WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ WRAZ Z SYMULACJAMI NUMERYCZNYMI

Transkrypt

1 Zeszyy Naukowe Wydziału Informaycznych Technik Zarządzania Wyższej Szkoły Informayki Sosowanej i Zarządzania Współczesne Problemy Zarządzania Nr 1/2010 WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ WRAZ Z SYULACJAI NUERYCZNYI Pior Nowak, aciej Romaniuk Insyu Badań Sysemowych Polskiej Akademii Nauk, Warszawa pior.nowak@ibspan.waw.pl, maciej.romaniuk@ibspan.waw.pl Klasyczny model ubezpieczeniowy związany jes z wysępowaniem częsych, ale niewielkich i niezależnych szkód. Tymczasem kaasrofy nauralne powodują szkody rzadko wysępujące, o dużych warościach, zależne geograficznie i czasowo. Dlaego coraz częssze kaasrofy nauralne skukują problemami ze sabilnością finansową ubezpieczycieli. W związku z ym przydane może być wykorzysanie jednocześnie różnych insrumenów finansowych i ubezpieczeniowych w posaci jednego, zinegrowanego porfela. Jednym z ego ypu insrumenów mogą być obligacje kaasroficzne (w j. ang. caasrophe bonds. W arykule przedsawiamy przykład akiej obligacji wraz z meodą jej wyceny oraz analizą własności z wykorzysaniem symulacji meodami one Carlo. Słowa kluczowe: obligacje kaasroficzne, meoda maryngałowa, symulacje one Carlo 1. Wprowadzenie Wysępowanie coraz częsszych kaasrof nauralnych, akich jak huragany, rzęsienia ziemi czy powodzie, skukuje również zwiększającymi się sraami finansowymi i maerialnymi. Przykładem mogą być uaj szkody wynikłe z huraganu Andrew (1992, oceniane na 30 mld dolarów (parz np. uermann, W Polsce problemem są z kolei kaasrofalne powodzie, kóre w roku 2010 nawe kilkakronie nawiedzały pewne rejony naszego kraju. Isnieje wiele przyczyn wzrosu wielkości sra maerialnych spowodowanych kaasrofami nauralnymi. Jak wskazują niekórzy badacze, częsość wysępowania niekórych zdarzeń może mieć źródło w zmianach klimaycznych i zjawisku globalnego ocieplenia. Rosnąca warość szkód może być również spowodowana zwiększeniem gęsości zaludnienia na zagrożonych obszarach (np. brzegach wylewających rzek, blisko linii brzegowej oceanu, jak również błędami w zagospodarowaniu przesrzennym, czy eż ubóswem i zaniedbaniem infrasrukury zabezpieczającej przed negaywnymi skukami kaasrof nauralnych, akimi jak amy i wały przeciwpowodziowe w przypadku powodzi. Oprócz sra ludzkich, ubożenia społe-

