Tadeusz Czernik Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach WPŁYW NIEPEWNOŚCI OZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INTRUMENTÓW POCHODNYCH Wprowadzenie Jednym z filarów współczesnych finansów jes eoria wyceny insrumenów pochodnych. pośród wielu modeli wyceny model Blacka-cholesa [1; 8] w lieraurze przedmiou wyróżnia się prosoą i olbrzymią liczbą odwołań. W większości opracowań poruszana jes kwesia wyceny waniliowych i egzoycznych opcji. pora liczba prac wykazuje nieadekwaność modelu Blacka-cholesa (efek uśmiechu zmienności) [5; 7]. W kręgu zaineresowań badaczy i prakyków znajduje się również analiza wrażliwości ceny insrumenu na zmianę paramerów modelu. Losowa naura akualnych cen derywaów nie jes nasępswem sochasycznej ewolucji cen akcji, lecz jes indukowana saysycznym charakerem procedury esymacji paramerów modelu. Poniższe rozważania doyczą budowy przedziałów ufności akualnych cen wybranych insrumenów pochodnych. 1. Model Blacka-cholesa Rynek insrumenów pochodnych zawdzięcza swój rozkwi m.in. modelowi wyceny insrumenów pochodnych Blacka-cholesa (w 1997 r. Myron choles wraz z Roberem Meronem za badania doyczące wyceny derywaów orzymali nagrodę Nobla z ekonomii; Fischer Black zmarł w 1995 r.). Pomimo wad model en jes jednym z najczęściej sosowanych modeli wyceny. Założenia modelu: 1) inwesor w każdej chwili może zakupić dowolną (nawe niecałkowią) ilość akcji (insrumen bazowy) i insrumenu wolnego od ryzyka, ) dozwolona jes króka sprzedaż,
13 Tadeusz Czernik 3) brak koszów ransakcyjnych (w ym podaków), 4) inwesor może pożyczać i lokować kapiał po ej samej sałej sopie (inensywności) wolnej od ryzyka, 5) brak dywidendy, 6) ewolucja cen akcji jes geomerycznym ruchem Browna (sochasyczne równanie różniczkowe rozumiane jes w sensie Io) [3; 6]: d = μ d + σ dw (1) gdzie: μ dryf, σ zmienność, cena akcji, W proces Wienera, 7) na rynku (insrumen wolny od ryzyka, akcja, insrumen pochodny) nie wysępuje arbiraż, zn. nie można osiągnąć zysku bez narażania się na ryzyko. Pierwsze założenie nie jes realisyczne, gdyż nie można zakupić/sprzedać niecałkowiej liczby akcji. Założenia ego nie możemy opuścić, gdyż w wyprowadzenie równania Blacka-cholesa zaszya jes koncepcja replikacji, zn. konsrukcja porfela imiującego wyceniany insrumen. W prakyce inwesorzy posiadają w swoich porfelach wiele idenycznych derywaów, z kórych każdy opiewa np. na zakup lub sprzedaż 100 akcji. kukiem ego jes duża (najprawdopodobniej niecałkowia) liczba akcji w porfelu replikującym. Ponieważ niemożliwy jes zakup/sprzedaż niecałkowiej liczby akcji, pożądana liczba akcji w porfelu replikującym jes zaokrąglana do liczby całkowiej. Podczas ej fazy wprowadza się błąd rzędu ułamka promila, co sprawia że powyższe założenie możemy zaakcepować. W pierwszym założeniu ukrye jes również założenie doskonałej płynności rynku, co oznacza równowagę popyu i podaży. Drugie założenie w zasadzie zawiera się w pierwszym, jednak ze względu na jego isoność auorzy posanowili je wyeksponować. Trzecie założenie odgrywa isoną rolę, gdyż wraz z upływem czasu zmienia się skład porfela replikującego (dynamiczny hedging). Uwzględnienie koszów ransakcyjnych sprawia, że doskonała replikacja nie jes możliwa. Zagadnienie wyceny w ooczeniu ekonomicznym z koszami ransakcyjnymi sprowadza się do rozwiązania zagadnienia opymalnego serowania lub po zasosowaniu pewnych aproksymacji do nieliniowego cząskowego równania różniczkowego. Ponieważ w przypadku dużych porfeli inwesorzy mogą wynegocjować niskie koszy ransakcyjne, założenie nie wprowadza isonego odsępswa od realiów rynkowych.
