Metody Numeryczne 2017/2018

Transkrypt

1 Metody Numeryczne 7/8 Inormatya Stosowana II ro Inżynera Oblczenowa II ro Wyład 7 Równana nelnowe Problemy z analtycznym rozwązanem równań typu: cos ln 3 lub uładów równań ja na przyład: y yz. 3z y y. y z z.3 Jedyne metody numeryczne pozwalają znaleźć rozwązana. Rozpoczynamy od równań nelnowych jednej zmennej.

2 Równana nelnowe Rozwązywane równań nelnowych postac F( gdze uncja F( jest uncją nelnową jednej zmennej opera sę na twerdzenu ż uncja F( jest cągła w przedzale domnętym [ab] F(aF(b< to w przedzale domnętym [ab] stneje co najmnej jeden perwaste równana F(. Jeżel ponadto pochodna z uncj F( w tym przedzale jest stałego znau to stneje tylo jeden ta perwaste. Typowe dwa ro prowadzące do rozwązana: Perwszy ro - znalezene przedzału zolacj perwasta równana nelnowego tj. przedzału na tórego ońcach uncja ma przecwne zna. Drug ro - onstrucja odpowednej procedury reurencyjnej tóra w procese teracj wygeneruje cąg zbeżny do rozwązana równana. Ne stneją ogólne metody doboru przedzału [ab] ta by uncja mała przecwne zna na ońcach przedzału. Często najlepszym wyjścem jest wstępne tablcowane uncj sprawdzene gdze zmena ona zna. Ne zawsze proste reguły wystarczają (ja na rysunu (a. Nesończene wele mejsc zerowych Podwójne mejsce zerowe (b Asymptoty

3 Równana nelnowe Załóżmy że w przedzale [ab] uncja F( spełna warune: F( a F( b < F( b a 3 Równana nelnowe Metoda bsecj (podzału Proces teracj: znajdujemy F( gdze (jeśl F( to onec teracj a b Jeśl F( a F( < to denujemy b w przecwnym wypadu denujemy a a b 3 powracamy do puntu denujemy sprawdzamy warune. Łatwo sprawdzć że dla ta zdenowanego procesu teracj - < - - węc proces teracj jest zawsze zbeżny co jest nezaprzeczalną zaletą tej metody. Jej wadą jest wolna zbeżność.

4 Równana nelnowe Metoda secznych (cęcw Załadamy że uncja F( jest lasy C w przedzale [ab]. Metoda secznych polega na prowadzenu olejnych cęcw pomędzy puntam na rzywej F( w sposób następujący: F( a 3 4 b Równana nelnowe załóżmy że F( a F( b < równane perwszej cęcwy ma postać stąd F( a a F b F a b a 3 Jeśl F( to ończymy terację y F( a F( b F( a b a a jeśl ne to sprawdzamy czy F( F( a < jeśl ta to podstawamy b jeśl ne to podstawamy a powracamy do puntu. Metoda cęcw jest zawsze zbeżna dla uncj cągłej to na ogół szybcej nż metoda bsecj. Może być w pewnych przypadach słabo zbeżna szczególne gdy mejscem zerowym jest punt położony blso ońców przedzału.

5 Równana nelnowe Metoda stycznych (Newtona. Metoda Newtona jest zblżona do metody secznych z tą różncą że perwaste przyblżany jest przez mejsca zerowe stycznych do uncj F( a ne cęcw tej uncj. F( a b Równana nelnowe Równane prostej stycznej do uncj F( w punce ma postać y F( F ( ( Stąd podstawając y otrzymujemy punt przecęca stycznych z osą rzędnych F( F ( Metoda jest zbeżna jeśl w przedzale gdze występuje perwaste doberzemy w odpowedn sposób punt startowy. Zasada jest następująca: -jeśl F ( a F( a < to a -jeśl F ( b F( b > to b.

6 Równana nelnowe W celu znalezena perwasta należy olejno: - wybrać przedzał [ab] ta by ( a ( b < - wybrać punt startowy a lub b w sposób opsany powyżej F( - oblczyć F ( - jeśl F( ończymy terację - jeśl ne to oblczamy 3 wg wzoru (* td. Metoda Newtona bardzo szybo daje rozwązane nawet gdy punt startowy leży blso perwasta ale w netórych przypadach może ne być zbeżna. Jedną z nebezpecznych sytuacj jest stnene w przedzale [ab] loalnych estremów uncj F(. Traene podczas teracj w ta punt daje pochodną zblżoną do zera czyl olejny punt teracj jest położony w nesończonośc. Równana nelnowe Zmodyowana metoda Newtona. Zmodyowana metoda Newtona jest zblżona do metody Newtona z tą różncą że olejne punty są wyznaczane na przecęcu os X-ów oraz stycznych mających zawsze ten sam erune `(. F( tg(α `( a b 3

7 Równana nelnowe Równane prostej stycznej do uncj F( w punce ma postać y F( F ( ( Stąd podstawając y otrzymujemy punt przecęca stycznych z osą rzędnych F( F ( Następne w celu otrzymana olejnych przyblżeń perwasta równana używamy wzoru F( F ( manown ne ulega zmane Metoda powyższa wymaga węcej teracj (jest wolnej zbeżna natomast una sę oblczana wartośc pochodnej w ażdym olejnym punce co w eece może prowadzć do szybszego otrzymana rozwązana. Równana nelnowe Przyład: Oblczane perwastów wadratowych tj. R Rozwązane jest równoważne rozwązanu równana nelnowego Korzystając z równana teracyjnego Newtona R R F( F ( R np. dla R7 można przyjąć że 4. Otrzymamy wtedy: Ilość cyr znaczących podwaja sę w ażdej teracj. Metoda znajdowana perwasta wyorzystywana w welu bbloteach (a była już znana Heronow z Alesandr - I w n.e.