2 P. Nowak,. Romaniuk czeńswa, czy bezpośrednich sra w infrasrukurze, kaasrofy nauralne mają eż negaywny wpływ na sabilność finansową ubezpieczycieli. Po huraganie Andrew ponad 60 przedsiębiorsw ubezpieczeniowych miało problemy ze swoją płynnością finansową (parz np. uermann, Wynika o nie ylko z ogromnej warości samych sra, ale również z faku, iż klasyczne mechanizmy ubezpieczeniowe (parz np. Borch, 1947 nie są dobrze przysosowane do szkód wynikających z wysępowania dużych kaasrof nauralnych (parz np. Ermoliev i in., Klasyczny model ubezpieczeniowy związany jes z wysępowaniem częsych, ale niewielkich i niezależnych szkód, akich jak odszkodowania wynikające z uszkodzeń samochodów w słuczkach, pokrycie sra spowodowanych zalaniem mieszkania przez sąsiada lub pojedynczym włamaniem do domu. Dlaego sandardowy porfel ubezpieczeniowy budowany jes zgodnie z zasadą: im więcej (heerogenicznych, czyli różnorodnych ryzyk, ym lepiej dla ubezpieczyciela (parz np. Borch, 1947; Ermoliev i in., 2001, zn. ym mniejsze jes prawdopodobieńswo jego bankrucwa. Dzięki zasosowaniu odpowiedniej, klasycznej meodologii, np. rachunku prawdopodobieńswa i cenralnego wierdzenia granicznego, możliwe jes wyznaczenie składki ubezpieczeniowej i oszacowanie prawdopodobieńswa bankrucwa ubezpieczyciela w przypadku danego porfela ryzyk, czyli zw. ryzyka ruiny. Tymczasem kaasrofy nauralne powodują szkody rzadko wysępujące, o dużych warościach, zależne geograficznie i czasowo pojedyncze rzęsienie ziemi może zniszczyć jednocześnie wiele domów, ulic, fabryk, samochodów, id., może również wzniecić pożary, spowodować podopienia lub doprowadzić do licznych kradzieży i dalszych dewasacji mienia. W podobny sposób można parzeć na skuki powodzi, kóre oprócz podopień i bezpośredniego zniszczenia całych regionów kraju mogą skukować np. kradzieżami, sraami w produkcji rolniczej w dłuższej perspekywie czasu (pola nienadające się do użyku po ich zalaniu, id. Dlaego radycyjne podejście ubezpieczeniowe sosowane przy budowie porfela (więcej ryzyk o lepszy porfel może prowadzić bezpośrednio do bankrucwa ubezpieczyciela (parz np. Ermoliev i in., Oczywiście, oprócz negaywnego wpływu na ubezpieczycieli, kaasrofy nauralne mają również isony wpływ na budżey samorządów, a nawe rządów pańsw. W szczególności doyczy o syuacji, w kórych znaczna część podmioów (zarówno przedsiębiorców, jak i obywaeli nie ubezpiecza się przed skukami poencjalnie poważnych kaasrof nauralnych. Uważają bowiem oni, że rekompensaa ich sra jes obowiązkiem władzy (lokalnej lub cenralnej. Powoduje o, że budżey samorządowe i cenralne narażone są na nagłe, niespodziewane i wysokie wydaki lub wzros niezadowolenia społecznego. Przykładem może być uaj syuacja wynikła po powodziach w Polsce w roku W związku z powyższym, przydane może być wykorzysanie równocześnie innych insrumenów finansowych i ubezpieczeniowych w posaci jednego, zinegrowanego porfela, przez ubezpieczyciela lub np. przez samorząd. Jednym z akich insrumenów mogą być obligacje kaasroficzne (w j. ang. caasrophe bonds, ca bonds lub Ac-of-God bonds, parz np. Ermolieva i in., 2007; Nowak i in., 2008; 24

