STATYSTYKA. Zmienna losowa skokowa i jej rozkład

Transkrypt

1 STATYSTYKA Wnosowane statystyczne to proces myślowy polegający na formułowanu sądów o całośc przy dysponowanu o nej ogranczoną lczbą nformacj Zmenna losowa soowa jej rozład Zmenną losową jest welość, tóra przy zajścu ażdego zdarzena losowego ω przyjmuje onretną wartość x ( ), co można zapsać w sposób następujący: : x ( ) R Innym słowy zmenna losowa jest lczbową prezentacją wynu dośwadczena losowego, a węc jej wartość zależna jest od przypadu Jeśl dośwadczene polega na ontrol jaośc 0 omputerów wyproduowanych przez producenta tych wyrobów, to zmenną losową będze lczba wadlwych omputerów, tóra może przyjąć wartośc: od 0 do 0 Jeśl poszczególnym wartoścom x przyporządujemy prawdopodobeństwa realzacj tej zmennej losowej oznaczonej przez f x ), wówczas otrzymamy rozład prawdopodobeństwa zmennej losowej soowej, przy czym: ( 0 dla,, oraz f ( x f ( x ) ) Znać rozład zmennej losowej soowej to znać realzacje tej zmennej, czyl oraz odpowadające m prawdopodobeństwa f x ) Rozład zmennej losowej soowej można przedstawć za pomocą funcj prawdopodobeństwa zmennej losowej soowej lub tablcy Przyładem zmennej losowej soowej jest welość popytu na oreślone dobro Popyt zależy bowem od welu czynnów, tach ja: ceny dobra, ceny nnych dóbr (substytucyjnych), dochód do dyspozycj gospodarstwa domowego zgłaszającego popyt na to dobro tp Jest zatem, przynajmnej częścowo, zależny od przypadu Przyład Rozład prawdopodobeństwa lczby ocze przy rzuce ostą do gry ( x, x f ( x ) lub p To jest rozład jednostajny (prawdopodobeństwa są równe) Wartość oczewana (nadzeja matematyczna) zmennej losowej soowej

2 E( ) x p, dla,,, Wartość oczewana jest zatem średną arytmetyczną ważoną realzacj ( x ) zmennej losowej, a wagam są odpowadające m prawdopodobeństwa p Warancja zmennej losowej soowej D ) ( x p Odchylene standardowej zmennej losowej soowej D( ) [ x ] p, dla,,, Przyład Rozład zmennej losowej Neobecność studentów na zajęcach ze statysty Grupa lczyła 0 osób Lczba Prawdopodobeństwo neobecnych x p lub osób x p lub f ( x ) p x x E( ) [ x E( )] p x [ E( )] , 0, 0,4 0, 0, 0, 0, 0,3 0,3 0,4 0,5 -, -, -0, 0,8,8,8 3,8 4,8 5,8,8 7,8 4,84,44 4 0,4 3,4 7,84 0,484 0,88 4 0,34 0,784,0,,90 Oblczena: Wartość oczewana: E( ) x p, Warancja dla zmennych losowych soowych: D ( ) [ ] x p, 90 Odchylene standardowe: D( ) [ ] x p,9, 4

3 Dystrybuanta zmennej losowej F (x) nazywa sę prawdopodobeństwem tego, że zmenna losowa przyjme wartośc mnejsze lub równe oreślonej wartośc x (czyl jest równa sume prawdopodobeństw realzacj wartośc zmennej, mnejszych bądź równych x ) Jest to funcja oreślana wzorem: x) x), czyl x) Dystrybuanta zmennej losowej soowej (dysretnej) F ( x) f ( ) x x x W naszym przyładze: F ( x ) x 0) x ) x ) 0, 0, 0,4 0,7 Odp: Prawdopodobeństwo, że na zajęcach ne będą obecne najwyżej osoby wynos 0,7 Ważnejsze teoretyczne rozłady zmennej losowej soowej Zmenna losowa ma rozład zero-jedynowy, jeżel jej funcja prawdopodobeństwa (rozład) jest następująca: ) p 0) p q Wartość oczewana warancja w tym rozładze wynoszą: E ) p, D ( ) p( p) ( pq Przyład 3 Klentam slepu spożywczego są obety mężczyźn Na podstawe wcześnejszych badań stwerdzono, że prawdopodobeństwo zaupu żywnośc przez obetę w tym slepe wynos 0, a) Co jest zmenną losową w powyższym przyładze? b) Wyznacz wartość oczewaną warancję badanej zmennej losowej Odpowedz: a) Zmenną losową jest płeć lenta Przyjmuje ona wartość w powyższym przypadu obety (suces) oraz 0, gdy do slepu wchodz mężczyzna Jest to przyład zmennej zero-jedynowej b) E( ) p 0,

