Zbgnew Osa ZASTOSOWAIE TEORII GRAFÓW DO AALIZY STABILOŚCI STAÓW STACJOARYCH W SIECIACH REAKCJI EZYMATYCZYCH
2
Zbgnew Osa ZASTOSOWA IE TEORII GRAFÓW DO A ALIZY STABIL OŚCI STA ÓW STACJO AR YCH W SIECIACH REAKCJI E ZYMATYCZ YCH Iwone Janow, mom odzcom pośwęcam 3
Copyght by Zbgnew Osa, 202 Wszele pawa zastzeżone. Rozpowszechnane opowane całośc lub częśc publacj zabonone bez psemnej zgody autoa. Potet autoa zameszczony na oładach pzednej tylnej Raał Pudło Wydawnctwo: Sel Publshng ISB: 978-83-272-363-5 e-mal: zbgnew.osa@lve.com 4
SPIS TREŚCI STRO A TYTUŁOWA STRO A PRAW AUTORSKICH CEL I DZIEDZI A PRACY 9 Rozdzał I: KLASYFIKACJA UKŁADÓW E ZYMATYCZ YCH. Reacje enzymatyczne nomenlatua, założena 0 2. Ułady otwate A. Modele dysetnych dyuzyjnych uładów otwatych B. Równana dynam modelu 2 a. Równana dynam modelu w języu stężenowym 3 b. Równana dynam modelu w języu potencjałów chemcznych 4 3. Ułady zamnęte 6 4. Ułady pseudo-otwate 7 5. Ułady mono- mult-enzymatyczne 7 6. Ułady lnowe nelnowe 7 7. Ułady dzałana mas 7 Rozdzał II: ELEME TY TEORII STABIL OŚCI. Podstawowe oeślena 9 2. Stablność uładów lnowych 20 3. Stablność uładów nelnowych 2 A. Pewsza metoda Lapunowa 2 B. Duga (bezpośedna) metoda Lapunowa 23 4. Watośc własne macezy 24 A. Maceze stablne 24 B. Maceze jaoścowo stablne 25 C. Maceze podobne 26 D. Maceze symetyczne 26 5. Twedzene Tchonowa 26 6. Twedzene Anosowa 30 5
Rozdzał III: IE-GRAFOWE METODY W KI ETYCE REAKCJI E ZYMATYCZ YCH. Asjomatyczne podejśce do nety eacj chemcznych 32 2. Stablność ównowagowych stanów stacjonanych w nelnowych uładach zamnętych 33 3. Lnowe ułady eacj chemcznych twedzene Hyvea 37 4. Metoda lneayzacj Kenea 37 5. Twedzene Kozuchna 39 6. Klasyacja Tysona nestablnośc w secach eacj chemcznych 40 7. Metoda stężeń stacjonanych 4 Rozdzał IV: ELEME TY TEORII GRAFÓW. Gay seowane 43 2. Gay symetyczne 47 3. Gay pzepływu sygnałów 49 A. Reguła Masona 49 B. Własnośc gaów pzepływu sygnałów 52 4. Gay omunalne ** 54 A. Dencja gau omunalnego jego własnośc 54 B. Moologa gaów omunalnych 57 C. Zastosowane gaów omunalnych 60 Rozdzał V: ZASTOSOWA IE TEORII GRAFÓW DO A ALIZY STABIL OŚCI STA ÓW STACJO AR YCH W SIECIACH REAKCJI E ZYMATYCZ YCH JĘZYK STĘŻE IOWY. Klasyacja stanów stacjonanych 6 2. Metoda Hona 6 A. Uposzczone eacje elementane 6 B. Komplesy 62 C. Równana dynam 63 D. Dagam eacj 63 E. Kóte omplesy 64 F. Gay omplesów 64 G. Twedzene Hona 65 H. Klasy zomozmów 66 3. Mono-enzymatyczne lnowe ułady pseudo-otwate * 66 A. Równana dynam 66 B. Stan stacjonany 69 a. Stacjonany ga pzepływu sygnałów 69 b. Ogólna postać ównań szybośc w stane stacjonanym 70 C. Stablność stanu stacjonanego 72 D. Jawna postać ozwązań 73 a. estacjonany ga pzepływu sygnałów 73 b. Odwotne pzeształcene Laplace a 75 6
