4. Zjawisko przepływu ciepła

Transkrypt

1 . Zawso przepływu cepła P.Plucńs. Zawso przepływu cepła wymana cepła przez promenowane wymana cepła przez unoszene wymana cepła przez przewodzene + generowane cepła znane wartośc temperatury zolowany brzeg znane wartośc strumena przepływu cepła.. Podstawowe poęca Ilość cepła lość energ ceplne Strumeń przepływu cepła Q J H = dq dt lość cepła w odnesenu do ednost czasu J/s=W Gęstość strumena przepływu cepła q n = dh W/m dla D: H) = )q ) d strumeń przepływu cepła w odnesenu do ednost powerzchn.. Jednowymarowy przepływ cepła ao przyład MES T T T ) T ) l l ) d f)) = f ) W/m źródło cepła.

2 .. Jednowymarowy przepływ cepła ao przyład MES P.Plucńs H ) + d) H + dh d f ) H + f d = H + dh dh d = f Prawo Fourera H = q ) wsp. przewodnctwa ceplnego dla = const q = dt d d dt ) = f d d d T d + f =.. Jednowymarowy przepływ cepła ao przyład MES = q = T Model loalny sformułowane slne) + warun brzegowe q = q ) = dt ) = q d =q d dt ) + f = d d w.b. Neumanna naturalny) T = T ) = T w.b. Drchleta podstawowy) Model globalny sformułowane słabe) w ) l d dt ) + f = d d d w dt ) ) + f d d / / l w d =, w.

3 .. Jednowymarowy przepływ cepła ao przyład MES P.Plucńs l l w dt d dw dt d d w d dt ) l d + wf d = d d l ) l dw dt ) l d + wf d = d d d = wq ) + wq ) + =l = Model loalny sformułowane slne) q =, T = l) d dt ) + f = d d l wf d q = q ) = dt ) = q d =q T = T ) = T w.b. Neumanna naturalny) w.b. Drchleta podstawowy) q = ) = dt ) = q d = w.b. Neumanna naturalny) T = l) = T w.b. Drchleta podstawowy) Model globalny sformułowane słabe) w ) q =, T = l) l dw dt ) d = wq ) + wq d d ) + =l = l wf d = T = T ) = T w.b. Drchleta podstawowy) l dw dt ) d = wq ) + w) q + d d =l = l wf d = T = l) = T w.b. Drchleta podstawowy).

4 .. Problem staconarnego przepływu cepła w D P.Plucńs.. Problem staconarnego przepływu cepła w D Gęstość strumena przepływu cepła q q n q n = q T n = { y } z q T zmno cepło Prawo Fourera - ops ruchu cepła przez przewodzene gdze: q = D T wetor gęstośc strumena przepływu cepła: q = {q q y q z } W/m { } T T T wetor gradentu temperatury: T = K/m y z macerz przewodnctwa ceplnego: D = { } W/m K) Gęstość strumena wzrasta ze wzrostem gradentu temperatury. Cepło płyne od wyższe do nższe temperatury.. Problem staconarnego przepływu cepła w D... Blans ceplny dla staconarnego przepływu cepła Ilość cepła generowanego = lość cepła wypływaącego fd = q n ds, gdze f lość cepła dostarczana cału na ednostę obętośc czasu J/m s)=w/m S S.

5 .. Problem staconarnego przepływu cepła w D P.Plucńs Wyorzystuąc twerdzene Greena Gaussa Ostrogradzego o całowanu przez częśc { q n ds = q T q n ds = dvq d = S S + q y y + q } z d z fd = dvq d = T q d, T q = f,... Równana przepływu cepła Równane przewodnctwa - sformułowane slne) + warun brzegowe q n = q T n = q T = T T D T ) + f =, na S q naturalne w.b.neumanna) na S T podstawowe w.b. Drchleta) S T S q Dla materałów zotropowych macerz D przymue formę D = I T + T y + T z + f = równane Possona Dla materałów zotropowych bez źródła cepła... Model algorytm MES Sformułowane słabe T + T y + T = równane Laplace a z w) T D T d + S w) T D T d ) w T D T ) + f d = q w D T S )T nds + q n w q T n ds + wfd = wfd = w) T D T d = w q ds w q n ds + wfd, w S q S T naturalny w.b. newadoma wtórna + warune brzegowy T = T na S T.

