Proces narodzin i śmierci

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Proces narodzin i śmierci"

Agnieszka Kruk
8 lat temu
Przeglądów:

1 Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do t odlega rozkładow P ( λt) n! n λt n ( λ) = e to mamy do czynena z rocesem narodzn rocesem Possona. Jest to roces stochastyczny o rzyrostach nezależnych tzn. lczby nowych osobnków w różnych, ne zachodzących na sebe rzedzałach czasowych są statystyczne nezależne. Prawdoodobeństwo ojawena sę nowego osobnka w rzedzale czasowym mędzy t t+ t ne zależy od ołożena tego rzedzału na os czasu jest równe λ k t+o( t), gdze k jest lczbą osobnków w oulacj (k =,, 2, ), λ k arametrem rocesu narodzn, t małym rzedzałem czasowym, a o( t) o( t) jest welkoścą neskończene małą, taką że: lm =. t Prawdoodobeństwo ojawena sę w rzedzale t, węcej nż jednego osobnka wynos o( t). t -λ t -λ t -λ n t -λ n+ t E λ t E λ t λ n- t E n λ n t E n+ Rysunek Graf stanów dla rocesu narodzn Proces śmerc (umerana) charakteryzują bardzo zblżone hotezy jak w rzyadku rocesu narodzn. Warunkem dodatkowym jest założene stnena osobnków w dowolnym momence t. Prawdoodobeństwo znknęca (śmerc) osobnka w rzedzale czasu t, rzy założenu że stnało k osobnków (k =, 2, ) wynos µ k t+ o( t), gdze µ k jest arametrem rocesu śmerc (umerana). Prawdoodobeństwo znknęca w rzedzale t węcej nż jednego osobnka, jeżel stnał wcześnej węcej nż jeden, jest równe o( t). Bogusław Flowcz: Modele stochastyczne w badanach oeracyjnych, Wydawnctwa Naukowo-Technczne, Warszawa 996, s. 48

lczby nowych osobnków w różnych, ne zachodzących na sebe rzedzałach czasowych są statystyczne nezależne.

2 -µ t -µ n t -µ n+ t E µ t E µ 2 t µ n t E n µ n+ t E n+ Rysunek 2 Graf stanów dla rocesu narodzn 2 Proces narodzn śmerc owstaje w wynku suerozycj rocesu narodzn rocesu śmerc. Zdarzena, jake mogą zastneć, to narodzny nowego osobnka lub śmerć jednego z stnejących w rzedzale czasu t. Zakłada sę, że w rzedzale czasu t może zastneć najwyżej jedno zdarzene 3. Nech N t oznacza lczbę osobnków w momence t. Zakładając, że t, rawdoodobeństwa rzejść sełnają nastęujące warunk: + j () = δ ( = j N ), j( t) Nt t t = = µ t + o = + = λ t + o = ( λ + µ ) t + o j δ j 2 = gdze, rzy założenach że w oulacj stneje osobnków: λ jest ntensywnoścą narodzn nowych osobnków, µ jest ntensywnoścą umerana osobnków. Parametry λ µ są lczbam dodatnm (z wyjątkem µ = ). 3 2 Bogusław Flowcz: Modele stochastyczne w badanach oeracyjnych, Wydawnctwa Naukowo-Technczne, Warszawa 996, s Tamże s. 55

Nech N t oznacza lczbę osobnków w momence t.

3 -λ t -(λ +µ ) t -(λ n +µ n ) t -(λ n+ +µ n+ ) t λ t λ t λ n- t λ n t E E E n E n+ Rysunek 3 Graf stanów dla rocesu narodzn śmerc 4 Kedy roces narodzn śmerc jest ogranczony, tzn. ma skończoną lczbę stanów N(λ N = ), to dla stanu N rawdoodobeństwo odowadające ętl końcowej rzyjmuje ostać µ t. N µ t µ 2 t µ n t µ n+ t Przykład Charakterystyka strumena Possona Klenc ewnego banku tworzą strumeń Possona, z arametrem λ. Kasjerk w banku mogą obsłużyć maksymalne klentów w cągu mnuty. Oblczyć rzedstawć w forme grafcznej rawdoodobeństwa rzybyca do banku k klentów w cągu czasu t, oraz wszystke dystrybuanty dla zadanego arametru λ =, 3, 6, 9, k =, oraz t = mnuta. Jake jest rawdoodobeństwo rzybyca lub mnej klentów do banku. W celu oblczena rawdoodobeństwa wystąena k zdarzeń, w strumenu Possona, w rzedzale czasu od do t stosujemy wzór: k ( λt) λt Pk ( t) = e dla k >=, t >= k! Prawdoodobeństwo rzybyca lub mnej klentów wynos: P { k } = P k ( t) 5 k= Prawdoodobeństwo rzybyca zadanej lczby klentów: 4 Bogusław Flowcz: Modele stochastyczne w badanach oeracyjnych, Wydawnctwa Naukowo-Technczne, Warszawa 996, s Por. Walenty Onszczuk Metody modelowana, Poltechnka Bałostocka, Bałystok 995, s

