3. Zapas stabilności układów regulacji 3.1. Wprowadzenie

Transkrypt

1 3. Zapas stabilności układów regulacji 3.. Wprowadenie Dla scharakteryowania apasu stabilności roważymy stabilny układ regulacji o nanym schemacie blokowym: Ws () Gs () Ys () Hs () Rys. 3.. Schemat blokowy układu regulacji

2 Niech funkcja prejścia układu amkniętego pryjmie postać (3 warianty): G (s) T G (s) (T G (s) (T s Ku Ku s ) Ku s )(T T s s ) pry cym T T Z tych funkcji prejścia wynikają charakterystyki: ) Char. oscylacyjna o dużym preregulowaniu i dużym casie regulacji, ) Char. oscylacyjna o małym preregulowaniu i małym casie regulacji, 3) Char. inercyjna o małym casie regulacji, 4) Char. inercyjna o dużym casie regulacji.

3 w A w 0 t y K u A w t Rys. 3.. Charakterystyki casowe ukł. dla skokowego sygnału wymusającego 3

4 Z pokaanych charakterystyk wynika, że nie wsystkie układy regulacji nadają się do praktycnego wykorystania, mianowicie:. Nadaje się układ o charakterystyce lub 3, mówimy, że ma on właściwy apas stabilności.. Nie nadaje się układ o charakterystyce, który ma a mały apas stabilności. 3. Nie nadaje się układ o charakterystyce 4, który ma a duży apas stabilności. 4

5 Wyróżniamy try podstawowe miary apasu stabilności: ) Licba tłumienia dominujących pierwiastków espolonych równania charakterystycnego, ) Zapas wmocnienia i fay w układie otwartym, 3) Amplituda reonansowa układu amkniętego. 5

6 3.. Licba tłumienia dominujących pierwiastków espolonych RCH Wartość kąta Prediał licby tłumienia 0,8 0,4 Preregulowanie 5.4%.5% 6

7 Tabela 3. Zależność preregulowania charakterystyki skokowej od licby tłumienia cłonu drugiego rędu,% Gdy preregulowanie będie niedopuscalne, stosujemy dominujący podwójny pierwiastek recywisty, który powoduje, że: 7

8 3.3. Zapas wmocnienia i fay w układie otwartym Zapas stabilności wyrażamy a pomocą charakterystyk: amplitudowo-faowej, logarytmicnych amplitudowej i faowej, wykresu Blacka (Nicholsa). 8

9 3.3.. Zastosowanie charakterystyki amplitudowo-faowej a π jimh ( j ω ) G ( j ω ) - ReH ( j ω ) G ( j ω ) ω π γ ω φ r = φ ω Rys Fragment charakterystyki amplitudowo-faowej 9

10 Dla pulsacji H(j )G(j ) Kd Z rysunku 3.3 a K d Więc apas wmocnienia K d a K d K d K d dla układów stabilnych, dla układów na granicy stabilności, dla układów niestabilnych, cyli 0 K d. 0

11 Zapas fay (margines faowy) definiowany jest worem 80 pry cym: dla układów stabilnych, dla układów na granicy stabilności, dla układów niestabilnych.

12 W praktyce stosuje się wartości: Kd Zapas fay ma nacenie decydujące, natomiast apas wmocnienia drugorędne.

13 Prykład 3. Za pomocą charakterystyki amplitudowo faowej badać apas stabilności układu regulacji opisanego funkcją prejścia H(s)G(s) s(t s KK )(T s ) dla: KK T T 0.80, 0 [s], [s]. 3

14 Rowiąanie Funkcję prejścia w układie otwartym apisujemy w postaci H(s)G(s) l(s) m(s) gdie: l(s) = KK = 0.8, m(s) = s(t s+)(t s+) = s(0s+)(s+) = a(s)b(s)c(s), a(s) = s, b(s) = 0s+, c(s) = s+. 4

15 W konwencji Matlaba apisemy l = [0.8]; a = [,0]; b = [0,]; c = [,]; m = conv(conv(a,b),c); Następnie wydajemy polecenia można określić akresu pulsacji om=0.5:0.0:5; wykreślenie charakterystyki amplitudowo-faowej: nyquist(l,m,om) 5

16 W celu wynacenia apasu fay (opróc charakterystyki nyquista) należy wykreślić okrąg jednostkowy o środku w pocątku układu współrędnych: hold on w = linspace(0,*pi,800); x = cos(w); y = sin(w); plot(x,y) Następnie korystając funkcji ginput odcytujemy współrędne (x i y) punktu precięcia charakterystyki okręgiem: [x,y] = ginput (); Odcytane współrędne x i y wykorystujemy do oblicenia apasu fay : gama = atand(y/x) 6

17 Wynik diałania poleceń jest następujący: 7

18 Podobnie wynacamy apas stabilności modułu K (odcytujemy współrędną recywistą punktu precięcia charakterystyki osią recywistą): [ ] Rys Charakterystyka amplitudowo faowa w układie otwartym 8

19 Otrymujemy wyniki: K d , Porównując wynik aleceniami projektowymi stwierdamy, że apas wmocnienia i apas fay są a małe. 9

20 3.3.. Zastosowanie charakterystyk logarytmicnych - amplitudowej i faowej Lm H( jω) G( jω) ω φ ω π ΔLm= K 0lg d lg ω ( ω) φ ω φ ω π lg ω ( ω) -π γ Rys Charakterystyki logarytmicne w otoceniu granicy stabilności 0

21 Stosowane wartości apasu wmocnienia i fay: 6dB Lm db Ocywiście achodą ależności: Lm 0 i 0 dla układów stabilnych, Lm 0 i 0 dla układów na granicy stabilności, Lm 0 i 0 dla układów niestabilnych.