6 .. Specalne warun brzegowe P.Plucńs Uład równań MES w) T D T d = w qds wq n ds + wfd, S q S T w gdze K = B T DBd, θ wetor węzłowych wartośc temperatury, N wetor func ształtu, Kθ = f b + f T = Nθ aprosymowana funca temperatury, B = N macerz pochodnych func ształtu, f b = N T q ds N T q n ds, f = N T f d S q S T T = Bθ aprosymowana funca gradentu temperatury... Specalne warun brzegowe S q S T S p Unoszene onweca) T p - temperatura otaczaącego płynu w ruchu q n = pt p T ) p - współczynn przeazywana cepła W/m K + K p ) θ = f b + f + f p gdze : K p = N T Np ds, S p f p = N T pt p ds S p.

7 .7. Dobór func aprosymacynych P.Plucńs Promenowane radaca) lub absorpca q n = P Tr T ) T r - absolutna temperatura nnego cała promenuącego na rozważane P - współczynn emsynośc zaweraący stałą Bolzmanna) q n = p r T r T ), p r = P Tr + T )T r + T ) Problem stae sę nelnowy: Kθ)θ = fθ) oneczne est rozwązane przyrostowo-teracyne.7. Dobór func aprosymacynych Podstawowe ro algorytmu MES. Zbudowane sformułowana slnego. Transformaca do sformułowana słabego. Wybór aprosymac poszuwane func. Wybór func wagowe.8. Zagadnene D q = T = l Zbudowane sformułowana slnego + warun brzegowe Transformaca do sformułowana słabego l d dt ) + f = d d q = q dla q np. q = ) T = T dla T np. T = l) dw dt ) d = wq ) + w) q + d d =l = l wf d = + warune brzegowy T = T dla T np. T = l).7

8 .8. Zagadnene D P.Plucńs Wybór func aprosymuących prosymaca lnowa T T e ) = α e + α e = Φα e Φ =, α e α e = α e T e ) = N e e )T + N e e )T = N e θ e N e = N e e ) N e e ), θ e = T T T T N e e ) N e e ) e e e e prosymaca wadratowa T e ) = α e + α e + α e = Φα e Φ =, α e = α e α e α e T e ) = N e e )T + N e e )T + N e e )T = N e θ e N e = N e e ) N e e ) N e e ), θ e = T T T T T T T N e e ) e e e e e N e e ) e N e e ) e e e dt e d e = Be θ e, gdze B e = dne dn e d e = d e dn e d e dn e d e prosymaca wadratowa - herarchczne funce ształtu T e ) = N e e )T + N e e )T + N e α e )α = N e θ e.8

9 .8. Zagadnene D P.Plucńs N e = N e e ) N e e ) N e α e ), θ e = T T α T T T α N e e ) e e N ee ) e e N e α e ) e e dt e d e = Be θ e, gdze B e = dne dn e d e = d e dn e d e dnα e d e.8.. Zagadnene D Γ q Γ T Zbudowane sformułowana slnego h - grubość powerzchn) T Dh T ) + f h =, + warun brzegowe q n = q T n = q na Γ q T = T na Γ T gdze f, y)h, y) = f h, y) lość cepła dostarczana cału na ednostę powerzchn czasu J/m s= W/m Transformaca do sformułowana słabego w) T Dh T d = wh qdγ Γ q whq n dγ + Γ T + warune brzegowy dla h = const + warune brzegowy T = T na Γ T w) T D T d = w qdγ Γ q T = T na Γ T wq n dγ + Γ T wf h d wfd.9

10 .8. Zagadnene D P.Plucńs Wybór func aprosymuących Element trówęzłowy T e, y) = α e + α e + α e y = Φα e Φ = y, α e = α e α e α e Tróąt Pascala element trówęzłowy element sześcowęzłowy y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y Krytera zbeżnośc - wymagana dla aprosymac zupełność aprosymaca mus być w stane reprezentować dowolne pole stałe dowolny stały gradent pola zgodność na grancach mędzylementowych / styu elementów dostosowane) aprosymaca mus być cągła na grancach mędzy elementam T e, y) = N e e, y e )T + N e e, y e )T + N e e, y e )T = N e θ e N e = N e e, y e ) N e e, y e ) N e e, y e ), T θ e = T T T, y) T T T y e e y e np. dla N e, y e ) N e, y e ) = N e, y e ) = N e, y) e = N e, y e ) e y e N e, y e ) e y e N e, y e ) e y e.