3 WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ I JEJ SYULACJE Nowak i Romaniuk, 2009; Romaniuk i Ermolieva, W celu konsrukcji ego ypu porfela i analizy jego właściwości niezbędna jes wycena odpowiedniego ypu insrumenów finansowych, m.in. właśnie obligacji kaasroficznych. Również rozwiązaniem problemu narażenia budżeów samorządów i rządu cenralnego na przerzucenie koszów przez osoby nieubezpieczone mogą być wspomniane hierarchiczne skonsruowane porfele złożone z insrumenów finansowych i ubezpieczeniowych, np. obowiązkowego ubezpieczenia, obligacji kaasroficznej, pomocy rządowej i zagranicznej. W akim przypadku wykorzysanie każdego kolejnego składnika porfela zależy od przekroczenia odpowiednich poziomów warości przez sray spowodowane kaasrofą (parz np. Nowak i Romaniuk, W niniejszym arykule analizujemy pewien przykład obligacji kaasroficznej. W punkcie 2 przedsawiamy ogólny zarys problemayki obligacji kaasroficznych. Punk 3 arykułu poświęcony jes prezenacji przykładu akiej obligacji oraz jej wyceny dla uogólnionego modelu Vasicka sopy procenowej. Zasosowanie wspomnianego modelu, będącego szczególnym przypadkiem modelu Hulla Whie a, pozwala na dokładne dopasowanie dynamiki sopy procenowej do począkowej srukury erminowej. Do wyceny obligacji sosujemy meodę maryngałową. W punkcie 4 przedsawiamy wyniki analizy właściwości ej obligacji kaasroficznej, wykorzysując przy ym symulacje numeryczne. Osani, piąy punk arykułu zawiera podsumowanie uzyskanych wyników. 2. Obligacje kaasroficzne Pojedyncza, poważna kaasrofa nauralna może powodować sray rzędu nawe miliardów dolarów. oże o skukować problemami ze sabilnością finansową ubezpieczycieli (parz np. Cummins i in., 2002 i prowadzić do ich bankrucwa. Tymczasem warości dziennych zmian na świaowych rynkach finansowych sięgają dziesiąków miliardów dolarów. Dlaego sworzone zosały insrumeny finansowe, kórych zadaniem jes,,przepakowanie ryzyka związanego ze szkodami spowodowanymi kaasrofami nauralnymi do posaci zesandaryzowanych insrumenów finansowych, kórymi można handlować na rynkach finansowych w sposób płynny. Insrumeny akie ransferują ryzyko i odpowiednie przepływy pieniężne pomiędzy rynkami ubezpieczeniowymi a rynkami finansowymi. Ich przykładem są obligacje kaasroficzne (parz np. Cox i in., 2000; George, 1999; Nowak i in., 2008; Nowak i Romaniuk, 2009; Romaniuk i Ermolieva, Zosały one wprowadzone na rynki w laach 90-ych ubiegłego wieku i sały się popularne po roku 1997, kiedy o USAA, firma ubezpieczeniowa z Teksasu, wyemiowała dwie nowe klasy obligacji kaasroficznych: A-1 i A-2. Rynek obligacji kaasroficznych wykazuje ciągłą endencję wzrosową, np. w roku 2002 miał warość 1,22 mld $, a w roku ,73 mld $. Przewidywany jes dalszy dynamiczny rozwój ego rynku. Wypłay w przypadku obligacji kaasroficznych zależą od dwóch zmiennych: zachowania się pewnego insrumenu podsawowego (np. sopy procenowej LIBOR, podobnie jak w przypadku klasycznych obligacji oraz wysąpienia usalo- 25

4 P. Nowak,. Romaniuk nego zdarzenia (np. pewnego ypu kaasrofy nauralnej dla ściśle określonego eryorium i okresu czasowego. Zdarzenie akie nazywa się riggering poin i zmienia ono srukurę wypła obligacji kaasroficznej. W przypadku obligacji A-1 oprocenowanie wypła związane było ze sopą procenową i było równe LIBOR plus 282 punky bazowe. Triggering poin był określony jako przekroczenie sumy 1 mld $ przez warość roszczeń ubezpieczonych względem USAA, spowodowanych huraganem na wschodnim wybrzeżu USA pomiędzy a Gdyby suma a zosała przekroczona, kupon obligacji A-1 nie zosałby wypłacony. Triggering poin może być związany z różnorodnymi zdarzeniami kaasroficznymi i miarami dla nich, akimi jak siła rzęsienia ziemi mierzona w skali Richera, wysokość powodzi, poziom wód opadowych (parz np. Nowak i in., 2008, indeks sra przemysłu ubezpieczeniowego, esymowana modelem wielkość szkód wywołanych kaasrofą nauralną, id. Zazwyczaj przepływy finansowe związane z obligacją kaasroficzną zarządzane są przez specjalny fundusz zwany SPV (Special Purpose Vehicle, parz np. Vaugirard, Na kono SPV wpływają składki reasekuracyjne płacone przez ubezpieczyciela oraz opłay ze sprzedaży obligacji. Przychody e są nasępnie inwesowane w celu późniejszego wykorzysania przy płanościach dla posiadaczy obligacji, akich jak wypłay związane z kuponami i warością nominalną obligacji, a w przypadku zajścia riggering poin również do pokrycia sra ubezpieczyciela. Obligacje kaasroficzne są, podobnie jak klasyczne obligacje, oceniane przez firmy rankingowe, kóre przyznają odpowiednie oceny związane z poziomem ryzyka danej obligacji. Oprócz obligacji kaasroficznych isnieją inne insrumeny pochodne powiązane z wysępowaniem kaasrof nauralnych. Przykładem mogą być uaj opcje kaasroficzne. Oprócz firm ubezpieczeniowych, sprzedażą ego ypu insrumenów mogą być również zaineresowane samorządy (np. obligacje powodziowe dla gminy, rządy poszczególnych pańsw, a w przypadku kupna również indywidualne osoby (np. obligacje pogodowe powiązane z poziomem opadów dla rolników, parz np. Nowak i in., Wycena obligacji W pierwszej części niniejszego punku wprowadzimy oznaczenia i przedsawimy niezbędne definicje związane z obligacjami kaasroficznymi oraz ich wyceną. Zdefiniujemy procesy sochasyczne porzebne do opisu dynamiki zmian krókoerminowej sopy procenowej oraz zależności zagregowanej wielkości szkód kaasroficznych od czasu. Rozparywane procesy sochasyczne będą procesami z czasem ciągłym. Ich horyzon czasowy będzie miał posać [ 0, T '] dla usalonej warości T '> 0. Będziemy zakładać ponado, że ermin wygaśnięcia obligacji kaasroficznej T nasępuje najpóźniej w momencie T ', zn., że T T '. Założenie o pozwoli poprawnie zdefiniować pojęcie braku arbirażu dla rodziny cen obligacji zerokuponowych (Definicja 2. W dalszej części ego punku rozparywać będziemy dwie miary probabilisyczne: P i. Warości oczekiwane oraz warunkowe warości ocze- 26

