =. W ilocynie (4 występuje też + a n nπ nπ, więc g( = (( n= 5 (nπ e R n(.
Sereg (nπ jest bieżny bewględnie, więc można pryjąć R n =. Zatem f( = e h( g( = e h( n= ( (nπ, (5 : gdie h jest funkcją całkowitą. Weźmy pochodne logarytmicne stron równości (5 : ale rokładu ( ( d sin d log = ctg = h ( + (nπ, (6 ctg = n Z\{} ( nπ + = nπ (nπ (7, więc porównując (6 i (7 dostajemy h =. Ale f( = = e h (, więc h =. Ostatecnie 3. Funkcja gamma Eulera. Ropatrmy całkę Dla = x + iy mamy Γ( = sin = ( n= e t t dt = (nπ t = e ( log t = e iy log t e x log t = e iy log t t x,. (8 e t t dt. (9 więc całka jest bieżna niemal jednostajnie na obsare x >. Z różnickowaniem możemy wejść pod nak całki, więc Γ jest w obsare x > holomorficna. Całkując pre cęści dostajemy, dla x >, Γ( + = e t t = e t t + e t t dt = Γ(, ( Relacja Γ( = Γ( + powala definiować Γ w obsare x >, i, indukcyjnie, w C\{,,,... }. Otrymana funkcja jest holomorficna, więc jest jedynym predłużeniem analitycnym Φ obsaru x >. Pry okaji, Γ( = e t dt =, Γ( = Γ( =, Γ(3 = Γ( =,..., Γ(n = (n! co powoduje, że funkcja Γ, wana funkcją gamma Eulera, bywa uważana a uogólnienie silni. Jaką osobliwość ma Γ w k? Prybliżając funkcję wykładnicą wielomianami na odcinku [, ] mamy, pry Re > Γ( = = e t t dt + e t t dt ( n e t ( k t k t dt + 6 ( n ( k t k t dt + e t t dt.
Ostatnia całka adaje funkcję całkowitą, pierwsa funkcję holomorficną w obsare x > n, a środkowa jest rosereniem ( n ( k n t k t ( k dt = + k. Zatem Γ ma tam takie same osobliwości jak n ( k + k, cyli bieguny pierwsego rędu residuum ( k w k. Prechodąc do granicy n dostajemy, że Γ jest funkcją meromorficną na C biegunami pierwsego rędu w,,,... i Res k Γ = ( k. W obsare < x < funkcja Γ ma repreentację całkową, analogicną do (9: Γ( = Γ(+ = e t t dt = (e t t i ogólniej, w obsare n < x < n, ( Γ( = 3.. Tożsamości dla funkcji gamma. e t + n ( k t dt. Stwierdenie. Dla Re v > i Re u > mamy tożsamość Γ(uΓ(v Γ(u + v = e t t dt = (e t t dt t u ( t v dt. ( Dowód: Korystając drugiej całki w definicji (9 mamy, używając współrędnych biegunowych, Γ(uΓ(v = 4 = 4 = Γ(u + v = Γ(u + v e t t u dt e r r u+v dr π e s s v ds π (cos ϕ u (sin ϕ v dϕ (cos ϕ u (sin ϕ v dϕ pry cym ostatnią równość dostaliśmy podstawiając t = cos ϕ. Stwierdenie 3. Zachodi tożsamość Γ(Γ( = t u ( t v dt, ( π sin(π, w scególności Γ( = π. (3 Dowód: Wystarcy wykaać pierwsą równość na obsare > Re >. Z popredniego stwierdenia, mamy w tym obsare równość ( t Γ(Γ( = Γ( t ( t dt = Γ( t t dt. 7
Całką po prawej stronie może być oblicona ( metodą standardową (kontur diurki od kluca. Jeżeli na górnej kładce mamy pry wybore gałęi głównej logarytmu, to t ( t ( t t na dolnej mamy e πi, a granica pry t jest równa e πi. Granica funkcji podcałkowej w jest równa eru, więc jej residuum w jest równe granicy t t funkcji wymnożonej pre t, atem jest równe e πi. Stąd ( e πi t ( t dt = πie πi, cyli t ( t dt = π sin(π. Stwierdenie 4 (Wór Legendre a o podwajaniu. Dowód: Ze Stwierdenia Γ(Γ( Γ( = Γ(Γ( + = πγ(. (4 Podstawiamy s = 4t( t i otrymujemy Γ(Γ( Γ( t ( t dt = = a stąd dowodony wór, bo Γ( = π. t ( t dt. s ( s ds = Γ(Γ( Γ( + Funkcja gamma nie ma er, więc jej odwrotność jest funkcją