11 .8. Zagadnene D P.Plucńs Wyznaczene func ształtu dla elementu trówęzłowego Funca ształtu N, y) y y y α α α = rozwązane uładu równań metodą wyznacznów y W = y = P y W α = W α = W α = y y y y y y = y y = α = W α W = y y, = α = W α W = = α = W α W = y y P = y y P = P Element czterowęzłowy T e, y) = α e + α e + α e y + α e y = Φα e Φ = y y, α e = α e α e α e α e element czterowęzłowy y y y y y y y y y y element ośmowęzłowy y y y y y y y y y y T e, y) = N e e, y e )T + N e e, y e )T + N e e, y e )T + N e l e, y e )T l = N e θ e N e = N e e, y e ) N e e, y e ) N e e, y e ) N e, y e ). θ e = T T T T l.

12 .9. Zagadnene D P.Plucńs T T, y) T T l T l y e e l y e np. dla N e, y e ) N e, y e ) = N e, y e ) = N e, y e ) = N e l, y e l ) = Element prostoątny e N, y) = )y y l) ab l a y e e N l, y) = )y y ) ab l a y e b b N, y) = )y y ) ab N, y) = l)y y ) ab e l a y e e l a y e b b T e = B e θ e gdze B e = N e e N e y e = N e e N e y e N e e N e y e N e e N e y e N e l e Nl e y e.9. Zagadnene D S T S q Zbudowane sformułowana slnego + warun brzegowe T D T ) + f =,.

13 .9. Zagadnene D P.Plucńs q n = q T n = q T = T na S q na S T Transformaca do sformułowana słabego w) T D T d = w qds wq n ds + wfd S q S T + warune brzegowy T = T na S T Wybór func aprosymuących Element czworoścenny T e, y, z) = α e + α e + α e y + α e z z l y Element sześcoścenny T e, y, z) = α e + α e + α e y + α e z + α e y + α e yz + α e 7z + α e 8yz m z p n o l y.

14 .. Przyłady P.Plucńs.. Przyłady... Wyprowadzene równana w sformułowanu słabym dla zagadnena D T = = q = T = T ) = T ) = Sformułowane slne + warun brzegowe Po podstawenu danych do równana: + warun brzegowe Sformułowane słabe f ) = d dt ) + f = d d q = ) = T = ) = q T = l) = T T = q ) = T ) = T ) = T = w T d = w T d + w)t ) w)t ) + warune brzegowy T ) = wd = w T d w)t ) = w) wd Lw, T ) = lw)... Rozwązane MES dla zagadnena D - aprosymaca lnowa T )=θ T )=θ T )=θ a = θ a = θ θ θ.

15 .. Przyłady P.Plucńs Równane dla ES = e + a e ) w e T e e + a e ) d e = w e T e d e w e e + a e )d e = prosymaca w e T e d e + w e T e ) le w e e + a e )d e = T e = N e θ e, w e = β et N et, N e = e e β et N e T N e θ e d e + N e T N e d e θ e + β et N et T e ) le N et T e ) le β et N et e + a e )d e = N et e + a e )d e = N e T N e d e θ e = K e N et T e ) le f e b N et e + a e )d e f e Macerze wetory z równana MES ES = = gregaca K e = f e = f e b = e e e e d e = T e = T e ) e + a e )d e = le = T e e ) = + a e + a e = T e e ) T e ) f a = === f a = === f, f b K K f, f b.

16 .. Przyłady P.Plucńs Globalne równane MES θ θ = θ Rozwązane: θ =, θ =, T ) =. T ) = T ) T l ) T ) = T l ) = T ) K θ f b f θ T ) θ = θ T ) θ θ = T ) Funca temperatury dla ES zapsana w uładze globalnym e = a e ) T ) = ) dla, ) )) + ) dla, ) T ) = 7 dla, ) dla, ) T por = T do = + T....