4. Mult-enzymatyczne lnowe ułady pseudo-otwate * 77 A. Równana dynam 77 B. Stan stacjonany 78 C. Stablność stanu stacjonanego 79 5. Mono- mult-enzymatyczne nelnowe ułady otwate * 79 A. Gay omunalne 79 a. Własnośc macezy omunalnej 79 b. Konstucja gau omunalnego na podstawe ównań stechometycznych 84 c. Zna współczynnów w ównanu chaateystycznym macezy omunalnej wyznaczna Huwtza 2 87 d. Klasyacja Tysona 92 e. Waun wystaczające na to aby stan stacjonany był waunowo nestablny 94. Modele mono-enzymatycznych nelnowych uładów otwatych o nestablnych stanach stacjonanych 99 B. Twedzene Tchonowa 0 C. Gay omplesów 04 a. Własnośc gaów omplesów mono-enzymatycznych nelnowych uładów otwatych 05 b. Gay omplesów a gay omunalne 2 D. Gay Hyvea 2 Rozdzał VI: ZASTOSOWA IE TEORII GRAFÓW DO A ALIZY STABIL OŚCI STA ÓW STACJO AR YCH W SIECIACH REAKCJI E ZYMATYCZ YCH JĘZYK POTE CJAŁÓW CHEMICZ YCH. Elementy temodynam secowej w omalzme gaów powązań 3 A. Wstęp 3 B. Podstawowe założena temodynam secowej 3 C. Welośc opsujące stan uładu 3 D. Dencja gau powązań 4 E. Konwencja znaowa seowany ga powązań 7 2. Gay powązań enzymatycznych nelnowych uładów zamnętych * 7 3. Gay powązań enzymatycznych nelnowych uładów otwatych * 26 A. Konstucja gau powązań 26 B. Gay powązań a gay omunalne 27 C. Klasyacja Tysona 34 Rozdzał VII: W IOSKI KOŃCOWE. Ogólna chaateystya metod gaowych 38 2. Wyn uzysane pzez autoa 38 CYTOWA E PRACE 40 RECE ZJE 50 I DEKS TWIERDZEŃ 55 7
ZBIG IEW OSIAK ZASTOSOWA IE TEORII GRAFÓW DO A ALIZY STABIL OŚCI STA ÓW STACJO AR YCH W SIECIACH REAKCJI E ZYMATYCZ YCH Paca dotosa Aadema Medyczna we Wocławu 978 Pomoto: po. d hab. Stansław Męsz Recenzent : doc. d hab. Konel owa Recenzent 2: doc. d Lucjan Szamołowcz 8
CEL I DZIEDZI A PRACY Równana netyczne w pzypadu sec eacj enzymatycznych są na ogół uładam welu nelnowych ównań óżnczowych. Znalezene ozwązań analtycznych dla tach ównań jest badzo tudne. Suteczną metodą pozwalającą uzysać nomacje o własnoścach ozwązań jest analza stablnośc ozwązań stacjonanych. W pocese analzy stablnośc stanów stacjonanych w secach eacj enzymatycznych stneje wele etapów, w tóych teoa gaów może znaleźć, bądź już znalazła zastosowane. Celem pacy jest:. Opacowane nowych metod ozwązywana netóych zagadneń w pocese analzy stablnośc pzy użycu teo gaów. 2. Uposzczene modyacja znanych metod gaowych dla pzypadu uładów eacj enzymatycznych. 3. Doonane unacj temnolog stosowanej w lteatuze dotyczącej zastosowań teo gaów. 4. Stwozene bazy dla dalszych pac mających na celu znalezene gacznych yteów umożlwających onstucję sec eacj enzymatycznych o zadanych własnoścach (tach ja welootne stablne stany stacjonane, oscylacje, tp.). Tematya pezentowanej pacy leży na poganczu następujących dzedzn:. Knety eacj chemcznych. 2. Temodynam pocesów neodwacalnych. 3. Teo gaów. 4. Teo stablnośc ównań óżnczowych. Obsza omawanych zagadneń wyznaczony jest pzez pzyjęty model uładu, w tóym pzebegają eacje enzymatyczne. Równana dynam tego modelu są uładam ównań óżnczowych zwyczajnych autonomcznych na ogół nelnowych. Z pzebogatej lteatuy dotyczącej badana stablnośc uładów ównań óżnczowych zwyczajnych omówmy tylo te ezultaty, tóe znalazły powszechne zastosowane pzy analze stablnośc stanów stacjonanych w secach eacj