całkowitą erami pierwsego rędu w,,,.... Można więc (Twierdenie Weierstrassa, wór (4 predstawić Γ w postaci ilocynu e g( n= ( + n exp( n. Okauje się, że funkcja g jest funkcją liniową. Stwierdenie 5 (Wór Weierstrassa. gdie 4. Funkcje i całki eliptycne. Γ( = eγ γ = lim n ( + n exp( n, n= ( n k= k log n. 4.. Okresy funkcji espolonej. Funkcję f na C naywamy okresową o okresie ω C, jeżeli f( + ω = f( dla każdego. Jeżeli ω jest okresem, to wielokrotność ω też jest okresem. Ogólniej: kombinacja liniowa okresów, o współcynnikach całkowitych, też jest okresem. Z kolei suma, ilora, ilocyn i pochodna funkcji o okresie ω są też funkcjami o okresie ω. Funkcja wykładnica i pochodące od niej funkcje trygonometrycne, hiperbolicne są prykładami holomorficnych funkcji okresowych na C. Uwaga! W dalsym ciągu słowo funkcja onacać będie funkcją holomorficną iolowanymi punktami osobliwymi. 8
Stwierdenie 6. Jeżeli okresy funkcji f mają punkt skupienia, to f jest funkcją stałą. Dowód: Jeżeli ω n są okresami f i ω n ω, to ω też jest okresem f: f( + ω = lim n f( + ω n = f(, więc ero też jest punktem skupienia okresów ω n ω. Pryjmijmy atem, że ω n. Jeżeli jest punktem regularnym, to funkcja f( f( jest równa ero na ciągu + ω n. Zera tej funkcji mają punkt skupienia, więc funkcja jest równa ero. Okres ω funkcji f naywamy fundamentalnym jeżeli każdy okres f jest wielokrotnością ω lub ω. Funkcje posiadające okres fundamentalny naywamy jednookresowymi. Prykładem funkcji jednookresowej jest funkcja wykładnica. Układ okresów (ω,..., ω n funkcji f naywamy fundamentalnym, jeżeli ( każdy okres funkcji f jest całkowitolicbową kombinacją (ω,..., ω n, ( układ ten jest minimalny, to nacy żaden właściwy pobiór (ω,..., ω n nie spełnia warunku (. Wybór okresów fundamentalnych nie jest jednonacny. Dla funkcji jednookresowej, jeżeli ω jest okresem fundamentalnym, to również ω jest okresem fundamentalnym. Z kolei, jeżeli para (ω, ω jest fundamentalnym układem okresów, to jest nim również para (aω+bω, cω+ dω, gdie a, b, c, d są licbami całkowitymi i ad bc = ±. Twierdenie 3 (Jacobiego. Warunkiem koniecnym, by układ (ω,..., ω n był fundamentalnym układem ukresów jest ( n = lub n =, ( dla n = ilora ω ω nie jest licbą recywistą. Dowód: Niech P C będie biorem okresów funkcji f i niech ω P. Wielokrotności ω leżą na pewnej prostej L i mamy dwie możliwości: ( wsystkie okresy funkcji f leżą na prostej L, ( nie wsystkie okresy funkcji f leżą na prostej L. W pierwsym prypadku wsystkie okresy są postaci tω, gdie t R. Ponieważ okresy nie mają punktu skupienia, istnieje okres o najmniejsym module. Możemy pryjąć, że ω jest takim okresem, cyli t. Prypuśćmy, że (m + rω, gdie m jest licbą całkowitą i r <, jest okresem. Zatem okresem jest też (m + rω mω = rω. Ale rω < ω, więc r =. w jest jedynym okresem fundamentalnym, funkcja jest jednookresowa. Niech tera ω, ω będą okresami i ω / L. W trójkącie o wierchołkach w, ω, ω mamy skońconą licbę okresów. Jeżeli są to tylko w i w, to tworą one fundamentalny układ okresów. Niech więc ω będie różnym od ω, ω okresem. Możemy pryjąć, że ω L (w preciwnym raie amieniami rolami ω i w. W trójkącie, ω, ω mamy mniej okresów