Zaawansowane metody numeryczne

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zaawansowane metody numeryczne"

Bogusław Stefaniak
5 lat temu
Przeglądów:

1 Wykład 9. jej modyfkacje. Oznaczena Będzemy rozpatrywać zagadnene rozwązana następującego układu n równań lnowych z n newadomym x 1... x n : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n.

2 Oznaczena Układ równań lnowych można też zapsać w postac macerzowej w następujący sposób: Ax = b gdze: A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n x = x 1 x 2. b = b 1 b 2.. a n1 a n2... a nn x n b n Macerze A x b będzemy nazywal odpowedno macerzą główną układu wektorem newadomych wektorem wyrazów wolnych. Układy równań z macerzą trójkątną Fakt 9.1. Jeżel w układze równań lnowych macerz główna jest macerzą trójkątną górną (a = 0 dla > j) oraz jeżel wszystke elementy na głównej dagonal tej macerzy są nezerowe (a 0) to stneje jednoznaczne rozwązane tego układu równań jest ono określone nastepującym wzoram: x n = b n a nn x = b n j=+1 a x j a = n

3 Układy równań z macerzą trójkątną Fakt 9.2. Jeżel w układze równań lnowych macerz główna jest macerzą trójkątną dolną (a = 0 dla < j) oraz jeżel wszystke elementy na głównej dagonal tej macerzy są nezerowe (a 0) to stneje jednoznaczne rozwązane tego układu równań jest ono określone nastepującym wzoram: x 1 = b 1 a 11 x = b 1 j=1 a x j a = 2... n. Układy równań z macerzą dagonalną Fakt 9.3. Jeżel w układze równań lnowych macerz główna jest macerzą dagonalną (a = a j = 0 dla < j) oraz jeżel wszystke elementy na głównej dagonal tej macerzy są nezerowe (a 0) to stneje jednoznaczne rozwązane tego układu równań jest ono określone nastepującym wzoram: x = b a = 1... n.

4 Jeżel układ równań lnowych ma pełną macerz główną to można go rozwązać za pomocą metody elmnacj Gaussa która ma wyodrębnone dwa etapy: 1) etap elmnacj zmennych sprowadzene wyjścowego układu równań do układu z macerzą trójkątną górną; 2) etap odwrotny rozwązane równoważnego układu równań z macerzą trójkątną górną. Etap elmnacj zmennych Załóżmy że wyjścowy układ równań jest dany w postac macerzowej. Tworzymy rekurencyjne cąg równoważnych układów równań A (1) x = b (1)... A (n) x = b (n) gdze A (1) = A b (1) = b. FORMALNIE: =1...n j=1...n a (1) = a =1...n b (1) = b.

5 Etap elmnacj zmennych W każdym k-tym kroku (k = 2... n) elmnujemy newadomą x k 1 ze wszystkch równań układu o numerach > k 1 (czyl dla = k... n). Opszemy krótko procedurę elmnacj. Równana o numerach = 1... k 1 pozostawamy bez zman. Od każdego z równań o numerze = k... n odejmujemy równane o numerze k 1 przemnożone przez loraz współczynnka przy newadomej x k 1 w równanu -tym współczynnka przy tej samej newadomej x k 1 w równanu (k 1)-szym. Etap elmnacj zmennych FORMALNIE: dla k = 2... n za pomocą następujących wzorów kolejno oblczamy A (k) b (k) : =1...k 1 j=1...n a (k) = a (k 1) =1...k 1 b (k) =k...n j=1...k 1 a (k) = 0 =k...n j=k...n a (k) =k...n b (k) = b (k 1) = a (k 1) = b (k 1) a (k 1) k 1 j b (k 1) k 1 a (k 1) k 1 a (k 1) k 1k 1 a (k 1) k 1 a (k 1) k 1k 1.

6 Etap odwrotny Otrzymany na końcu etapu elmnacj zmennych równoważny układ A (n) x = b (n) jest układem równań lnowych z macerzą trójkątną górną. Etap odwrotny polega na rozwązanu tego układu przy wykorzystanu odpowedno zmodyfkowanych wzorów dla takego rodzaju układów. FORMALNIE: x n = b(n) n a nn (n) x = b(n) n j=+1 a(n) x j a (n) = n Przykłady Przykład 9.1. (elmnacja Gaussa) Zastosować metodę elmnacj Gaussa do rozwązana następującego układu równań: x x 2 = x 3

7 Przykłady Przykład 9.2. (układ nerozwązywalny elmnacją Gaussa) Sprawdzć że następujący układ równań jest nerozwązywalny metodą Gaussa posada neosoblwą macerz główną: 0 2 x 1 = x 2 6 Zawodność metody elmnacj Gaussa Uwaga. 1 Jeżel w metodze elmnacj Gaussa podczas etapu elmnacj wystąp dla pewnego k = 1... n element a (k) kk = 0 to metoda ta zawodz (z uwag na wystepujące wtedy dzelene przez 0) nawet jeżel wyjścowy układ posadał dokładne jedno rozwązane. 2 Zastosowane w metodze elmnacj Gaussa arytmetyk zmennoprzecnkowej może powodować zerowane sę dodatkowych elementów a (k) kk (w porównanu do zastosowana arytmetyk dokładnej). 3 Przy zastosowanu arytmetyk dokładnej metoda elmnacj Gaussa jest metodą dokładną (o le ne zawodz).