22 Prykład 3. Za pomocą charakterystyk logarytmicnych amplitudowej i faowej badać apas stabilności układu opisanego funkcją prejścia H(s)G(s) (T s KK )(T s )(T 3 s ) dla danych: KK T T T , s, s, s.

23 Rowiąanie Funkcję prejścia w układie otwartym apisujemy w postaci H(s)G(s) l(s) m(s) gdie: l(s) = KK = 3, m(s) = (T s+)(t s+)(t 3 s+) = (0.50s+)(0.0s+)(0.05s+), a(s) = 0.50s+, b(s) = 0.0s+, c(s) = 0.05s+. 3

24 W konwencji Matlaba apisemy następująco l=[3.0]; a=[0.50,]; b=[0.0,]; c=[0.05,]; m=conv(conv(a,b),c); Polecenia tworące wykres Określenie akresu pulsacji om=:0.0:00; Charakterystyki logarytmicne amplitudowa i faowa bode(l,m,om) 4

25 Lm H ( j ω ) G ( j ω ) [db] lg ω ( ω)[/s] Rys Charakterystyki logarytmicne lg ω ( ω)[/s] 5

26 Z charakterystyk odcytano: Lm 6.8dB 78 Lm 0lg (Kd) Stąd można oblicyć apas modułu (bewymiarowy): K d = 0 Lm 0 6

27 margin - funkcja Matlaba, która powala wynacyć apasy stabilności, jeżeli nana jest transmitancja otwartego układu regulacji: Funkcja Matlaba: gdie: [Kd,gamma,omega_pi,omega_fi]=margin(l,m) Kd apas modułu (bewymiarowy) gamma apas fay [] omega_pi - cęstotliwość, dla której faa = -[/s], omega_fi cęstotliwość, dla której moduł = 0 [/s]. 7

28 Uproscenie apisu funkcji prejścia układu amkniętego Układy regulacji projektowane według apasu wmocnienia i fay mają dominujące pierwiastki espolone w równaniu charakterystycnym. Można więc astosować apis uproscony G (s) T s Ku T s Wmocnienie K u można wynacyć e woru (.7) lub (.8). 8

29 Dla naleienia poostałych współcynników można posłużyć się wynikami badania cłonu oscylacyjnego drugiego rędu Tabela 3.. Zależność apasu fay i preregulowania od licby tłumienia cłonu drugiego rędu,,% Stała casowa T pry ałożeniu r T - 9

30 3.4. Amplituda reonansowa układu amkniętego Określenie parametrów reonansowych G (s) Uproscony apis funkcji prejścia T s T s W apisie widmowym G (j ) - T j T Moduł licby espolonej G (j ) M - T 4 T 30

31 M M r ζ ζ 0 ω r ω Rys Charakterystyki amplitudowo cęstotliwościowe dla różnych licb tłumienia, pry cym ζ < ζ 3

32 Amplitudą reonansową naywamy maksymalną wartość modułu transmitancji widmowej układu amkniętego. Pulsacją reonansową naywamy pulsację odpowiadającą amplitudie reonansowej. 3

33 Pulsację reonansową najdujemy warunku ekstremum Wtedy Amplituda reonansowa występuje, gdy dm d r 0 - T Amplituda reonansowa wynosi M r - Najcęściej pryjmuje się. Mr.5 33

34 3.4.. Uproscenie apisu funkcji prejścia układu amkniętego Układy regulacji projektowane według amplitudy reonansowej mają dominujące pierwiastki espolone w równaniu charakterystycnym. Można więc astosować apis uproscony G (s) T s Ku T s Wmocnienie K u można wynacyć e woru (.7) lub (.8). 34

35 Dla naleienia poostałych współcynników można posłużyć się wynikami badania cłonu oscylacyjnego drugiego rędu. Tabela 3.3. Zależność amplitudy reonansowej i preregulowania od licby tłumienia cłonu drugiego rędu M r ,% Stała casowa T T - r 35

36 Wynacanie parametrów reonansowych układu amkniętego na podstawie charakterystyk w układie otwartym W () s H( s) G( s) Ys () Rys Schemat blokowy układu prekstałcony do postaci jednostkowym sprężeniem wrotnym Zastępcy sygnał wejściowy W (s) W(s) H(s) Funkcja prejścia układu amkniętego G (s) H(s)G(s) H(s)G(s) 36