4 oraz D ( ) p( p) 0, ( 0,) 0, 0,4 0,4 Zmenna losowa ma rozład dwumanowy (Bernoullego) : B( n, p), jeśl jej funcja prawdopodobeństwa oreślona jest wzorem: P n!!( n )! ( ) f ( ) p ( p) n, gdze: n - lczba warantów zmennej losowej, - lczba realzacj zdarzena, p - prawdopodobeństwo realzacj zdarzeń w ażdej z nezależnych realzacj Wartość oczewana w tym rozładze wynos: a warancja: D E( ) np ( gdze ) np( p) npq, q p Schemat Bernoullego: Z tam rozładem mamy do czynena w przypadu wyznaczana prawdopodobeństwa olejnych wartośc w n dośwadczenach Aby rozład dwumanowy mógł znaleźć zastosowane, muszą być spełnone następujące warun: przeprowadza sę n jednaowych dośwadczeń, dla ażdego dośwadczena możlwe są dwa wyn: jeden zwany sucesem, a drug porażą, prawdopodobeństwo sucesu ) ( w olejnych dośwadczenach jest stałe, dośwadczena są od sebe nezależne ( p czy poraż p) q Przyład 4 Sprzedawca pewnego dobra trwałego użytu ontatuje sę z 8 potencjalnym lentam dzenne Z wcześnejszych dośwadczeń wadomo, że prawdopodobeństwo zaupu tego dobra przez potencjalnego lenta wynos a) Jae jest prawdopodobeństwo tego, że sprzedawca przeprowadz doładnej transacje dzenne b) Jae jest prawdopodobeństwo tego, że sprzedawca przeprowadz co najmnej transacje dzenne c) Ja odsete stanowć będą dn, w tórych sprzedawca ne doona żadnej transacj sprzedaży? d) Jaej średnej lczby sprzedanych dóbr trwałego użytu dzenne może sę spodzewać sprzedawca? Odpowedz: a) Korzystając ze wzoru na prawdopodobeństwo w rozładze dwumanowym, otrzymujemy: P ( ) 8! 8 (0,) (0,9)!(8 )!

5 Zamast przeprowadzana dość somplowanych oblczeń można równeż sorzystać z tablc rozładu dwumanowego odczytując ) dla n 8, oraz p 0, (por tablca na ońcu sąż) P ( ) 3) Q() Q(3) 0, ,488 0,488 Odp: Prawdopodobeństwo, że sprzedawca przeprowadz doładne transacje sprzedaży dzenne wynos 0,488 b) P ( ) ) 3) 8) Zamast przeprowadzana dość somplowanych oblczeń to samo można odczytać z tablc rozładu dwumanowego: Q ( ) dla n 8,, p 0, czyl Q ( ) 0,89 0,9 Odp: Prawdopodobeństwo, że sprzedawca przeprowadz co najmnej transacje sprzedaży dzenne wynos 0,9 8! 0!(8 0)! 0 80 c) P ( 0) (0,) (0,9) 0, 43 Uwaga: przyjmuje sę, że 0! = Odp: 43% ogółu dn roboczych stanową tae dn, edy ne zostane doonana żadna transacja sprzedaży d) E( ) n p 80, 0, 8 Odp: Sprzedawca może spodzewać sę, że sprzeda dzenne 0,8 dóbr trwałego użytu Rozład Possona (rozład rzadch zdarzeń) dotyczy zmennej losowej soowej Znajduje on zastosowane w sytuacjach, gdy próba jest lczna ( n 30) oraz gdy prawdopodobeństwo zajśca sucesu jest małe (co najwyżej luprocentowe) Jego przydatność jest duża, np w ustalanu prawdopodobeństwa wadlwośc producj czy awaryjnośc maszyn Prawdopodobeństwo w rozładze Possona gdze: - średna lczba zdarzeń, ) e!

6 e,788 Rozładem Possona można przyblżyć rozład dwumanowy, gdy spełnone są następujące warun: duża lczba dośwadczeń ( n 0), stały loczyn n p, prawdopodobeństwo p 0, Przyład 5 Wadlwość producj pewnego przedsęborstwa wynos 3% Z gotowych wyrobów znajdujących sę w magazyne sprzedano 40 sztu a) Jaej średnej lczby braów można sę spodzewać w sprzedanej part towarów? b) Jae jest prawdopodobeństwo, że doładne 5 sztu wadlwych znajdze sę w sprzedanej part towarów? c) Jae jest prawdopodobeństwo, że w sprzedanej part towarów znajdą sę węcej nż 3 bra? d) Jae jest prawdopodobeństwo, że w tej part towarów znajdują sę mnej nż 4 bra? Odpowedz: a) E( ) n p 40 3, 5, (,) e b) P ( 5) f (5) 05 0, 00 (por tablcę prawdopodobeństwa w 5! rozładze Possona, czyl tablcę na ońcu sąż, dla, ; 5) Inne podejśce opera sę na rachunu dystrybuant Korzystamy z tablc dystrybuanty w tym rozładze (por tablcę 3 na ońcu sąż) P ( 5) 5) 4) 5) 4) 0,998 0,99 00 c) P ( 3) 4) 5) x 40) Wyznaczene tego prawdopodobeństwa jest rachunowo dość somplowane Warto węc sorzystać z tablc dystrybuanty rozładu Possona P ( 3) ) 3) 0,9 34 lub z tablc prawdopodobeństwa w tym rozładze (por tablcę na ońcu sąż): 3) [ 0) ) ) (0,30 0,3 0,7 87) 0,9 34 3)] d) 4) 4) 3) 3) 0,9 0) ) ) 3) 0,9 Rozład normalny nne rozłady zmennej losowej cągłej