8 Złożoność oblczenowa metody elmnacj Gaussa Uwaga. Aby wyznaczyć metodą elmnacj Gaussa rozwązane układu n równań lnowych należy wykonać 1 3 n3 + n 2 1 3n mnożeń dzeleń oraz 1 3 n n2 5 6n dodawań odejmowań. Dla porównana rozwązane tego samego układu równań metodą Cramera wymaga wykonana co najmnej (n + 1)! mnożeń dzeleń (przy założenu że wyznacznk oblczamy za pomocą rozwnęca Laplace a). Przykład 9.3. (złożoność elmnacj Gaussa) Nech n = 10. Wówczas zgodne z powyższą uwagą metoda elmnacj Gaussa wymaga wykonana 805 dzałań elementarnych podczas gdy metoda Cramera wymaga co najmnej dzałań elementarnych. Element podstawowy Defncja 9.1. (element podstawowy) W metodze elmnacj Gaussa elementem podstawowym nazywamy ten element macerzy głównej układu równań który wykorzystujemy do elmnacj odpowadającej mu newadomej z pozostałych równań. Uwaga. W klasycznej wersj metody elmnacj Gaussa jako elementy podstawowe w macerzach głównych A (k) (k = 1... n) wyberane są zawsze elementy dagonalne a (k) kk.

9 Częścowy wybór elementu podstawowego Aby ulepszyć metodę elmnacj Gaussa stosuje sę tak zwany częścowy wybór elementu podstawowego. W (k + 1)-szym kroku metody elmnacj Gaussa na element podstawowy wyberamy ten z elementów k-tej kolumny macerzy A (k) który ma najwększy moduł. Jeżel jest to koneczne to zamenamy kolejność werszy w macerzach A (k) b (k) tak aby wybrany przez nas element podstawowy wypadł na głównej dagonal. Metodę elmnacj Gaussa wzbogaconą o częścowy wybór elementu podstawowego nazywamy metodą Gaussa-Crouta. Przykłady Przykład 9.4. (elmnacja Gaussa-Crouta) Zastosować metodę elmnacj Gaussa-Crouta do rozwązana następującego układu równań: x 1 x 2 x 3 =

10 Częścowy wybór elementu podstawowego Uwaga. Metoda Gaussa-Crouta jest metodą nezawodną. Oznacza to przy założenu stosowana dokładnej arytmetyk że podczas rozwązywana układu równań o jednoznacznym rozwązanu ne nastap zatrzymane oblczeń na skutek wystąpena dzelena przez 0. Częścowy wybór elementu podstawowego Twerdzene 9.1. Nech będze dany układ równań lnowych Ax = b. Załóżmy że macerz główna A tego układu jest neosoblwa. W następujących przypadkach ne ma potrzeby dokonywana częścowego wyboru elementu podstawowego w metodze elmnacj Gaussa: 1) macerz A jest dagonalne domnująca kolumnowo czyl spełnony jest warunek: n a a k ; =1...n k=1 k 2) macerz A jest symetryczna dodatno określona czyl A = A T oraz wszystke wodące mnory główne macerzy A są dodatne (kryterum Sylwestra).

11 Pełny wybór elementu podstawowego Jeżel w metodze elmnacj Gaussa przy wyborze elementu podstawowego będzemy uwzględnać (przestawać) ne tylko wersze ale kolumny to wówczas mówmy o tak zwanym pełnym wyborze elementu podstawowego. Jest to metoda bardzej skomplkowana od częścowego wyboru elementu podstawowego. Na ogół stratega częścowego wyboru jest wystarczająca dla wększośc typowych układów. Stratega pełnego wyboru pozwala mnmalzować błędy występujące w metodze elmnacj Gaussa na skutek dzeleń przez elementy podstawowe.

Podobne dokumenty

Diagonalizacja macierzy kwadratowej

Diagonalizacja macierzy kwadratowej Dagonalzacja macerzy kwadratowej Dana jest macerz A nân. Jej wartośc własne wektory własne spełnają równane Ax x dla,..., n Każde z równań własnych osobno można zapsać w postac: a a an x x a a an x x an