37 Transmitancja widmowa układu amkniętego Postać algebraicna transmitancji widmowej układu otwartego, gdie: G (j ) H(j )G(j ) x( ),y( ) H(j )G(j ) H(j )G(j ) x( ) jy( ) - cęść recywista i urojona Wtedy G (j ) x( ) x( ) jy( ) jy( ) Moduł transmitancji M G (j ) ( ) y ( ) widmowej x( ) y ( ) x 37

38 Zakładając, że M jest parametrem otrymujemy po rowikłaniu następujący wór Dla M x( ) - M - M y ( ) M - M Jest to równanie okręgu o następujących parametrach (współrędne środka i promień): M - x y M M 0 rm M M - M 38

39 Zakładając, że M jest parametrem otrymujemy po rowikłaniu następujący wór Dla M x( ) - Jest to równanie prostej pionowej. 39

40 40 M Dla M M ) ( y M M ) x( Jest to równanie okręgu o następujących parametrach (współrędne środka i promień): M M x M 0 y M M M r M Zakładając, że M jest parametrem otrymujemy po rowikłaniu następujący wór

41 y M= M=0 M=0 M=0.0 M=6.3 - / - x M=0.6 M=4.0 M=0.5 M =.5 M=0.40 M=.6 M= M=0.63 Rys Nomogram Halla (krywe M lub linie stałych wartości modułu) 4

42 jy M=0 M=0.0 - S / - M=0.5 x M=0.6 M=.5 M=0.40 M=.6 M= M=0.63 Rys Wynacenie parametrów reonansowych układu amkniętego 4

43 Dla naleienia parametrów reonansowych układu amkniętego na podstawie charakterystyki amplitudowo-faowej w układie otwartym wykonujemy następujące operacje:. Na nomogram Halla nanosimy charakterystykę amplitudowofaową w układie otwartym.. Posukujemy okręgu stycnego do charakterystyki. 3. Wartość parametru M, dla której jeden okręgów jest stycny do charakterystyki jest posukiwaną amplitudą reonansową. 4. W punkcie stycności S możemy także naleźć pulsację reonansową. Dla punktu stycności S mamy: Mr M s ora r s 43

44 Wykorystanie nomogramu Halla w projektowaniu układów regulacji W projektowaniu układów regulacji posukuje się najcęściej efektywnego współcynnika wmocnienia regulatora. Zadanie to można rowiąać na dwa sposoby:. Metodą prób i błędów.. Zastosowanie właściwości okręgów M = const. Metoda prób i błędów Metoda polega na naleieniu charakterystyki amplitudowo-faowej w układie otwartym, stycnej o okręgu o adanej amplitudie reonansowej układu amkniętego. W tym celu mienia się efektywny współcynnik wmocnienia regulatora K e i obserwuje położenie charakterystyki amplitudowo-faowej wględem adanego kręgu. 44

45 jy x K e K e K e K e K e K e Pry cym K e < K e < K e Pry cym K e < K e < K e Rys. 3.0a. Ilustracja wpływu wmocnienia na położenie charakterystyki 45

46 Z rys. 3.0a wynikają następujące spostreżenia:. Współcynnik wmocnienia K e jest a mały.. Współcynnik wmocnienia K e jest a duży. 3. Współcynnik wmocnienia K e jest odpowiedni. Zastosowanie właściwości okręgów M = const. Okręgi M = const, budowane dla M > mają następujące właściwości wykorystywane w projektowaniu układów amkniętych na podstawie charakterystyk amplitudowofaowych w układie otwartym: 46

47 M > x M x s jimh( jω) G( jω) ReH( jω) G( jω) r M ψ S Rys. 3.. Ilustracja do opisu właściwości okręgów M = const x s arcsin M 47

48 Tabela 3.4. Wartości dla konstrukcji okręgów M = const M x M r M , M x M r M , M x M r M ,

49 Dla prykładu weźmy pod uwagę skorygowany układ regulacji opisany po otwarciu transmitancją H( s )G( s ) s 0.6K e 5s s G ( s )K G r o ( s ) K s T s KK T s e Dla wynacenia wymaganego wmocnienia K e pryjmujemy następujące wartości projektowe M r I oblicamy arcsin arcsin 5. 4 M.8 r 49

50 jy x Ilustracja wykorystania właściwości o- kręgów M = const 50

51 Następnie wykonujemy cynności:. Zakładamy wstępną wartość wmocnienia K ewstepne KK równą na prykład i wykreślamy charakterystykę amplitudowofaową w układie otwartym.. Wykreślamy prostą pod obliconym kątem 5.4 o. 3. Metodą prób konstruujemy okrąg mający środek na ujemnej osi recywistej i jednoceśnie stycny do charakterystyki i wykreślonej prostej. 4. Odcytujemy odciętą punktu stycności x s = Aby wykreślony okrąg był recywiście okręgiem M r =.8, odcięta punktu stycności powinna wynosić x s = -. Należy więc preskalować wykres, co w konsekwencji prowadi do woru K ewymagane (K ewstepne KK x KK s )