5 WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ I JEJ SYULACJE kiwane względem ych miar oznaczać będziemy odpowiednio symbolami: E. P E i Niech ( [ 0, T '] W będzie ruchem Browna. W proponowanej przez nas meodzie wyceny obligacji kaasroficznej ruch Browna użyy zosanie do opisu dynamiki krókoerminowej sopy procenowej (parz równanie (2. Niech ( U i i=1 będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o ym samym rozkładzie i ograniczonym drugim momencie. Zakładamy, że dla dowolnego [ 0, T '], zagregowana wielkość szkód kaasroficznych do momenu opisana jes złożonym procesem Poissona N ~, danym wzorem N ~ N = Ui, i= 1 [ 0, T '], N jes procesem Poissona o inensywności κ. Dla usalonej miary gdzie ( [ 0, T '] probabilisycznej P, względem kórej proces ( [ 0, T '] N = 0 0 P - p.n., P E N κ oraz = dla [ 0, T '] ( s [ κ( s ] κ P( N N s = k = e, k = 0,1,2,... k! 27 k N jes procesem Poissona, dla 0 s T '. omen skoku procesu ( N inerpreujemy jako momen zajścia zjawiska [ 0, T '] kaasroficznego. Wielkość szkody w każdym usalonym momencie skoku procesu N (zn. momencie, w kórym ΔN = N N = 1 jes zmienną losową wybraną z U losowe ciągu ( i i=1. W części symulacyjnej (punk 4 arykułu przyjmiemy, że zmienne ~ N jes niemalejącym procesem U i mają rozkład Gamma. Proces ( [0, T ' ] sochasycznym, kórego rajekorie są prawosronnie ciągłe i mają posać schodkową. Dla wyznaczenia analiycznej posaci formuły wyceny obligacji kaasroficznej posłużymy się meodą maryngałową. eoda a wymaga precyzyjnego zdefiniowania przesrzeni probabilisycznej z filracją. W przyjęym przez nas modelu F określona jes wzorami filracja ( [ 0, T ' ] F F 1 = σ = σ ( F F, F = σ ( Ws, s, ~ ( N, s, [ 0, T ']. s

