PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Transkrypt

1 Nazwa przedmiotu: Kierunek: Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Analiza zespolona Complex Analysis Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia Liczba godzin/tydzień: 2W E, 2C Semestr: I Liczba punktów: 6 ECTS PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU C1. Zapoznanie studentów z fundamentalnymi pojęciami, zagadnieniami i twierdzeniami (z dowodami) analizy zespolonej dotyczącymi funkcji holomorficznych i meromorficznych jednej zmiennej zespolonej. C2. Wypracowanie umiejętności stosowania wiedzy z zakresu analizy zespolonej do rozwiązywania problemów. C3. Wskazanie licznych, często zaskakujących różnic między funkcjami rzeczywistymi zmiennej rzeczywistej a funkcjami zespolonymi zmiennej zespolonej. WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Wiedza z zakresu analizy matematycznej I-III. 2. Wiedza z zakresu funkcji zespolonych. EFEKTY KSZTAŁCENIA EK 1 - Student definiuje szereg Laurenta i wymienia twierdzenia dotyczące rozwijania funkcji w szereg Laurenta. Student przeprowadza klasyfikację punktów osobliwych odosobnionych, zna twierdzenia charakteryzujące punkty odosobnione. Potrafi określić rodzaj osobliwości. EK 2 - Student definiuje pojęcie residuum funkcji i potrafi zastosować do obliczania całek z funkcji holomorficznych, całek niewłaściwych z funkcji rzeczywistych, całek z funkcji trygonometrycznych EK 3 - Student oblicza transformaty Laplace a funkcji, zna własności przekształcenia Laplace a, potrafi obliczać oryginały, stosuje metodę operatorową do rozwiązania równań różniczkowych. EK 4 - sformułować twierdzenia opisujące rozkład funkcji holomorficznych i meromorficznych. TREŚCI PROGRAMOWE Liczba Forma zajęć WYKŁADY godzin W 1 Powtórzenie funkcje holomorficzne, równania Cauchy-Riemanna. 2 W 2 Punkty zerowe funkcji holomorficznej, krotność punktu zerowego. 2 Szeregi Laurenta, pierścień zbieżności szeregu Laurenta, przykłady. W 3 Twierdzenia o rozwijaniu funkcji w szereg Laurenta. Punkty osobliwe 2 odosobnione-klasyfikacja

2 W 4 Charakteryzacja punktu pozornie osobliwego, bieguna, istotnie osobliwego 2 W 5 Residua funkcji. Twierdzenie całkowe o residuach. Przykłady. 2 Zastosowanie residuów do obliczania całek niewłaściwych z funkcji wymiernych W 6- Obliczanie całek niewłaściwych z zastosowaniem lematu Jordana. Całki z funkcji 2 trygonometrycznych z wykorzystaniem residuów. Całki z funkcji wieloznacznych. W 7 Przekształcenie Laplace a, transformata i oryginał. Własności przekształcenia 2 Laplace a. Różniczkowanie i całkowanie oryginału i transformaty. Wzór Riemanna- Mellina. W 8 Metody wyznaczania oryginałów, przykłady zastosowania metody 2 operatorowej do rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych W9- Zachowanie się funkcji analitycznej w nieskończoności. Pochodna w 2 nieskończoności, residuum w nieskończoności. W 10. Iloczyny nieskończone liczbowe. Własności. Iloczyny funkcyjne. 2 W 11 Rozkład funkcji całkowitej. Twierdzenie Weierstrassa o rozkładzie, przykłady 2 W 12 Rząd funkcji całkowitej. Małe twierdzenie Picarda. 2 W13 Funkcje meromorficzne. Rozkład funkcji meromorficznej na ułamki proste. 2 Twierdzenia Mittag-Lefflera. W 14 Przykłady do twierdzenia Mittag-Lefflera. Funkcja gamma Eulera, funkcja beta 2 Eulera, funkcja zeta Riemanna. W 15 Funkcje okresowe i eliptyczne. Powierzchnie eliptyczne. 2 Forma zajęć - ĆWICZENIA Liczba godzin C 1 Funkcje holomorficzne powtórzenie. Wyznaczanie funkcji holomorficznej, jeśli 2 dana jest jej część rzeczywista lub urojona. C 2 Wyznaczanie punktów zerowych funkcji holomorficznej, krotność punktu zerowego, 2 krotność punktów zerowych iloczynu funkcji holomorficznych C 3 Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta. 2 C 4 Klasyfikacja punktów osobliwych odosobnionych. Określanie rodzaju osobliwości. 2 C 5 Obliczanie residuów funkcji w biegunach i punktach istotnie osobliwych 2 C 6 Twierdzenie całkowe o residuach, zastosowanie do obliczania całek. 2 C 7 Obliczanie całek niewłaściwych z funkcji rzeczywistych z zastosowaniem residuów 2 C 8 - Kolokwium 2 C 9 Całki z funkcji trygonometrycznych 2 C 10,C11 Wyznaczanie transformat Laplace a oraz wyznaczanie oryginałów metodą 4 residuów i metodą rozkładu na ułamki proste. Zastosowanie transformaty Laplace a do rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych C 12 Badanie zachowania się funkcji w nieskończoności, Określanie residuum w 2 nieskończoności. C 13 Badanie zbieżności iloczynów nieskończonych. Badanie bezwzględnej zbieżności 2 iloczynów funkcyjnych. Przykłady do twierdzenia Weierstrassa o rozkładzie C 14 Kolokwium 2 C 15 Przykłady do twierdzenia Mittag-Lefflera. 2 NARZĘDZIA DYDAKTYCZNE 1. wykład w formie prezentacji multimedialnych i z wykorzystaniem tablicy 2. zestawy zadań do samodzielnego rozwiązania 3. ćwiczenia z wykorzystaniem tablicy SPOSOBY OCENY ( F FORMUJĄCA, P PODSUMOWUJĄCA)