Wpływ niepewności oszacowania zmienności na cenę 133 Czware założenie składa się de faco z dwóch założeń: isnieje insrumen wolny od ryzyka oraz sopa oprocenowania ego insrumenu jes jednakowa dla lokay i pożyczki (cena zakupu i cena sprzedaży jes idenyczna). Przyjmuje się, że za insrumen pozbawiony ryzyka można przyjąć insrumeny rządowe (emiowane przez skarb pańswa). Wydarzenia osanich kilku la sprawiły, że do powyższej reguły powinniśmy podchodzić z rezerwą (Islandia, Grecja, Włochy). Należy jednak pamięać, że na ryzyko ych papierów wpływają czynniki makroekonomiczne, a sygnały o pogarszającej się syuacji emiena są idenyfikowalne z wyprzedzeniem. Oznacza o, że jeżeli paramery makroekonomiczne emiena nie wskazują na jego złą kondycję, możemy założyć, że wyemiowany przez niego insrumen będzie prakycznie pozbawiony ryzyka w okresie uzależnionym od charakeru przeprowadzonej analizy makroekonomicznej. Równość sóp wynika przede wszyskim z pierwszego założenia (płynność/równowaga) oraz faku, iż jes o insrumen pozbawiony ryzyka. Piąe założenie sanowi isone odsępswo od realiów rynkowych, nie jes o jednak argumen za odrzuceniem modelu. Omawiana u wersja modelu wyceny jes jedną z najprosszych. Uwzględnienie dywidendy nie sanowi dużego problemu (pozosaje problem modelowania przyszłej dywidendy). zóse założenie wynika po pierwsze z faku, iż w przypadku niewielkiej niepewności przyszłej ceny ( σ << 1) ewolucja ceny powinna być zgodna z zasadą kapializacji ciągłej, po drugie, żądanie sacjonarności infiniezymalnych d + d sóp zwrou = znacznie upraszcza rozważania/obliczenia. Po rzecie, proces Wienera był i jes nadal jednym z najlepiej poznanych i spopularyzowanych procesów sochasycznych. Oczywiście kierowano się również zgodnością z rzeczywisą dynamiką cen (rozkład sóp zwrou jes rozkładem logarymiczno-normalnym). Należy podkreślić, że skonsruowano również modele lepiej odzwierciedlające dynamikę cen insrumenu bazowego oraz ceny derywaów. W niniejszym opracowaniu założono, że paramery modelu sopa wolna od ryzyka, dryf oraz zmienność są sałe, jednak nic nie soi na przeszkodzie, aby modelować je deerminisycznymi funkcjami czasu lub procesami losowymi. Waro podkreślić, że z szósego założenia wynika również, że podmio, kóry wyemiował akcję nie może zbankruować, gdyż cena akcji jes zawsze większa od zera rozwiązanie równania (1) jes większe od zera: = 1 μ σ + σw 0 e > 0 ()
134 Tadeusz Czernik Założenie braku arbirażu jes jednym z filarów meod wyceny. formułowanie: nie można osiągnąć ponadprzecięnych zysków bez narażania się na ryzyko oznacza, że np. w syuacji, gdy począkowa warość nakładów jes większa od zera, warość sopy zwrou nie może być ylko większa lub równa od sopy insrumenu wolnego od ryzyka, przy czym prawdopodobieńswo, że sopa zwrou z inwesycji w porfel będzie większa od sopy wolnej od ryzyka jes dodanie. Podobnie jak większość omówionych wcześniej założeń nie jes ono założeniem realisycznym. W realiach rynkowych wysępuje arbiraż, a graczy wykorzysujących możliwość