N µ t µ 2 t µ n t µ n+ t Przykład Charakterystyka strumena Possona Klenc ewnego banku tworzą strumeń Possona, z arametrem λ. Kasjerk w banku mogą obsłużyć maksymalne klentów w cągu mnuty.

4 k λ 3 6 9,367879,49787,2479,23,367879,4936,4873, 2,8394,22442,4468,4998 3,633,22442,89235,4994 4,5328,683,33853, ,366,89,6623,6727 6,5,549,6623,99 7 7,3E-5,264,37677,76 8 9,2E-6,82,3258,3756 9,E-6,27,68838,3756,E-7,8,433,858 P{k },99978,957379,75988 Prawdoodobeństwa wystąena k zadarzeń w cągu mnuty P(k),4,3,2, 2 lambda=6 4 k 6 8 lambda= lambda= lambda=3 lambda=6 lambda=9 Analza rawdoodobeństwa rzybyca klentów do banku okazuje, że bezośredno zależy ono od ntensywnośc rzybywana klentów. Wartość ntensywnośc λ =, 3, 6, 9 oznacza, że z najwększym rawdoodobeństwem do banku w cągu mnuty rzybędze odowedno, 3, 6, 9 klentów. Wartośc otrzymanych rawdoodobeństw otwerdzają to. Dla λ = z najrawdoodobnej rzybędze jeden klent lub żaden. Przybyce w cągu mnuty sześcu węcej klentów jest raktyczne nemożlwe. Dla λ = 3 maksymalna wartość rawdoodobeństwa jest dla k = 2 k =3. W rzyadku ntensywnośc λ = 6 najwększe jest rawdoodobeństwo wystąena 5 lub 6 zdarzeń, zaś dla λ = 9 8 lub 9. Prawdoodobeństwo tego, że do banku ne rzybędze węcej nż dzesęcu klentów w cągu mnuty maleje wraz ze wzrostem ntensywnośc ch rzybywana.

rawdoodobeństwa rzybyca klentów do banku okazuje, że bezośredno zależy ono od ntensywnośc rzybywana klentów.

5 Dla λ = 9 jest ono najmnejsze. Możemy zatem stwerdzć że rzy takej ntensywnośc rzybędze węcej nż dzesęcu nteresantów. Obcążene kasy równe lorazow średnej lczby zgłoszeń na mnutę rzez maksymalną lczbę obsłużonych zgłoszeń, neokojąco duże jest tylko dla λ = 9 wynos ρ =.9. Dystrybuanta, czyl rawdoodobeństwo tego, że odstęy t mędzy kolejnym klentam są mnejsze lub równe.,.,.2,.9,. dla λ = 3, 6, 9 oblczana jest z nastęującego wzoru: Wynk: F( t) = e t λ 3 6 9,,9563,25982,4588,59343,2,8269,4588,69886,8347,3,25982,59343,8347,932794,4,32968,69886,99282,972676,5,393469,77687,9523,98889,6,4588,8347,972676,995483,7,5345,877544,9854,99864,8,5567,99282,9977,999253,9,59343,932794,995483,999696,6322,9523,99752, λt Dystrybuanta F(t),8,6,4,2,,2,3,4,5,6,7,8,9 t lambda= lambda=3 lambda=6 lambda=9 Wnosk: Dla λ = 3, klenc mędzy których rzybycam mnął czas ok. mnuty stanową 9% a wszystkch klentów rzychodzących do banku. Dla λ = 6 λ = 9 %,

wynos ρ =.9. Dystrybuanta, czyl rawdoodobeństwo tego, że odstęy t mędzy kolejnym klentam są mnejsze lub równe.,.,.2,.9,.