niż w trójkącie, ω, ω. Powtaramy powyżsą procedurę dla trójkąta, ω, ω itd. Po skońconej licbie kroków dostajemy trójkąt, w którym jedynymi okresami są wierchołki. Tworą one fundamentalny układ okresów. Funkcje nietrywialnym okresem mogą więc być albo jednookresowe albo dwuokresowe. Meromorficne funkcje dwuokresowe naywane są funkcjami eliptycnymi. Funkcja dwuokresowa jest wynacona jednonacnie pre swoje wartości w dowolnym równoległoboku okresowym, tj. równoległoboku postaci Twierdenie 4 (Liouville a. ( Funkcja eliptycna ma bieguny. { : = + tω + sω, s, t < }. 9
( Funkcja eliptycna ma era. (3 Niech f będie funkcją eliptycną i D domknięciem jej równoległoboku okresowego, be biegunów na D. Wówcas fd =. D (4 W każdym równoległoboku okresowym licba er (liconych krotnościami jest równa licbie biegunów (liconych krotnościami. (5 Suma residuów funkcji eliptycnej w dowolnym równoległoboku okresowym jest równa ero. (6 Niech f ma w punkcie rąd m, tn. m jest rędem era (bieguna w punkcie. Wówcas m P, gdie sumowanie jest po punktach równoległoboku okresowego. Dowód: ( Dwuokresowa funkcja całkowita jest ogranicona, więc stała. ( Odwrotność funkcji eliptycnej jest funkcją eliptycną, więc ma bieguny. (3 Z okresowości f całki po preciwległych bokach erują się. (4 Wybiermy równoległobok okresowy D tak, by na jego bregu nie było er i biegunów. Z woru na licbę er i biegunów, w obsare D πi(n N p = f f d, ale funkcja f jest też eliptycna o okresach takich jak f, więc na mocy poprednigo f punktu całka jest równa ero. (5 Całka fd po D jest, jednej strony, równa ero, a drugiej strony sumie residuów w D. (6 Zauwąmy, że funkcja f ma bieguny pierwsego rędu tam, gdie f ma era i bieguny f i residuum w jest równe m.zatem m = f πi f d, ale okresowości f +ω f +ω+ω f d f d = ω +ω f D +ω f f d = ω +ω d log f = πikω, gdie k jest licbą całkowitą, bo f( = f( + ω, więc wartości logarytmu różnią się o wielokrotność πi. Podobnie mamy dla drugiej pary boków równoległoboku i stąd tea. Z punktu (3 wynika natychmiast, że w obsare D nie może być pojedyńcego bieguna rędu pierwsego. Licba biegunów, licona rędami, musi być więksa od. 4.. Pryklady funkcji eliptycnych. Niech ω, ω będą takie, że ω nie jest licbą recywistą. Onacmy pre P biór wsystkich całkowitolicbowych kombinacji ω i ω. Funkcja ω Weierstrassa definiowana jest worem ( = + w P ( ( w w. (5 Stwierdenie 7. Funkcja Weierstrassa jest funkcją eliptycną fundamentalnym układem okresów (ω, ω.
Dowód: Mamy dla w > nierówność w w w i stąd ( w w = (w w ( w 4 ( + w w 4 w 3. Sereg w P w jest bieżny. Istotnie, ponieważ, ω, ω nie są współliniowe, to istnieje 3 a > takie, że nω+n ω a( n + n dla wsystkich n, n. Par (n, n takich, że n + n = m jest 4m, więc 4a 3 n <. w 3 w P Zatem sereg (5 jest bieżny bewględnie i niemal jednostajnie e wględu na. Funkcja jest dobre określona i, jak łatwo auważyć, parysta: ( = (. Poostaje wykaać jej okresowość. Mamy ( = 3 w P ( w 3 = w P ( w 3, a suma po prawej stronie jest ocywiście funkcją dwuokresową okresami ω, ω. Zatem ( + ω ( ora ( + ω ( są równe ero, cyli funkcje ( + ω π( i ( + ω ( są stałe. Z parystości pierwsa funkcja w ω ω, a druga w pryjmują wartość ero.