7 Zmenna losowa cągła jest to taa zmenna, tóra przyjmuje wszyste wartośc z pewnego oreślonego przedzału lczbowego Zmenną losową cągłą jest czas pracy przeznaczony na wyproduowane sztu wyrobu przez pracownów pewnej fabry, waha sę on np w przedzale od 3 do 5 godzn Może zatem przyjąć dowolne wartośc z tego przedzału, np 3, ; 4,3 tp Rozład normalny to najważnejszy rozład zmennej losowej cągłej Odgrywa on w zastosowanach statysty ogromną rolę Zmenna losowa standaryzowana Z Przyład Zbadano wzrost 00 wylosowanych do próby studentów jednej ze szół wyższych w Polsce stwerdzono, że średn wzrost wynos 83 cm, a odchylene standardowe wzrostu wynos 7 cm Znajdź prawdopodobeństwo, że losowo wybrany student: a) Będze nższy nż 9 cm, b) Będze mał wzrost z przedzału pomędzy 7 a 90 cm, c) Będze wyższy nż 00,5cm Załadamy, że rozład wzrostu studentów jest rozładem normalnym z wartoścą oczewaną E( ) x odchylenem standardowym S( x) ( x; S( x)) Należy znaleźć prawdopodobeństwo, że: a) P ( x 9) x 9) 9 83 x 9) ) ) 7 7 (z tablcy na ońcu sąż) 0) 0,50000 ) 0,8430 ) 0,9775 3) 0,9985 ) 0,8430 0,5870 ) 0, ) 0, Odp: Prawdopodobeństwo, że losowo wybrany student będze nższy nż 9 cm wynos 7 b) P ( x x x) x) x 7 x 90) x ) ) 0,843 0,587 0,8 ) 90) x 7) ) ) 7 7

8 Odp: Prawdopodobeństwo, że losowo wybrany student będze mał wzrost pomędzy 7 a 90 cm wynos 0,8 c) x 00,5) x 00,5) 0, ,5 83 ),5) 7 Odp: Prawdopodobeństwo spotana studentów nższych od 00,5 cm wynos 0 Przyład 7 W pewnym teśce psychologcznym przeprowadzonym na 50 wybranych ucznach szoły podstawowej stwerdzono, że średna lczba zapamętanych przez dzec elementów wynosła 5 z odchylenem standardowym równym 5 chcemy znaleźć prawdopodobeństwo, że losowo wybrany uczeń zapamęta: a) mnej nż 5 z zadanych elementów, b) od 5 do 30 z zadanych elementów Załadamy jednocześne, że rozład lczby zapamętanych elementów jest rozładem normalnym Odpowedz a) x 5) x 5) ) 07 b) 5 x 30) x 30) x 5) ) 0,843 0) 0,5000 0,843 0,5000 0, Rozład ch-wadrat ( ) Załadając, że,,, są nezależnym zmennym losowym o rozładze normalnym o parametrach 0, zmenna losowa oreślona jest w sposób następujący:

9 ma rozład z lczbą stopn swobody Zmenna losowa o rozładze ch-wadrat przyjmuje wartośc dodatne, a jej rozład zależy od lczby stopn swobody Dla małych wartośc jest to rozład slne asymetryczny, w marę wzrostu asymetra jest coraz mnejsza: wyznaczamy najczęścej jao: n lub n p gdze: n - lczebność próby, p - lczba szacowanych parametrów z próby Wartość oczewana w rozładze ( ) E( ) Warancja w rozładze ( ) D ( ) Odchylene standardowe w rozładze ( ) D ( ) Przyład 8 Zmenna F ( ) 0,95 ma rozład o 5 stopn swobody Wyznaczyć wedząc, że Korzystamy z tablcy dystrybuanty rozładu F ( ) 0,95, dla 5 oraz P ( ) 0, 05 0,95 5 Otrzymujemy wartość dla 5 37,5 (por tablcę na ońcu sąż) Wyres grafczny: f ( ) 0,95

10 0 37,5 Rozład t-studenta Wartość oczewana w rozładze t-studenta E ( T) 0 dla Warancja w rozładze t-studenta D ( T) dla 3 Odchylene standardowe w rozładze t-studenta D ( T) dla 3 Przyład 9 Zmenna losowa T ma rozład t-studenta z wedząc, że: P ( t T t) 0,9 Odpowedź: 0,9 0, t,78 (por tablcę 5 na ońcu sąż dla wartośc 0,) stopnam swobody Wyznaczyć t