17 .. Przyłady P.Plucńs Estymaca błędu a-posteror po face) Estymator błędu e e e ) = y e h,p e ) y e por e ) gdze e element, yh,p e rozwązane MES, h moduł sat, p rząd aprosymac ye por rozwązane ścsłe lub odnesena. Wsaźn ndyator błędu) η = Le, e) l e Estymator błędu Element Element Oblczena względem loalnego uładu współrzędnych ażdego ES) e = ) ) ) ) ) + e = ) + ) e = ) ) + ) ) + ) ) + ) + e = ) ) + ) Wsaźn ndyator błędu) dla ES Le, e) = η = ) + ) d ) + ) de e d e d e ) ) + ) d ) =.9 Estymator błędu Element Element Oblczena względem globalnego uładu współrzędnych) e = ) + e = + e = ) + ) + e = + 7 Wsaźn ndyator błędu) dla ES η = + d d =.9.7

18 .. Przyłady P.Plucńs... Rozwązane MES dla zagadnena D - aprosymaca wadratowa z herarchcznym funcam ształtu θ α θ α a = θ α θ a = θ α θ θ Równane dla ES = e + a e ) w e T e e + a e ) d e = w e T e d e w e e + a e )d e = w e T e d e + w e T e ) le w e e + a e )d e = prosymaca T e = N e {θ e θ e α e }, w e = β et N et N e = e β et N e T N e θ e d e + N e T N e d e θ e + β et N et T e ) le N et T e ) le e e e ) β et N et e + a e )d e = N et e + a e )d e = N e T N e d e θ e = K e N et T e ) le f e b N et e + a e )d e f e Macerze wetory z równana MES ES = = K e = l e e l e d e = e e fb e l e le = e T e = T e ) T e e )= e e ) T e e ) T e ).8

19 .. Przyłady P.Plucńs gregaca f e = e l e e e e ) +a e e + a e )d e = le +a e = a e f a = === f a = === 8 α α f, f b K K f, f b α α Globalne równane MES θ T ) = T ) θ T l ) T ) = θ = T l ) = T ) α α K θ f b f θ θ θ = α α θ θ = α α T ) T ) T ) Rozwązane: θ =, θ =, α =, α =, T ) =. Funca temperatury dla ES zapsana w uładze globalnym e = a e ) T ) = ) + ) dla, ) )) + ) + ) ) ) dla, ).9

20 .. Przyłady P.Plucńs T ) = + 7 dla, ) dla, ) T por = T do = + T... Estymator błędu Oblczena względem loalnego uładu współrzędnych ażdego ES) Element e = ) ) ) + ) ) ) ) ) ) + e = ) + ) ) Element e = ) ) + ) ) + ) ) + ) + e = ) ) + ) Wsaźn ndyator błędu) dla ES Le, e) = η = ) + ) ) d ) + ) de e d e d e ) ) + ) d ) =.7 Estymator błędu Element Oblczena względem globalnego uładu współrzędnych) e = + + e = +.

21 .. Przyłady P.Plucńs Element e = 7 + e = + + Wsaźn ndyator błędu) dla ES η.. η = + d d =.7. ES η - ln. η - wad ES... Przepływ cepła D - elementy trówęzłowe. Dane T = C q n = W/m =.9 W/m C f = W/m h = m q n = m qn = m y Dysretyzaca. Sformułowane słabe problemu - wyprowadzene równań MES w) T Dh T d = wh qdγ Γ q whq n dγ + Γ T wfhd.

22 .. Przyłady P.Plucńs + warune brzegowy w) T Dh T d = T = T Γ whq n dγ + wfhd na Γ T T = Nθ, w = Nβ = β T N T, T = Bθ w = β T B T, D =, h = const β T h B T Bd θ = β T h B T Bd θ = K = Γ B T Bd, f = N T q n dγ + β T h Γ N T q n dγ + N T fd N T fd, N T fd, β f b = N T q n dγ Γ Kθ = f + f b. Wyznaczene macerzy przewodnośc K dla elementów Element Element N = y y B... = N =... K = B T Bd = B T B.8.8. = N = y y B... = N =... K = B T Bd = B T B... = Wyznaczene wetora f Element - = f e = N T fd = f e e =.