6 zaś dla λ = tylko 45%. Możemy zatem stwerdzć, że od ntensywnośc zależy równeż częstość rzybywana klentów. Im jest ona wększa tym wększe jest natężene naływu klentów. Wartośc F(t) dla mnejszej ntensywnośc są mnejsze dla każdej badanej wartośc t, nż dla wyższych wartośc λ. Zadana. Pzzera Klenc ewnej zzer tworzą strumeń Possona. Intensywność rzybywana klentów zależy od ory dna. Przed ołudnem klenc rzychodzą z ntensywnoścą λ = a. Czyl średno w cągu godzny do zzer rzybywa ok. czterech klentów. W orze obadowej λ = b, o ołudnu λ = c, zaś weczorem λ = d. Kucharz może w cągu godzny rzygotować maksymalne n zz. Zakładamy, że jeden klent zamawa jedną zzę. Przerowadź analzę rzybywana klentów (rawdoodobeństwa rzybyca k klentów w cągu godzny, oraz k lub mnej klentów dystrybuanty). Wynk rzedstaw grafczne. Zaroonuj rozwązane, które usrawn dzałane zzer. a) a = 4, b = 7, c = 9, d =, n = 24, k =,,, 9, 2; b) a = 2, b = 4, c = 7, d = 9, n = 24, k =,,, 4, 5; c) a = 4, b = 6, c = 8, d =, n = 8, k =,,, 6, 7; d) a = 6, b = 8, c =, d = 5, n = 36, k =,,, 34, 35; e) a = 4, b = 7, c = 8, d =, n = 8, k =,,, 9, 2; 2. Serwer bblotek Do serwera ewnej bblotek odłączone są termnale, na których użytkowncy mogą wyszukwać zamawać ksążk. Z serwerem można ołączyć sę równeż rzez Internet. Zgłoszena naływające do serwera tworzą strumeń Possona z arametrem λ. Jake jest rawdoodobeństwo nałynęca do serwera k zgłoszeń w cągu mnuty? Jake jest rawdoodobeństwo tego, że zgłoszena naływają najwyżej co t sekund. Wynk rzedstawć grafczne. a) λ =, 5, 2; k =, 2,, 38, 4; t =.,.,,.9,. b) λ = 2, 25, 3; k =, 5,, 55, 6; t =,.,,.9,.. c) λ =, 2, 25; k =, 5,, 55, 6; t =,,, 9,. d) λ = 5, 3, 35; k =, 5,,4, 45; t =.,.2,,.8, 2..

Intensywność rzybywana klentów zależy od ory dna. Przed ołudnem klenc rzychodzą z ntensywnoścą λ = a. Czyl średno w cągu godzny do zzer rzybywa ok. czterech klentów.

7 3. Kasa bletowa Kasa bletowa dworca autobusowego jest w stane obsłużyć maksymalne k odróżnych. Zakładamy, że strumeń zgłoszeń jest strumenem Possona z arametrem λ. Jake jest rawdoodobeństwo tego, że rzed kasą ne będze sę ustawała kolejka (kasa ne będze rzecążona). Jake jest obcążene kasy? Wynk rzedstaw grafczne. a) λ =, 2,,7; k = ; b) λ = 2, 4,,2; k = 8; c) λ =, 3,,2; k = 5; d) λ =, 2,,5; k = 8; e) λ = 2, 5, 7, ; k = 6;

Jake jest rawdoodobeństwo tego, że rzed kasą ne będze sę ustawała kolejka (kasa ne będze rzecążona).

Podobne dokumenty

System M/M/1/L. λ = H 0 µ 1 λ 0 H 1 µ 2 λ 1 H 2 µ 3 λ 2 µ L+1 λ L H L+1. Jeli załoymy, e λ. i dla i = 1, 2,, L+1 oraz

System M/M/1/L. λ = H 0 µ 1 λ 0 H 1 µ 2 λ 1 H 2 µ 3 λ 2 µ L+1 λ L H L+1. Jeli załoymy, e λ. i dla i = 1, 2,, L+1 oraz System M/M// System ten w odrónenu do wczenej omawanych systemów osada kolejk. Jednak jest ona ogranczona, jej maksymalna ojemno jest wartoc skoczon