osiągnięcia zysku bez narażania się na ryzyko nazywa się arbirażysami. Niemniej jednak w dobie powszechnej informayzacji syuacje, w kórych można osiągnąć zysk ze sraegii arbirażowej wysępują sosunkowo króko. Mechanizm podażowo-popyowy sprawia, iż arbiraż zanika bardzo szybko. ąd swierdzamy, że założenie o jes akcepowalne. Ponieważ jedynymi zmiennymi są czas i cena insrumenu bazowego, V,. możemy założyć, że cena derywau będzie funkcją czasu i ceny akcji ( ) Z lemau Io [6] wynika, że ewolucja ceny insrumenu pochodnego będzie dana nasępującym sochasycznym równaniem różniczkowym (pominięo argumeny, ): ( ) V V 1 V V dv = + μ + σ d + dw σ gdzie dw jes idenyczny z przyrosem procesu Wienera wysępującym we wzorze (1). Oznacza o możliwość skonsruowania porfela pozbawionego niepewności, czyli również ryzyka (niepewność jes warunkiem koniecznym wysąpienia ryzyka). Załóżmy, że wysawiliśmy opcję i zamierzamy zneuralizować ryzyko krókiej pozycji (hedging dynamiczny) dokonując zakupu pewnej liczby akcji Δ. Ewolucja warości ak skonsruowanego porfela P = Δ V dana jes wzorem (wymagamy również, aby porfel był porfelem samofinansującym, w przeciwnym przypadku wysępowałby insrumen nieuwzględniony na naszym rynku): dp = Δd dv = V = + V 1 V V (4) Δ σ d + Δ dw σ μ V Jak ławo zauważyć, dobierając liczbę akcji Δ ak, aby Δ = sprawimy, że sochasyczne równanie różniczkowe (4) nie będzie zawierało czynnika odpowiadającego za losowość (ryzyko): (3)
Wpływ niepewności oszacowania zmienności na cenę 135 dp V V 1 V d dv = d σ (5) = Ponieważ warość ak skonsruowanego porfela ewoluuje w sposób deerminisyczny (wolny od ryzyka), jego dynamika musi być idenyczna z dynamiką warości insrumenu wolnego od ryzyka. W przeciwnym przypadku można by skonsruować sraegię arbirażową (jedno z założeń wykluczało wysąpienie arbirażu). Oznacza o, że: czyli: V dp = rpd = r V d (6) V V 1 V r V d = d σ (7) Osaecznie orzymujemy (dzieląc przez d > 0 ): V 1 V V + σ + r rv = 0 (8) Uzupełniając powyższe równanie (Blacka-cholesa) o odpowiedni warunek (końcowy, brzegowy) i rozwiązując powyższe równanie różniczkowe cząskowe orzymamy formułę wyceny insrumeny pochodnego. Na podkreślenie zasługuje fak, że akualna warość opcji nie zależy od współczynnika dryfu μ, lecz jedynie od sopy wolnej od ryzyka, zmienności, czasu, akualnej ceny akcji i paramerów pochodzących z warunków końcowych i brzegowych. Oznacza o, że warość opcji jes wielkością deerminisyczną, w pełni deerminowaną powyższymi paramerami.. Przedziałowe oszacowanie ceny opcji W prakyce nie znamy rzeczywisych warości zmienności σ i sopy wolnej od ryzyka r. Niniejsze opracowanie doyczy jedynie przypadku nieznanej warości zmienności. W celu jego oszacowania sosuje się narzędzia analizy saysycznej. Ponieważ immanenną cechą procedur saysycznych jes niepewność orzymanych wielkości, niepewność oszacowania zmienności propaguje się na oszacowanie ceny opcji V (,, σ, r,... ), gdzie kropki oznaczają zależność od paramerów wysępujących w warunkach końcowym oraz brzegowym.