6 P. Nowak,. Romaniuk Ponado zakładamy, że σ - ciało F 0 jes generowane przez zbiory miary P zero, zn. F σ ({ A F : P( 0} 0 = A = U są niezależne. Przy powyższych założe- oraz że ( W [ 0, T '], ( N [ 0, T ' ] i ( i i =1 niach, przesrzeń probabilisyczna z filracją, F, ( F [ 0, T ' ], warunki, zn. σ - ciało F jes P - zupełne, filracja ( [ 0, T '] 28 ( P ciągła i σ - ciało F 0 zawiera wszyskie zbiory miary P - zero. Ω spełnia zwykłe F jes prawosronnie Niech k 1 > 0 będzie wielkością szkód, powyżej kórej nasępuje ransfer środków finansowych (np. wypłaa odpowiednich środków, zgromadzonych przez SPV, ubezpieczycielowi z obligacji kaasroficznej w momencie jej wygaśnięcia. Definiujemy momen sopu τ związany z riggering poin obligacji. τ ( ω = inf N ( ω [0, T '] ~ { > k } T ', gdzie jes dwuargumenowym operaorem minimum. Przedsawimy obecnie opis poszczególnych elemenów rynku finansowego, zdefiniujemy obligację kaasroficzną oraz pojęcie braku arbirażu. B oznaczamy kono bankowe spełniające równanie sochasyczne Symbolem ( [ 0, T '] gdzie ( [ 0, T '] 1 db = r B d, B 0 =1, r = r jes procesem opisującym wolną od ryzyka krókoerminową sopę procenową. Zakładamy, że na rynku finansowym isnieje możliwość handlu obligacjami zerokuponowymi. Niech B (, T oznacza cenę w momencie zerokuponowej obligacji o erminie wygaśnięcia T T ' i warości nominalnej 1. Niech 0 w 1 będzie pewną sałą rzeczywisą, określającą procenową uraę warości obligacji, zn. procenową część jej warości nominalnej, kóra jes racona przez posiadacza obligacji w przypadku zajścia riggering poin. Definicja 1. Symbolem IB ca (, T, Fv τ oznaczamy obligację kaasroficzną o warości nominalnej Fv, erminie wygaśnięcia i wypłay T, kóra spełnia nasępujące założenia. a Jeżeli wielkość szkód przekroczy warość k 1 nie później niż w erminie wyga-

7 WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ I JEJ SYULACJE śnięcia, zn. τ T, posiadacz obligacji orzymuje wypłaę równą Fv( 1 w. b Jeżeli τ > T, wypłaa dla posiadacza obligacji jes równa warości nominalnej Fv. Dla obligacji kaasroficznej IB ca (, T, Fv formułą vib ca v, τ funkcja wypłay ( τ, T Fv dana jes IB ca = FvI > + 1 w FvI = Fv( 1 wi τ. ( τ, T, Fv { τ T} ( { τ T } { T} W naszych dalszych rozważaniach zakładać będziemy, że rynek finansowy pozbawiony jes możliwości arbirażu. Pojęcie braku arbirażu dla rodziny cen obligacji zerokuponowych w sposób ścisły opisuje poniższa definicja. Definicja 2. B(, T, T T ' nazywamy wolną od arbirażu rodziną cen obligacji zerokuponowych względem sopy zwrou r, jeżeli spełnione są nasępujące warunki: a ( T, T = 1 T 0, T '. B dla każdego [ ] b Isnieje miara probabilisyczna, równoważna P aka, że proces zdyskonowanej ceny obligacji zero-kuponowej jes maryngałem względem. (, T / B, [ 0, T ], B Jeżeli spełnione są warunki Definicji 2, formuła wyceny przyjmuje posać T (, T E ru du = e F, [ 0, T ]. B W Definicji 2 równoważność P i oznacza, że e same zbiory należące do F są dla obu miar probabilisycznych zbiorami miary 0. λ = u λ Niech będzie usaloną sałą, związaną z rynkową ceną ryzyka dla obligacji zerokuponowych. Nasępująca pochodna Radona Nikodyma definiuje miarę probabilisyczną równoważną P, aką że B(, T / B, [ 0, T ], jes maryngałem względem : d T 1 T 2 = exp udwu udu P p. n. dp λ 0 2 λ (1 0 Dla uzyskania formuły wyceny obligacji kaasroficznej IB ca ( τ, T, Fv przy założeniu braku arbirażu, niezbędny jes opis dynamiki wolnej od ryzyka kró- 29