chemcznych, a w szczególnośc te, tóe mogą być powązane z teoą gaów. Jeżel chodz o temodynamę pocesów neodwacalnych, to uwagę naszą soncentujemy na temodynamce secowej somułowanej w omalzme gaów powązań. Z zaesu teo gaów wyozystamy główne elementy teo gaów seowanych z obcążonym łuam: gay pzepływu sygnałów, gay omunalne gay powązań. UWAGA Gwazdą * będzemy oznaczać paagay zaweające wyn oygnalne uzysane pzez autoa. Dwoma gwazdam ** będzemy oznaczać paagay zaweające modyacje standadowych metod doonane pzez autoa. 9
Rozdzał I: KLASYFIKACJA UKŁADÓW E ZYMATYCZ YCH. Reacje enzymatyczne nomenlatua, założena Reacje enzymatyczne będzemy zapsywać, stosując w zależnośc od potzeby onwencjonalne ównana stechometyczne, uogólnone ównana stechometyczne [OSTER et al., 973], dagamy bochemczne lub dagamy Clelanda [CLELAD, 963]. ( A) A A+ B B C C ( B) A+ B+ C A+ B+ C A B C A B C RYS.. (A) Konwencjonalne ównane stechometyczne. (B) Uogólnone ównane stechometyczne na pzyładze eacj syntezy substatów A B w podut C. = = = 0, =, =, =. C A B A A B B C C Współczynn stechometyczne współczynn stechometyczny watośc dodatne lub zeo: są ujemne dla substatów dodatne dla podutów. Posty odwotny współczynn stechometyczny pzyjmują 0 poduty 0< = =. (I...) > 0 substaty 0 Pzy czym spełnona jest następująca zależność: =. (I..2.) Pzez mechanzm eacj enzymatycznej będzemy ozumeć olejność w jaej substaty pzyłączają sę do centum atywnego enzymu, sład twozących sę omplesów, oaz olejność w jaej poduty odłączają sę od enzymu. Będzemy stosować opacowane pzez Clelanda [CLE- LAD, 963] nazewnctwo lasyację mechanzmów eacj enzymatycznych. Polse tłumaczene nomenlatuy Clelanda można znaleźć w pacy [ŚLIWOWSKI, 969]. Reagenty boące udzał w eacjach enzymatycznych podzelmy na eagenty enzymatyczne eagenty ne-enzymatyczne. Każda eacja enzymatyczna jest zboem eacj elementanych. Wszyste współczynn stechometyczne dla ażdej eacj elementanej są ówne dla substatów + dla podutów. W zwązu z tym, dalej ównana stechometyczne będzemy zapsywać, pomjając współczynn stechometyczne. Założymy, że w secach ecj enzymatycznych występują tylo eacje elementane pzedstawone na RYS. 3. 0
(A) A + E EA, EA EPQ, EPQ EQ E + Q (B) A E Q EA EQ EPQ P A P Q (C) E EA EPQ EQ E RYS. 2. Reacja enzymatyczna o mechanzme upoządowanym jeden-dwa: (A) Konwencjonalne ównane stechometyczne. (B) Dagam bochemczny. (C) Dagam Clelanda. Reacja elementana azwa pocesu + E E 2 synteza E E2 + E E 2 ozpad zomeyzacja RYS. 3. Reacje elementane o jednostowej stechomet ozpatywane w tej pacy. E, E 2 eagenty enzymatyczne (óżne omy danego enzymu), eagent ne-enzymatyczny. 2. Ułady otwate A. Modele dysetnych dyuzyjnych uładów otwatych Model otwatego uładu dyuzyjnego, tóy jest pzedmotem pzedstawonej pacy należy do lasy dysetnych model uładów, w tóych pzebegają jednocześne dwa pocesy neodwacalne: dyuzja eacje enzymatyczne. W TAB. I pzedstawono schematyczne możlwe modele dla powązań mędzy tym pocesam, jae można utwozyć z tzech elementów sładowych [OSIAK, 978].