136 Tadeusz Czernik W przypadku europejskich opcji waniliowych call i pu wyznaczenie przedziałów ufności ich cen nie przedsawia rudności, gdyż ich ceny są rosnącymi funkcjami zmienności (dla < T ) [4]: c p Vega = = = N ' 1 > σ σ ( d ) T 0 (9) gdzie: d 1 ln = K 1 + r + σ T σ ( T ) c warość opcji call, p warość opcji pu, K cena wykonania, T daa wykonania opcji, akualny momen czasu,., N ( ) dysrybuana sandardowego rozkładu normalnego ( '(.) N gęsość sandardowego rozkładu normalnego). Oszacowania przedziałowe cen mają w ym przypadku posać (poziom ufności wynosi 0,95; symeryczny podział isoności): ( (,, σ ), V (, σ ) V (10) 0,05, 0,975 gdzie: V warość opcji call/pu, ( ) ˆ +Δ 1 ln n D = σ, Δχ α α 1 α 1, n 1 ( ) ˆ +Δ 1 ln n D = σ, Δχ α, n 1
Wpływ niepewności oszacowania zmienności na cenę 137 + Δ Dˆ ln warość nieobciążonego esymaora wariancji logarymicznych sóp zwrou, n liczebność próby, 1 Δ odsęp czasu między noowaniami (w opracowaniu przyjęo Δ = ). 50 Waro podkreślić, że wielkości σ i nie są kwanylami kwadrau α σ1 α zmienności (zmienność σ jes wielkością deerminisyczną), lecz są końcami przedziału, kóry na zadanym poziomie ufności pokrywa rzeczywisą warość kwadrau zmienności. W ogólności warość insrumenu pochodnego nie jes monooniczną funkcją zmienności. Można wedy zasosować wzory ransformacyjne dla prawdopodobieńsw lub gęsości, wymaga o jednak znajomości punków, w kórych zmienia się rodzaj monooniczności ceny insrumenu pochodnego. Auorzy wykorzysali rozwiązanie symulacyjne. Wygenerowane kwadray zmienności podsawiano do wzoru na warość opcji, a nasępnie wyznaczono empiryczne kwanyle cen. Przykładowe wykresy zaprezenowano dla europejskiej opcji call Cash-or- -Nohing (członek większej rodziny opcji ypu binary/digial). Profil wypłay ej opcji ma posać [4]: Payoff X = 0 gdy gdy T T > K K (11) gdzie X jes kwoą wypłacaną, gdy opcja jes in-he-money ( T > K ), T jes ceną insrumenu bazowego (akcji) w dniu wykonania opcji. Cena wyznaczona z modelu Blacka-cholesa dana jes wzorem [4]: c = Xe r ln ( T ) N K 1 σ + r σ T ( T ) (1)
138 Tadeusz Czernik Obliczając pochodną ze względu na zmienność orzymujemy: c Vega = = σ ln r( T ) = Xe N' K + 1 r σ ( T ) ln + r( T ) (13) K 1 + T T σ σ W przypadku, gdy wyrażenie ln + r( T ) jes ujemne, cena opcji ma K mieszaną monoonicznośćć (ze względu na zmienność). Rysunek 1 przedsawia przedziałowe oszacowanie ceny opcji w zależności od czasu do wykonania T ( n =100, K = 1,1, X =, =1, r = 0,05, ˆ σ = Dˆ ln Δ +Δ = 0,04 ). Rys. 1. Przedziałowe oszacowanie ceny europejskiej opcji digial w zależności od czasu wy- konania. Warości pozosałych paramerów w ekście
Wpływ niepewności oszacowania zmienności na cenę 139 Zauważmy, że rozpięość przedziału ufności ma minimum lokalne w okolicach czasu równego około 1,4. W okolicach ego czasu do wykonania znajduje się miejsce zerowe pochodnej (minimum wrażliwości ceny ze względu na zmienność). Gdyby wyznaczyć aproksymację odchylenia sandardowego rozkładu cen okazałoby się, że z dokładnością do wyrazów pierwszego rzędu jego warość wynosi zero. Oznacza o, że w okolicach minimum wrażliwości należy sosować aproksymacje co najmniej drugiego rzędu (prose wprowadzenie do poruszonej wyżej echniki aproksymacji można znaleźć np. w []). Rysunek przedsawia sosunek oszacowania punkowego ceny opcji do rozpięości przedziału ufności (warości paramerów jak wyżej). Rys.. osunek oszacowania punkowego do rozpięości przedziału ufności w zależności od czasu wykonania. Warości pozosałych paramerów w ekście Jak wynika z rys., największą względną dokładność orzymujemy dla czasu do wykonania wynoszącego około 1,4. Błąd oszacowania mierzony rozpięością przedziału sanowi ułamek procena oszacowania punkowego, jednak dla większości czasów błąd en jes rzędu 10% oszacowania punkowego. Rysunek 3 przedsawia oszacowanie przedziałowe ceny opcji dla różnych warości ceny wykonania ( n =100, T =1, X =, =1, r = 0,05, ˆ ln +Δ D ˆ = σ = 0,04 ). Δ