8 P. Nowak,. Romaniuk koerminowej sopy procenowej r = ( r [ 0, T ']. Symbolem (, T oznaczamy warość w momencie chwilowej rynkowej sopy forward o erminie zapadalności T. W szczególności, f ( 0, T jes związana z począkową srukurą erminową P ( 0, T poprzez formułę f (0, T = 30 ln P (0, T. T Przyjmujemy model Hulla Whie a (uogólniony model Vasicka krókoerminowej sopy procenowej. Dynamikę r opisuje równanie sochasyczne dr ( = ( ϑ ar d + σdw f ( (2 dla dodanich sałych a i σ oraz dopasowanej do srukury erminowej funkcji ϑ posaci f ϑ( = (0, + af 2 σ (0, + (1 e 2a 2a λσ. Poza niewąpliwą zaleą, kórą jes możliwość dopasowania funkcji ϑ do począkowej srukury erminowej, model Hulla Whie a o dynamice sopy procenowej opisanej równaniem (2 charakeryzuje się w prakyce finansowej sosunkowo niewielkim prawdopodobieńswem ujemnej sopy procenowej w usalonym momencie (parz np. Brigo i ercurio, W dalszej części ego punku arykułu będziemy zakładać neuralny sosunek rynków finansowych do ryzyka kaasroficznego. Zasosujemy meodologię opisaną w Vaugirard (2003 oraz Nowak i Romaniuk (2009 do wyceny obligacji kaasroficznej. Dla skrócenia zapisu formuły wyceny wprowadzamy dysrybuanę Φ momenu sopu τ. ożna udowodnić, że Φ ~ ( T = P( NT >. Twierdzenie 1. Niech IB ( będzie ceną IB ca (, T, Fv gdzie i IB B ( (, (, T A T Fve k 1 τ w momencie. Wówczas r = [ 1 we ( I{ τ T } F ], (3 (0, T 1 a ( ( a ( T, T = 1 e B σ 4a (, exp 2a 2 T = B(, T f ( 0, ( 1 e B(, T. A P P (0, 2

9 WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ I JEJ SYULACJE W szczególności, cena obligacji IB ca (, T, Fv przyjmuje posać IB ( = P (0, T exp B( 0, T f ( 0,0 τ w chwili począkowej 0 B ( ( 0, T r Fve (1 wφ( T. 0 0 Szkic dowodu. Po zmianie wyjściowej miary probabilisycznej P na równoważną miarę maryngałową przy zasosowaniu pochodnej Radona Nikodyma (1, równanie (2 przyjmuje posać dr ( = ( ϑ + λσ ar d + σdw. ( Z formuły wyceny obligacji zerokuponowej w modelu Hulla Whie a (parz Brigo i ercurio, 2006 wynika, że E exp T ru du F = A B (, ( T T Fve r,. Ponieważ exp T r u du i v IB ca ( τ, T, Fv są niezależne względem, T IB( = E exp r ( IB (, T, Fv. udu F E v F ca τ v, Z niezależności ( τ, T Fv i W, dla = 0, IB ca E vib ca = E P vib ca P d P ( τ, T, Fv = E vib (,, E vib (, T, Fv E ca τ T Fv = ca τ dp = Fv( 1 wφ T. ( τ, T, Fv ( d dp P Funkcja ( 0, T opisuje zależność ceny rynkowej w chwili 0 obligacji zerokuponowej od erminu wygaśnięcia T. Zazwyczaj dysponujemy niewielką liczbą P 31