2 3 4 5 6 7 8 9 ELEMET UKŁADU REZERWUAR KOMÓRKA MEMBRAA KOMÓRKA REZERWUAR TAB. I. Modele dysetnych dyuzyjnych uładów otwatych. oznaczają elementy sładowe uładu. oznacza, że w danym elemence uładu pzebegają eacje enzymatyczne. Elementam tym są: ezewua, membana omóa. Komóą będzemy nazywać obsza o stosunowo małej objętośc. W modelach, 3, 4, 5, 8 9 dyuzja eacje są zloalzowane w tym samym elemence, tzn. membane. W modelach 2, 6 7 dyuzja eacje są ozłączne pzestzenne. Powązana eacj dyuzj w tych dwu óżnych typach model są jaoścowo óżne. Powązana taego typu ja w modelach, 3, 4, 5, 8 9 noszą w lteatuze nazwę spzężeń eacj dyuzj. Model został omówony z puntu wdzena temodynam secowej w pacy [AUSLADER et al., 972]. B. Równana dynam modelu Model 2, tóy jest pzedmotem pzedstawonej pacy, stanow uład sładający sę z ezewuau oddzelonego membaną od obszau o stosunowo małej objętośc, tóy będzemy nazywać omóą. W ezewuaze znajdują sę eagenty ne-enzymatyczne, tóych stężena (potencjały chemczne) są ustalone. Membana jest pzepuszczalna dla eagentów ne-enzymatycznych, natomast jest nepzepuszczalna dla enzymu jego óżnych om. Reacje enzymatyczne pzebegają tyo w omóce. Założymy, że membana jest badzo cena, oztwoy znajdujące sę w ezewuaze w omóce są dobze wymeszane (jednoodne). Cśnene, tempeatua ph w ozważanym uładze są stałe. Będzemy ozważać dealne oztwoy ozceńczone. Objętość omó pzyjmemy jao stałą. REZERWUAR R..E. KOMÓRKA R..E. R.E. REAKCJE EZYMATYCZE p,v,t = const MEMBRAA RYS. 4. Model otwatego uładu dyuzyjnego. R.E. eagenty enzymatyczne, R..E. eagenty ne-enzymatyczne. 2
Równana dynam ozpatywanego modelu będzemy ozważać w języu stężenowym w języu potencjałów chemcznych. W języu stężenowym zmennym będą stężena, a w języu potencjałów chemcznych potencjały chemczne eagentów boących udzał w eacjach enzymatycznych. Równana dynam modelu w obu języach utwozymy, wyozystując mędzy nnym ównana blansu masy. Zgodne z pzyjętym popzedno założenam ównana blansu masy mają następującą postać: M = R D J J ε J = 0, =,...,, (I.2..) gdze dn J = szybość zman lośc mol -tego sładna w omóce dt R dξ J = szybość -tej eacj elementanej d ξ postęp -tej eacj elementanej n lczba mol -tego sładna w omóce współczynn stechometyczny dla -tego sładna w -tej eacj elementanej D J stumeń dyuzj -tego sładna M lczba eacj elementanych lczba sładnów boących udzał w eacjach eagenty ne - enzymatyczne ε = (I.2.2.) 0 eagenty enzymatyczne a. Równana dynam modelu w języu stężenowym Zgodne z pawem dzałana mas mamy: + n = R J = n, (I.2.3.) = gdze + posta stała szybośc -tej eacj elementanej odwotna stała szybośc -tej eacj elementanej lczba eagentów boących udzał w eacjach posty współczynn stechometyczny dla -tego sładna w -tej eacj elementanej odwotny współczynn stechometyczny dla -tego sładna w -tej eacj elementanej 3