140 Tadeusz Czernik Rys. 3. Przedziałowe oszacowanie ceny europejskiej opcji digial w zależności od ceny wykonania. Warości pozosałych paramerów w ekście Podobnie jak poprzednio, minimum lokalne rozpięości przedziału osiągane jes punkcie, w kórym Vega opcji jes równa zero ( K 1, 07 ). Rysunek 4 przedsawia sosunek punkowego oszacowania do rozpięości przedziału ufności w zależności od ceny wykonania (paramery, jak w przypadku rys. 3). Podobnie jak wyżej zauważamy, że najmniejszy względny błąd oszacowania (poniżej jednego procena) ceny osiągany jes (lokalnie) w okolicach ceny wykonania równej 1,07, jednak w przeważającej części obszaru (wykresu), w kórym opcja jes ou-of-he-money warość względnego błędu jes rzędu kilkudziesięciu procen. Rys. 4. osunek oszacowania punkowego do rozpięości przedziału ufności w zależności od ceny wykonania. Warości pozosałych paramerów w ekście
Wpływ niepewności oszacowania zmienności na cenę 141 Jak można było zauważyć w powyższych rozważaniach, rozpięość oszacowania przedziałowego ceny opcji jes nierywialną funkcją paramerów rynkowych. Z uwagi na ograniczoną ilość miejsca nie przedsawiono oszacowań przedziałowych w zależności od pozosałych paramerów. Podsumowanie W większości opracowań poruszających wycenę insrumenów pochodnych podawane są ylko wzory analiyczne na warość derywau. pory odseek prac porusza również analizę wrażliwości ceny na zmiany warości paramerów. Omówiona praca jes jedną z niewielu, w kórych auorzy przedsawiają propagację błędu oszacowania paramerów sochasycznej ewolucji ceny insrumenu bazowego na cenę derywau. Przeprowadzona analiza pokazuje, że zależność błędu oszacowania mierzonego rozpięością przedziału ufności od paramerów modelu jes nierywialna. Można się spodziewać, że w przypadku opcji o bardziej skomplikowanej funkcji wypłay (np. w przypadku opcji egzoycznych, koszykowych) oraz w bardziej realisycznych modelach sochasycznej dynamiki złożoność zależności będzie wyższa od przedsawionej w pracy. Lieraura 1. Bjork T., Arbirage heory in coninuous ime, Oxford Universiy Press 009.. Casella G., Berger R.L., aisical inference, Cengage Learning 009. 3. Czernik T., kazani na formalizm Io?, w: Meody maemayczne, ekonomeryczne i informayczne w finansach i ubezpieczeniach, red. P. Chrzan, Akademia Ekonomiczna, Kaowice 006. 4. Haug E.G., The complee opion pricing formulas, McGraw-Hill 007. 5. Laane H., Rendleman R., andard deviaions of sock price raios implied in opion prices, J. Finance 1976, No. 31. 6. Oksendal B., ochasic differenial equaions, pringer 007. 7. Rubinsein M., Implied Binomial Trees, Journal of Finance 1994, Vol. 49, No. 3. 8. hreve.e., ochasic calculus for finance. Coninuous-ime model, pringer 008. 9. obczyk M., aysyka, PWN, Warszawa 00.
14 Tadeusz Czernik AE THE IMPACT OF UNCERTAINTY ON THE PRICE VOLATILITY DERIVATIVE ummary Valuaion of derivaives is one of he mos discussed opics of scienific reaises. In his paper we assess he likely impac of uncerainy on he price volailiy of derivaive. Resuls are presened on he example of he European digial opion. I has been shown non-rivial dependence of he span of he confidence inerval of he model parameers.