3 F1. ocena przygotowania do ćwiczeń F2. ocena aktywności na ćwiczeniach P1. ocena umiejętności zastosowania poznanych definicji i twierdzeń- zaliczenie na P2. ocena umiejętności rozwiązywania postawionych problemów kolokwium P3 Ocena z egzaminu OBCIĄŻENIE PRACĄ STUDENTA Forma aktywności Godziny kontaktowe z prowadzącymi Zapoznanie się ze wskazaną literaturą Przygotowanie do ćwiczeń Przygotowanie do kolokwiów Przygotowanie do egzaminu Obecność na egzaminie Obecność na konsultacjach Suma SUMARYCZNA LICZBA PUNKTÓW ECTS DLA PRZEDMIOTU Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału prowadzącego Średnia liczba godzin na zrealizowanie aktywności 30W 30C 60 h 22 h 30 h 15 h 15 h 3 h 5 h 150 h 6 ECTS 2,7 ECTS Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym, w tym zajęć laboratoryjnych i projektowych 3,6 ECTS LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA 1. Leja F., Funkcje zespolone, PWN, Warszawa 1973, 2. Szabat B.W., Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974, 3. Krzyż J., Ławrynowicz J., Elementy analizy zespolonej, WNT, Warszawa 1981, 4. J. Długosz, Funkcje zespolone, teoria przykłady zadania, OW GiS Wrocław B. Szafnicki, Zadania z funkcji zespolonych, PWN Warszawa Rudin W., Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 1986, 7. Hormander L., Complex analysis in several variables, North-Holland Publishing Company, Amsterdam-London Saks St., Zygmund A., Funkcje analityczne, PWN, Warszawa PROWADZĄCY PRZEDMIOT ( IMIĘ, NAZWISKO, ADRES ) 1. dr Maria Lupa Maria.lupa@im.pcz.pl 2. dr Wiesław Królikowski wiesław.krolikowski@im.pcz.pl MATRYCA REALIZACJI I WERYFIKACJI EFEKTÓW KSZTAŁCENIA Efekt kształcenia EK1 Odniesienie danego efektu do efektów zdefiniowanych dla kierunku Matematyka K_W04 K_U04 Cele przedmiotu Treści programowe W1-W4 C1-C4 Narzędzia dydaktyczne Sposób oceny

4 EK2 EK3 EK 4 K_W01 K_U04 K_W01 K_U03 K_U14 W5-W7 C5-C9 W8-12 C6 C15 W13-W15 II. FORMY OCENY SZCZEGÓŁY Na 2 Na 3 Na 4 Na 5 EK 1 Student nie rozwinąć funkcję w szereg Laurenta, znaleźć pierścień zbieżności szeregu Laurenta. Potrafi określić rodzaje punktów osobliwych znaleźć pierścień zbieżności szeregu Laurenta. Potrafi rozwinąć funkcję w szereg Laurenta w zadanym pierścieniu oraz przy zmianie pierścienia. Potrafi określić rodzaje punktów osobliwych znaleźć pierścień zbieżności szeregu Laurenta. Potrafi rozwinąć funkcję w szereg Laurenta w zadanym pierścieniu oraz przy zmianie pierścienia. Potrafi określić rodzaje punktów osobliwych Student zna wszystkie definicje i twierdzenia podane na wykładzie dotyczące szeregu Laurenta i punktów osobliwych. EK 2 Student nie Student zna pojęcie residuum funkcji, potrafi obliczyć residuum funkcji oraz zastosować do obliczania całek z funkcji holomorficznych, Student poprawnie podaje definicję residuum funkcji, bez kłopotów oblicza residuum funkcji oraz zna i stosuje twierdzenie całkowe o residuach. Potrafi dobrze obliczyć całkę niewłaściwą Student bardzo dobrze zna wszystkie definicje i twierdzenia o residuach funkcji i bez kłopotów potrafi je stosować do rozwiązywania postawionych problemów. Dyskutuje nad sposobami rozwiązania postawionego zadania.

5 EK3 Student nie dostateczną EK4 Student nie Student oblicza transformaty Laplace a funkcji oraz oryginały, stosuje transformatę do rozwiązania prostych równań różniczkowych sformułować twierdzenia opisujące rozkład funkcji holomorficznych i meromorficznych. Student oblicza transformaty Laplace a funkcji, oraz zna metody wyznaczania oryginałów, stosuje transformatę do rozwiązania prostych równań różniczkowych sformułować twierdzenia opisujące najważniejsze własności funkcji holomorficznych i meromorficznych i naszkicować poznane dowody. Student bardzo dobrze zna wszystkie twierdzenia dotyczące transformaty Laplace a, posługuje się własnościami transformat. zna metody wyznaczania oryginałów, stosuje rachunek operatorowy do rozwiazywania równań różniczkowych i całkowych Student bez problemów potrafi sformułować twierdzenia opisujące rozkład funkcji holomorficznych i meromorficznych, potrafi przedstawić poznane dowody dyskutuje nad zastosowaniem tych własności do uzyskania rozkładów pewnych funkcji meromorficznych i holomorficznych. Student zna funkcje gamma beta Eulera, funkcję zeta Riemanna Dopuszcza się wystawienie oceny połówkowej o ile student jący wszystkie efekty kształcenia wymagane do oceny pełnej niektóre efekty kształcenia odpowiadające ocenie wyższej III. INNE PRZYDATNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE 1. Informacja na temat konsultacji przekazywana jest studentom podczas pierwszych zajęć danego z przedmiotu.