W naszym modelu mamy do czynena tylo z dyuzją substancj pzez ceną membanę. Stężena w ezewuaze są stałe, podczas gdy w omóce ulegają zmane w czase. W tam pzypadu [JAKOBS, 967] zgodne z pawem Fca mamy: J D D es = ( c c ), (I.2.4.) gdze n c = stężene molowe -tego sładna w omóce V V objętość omó c stężene -tego sładna w ezewuaze es D D A = x D stała dyuzj dla -tego sładna A powezchna membany postopadła do eunu dyuzj x gubość membany Podstawając (I.2.4.) (I.2.3) do (I.2.), otzymujemy ostateczne ównana dynam modelu w języu stężenowym: dn dt M = + = n ε D ( c V es n V n ) = = 0. (I.2.5.) Równana (I.2.5.) można zapsać w badzej zwatej ome dn = βn + γln nl + α, (,..., ) dt = = = l=, (I.2.6.) gdze współczynn β, γ l oaz wyaz wolny α są stałe. Równana (I.2.6.) stanową uład ównań óżnczowych zwyczajnych, pewszego zędu, autonomcznych nelnowych. W ównanach tych człon nelnowy jest omą blnową. b. Równana dynam modelu w języu potencjałów chemcznych Poneważ ozważamy dealne oztwoy ozceńczone, potencjał chemczny ażdego -tego sładna dany jest pzez c, (I.2.7.) c o µ = µ + ln 4
gdze µ potencjał chemczny -tego sładna µ potencjał standadowy -tego sładna o c stężene molowe -tego sładna c stężene jednostowe R stała gazowa T tempeatua bezwzględana Mamy węc n µ µ c Vexp = o (I.2.8.) oaz dn dt dn = dµ dµ dt o c V µ µ dµ = exp exp dt. (I.2.9.) Wyozystując ównana (I.2.8.), pawo dzałana mas (I.2.3.) możemy zapsać w postac [OSTER et al., 973]: R A A J = κc V exp exp, (I.2.0.) gdze A + o Ao κ = = exp exp (I.2..) = = o o = µ = A poste pownowactwo standadowe -tej eacj elementanej o o = µ = A odwotne pownowactwo standadowe -tej eacj elementanej = µ = A poste pownowactwo chemczne -tej eacj elementanej 5
= µ = A odwotne pownowactwo chemczne -tej eacj elementanej Pzy czym spełnona jest zależność A A = A, (I.2.2.) gdze = µ = A pownowactwo chemczne -tej eacj elementanej Uwzględnając (I.2.8.), pawo Fca (I.2.4.) pzyjmuje postać: o es D D µ µ µ J = c exp exp exp, (I.2.3.) gdze es µ, µ potencjał -tego sładna odpowedno w ezewuaze w omóce Podstawając (I.2.9.), (I.2.0.) (I.2.3.) do (I.2..), otzymujemy ównana dynam modelu w języu potencjałów chemcznych: ε o µ µ dµ exp exp dt κ exp µ exp M = = = µ D o es µ µ µ exp exp exp = 0 V. (I.2.4.) 3. Ułady zamnęte Rozpatzmy zamnęty uład sładający sę z omó o stałej objętośc, w tóej pzebegają eacje enzymatyczne. Załadamy, że oztwó eacyjny jest dobze wymeszany. Cśnene tempeatua w ozważanym uładze są stałe. Będzemy ozważać dealne oztwoy ozceńczone. Równana blansu masy dla tego uładu otzymujemy, ładąc w (I.2..) ε = 0 dla =,...,. M dx R = J, (=,..., ) dt = (I.3..) 6