23 .. Przyłady P.Plucńs. Wyznaczene wetora f b Element Element fb = = Γ w.b. = N ) T q n dγ Γ w.b. = N ) T q n dγ N ) T q n dγ Γ wspólna rawędź cągłość przepływu wzdłuż ln - q n = q n. gregaca f b = wspólna rawędź cągłość przepływu wzdłuż ln - q n = q n N ) T q n dγ Γ = = Γ N ) T q n dγ Γ N ) T q n dγ ) T N, y =) )d f b + f b N =, y)) T qn dy Element f = K = K = f = f = 8 8 Element f b = K = K = f b = f b = f b f b + f b f b + 7. Uład równań MES: Kθ = f + f b θ θ θ θ = f b f b +.

24 .. Przyłady P.Plucńs Uwzględnene warunów brzegowych f b θ θ = f b + Rozwązane: θ = 8., θ = 7., f b = 7., f b =.7 8. Powrót do elementów - Oblczene wetora przepływu Element θ = Element θ = , q = B θ =.9, q = B θ =.9 9. Wyznaczene temperatury w dowolnym punce wewnątrz elementu = =.... θ = 8. 7., T e e, y e ) = N e e, y e )θ e np. dla środa cężośc 8, ) ) 8 T, = = Przepływ cepła D - elementy czterowęzłowe. Dane q n = W/m Y, y ) y ) l l T = C =.9 W/m C f = W/m h = m q n = m qn = m Dysretyzaca X, ), ).

25 .. Przyłady P.Plucńs. Sformułowane słabe problemu - wyprowadzene równań MES + warune brzegowy w) T Dh T d = wh qdγ Γ q w) T Dh T d = T = T Γ whq n dγ + Γ T whq n dγ + wfhd na Γ T wfhd T = Nθ, w = Nβ = β T N T, T = Bθ w = β T B T, D =, h = const β T h B T Bd θ = β T h B T Bd θ = K = Γ B T Bd, f = N T q n dγ + β T h Γ N T q n dγ + N T fd N T fd, N T fd, β f b = N T q n dγ Γ Kθ = f + f b. Wyznaczene macerzy przewodnośc K dla elementów Element N = ) )y ) ) ) y ) ) ) y ) ) )y ) B = N = y ) ) y ) ) y ) ) y ) ) Element K = B T Bd = B T Bd ) dy ) = = N = ) )y ) ) B = N = y ) ) ) y ) ) y ) ) ) y ) y ) ) ) )y ) y ) ).

26 .. Przyłady P.Plucńs K = B T Bd = B T Bd ) dy ) = = Wyznaczene wetora f Element - =. Wyznaczene wetora f b Element fb = Γ w.b. = N ) T q n dγ wspólna rawędź cągłość przepływu wzdłuż ln -: q n = q n l f e = N T fd = f e e N ) T q n dγ Γ Γ l = N ) T q n dγ Γ l N ) T q n dγ T )d ) Tqn = N ), y =)) ) ) N ) =, y ) ) dy ) f b = + f b Element wspólna rawędź cągłość przepływu wzdłuż ln -: q n = q n l w.b. = w.b. = fb = N ) T q n dγ N ) T q n dγ Γ Γ Γ l N ) T q n dγ Γ l N ) T q n dγ ) T )d = N ), y ) ) =) =.

27 .. Przyłady P.Plucńs. gregaca Element K = K = Element K = K = f = f = f b = f b + f b f b = f = f b = f b + f b 7. Uład równań MES: Kθ = f + f b θ θ θ θ θ θ Uwzględnene warunów brzegowych = + f b + f b f b θ θ = f b θ θ Rozwązane: θ = 8.9, θ =.7, θ =., θ = 8.8, f b = 9.98, f b =. 8. Powrót do elementów - Oblczene wetora przepływu Element θ =

28 .. Przyłady P.Plucńs Element q = B θ =.9 q = B θ =.9 y ) ) y ) ) y ) ) y ) ) np. w środ. cęż. elem. q,.) = y ) ) θ = y ) ) y ) ) y ) ). 8.8 = = 8.8 np. w środ. cęż. elem. q,.) = Wyznaczene temperatury w dowolnym punce wewnątrz elementu θ =. 8.8 T e e, y e ) = N e e, y e )θ e.y 9.9..y... np. dla środa cężośc,.) T,.) = ). ). ). ) =..8