8 Neortunne przypad gdy metoda Newtona zawodz Równana nelnowe Proces teracj pownen być ończony jeśl w procese teracj osągnęty zostane stan gdy: a gdze jest weloścą co najmnej lanaśce rzędów mnejszą nż zares zmennośc F( w przedzale [ab] b tj. wartośc argumentu ne ulegają zmanom c teracja trwa zbyt długo tj. > ma d znalazło sę na zewnątrz przedzału [ab] e procedura jest rozbeżna tj. cąg F( ne zblża sę do zera (lub oddala sę od nego; w tym wypadu początowy przedzał został wybrany neprawdłowo zbyt szero.

9 Równana nelnowe Metody teracyjne dla równań nelnowych Omówone do tej pory metody rozwązywana równań nelnowych można zapsać w postac: ϕ ϕ ogólne (... ma Oczywśce ażde równane nelnowe może być zapsane w powyższej postac. Aby dowolne równane nelnowe F( sprowadzć do tej postac mnożymy je obustronne przez współczynn dodajemy obustronne. ϕ λ F β F( β F( β F( F( F ( ( Równana nelnowe Jeżel cąg { }... ma grancę sończoną to lczbę tę nazywamy perwastem równana lm ϕ g ϕ( ϕ( ϕ ϕ ϕ( ϕ( π π < ϕ < < ϕ < 4 4

10 Równana nelnowe Można udowodnć twerdzene mówące że gdy [ab] jest przedzałem zolacj perwasta równana ϕ pochodna uncj spełna warune ϕ ( < to proces teracj jest zbeżny do [ a b]. Moduł pochodnej wyrażenu ϕ λf ϕ < mus być mnejszy od jednośc co jest równoważne Rozwązując ostatną nerówność możemy wyznaczyć przedzał wartośc współczynnów λ zapewnających zbeżność procesu. Równana nelnowe Dla uładów równań nelnowych ne stneją unwersalne algorytmy prowadzące do znalezena rozwązana. By unaocznć trudnośc rozwążmy uład dwóch równań nelnowych z dwoma newadomym : ( y g( y g(y (y (y g(y - g(y -

11 Równana nelnowe Rozwążmy następujący uład: Nech ( ( y y będze przyblżonym rozwązanem uładu zaś poprawam tóre dają lepsze przyblżene rzeczywstego rozwązana w puntach Rozwńmy uncję w szereg Taylora z zachowanem wyłączne członów lnowych: J J Rozwązane uładu stneje gdy macerz J jest neosoblwa: Rozwązane jest otrzymywane poprzez welorotne rozwązywane powyższego uładu równań poprawane aprosymacj rozwązana doładnego. Rozwązane uładu jedną z poznanych metod rozwązywana u.r.l. Równana nelnowe Ponżej przedstawony zostane ogólny algorytm do rozwązana uładów równań nelnowych spełnających dość ogólne założena. Nech będze dany uład N uncj nelnowych N Uład ten zapsujemy needy w orme wetorowej [ ] N T [ ] N T Rozwązywane uładów równań odbywa sę najczęścej na drodze sonstruowana pewnego procesu teracyjnego zbeżnego do rozwązana

12 Równana nelnowe Nech wartośc dla -tego rou przyblża wartość perwasta z doładnoścą (odmenne nż dla uncj -zmennej ndes teracj będze psany u góry wetora gdyż ndes dolny oznacza jego -tą sładową czyl T wetor odchył od wartośc rzeczywstej [ N ] 3 Uład wyjścowy przyjmuje postać: ( Jeżel założymy że uncja jest różnczowalna w sposób cągły w pewnym obszarze wypułym zawerającym zarówno ja to ostatne z równań można rozwnąć w szereg Taylora (welu zmennych względem tj. ( ( ( (( Równana nelnowe Wyrażene można zapsać jao ( N [ J j ] I jest to ta zwana macerz Jaobego wadratowa NN. Ne uwzględnając wyrazów małych rzędu węszego nż perwszy można posługując sę notacją macerzową zapsać ( I I Załadając że macerz Jaobego jest neosoblwa otrzymujemy I ( ( Tym samym jawne równane teracyjne ma postać: I Macerz Jaobego może być oblczona albo w sposób analtyczny albo numeryczny.

13 Równana nelnowe Neco odmenną procedurą można zastosować gdy uład równań ( przedstawmy w postac T g g g g g [ N ] Proces teracj ta ja poprzedno onstruowany jest jao g( Jeśl uncja g jest cągła a proces teracj zbeżny to wartość granczna dana jao lm jest perwastem uładu równań. Równana nelnowe Kryterum zbeżnośc procesu teracj wyna z twerdzena mówącego że gdy jej macerz Jaobego g g jest cągła w obszarze V zachodz równość: g q < oraz cąg zawera sę w obszarze V to proces jest zbeżny jest perwastem równana. Poneważ uład ( można zapsać w postac g B różnczowalna otrzymujemy stąd z atu że jest g B Aby był spełnony warune można przyjąć że g ( B ( g