4. Ułady pseudo-otwate Uładem pseudo-otwatym będzemy nazywać uład oeślony dentyczne ja uład zamnęty. Pzy czym założymy ponadto, że stężena wszystch eagentów ne-enzymatycznych są stałe w czase, ne pecyzując mechanzmu powodującego stałość tych stężeń. Równana blansu masy dla uładu pseudo-otwatego pzyjmują postać dx = dt x M = = const, J R = 0, (=,..., (= ) +,..., ), (I.4..) gdze lczba eagentów ( ) lczba eagentów, tóych stężena są stałe w czase 5. Ułady mono- mult-enzymatyczne Mono-enzymatycznym uładem będzemy nazywać uład, w tóym pzebegają eacje atalzowane pzez tylo jeden enzym. Mult-enzymatycznym uładem będzemy nazywać uład, w tóym pzebegają eacje atalzowane pzez węcej nż jeden enzym. 6. Ułady lnowe nelnowe Lnowym uładam będzemy nazywać ułady, tóych ównana dynam są uładam lnowych ównań óżnczowych zwyczajnych o stałych współczynnach. elnowym uładam będzemy nazywal ułady, tóych ównana dynam są uładam nelnowych ównań óżnczowych zwyczajnych. 7. Ułady dzałana mas Omawane w tej pacy ułady otwate, zamnęte pseudo-otwate należą do lasy tzw. uładów dzałana mas [HOR & JACKSO, 972]. Uładem dzałana mas będzemy nazywać uład spełnający następujące założena:. W omóce pzebega sończona lczba eacj elementanych z szyboścam danym pzez wyażena typu pawa dzałana mas. 2. Tempeatua oztwou eacyjnego jest stała, ta że szybośc eacj mogą być ozpatywane jao uncje tylo stężeń sładnów oztwou. 3. Objętość omó (oztwou eacyjnego) jest stała w czase. 4. W ażdej chwl czasu sład oztwou eacyjnego (stężena eagentów) jest nezależny od położena. 5. Wymana masy pomędzy oztwoem eacyjnym jego otoczenem może być omalne opsana w następujący sposób: Istneją dwa odzaje eagentów, tóe będzemy nazywać sład- 7
nam sładnam zewnętznym. Roztwó eacyjny jest zamnęty dla sładnów, a sładn zewnętzne są dostaczane do lub usuwane z oztwou w ta sposób, że ch stężena są stałe w czase. Wele otwatych uładów, tóe ne spełnają (w dosłownym sense) powyższych założeń można epezentować pzez modelowe ułady, dla tóych założena te są spełnone. I ta na pzyład omawane pzez nas otwate ułady dyuzyjne można zmodelować odpowednm uładem dzałana mas. Dyuzja (pzenane pzez błonę oddzelającą ezewua od omó) sładnów ne-enzymatycznych zostane zmodelowana eacjam elementanym postac es D, D gdze es będzemy tatować jao hpotetyczny sładn zewnętzny, tóego stężene jest ustalone ówne stężenu -tego eagenta ne-enzymatycznego w ezewuaze. a RYS. 5 pzedstawona jest w schematyczny sposób lasyacja uładów enzymatycznych pzyjęta w tej pacy. UKŁADY OTWAE ZAMKIĘTE PSEUDO-OTWAE LIIOWE IELIIOWE MOO- EZYMATYCZE MULTI- EZYMATYCZE RYS. 5. Ogólna lasyacja uładów enzymatycznych. 8