10 P. Nowak,. Romaniuk danych doyczących obligacji zerokuponowych o różnych erminach wygaśnięcia. Dla uzyskania konkrenej posaci formuły (3 porzebny jes analiyczny opis funkcji P ( 0, T. ożemy uzyskać go meodą dopasowania punków do krzywej, biorąc przy ym pod uwagę, że P ( 0,0 = 1. Najprosszą posacią ak uzyskanej funkcji jes posać liniowa. Zależność ego ypu można zaobserwować na rynkach finansowych. Nasępujący lema przedsawia formułę wyceny obligacji kaasroficz- IB ca τ, T, Fv dla funkcji P ( 0, T = 1 αt. nej ( Lema 1. Jeżeli gdzie P ( 0, T = 1 αt dla pewnej sałej α > 0, IB B ( (, (, T A T Fve [ 1 we ( I{ T } F ], r = τ 1 a ( ( a ( T, T = 1 e B i 1 αt 1 α α 1 α σ 4a (, exp 2a 2 T = B(, T ( 1 e B(, T. A W szczególności IB ( 0 = ( 1 T α r0 at ( 1 e 2 α Fve a (1 wφ( T. (4 4. Symulacje one Carlo W celu analizy zachowania się ceny obligacji kaasroficznej wynikającej ze wzoru (4, przeprowadzono szereg symulacji one Carlo. Za każdym razem pryeprowadyono n= symulacji. Jako swoisy punk odniesienia w badaniach przyjęo sopę procenową opisaną paramerami a = 0,025, α = 0,01, r 0 = 0,05. Proces sra był określony procesem Poissona o inensywności κ = 0,01. Warość pojedynczej sray była zdefiniowana rozkładem Gamma. Jako podsawowy zesaw paramerów przyjęo przy ym paramer kszału (α G równy 5 i paramer skali (β G o warości 10. Należy zauważyć, że warość oczekiwana w rozkładzie Gamma (czyli warość oczekiwana pojedynczej sray w naszym przypadku jes równa α G β G, zaś wariancja jes równa α G β G 2. Oznacza o, że rozważamy szkody o charakerze kaasroficznym, czyli 32

11 WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ I JEJ SYULACJE rzadko wysępujące (mała warość oczekiwana procesu Poissona w jednosce czasu, o poencjalnie wysokich warościach i dużej zmienności warości (duża warość oczekiwana i wariancja. Na począku wyznaczono cenę obligacji kaasroficznej o warości nominalnej (Fv równej 1, riggering poin ( k 1 o wielkości 50 i uracie warości obligacji (w równej 0,2. Cena wynosiła w akim przypadku 0, Nasępnie przebadano zależność ceny obligacji od zmiennej warości parameru kszału rozkładu Gamma przy sałym paramerze skali β G = 10. Rosła zaem jednocześnie warość oczekiwana i wariancja sra. Wyniki zosały zaprezenowane na Rys. 1. Rysunek 1. Zależność ceny obligacji od warości parameru kszału W kolejnym kroku zbadano zależność ceny obligacji od zmiennej warości parameru skali rozkładu Gamma przy sałym paramerze kszału α G = 5. W ym przypadku rosły zarówno warość oczekiwana, jak i wariancja sra, ale wariancja rosła w szybszym empie, niż w rozważanym poprzednio zagadnieniu. Wyniki zaprezenowano na Rys. 2. Jak widzimy, w obydwu przypadkach, zależność pomiędzy ceną a paramerem ma charaker nieliniowy i wraz ze wzrosem warości paramerów nasępuje dość isony spadek ceny obligacji kaasroficznej mierzony jednoską pieniężną (warość nominalna rozważanej obligacji kaasroficznej wynosi 1. Posać rysunków sugeruje krzywoliniowość zależności wraz z malejącym nachyleniem krzywej, ale wnioski e wymagają dalszych szczegółowych badań. Kolejna analiza doyczyła wpływu warości riggering poin na cenę obligacji przy usalonych pozosałych paramerach. Wyniki przedsawiono na Rys. 3. Jak widzimy, wraz ze wzrosem poziomu riggering poin nasępuje sosunkowo nie- 33

12 P. Nowak,. Romaniuk wielki wzros ceny obligacji, niemal bliski liniowemu. Rysunek 2. Zależność ceny obligacji od warości parameru skali Rysunek 3. Zależność ceny obligacji od poziomu riggering poin W kolejnym eksperymencie przebadano zależność ceny obligacji od zmian uray warości obligacji. Wyniki przedsawiono na Rys. 4. Jak widzimy, nasępuje spadek ceny obligacji wraz ze wzrosem uray warości obligacji, o charakerze zbliżonym do liniowego w badanym zakresie paramerów. 34

13 WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ I JEJ SYULACJE Rysunek 4. Zależność ceny obligacji od uray warości obligacji 5. Podsumowanie Wysępowanie coraz częsszych kaasrof nauralnych, akich jak huragany, rzęsienia ziemi czy powodzie, skukuje wieloma negaywnymi konsekwencjami, w ym zwiększającymi się sraami finansowymi i maerialnymi ubezpieczycieli, rządów i samorządów. Klasyczne mechanizmy ubezpieczeniowe, ze względu na sposób doboru ryzyk, nie są dobrze przysosowane do szkód wynikających z wysępowania dużych kaasrof nauralnych. Kaasrofy nauralne powodują szkody rzadko wysępujące, o dużych warościach, zależne geograficznie i czasowo. Przydane może być zaem wykorzysanie równocześnie innych insrumenów finansowych i ubezpieczeniowych w posaci jednego, zinegrowanego porfela konsruowanego przez ubezpieczyciela lub np. samorząd. Jednym z akich insrumenów mogą być obligacje kaasroficzne W niniejszym arykule analizujemy pewien przykład obligacji kaasroficznej. Zaprezenowana zosała meodologia wyceny opisywanego ypu obligacji kaasroficznej przy uogólnionym modelu Vasicka sopy procenowej oraz przeanalizowano jej wybrane właściwości z wykorzysaniem symulacji meodami one Carlo. Przykład obligacji kaasroficznej, przedsawionej w pracy, może być wykorzysany jako jeden z elemenów hierarchicznego porfela insrumenów finansowych i ubezpieczeniowych o określonych progach wielkości sra, powodujących wykorzysanie kolejnych ypów insrumenów z akiego porfela (parz np. Nowak i Romaniuk, Isnieje eż możliwość zasosowania przedsawionej w pracy meody wyceny do obligacji kaasroficznych o bardziej złożonej posaci funkcji wypłay. 35

14 P. Nowak,. Romaniuk Lieraura Brigo D., ercurio F. (2006 Ineres Rae odels - Theory and Pracice: Wih Smile, Inflaion and Credi. Springer, Berlin, London Borch K. (1974 The ahemaical Theory of Insurance. Lexingon Books, Lexingon Cox S., H., Fairchild J., R., Pedersen H., (2000 Economic Aspecs of Securiizaion of Risk. ASTIN Bullein, 30, 1, Cummins J.D., Dohery N., Lo A. (2002 Can insurers pay for he ''big one''? easuring he capaciy of insurance marke o respond o caasrophic losses. Journal of Banking and Finance, Ermoliev Yu.., Ermolyeva T.Yu., cdonald G., Norkin V.I. (2001 Problems on Insurance of Caasrophic Risks. Cyberneics and Sysems Analysis, 37, 2, Ermolieva T., Romaniuk., Fischer G., akowski. (2007 Inegraed model-based decision suppor for managemen of weaher-relaed agriculural losses. W: Hryniewicz O., Sudzinski J., Romaniuk., red., Enviromenal informaics and sysems research. Vol. 1: Plenary and session papers - EnviroInfo 2007, , Shaker Verlag George J. B. (1999 Alernaive reinsurance: Using caasrophe bonds and insurance derivaives as a mechanism for increasing capaciy in he insurance markes. CPCU Journal uermann A. (2008 arke Price of Insurance Risk Implied by Caasrophe Derivaives. Norh American Acuarial Journal, 12, 3, Nowak P., Romaniuk., Ermolieva T. (2008 Inegraed managemen of weaher - relaed agriculural losses - compuaional approach. W: Wilimowska E., Borzemski L., Grzech A., Świąek, J., red., Informaion Sysems Archiecure and Technology. odels of he Organisaion s Risk anagemen, , Wrocław Nowak P., Romaniuk. (2009 Porfolio of financial and insurance insrumens for losses caused by naural caasrophes. W: Wilimowska Z., Borzemski L., Grzech A., Świąek J., red., Informaion Sysems Archiecure and Technology. IT Technologies in Knowledge Oriened anagemen Process, 27-36, Wrocław Romaniuk., Ermolieva T. (2005 Applicaion of EDGE sofware and simulaions for inegraed caasrophe managemen. Inernaional Journal of Knowledge and Sysems Sciences, 2, 2, 1-9 Vaugirard V.E. (2003 Pricing caasrophe bonds by an arbirage approach. The uarerly Review of Economics and Finance, 43,